Problemlösning i ett kalkbrott För att konkretisera matematikundervisningen och samtidigt bredda elevernas erfarenhetsvärld har Ebbe Möllehed låtit elever i särskild kurs, årskurs nio, ägna en dag åt att lösa praktiska problem vid ett kalkbrott i Hammars park i Malmö. Organisation Eleverna indelades i åtta grupper med 3 4 elever i varje grupp. Till varje grupp knöts minst en lärarkandidat, som följde elevgruppen under hela dagen. Lärarkanditatens roll var inte direkt undervisande. Däremot deltog lärarkandidaten som observatör och diskussionspartner och kunde därigenom påverka eleverna om de helt misslyckades eller saknade metod att lösa problemet. Vissa inledande övningar var av individuell natur. Hit hörde dels uppskattningsövningar, dels bestämning av avstånd genom stegning. Övriga uppgifter löstes gruppvis. Av de åtta uppgifterna fick varje grupp lösa fyra. Grupperna roterade mellan uppgifterna enligt en särskild plan. Stegning Eleverna fick bestämma avståndet till två punkter (142 m och 27 m) med ledning av en känd sträcka på 100 m. Alla eleverna insåg att stegning var en möjlig metod, men genomförde det på olika sätt. Två elever lyckades få 100 steg på 100 m och därmed enkla beräkningar. Vissa elever räknade ut antalet steg på en meter, men hamnade sedan i svårigheter och övergav metoden. Det var enklare att räkna ut längden på ett steg och sedan multiplicera med antalet steg. Uppskattningsövningar Eleverna fick först göra följande uppskattningar. Riktiga värden anges inom parentes. 1. Vikten av två stenar. (2,7 kg och 5,6 kg) 2. Avståndet till en pinne. (64 m) 3. Arean av ett markerat område. (22 m 2 ) 4. Volymen av ett tält. (1,5 m 3 ) 5. Tiden det tar att gå en viss sträcka, (cirka 2,5 min) Efter diskussionen och viss information fick eleverna sedan göra nya uppskattningar för att se om någon förbättring skett. 6. Vikten av två stenar. (4,2 kg och 12,0 kg) 7. Avståndet till en pinne. (47 m) 8. Arean av ett markerat område. (36 m 2 ) 9. Volymen av ett växthus. (9,5 m 3 )
Resultat av uppskattningsövningarna För varje uppskattat värde beräknades det relativa felet (absoluta felet/ närmevärdet). I tabellerna har angetts medelvärdet av samtliga relativa fel för uppgiften ifråga. Efter varje uppskattning fick eleverna veta det rätta svaret. Först genomfördes fem övningar utan någon förhandsinformation (vikt, avstånd, area, volym, tid). Därefter fick eleverna känna på följande vikter: 1 kg, 2 kg, 5 kg och 10 kg. De fick också se en kvadrat med arean 1 m 2 och en kub med volymen 1 m 3. Därefter gjordes resterande övningar. Eleverna hade nu fått viss information och kunde dra lärdom dels av föregående övning, dels av vad som förevisats dem. I samtliga fall kan man notera en förbättring i andra omgången. Se tabellen. Vid uppskattning av vikterna är förbättringen påtaglig. Den ena stenens vikt (4,2 kg) ligger inom samma intervall som i den första övningen, men eleverna klarar lika bra viktuppskattningen för den sten, som vägde 12 kg. Vid uppskattningen av avstånd är skillnaden försumbar mellan de två övningarna. Eleverna har redan från början en ganska god avståndsuppfattning. De relaterar ofta avståndet till en redan känd sträcka, t ex då man i idrott springer 60 m. Vid uppskattning av arean inträffade en märkbar förbättring i andra omgången. Elevernas areauppfattning var från början mycket sämre än deras avståndsuppfattning. Ännu mycket sämre var elevernas volymuppfattning i första övningen. De trodde alla att en kubikmeter var väsentligt mindre än den visade sig vara. En dramatisk förbättring skedde under andra övningen. Tidsuppfattningen (endast en övning) visade sig vara bra bland eleverna i årskurs 9. Övning Stenars vikt Avstånd Area Volym Tid Övningar som getts utan förhandsinformation Rätt värde 2,7 kg 5,6 kg 64 m 22 m 2 1,5 m 3 Ungefär 2,5 min Medelvärde av relativa fel 0,34 0,30 0,44 0,65 Övningar som getts efter viss information Rätt värde 4,2 kg 12,0 kg 47 m 36 m 2 9,5 m 3 Medelvärde av relativa fel 0,17 0,16 0,14 0,23
Gruppuppgift 1 Hur stor är kalkbrottets volym? Eleverna fick en karta över området i skalan 1:12 000 samt dessutom ett genomskinligt rutnät (rutorna var kvadrater med sidan 0,5 cm). De fick också under ledning av en guide gå ner i kalkbrottet och på ett lämpligt ställe mäta dess djup. Det gavs också tillfälle till en kort information om kalkbrottet, dess historia, produkter som utvinnes, fossiler man kan hitta och även något om djurlivet. En grupp bestämde djupet på två olika sätt, dels genom att med en linjal syfta in kalkbrottets vägg från ett givet avstånd, vrida ner linjalen i vågrätt läge och mäta motsvarande sträcka, dels genom att använda likformighet. Kalkbrottets area bestämdes på olika sätt. Någon grupp placerade rutnätet på kartan och räknade antalet rutor, andra approximerade kalkbrottet till en rektangel och bestämde längd och bredd med hjälp av rutnätet. Vissa svårigheter uppstod vid beräkning av den verkliga arean med hjälp av rutnätet och skalan. Gruppuppgift 2 Hur mycket vatten pumpas ut från kalkbrottet under ett dygn? Från kalkbrottet pumpas det vatten, som läcker in genom berget, ut genom en kanal, som passerar Hammars park. Man kan bestämma den vattenmängd, som pumpas ut under en viss tid, genom att beräkna vattenhastigheten och tvärsnittsarean. Alla grupperna insåg att vattenhastigheten och tvärsnittsarean skulle bestämmas. Endast en av grupperna hade besvär med beräkningarna men efter diskussion gick det bra. Genom att kasta ner en pinne eller ett löv i vattnet och ta tiden för föremålet att passera en viss sträcka kom man fram till hastigheten hos vattnet. Tvärsnittsytan approximerades till en rektangel. Efter att ha mätt vattendjupet på några ställen och beräknat medelvärdet kunde arean bestämmas. En av grupperna bestämde till en början tvärsnittsarean på ett annat ställe än vattenhastigheten men efter diskussion om vattenhastigheten i olika delar av kanalen ändrade de detta. Grupperna kontrollerade rimligheten i sina svar utan hjälp.
Gruppuppgift 3 Bestäm ph, kalkhalt, järnhalt och syrehalt i det vatten som finns i kanalen! Med hjälp av speciella mätutrustningar kan man bestämma ph, kalkhalt, järnhalt och syrehalt i det vatten, som pumpas upp från kalkbrottet. Uppgiften avser närmast att se om eleverna kan läsa en instruktion och utföra ett test efter den. De flesta eleverna klarade att läsa instruktionen och utföra testen. Däremot var de ovetande om de kemiska reaktionerna. Gruppuppgift 4 Bestäm sandsäckens vikt! En tvåarmad hävstång monterades upp i parken. Hävstången var ungefär 5 m lång. På plats fanns också en sandsäck samt en cementsäck med angiven vikt (25 kg). Cementsäcken kunde användas som motvikt. Alla grupperna visade ett spontant intresse för att hänga upp säckarna, så att man fick jämvikt. Två av grupperna förstod att säcken måste väga mer än 25 kg men saknade metod att lösa problemet och fick därför viss hjälp. Gruppuppgift 5 Bestäm ljudhastigheten! Eleverna fick en gonggong och stoppur för att på lämpligt sätt bestämma ljudhastigheten. Det finns stora plana områden i parken med fri sikt. Någon grupp gjorde det bekvämt för sig genom att använda den redan uppmätta 100-meterssträckan (stegningsuppgiften), andra stegade upp större avstånd. En grupp använde sig av så stort avstånd som möjligt i parken (340 m). En av grupperna ökade avståndet tre gånger för att kunna bestämma tiden. Oftast togs tiden ett flertal gånger och medelvärdet beräknades. Orimliga värden uteslöts.
Gruppuppgift 6 Bestäm den procentuella fördelningen av olika ogräs i gräsmattan och åskådliggör detta i ett diagram! I gräsmattan finns en del ogräs. Man kan bestämma den procentuella fördelningen mellan dessa ogräs genom att mäta upp en lämplig area och räkna antalet plantor av olika ogräs. Sedan kan man illustrera detta i ett stapeldiagram eller cirkeldiagram med procentsatserna angivna. Alla var medvetna om att man borde välja ut en lämplig area, men storleken på denna vållade diskussion. De flesta beslöt att räkna antalet plantor av olika ogräs på en kvadratmeter. De som från början valde en mindre area förstod att man kunde få en sned fördelning och gick över till en större area. Gruppuppgift 7 Bestäm avståndet till en viss punkt! Eleverna behövde någon form av inriktning och fick därför följande exempel. Antag att du står i punkten A och ser en bergstopp B på den andra sidan av en långsträckt sjö. Du vill veta avståndet till bergstoppen. Du kan mäta upp en bassträcka AC samt mäta vinklarna ACB och CAB. På så sätt kan du beräkna det sökta avståndet AB. Kan du förklara hur? Gruppuppgift 8 Hur många kubikmeter det i trädet? ved finns Höjden på trädet diskuterades och bestämdes på följande sätt: Man höll upp en pinne, som motsvarade en viss höjd, och räknade antalet "pinnar" upp till trädets avsmalning. Skuggmetoden nämndes men förkastades då det mest var mulet. Man syftar in höjden med en linjal från ett bestämt avstånd från trädet, mäter avståndet linjal öga, och använder topptriangelsatsen. Någon grupp fick i början ett orimligt svar men rättade till felaktigheten. Man syftar in höjden från ett givet avstånd från trädet, vrider ner linjalen i vågrätt läge och mäter motsvarande sträcka på marken. För beräkning av tvärsnittsarean bestämde alla omkretsen vid roten och räknade sedan ut radien. Areaberäkningen beredde inte heller några problem. För att få volymen multiplicerade däremot många elever tvärsnittsarean vid roten med höjden. Först efter diskussion om trädets olika tjocklek ändrade man metod och räknade med ett medelvärde på tvärsnittsarean.