Tema Linjär optimering Du behöver för detta tema ha goda färdigheter om Linjära ekvationer från modul Algebra (sid.37), Linjära ekvationssystem från modul Analytisk geometri (sid.13) Modell Linjära olikheter med två variabler Använd programmet Analytisk geometri - Linjär olikhet med två variabler för att undersöka en olikhet med två variabler. Kombinera de olika rutorna till vänster med dem till höger för att förstå den geometriska tolkningen. (Ovanför, Heldragen) (Nedanför, Heldragen) (Ovanför, Streckad) (Nedanför, Streckad) Området nedanför den räta linjen, inklusive den räta linjen Området ovanför den räta linjen, inklusive den räta linjen Området nedanför den räta linjen, exklusive den räta linjen Området ovanför den räta linjen, exklusive den räta linjen
G1 Åskådliggör i olika koordinatsystem det område som svarar mot olikheterna. a) x -2 c) x 7 > 0 b) y 6 0 d) y < 3 G2 Vilka områden i figuren nedan satisfieras av följande tre ekvationssystem: y1,3x3,5 y1, 3x3,5 y1,3x3,5 a) b) c) yx1 yx1 yx1 G3 Vilka områden i figuren nedan satisfieras av följande tre ekvationssystem: y4x3 y4x3 y4x3 a) b) c) yx1 yx1 yx1
G4 G5 Åskådliggör i koordinatsystem de områden som svarar mot följande system av olikheter y 4x x3 yx3 a) b) c) y 1 yx1 yx2 Åskådliggör i koordinatsystem lösningen till följande system av 22x y 3 x 16 olikheter y 6 x 8 V6 Koordinatsystemet här bredvid visar de tre linjerna: y = 2x + 20 y = -2x + 10 y = -10 Vilket system av olikheter svarar mot det vita området
V7 Det vita området i figuren har sina hörn i punkterna (2, 6), (6, -2) och (-10, -18). Vilket system av olikheter svarar mot det vita området? Modell Största och minsta värde i ett område Exempel Bestäm det minsta värde x2y4 som funktionen m = -x + 2y antar x 4y 6 i det område som definieras av de fyra olikheterna x 0 y 0 Lösning Vi ritar det område som begränsas av de fyra olkheterna samt beräknar den inneslutna polygonens hörn. Vi konstaterar (beviset finns på nästa sida) att målfunktionens minsta (eller största) värde får man i polygonens hörn. Vi beräknar dessa värden: m(0, 0)= 0; m(0, 1,5)= 0 + 2 1,5 = 3; m(2, 1)= -2 + 2 1 = 0 och m(4, 0)= -4 + 2 0 = -4. Alltså är målfunktionens största värde 3 och dess minsta värde -4.
Vår målfunktion är som bekant m = -x + 2y. Låt oss nu välja olika värden på m för att därigenom få olika linjer t ex de värden som ges av tabellen här bredvid. m linje -4 -x + 2y = -4-2 -x + 2y = -2 0 -x + 2y = 0 2 -x + 2y = 2 3 -x + 2y = 3 Vi kan se att då m växer parallellförskjuts linjen uppåt och tvärtom. Vi kan av detta dra slutsatsen att vår målfunktion m = -x + 2y får sitt största och minsta värde när linjen m = -x + 2y lämnar polygonområdet. Att bestämma största och minsta värde av ett linjärt uttryck (en målfunktion) m = ax + by +c där punkterna (x, y) tillhör ett polygonområde kan utföras på följande sätt: a) Åskådliggör området i ett koordinatsystem. b) Bestäm koordinaterna för områdets hörn. c) Beräkna målfunktions värde för hörnens koordinater. d) Det största eller minsta värdet av dessa värden är målfunktionens största respektive minsta värde i polygonområdet.
G8 Bestäm det största värde som funktionen m = 2x + 3y antar i det område som definieras av systemet 2x4 y16 3x2y12 x 0 y 0 G9 I de två gruvorna K och L bryts x resp y ton malm per dygn. Gruvornas läge och olika brytningsteknik ger följande olikheter 2x3 y10500 x2 y6000 Ange målfunktionen om a) malmen från K är x 0 y 0 fyra gånger så lönsam som L, b) malmen från L är två gånger så lönsam som den i K samt hur mycket skall brytas från vardera gruvan om lönsamheten skall bli så stor som möjligt. G10 Emil och Emilia har öppnat en affär som säljer barnvagnar. De har ett startkapital på 416 000 kr som kan användas för köp av två sorters barnvagnar av extra hög kvalitet dvs med höj och sänkbart styre, regnskydd, fempunktsele, stora lufthjul, reflexer, stötdämpare, lätt och smidig att packa in i bilen. Modellen Kombi-2011 har en inköpskostnad på 2400 och en vinst vid försäljning på 1000 kr. Den andra modellen Kombi-2012 har en inköpskostnad på 4000 kr med vinsten 1200 kr. Utrymmet i affären tillåter högst att man köper in 150 barnvagnar. Vilken är den största vinst man göra med det disponibla inköpsbeloppet? G11 En lantbrukare har 20 ha (hektar) mark som han tänker odla jordgubbar och tomater på. Han kan avsätta 300 timmar för att plocka skörden. Det tar 16 timmar att plocka 1 ha jordgubbar och 12 timmar att plocka 1 ha tomater. Vinsten per hektar är 8400 kr för jordgubbarna och 7200 kr för tomaterna. Hur många hektar av vardera bör han odla för att maximera vinsten.
G12 En tillverkare av bilar gör två modeller A och B i två fabriker, en motorfabrik E och en chassifabrik F. Vinsten på en bil av typ A är 1100 euro, på typ B är 1200 euro. Det finns 10100 arbetsenheter i E och 11000 arbetsenheter i fabriken F varje månad och antalet arbetsenheter, som behövs för att bygga de olika produkterna finns i tabellen nedan. Hur får tillverkaren maximal vinst? Biltyp Motor Chassi A 7 8 B 7 11 G13 I ett lantbruk vill man hålla kor och får. Det finns plats för maximalt 50 kor och för maximalt 200 får. Vidare finns 360 ha betesmark. En ko behöver 5 ha och ett får 1 ha. Man kan avvara 2 000 arbetstimmar per år till djurens skötsel. En ko fordrar 30 timmar och ett får 5 timmar. Nettovinsten 250 kr per ko och 45 kr per får. Hur många kor och får bör man ha? (VÄXJÖ UNIVERSITET Matematisk och systemtekniska Institutionen, Anders Tengstrand) G14 En bärintresserad företagare kan få ett parti hjortron och åkerbär billigt men högst 300 kg hjortron och 150 kg åkerbär. Hjortron för 50 kr/kg och åkerbär för 100 kr/kg. Han tänker hälla upp den rårörda sylten på burkar som rymmer 500 g för hjortronen och 250 g för åkerbären. Han disponerar över 24 000 kr för inköp av bär och burkar. Oberoende av storlek kostar burkarna 5 kr/st. Vår bärintresserade person räknar med att kunna ta 100 kr/burk för hjortronsylten och 200 kr/burk för åkerbären. (Vi har inte glömt att ta med sockret som ingrediens. Men vår idoge företagare använder mycket lite socker och gör dessutom ingen vinst på sockret.)
Facit G1a G1b G1c G1d G2a) rött b) blått c) lila G3a) rött b) blått c) vitt G4a G4b
G4c G5 V6 y 2x + 20 och y -2x + 10 och y -10 V7 Ekvationerna för de tre linjerna blir enligt t ex enpunktsformeln: y 6 = -2(x 2) Û y = -2x + 10 y + 2 = 1(x 6) Û y = x 8 y 6 = 2(x 2) Û y = 2x + 2 G8 Alltså blir det vita området: y -2x + 10 och y x 8 och y 2x + 2 m = 2x + 3y vilket ger m(0, 4)= 12, m(2, 3)= 13, m(4, 0)= 8 och m(0, 0)= 0 Alltså blir det största värdet = 13
G9a) målfunktionen är m = 4x + y. m(0, 3000) = 0 + 3000 = 3000; m(3000, 1500) = 12000 + 1500 = 13500; m(5250, 0) = 21000 + 0 = 21000 b) målfunktionen är m = x + 2y. m(0, 3000) = 0 + 6000 = 6000; m(3000, 1500) = 6000 + 3000 = 9000; m(5250, 0) = 5250 + 0 = 5250 G10 Antag att de köper x Kombi-2011 och y Kombi-2012. Målfunktionen är m = 1300x + 1000y 2400x4000 y416000 x y150 Polygonområdet är x 0 y 0
m (0, 104) = 104000 m(115, 35) = 1000 115 + 1200 35 = 157000 (= den största vinsten) m(150, 0) = 1000 150 =150 000 G11 Antag att han odlar x ha med jordgubbar och y ha med tomater. x y20 16x12 y300 x 0 y 0 m = 8400x + 7200y m(0, 20) = 7200 20 =144000 m(15, 5) = 8400 15+ 7200 5 = 162000 (=den maximala vinsten) m(18,75; 0) = 8400 18,75 =157500
G12 m = 1100x + 1200y m(0, 1000)=1200 1000= 1 200 000 m(1100, 300) = 1000 1100 + 1200 300 = 1 460 000 (= maximal vinst) m (1443, 0)= 1000 1443 = 1 443 000 G13 5x y360 30x5y2000 0 x 50 0 y 200 m = 250x + 45y m(32, 200)= 17000 m(40, 160)= 17200 m(50, 100)= 17000 m(50, 0)= 12500 m(0, 200)= 9000 45 kor och 160 får ger den maximala vinsten 17200 kr
G14 Målfunktionen, m = 200x + 800y 24000 m(0, 150) = 96000 m(100, 150) = 116000 m(300, 50) = 76000 m(300, 0) = 36000 Den maximal vinsten 116000 kr fås vid köp av 100 kg hjortron och 150 kg åkerbär.