MA 202 Matematik B Mål som deltagarna skall ha uppnått efter avslutad kurs. Deltagaren skall kunna formulera, analysera och lösa matematiska problem av betydelse för tillämpningar och vald studieinriktning med fördjupad kunskap om sådana begrepp och metoder som ingår i tidigare kurser kunna förklara, bevisa och vid problemlösning använda några viktiga satser från klassisk geometri a) Bestäm vinkeln x (/0) b) Vilket eller vilka av följande geometriska samband använde du då du bestämde vinkeln x? Endast svar fordras (/0) A Pythagoras sats B Vinkelsumman i en triangel är 80 C Summan av sidovinklar är 80 D Yttervinkelsatsen E Topptriangelsatsen F Randvinkelsatsen Tolkning Till deltagaren Vid varje exempel visas vilken nivå uppgiften är placerad på. (2/0) betyder uppgiften ger 2 poäng på godkändnivå. (3/) betyder 3 poäng på g-nivå (G) och poäng på nivå väl godkänd (VG) betyder uppgiften kan lösas på nivå mycket väl godkänd (MVG) Du ska kunna lösa fördjupade matematiska problem där moment från ma A-kursen ingår. Du ska kunna bevisa och lösa några klassiska geometriska problem, använda samband och visa formler med hjälp av klassiska geometriska satser. Figuren visar bokstaven M stående på ett horisontellt underlag. De två stödbenen är lodräta. Visa att v = 2x
kunna beräkna sannolikheter vid enkla slumpförsök och slumpförsök i flera steg samt kunna uppskatta sannolikheter genom att studera relativa frekvenser Du är med i ett lekprogram på TV och kan vinna 000 kronor på ett tärningsspel. Spelet går till så här, programledaren kastar två tärningar som du inte ser. Du ska sedan gissa hur många prickar som tärningarna visar tillsammans. Om du gissar rätt vinner du 000 kronor. Hur många prickar ska du gissa på för att ha så stor sannolikhet som möjligt att vinna? Motivera varför. (0/2) Det svenska damlandslaget i fotboll gjorde succé i oktober 2003 genom att ta silver i VM. Av truppens 20 spelare kom 6 från Umeå IK, lika många från Malmö FF och övriga från fyra andra klubbar. Vid ett tillfälle under VM skulle två spelare slumpmässigt plockas ut till ett dopingtest. a) Hur stor var sannolikheten att den första spelaren som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? (/0) b) Hur stor var sannolikheten att båda spelarna som skulle dopingtestas kom från Umeå IK? (/) Du ska kunna beskriva sambandet mellan relativ frekvens och sannolikhet. Du ska också kunna lösa problem om sannolikhet i enkla och i sammansatta händelser. Åsa ska baka en sockerkaka och tar två ägg från en kartong med sex ägg. Vad hon inte vet är att hennes son har bytt ut två av äggen till kokta ägg. a) Vad är sannolikheten att det första ägget som Åsa tar är okokt? Endast svar fordras (/0) b) Vad är sannolikheten att de båda äggen som Åsa tar är okokta? (0/) Nermana singlar slant 250 gånger i följd. Ungefär hur många gånger kan hon räkna med att få krona? (/0) På Marias Tivoli finns ett hjul där man kan vinna fruktkorgar. Man snurrar på hjulet och den sektor som visaren stannar på vinner. Hur stor är sannolikheten att Adam vinner, om han satsar på nr 3? (0/) 4 2 Vinn en fruktkorg Vinn en godispåse 5 3 5 2 3 3 4 4 5 2
med omdöme använda olika lägesmått för statistiska material och kunna förklara skillnaden mellan dem samt känna till och tolka några spridningsmått När Stinas lärare meddelar klassens resultat på ett prov i matematik skriver läraren på tavlan: Maximal poäng: 40p Medelvärde: 25p Median: 2p Antal elever som deltog: 29 Stina har 25 poäng på provet. Hon påstår att antalet klasskamrater som har bättre resultat på provet än hon har är lika många som antalet klasskamrater som har sämre resultat än vad hon har. Avgör om Stinas påstående är sant eller falskt. Motivera varför. (0/2) Du ska kunna beskriva vad det innebär om det är stor skillnad mellan medelvärde och median. Du ska kunna förklara variationsbredd, typvärde och innebörden av standardavvikelse. För att bestämma läges- och spridningsmåtten får grafritare användas. På en skola undersökte man frånvaron för 50 elever. Man räknade hur många frånvarodagar varje elev hade haft under en termin. Resultatet sammanställdes i ett diagram. Frekvens 4 2 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 22 24 26 28 30 32 Antal frånvarodagar per elev a Hur många elever hade fyra frånvarodagar? (/0) b Beräkna medelvärdet. (/0) c Bestäm medianen. (0/) d Bestäm typvärdet. (/0) e Förklara avvikelsen mellan medelvärde och median. (/0) f Bestäm standardavvikelsen. (0/2) g Resultatet av undersökningen kan även illustreras med ett lådagram. 0 2 4 6 8 0 2 4 6 8 20 22 24 Antal frånvarodagar per elev I lådagrammet kan man bl.a. avläsa första kvartilen. Gör denna avläsning och förklara vad den betyder. (/0)
kunna planera, genomföra och rapportera en statistisk undersökning och i detta sammanhang kunna diskutera olika typer av fel samt värdera resultatet Myndigheter, organisationer och företag vill ofta ta reda på vad olika grupper i samhället tycker. Allmänhetens, medlemmarnas eller kundernas åsikter och värderingar kartläggs i olika typer av statistiska undersökningar. TV, radio och tidningar visar stort intresse för resultatet av opinions-, marknads- och konsumentundersökningar. Välj en frågeställning som intresserar dig. Ange vilken population frågeställningen avser. Planera, genomför, analysera och rapportera en statistisk stickprovsundersökning med syfte att ge svar på din valda frågeställning Om du vill ha inspiration till frågeställningar kan du läsa de bifogade tidningscitaten. Du ska göra en undersökning av ett statistiskt material och beräkna resultat och förklara vad statistisk felmarginal innebär för din undersökning.
kunna tolka, förenkla och omforma uttryck av andra graden samt lösa andragradsekvationer och tillämpa kunskaperna vid problemlösning Lös ekvationerna x 2 + 2x 8 = 0 (/0) 40x + 0x 2 = 0 (/0) Grafen till funktionen y = - x 2 + a ges i figuren. Vilket värde har a? (/0) Du ska kunna lösa vanliga andragradsekvationer, använda formler och skriva om enkla potensuttryck. Du ska också kunna lösa vardagsnära problem med hjälp av andragradsekvationer Jenny står på en klippa vid en sjö, och kastar en sten ut över sjön. Efter t sekunder är stenens höjd över vattenytan h(t) meter där h(t) = 8,5 + 9,8t t 2 a) När befinner sig stenen på höjden 0 meter över vattenytan? (/) b) Hur högt över vattenytan kastar Jenny stenen? (/0) c) Bestäm stenens högsta höjd över vattenytan. (0/) Skriv utan parantes (x + 4) 2 (/0) Förenkla uttrycket så långt som möjligt x 2 + 25 2(x + 4) (/0) Du ska lösa ekvationen x 2 + 4x + 6= 0. Du väljer att göra en grafisk lösning och ritar upp grafen till funktionen y = x 2 + 4x + 6 som visas i figuren. Vilken information ger grafen om lösningen till ekvationen x 2 + 4x + 6= 0? Hur kan du se det i diagrammet? (/) 5 y 0 5-0 -5 5 0 x -5-0 -5
kunna arbeta med räta linjens ekvation i olika former samt lösa linjära olikheter och ekvationssystem med grafiska och algebraiska metoder Punkten (2, 5) ligger på linjen y = kx + 4 Bestäm värdet på k. (2/0) Figuren nedan kan användas för att grafiskt lösa ett linjärt ekvationssystem. a) Ange lösningen till ekvationssystemet. (/0) b) Vilket är ekvationssystemet? (0/2) Du ska kunna formulera och lösa frågeställningar ur vardagslivet med hjälp av rätlinjiga funktioner och olikheter. Du ska också kunna lösa dem algebraiskt och även grafiskt, då med och utan grafritande miniräknare. Johanna och Michael köper CD-skivor i London. CD-skivorna har färgmarkeringar som kod för priset. Johanna betalar 32 pund för två röda och en blå skiva. Michael betalar 36 pund för en röd och tre blå skivor. Johannas köp kan beskrivas med ekvationen 2x + 3y = 32 Beskriv Michaels köp med en liknande ekvation. (/0) Använd ekvationerna för att beräkna priset på en röd respektive en blå skiva. (2/0) I ett koordinatsystem finns de tre punkter som markerats i figuren. Wilma anser, att dessa tre punkter ligger på en rät linje. Madeleine menar, att punkterna inte alls ligger på en rät linje utan att det bara ser ut så. Undersök vem som har rätt. (/)
kunna förklara vad som kännetecknar en funktion samt kunna ställa upp, tolka och använda några ickelinjära funktioner som modeller för verkliga förlopp och i samband därmed kunna arbeta både med och utan dator och grafritande hjälpmedel. Använd grafritaren och rita grafen till funktionen y=,5 x. Rita i samma koordinatsystem grafen till funktionen y= -2x + 5. Har graferna någon skärnings punkt? Bestäm i så fall ett ungefärligt värde för denna. (2/0) Undersök funktionerna y och y 2 med hjälp av din grafritande miniräknare. Skriv dem som en linjär funktion och som en kvadratisk funktion. (/) x y y 2 Du ska kunna skilja på uttryck som är en funktion och som inte är funktioner. Du ska ur ett enkelt praktiskt sammanhang ställa upp, tolka och använda matematiska modeller som inte är linjära. Du ska då kunna arbeta med dator och med grafritande miniräknare som hjälpmedel. En buss i stadstrafik kör från hållplats A, via hållplats B, till hållplats C. Figuren visar bussturens graf. a) Visar grafen en funktion, dvs. är s en funktion av t? Motivera. (/0) b) Vilken är den oberoende variabeln och vilken är den beroende variabeln? (/0) c) Ange funktionens definitionsmängd och värdemängd. (/0) d) Efter hur lång tid har bussen kört 700 m från hållplats A? (/0) (km s C 0 3 0 5,5,2 2 8 4,8 3 0,5 0,8 4 3 9,2 5 5,5 30 2 B A t 0 0 2 3 (min) 4
Betygskriterier Kriterier för betyget Godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder och tillvägagångssätt för att formulera och lösa problem i ett steg. Eleven genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner samt utför beräkningar på ett sådant sätt att det är möjligt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck. Eleven skiljer gissningar och antaganden från givna fakta och härledningar eller bevis. Kriterier för betyget Väl godkänd Eleven använder lämpliga matematiska begrepp, metoder, modeller och tillvägagångssätt för att formulera och lösa olika typer av problem. Eleven deltar i och genomför matematiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven gör matematiska tolkningar av situationer eller händelser samt genomför och redovisar sitt arbete med logiska resonemang såväl muntligt som skriftligt. Eleven använder matematiska termer, symboler och konventioner på sådant sätt att det är lätt att följa, förstå och pröva de tankar som kommer till uttryck såväl muntligt som skriftligt. Eleven visar säkerhet beträffande beräkningar och lösning av olika typer av problem och använder sina kunskaper från olika delområden av matematiken. Eleven ger exempel på hur matematiken utvecklats och använts genom historien och vilken betydelse den har i vår tid inom några olika områden. Kriterier för betyget Mycket väl godkänd Eleven formulerar och utvecklar problem, väljer generella metoder och modeller vid problemlösning samt redovisar en klar tankegång med korrekt matematiskt språk. Eleven analyserar och tolkar resultat från olika typer av matematisk problemlösning och matematiska resonemang. Eleven deltar i matematiska samtal och genomför såväl muntligt som skriftligt matematiska bevis. Eleven värderar och jämför olika metoder, drar slutsatser från olika typer av matematiska problem och lösningar samt bedömer slutsatsernas rimlighet och giltighet. Eleven redogör för något av det inflytande matematiken har och har haft för utvecklingen av vårt arbets- och samhällsliv samt för vår kultur. Skolverket 2006--27