9 Skissa grafer. 9.1 Dagens Teori

9 Skissa grafer 9.1 Dagens Teori Så här hittar man etrempunkter, ma-, min eller terrasspunkter, till en kurva y = f() med hjälp av i första hand f () 1 Bestäm f () och f () 2 Lös ekvationen f () = 0. Om ekvationen saknar rötter saknar f() etrempunkter. I annat fall finns rötterna = r 1, = r 2 och så vidare. 3 Om f (r) > 0 har f() en minpunkt, (r, f(r)) 4 Om f (r) < 0 har f() en mapunkt, (r, f(r)) 5 Om f (r) = 0 kan andraderivatan inte avgöra vilken typ av etrempunkt det handlar om. Återstår att avgöra punktens typ med teckenstudium. Vi sammanfattar nu det vi hittills kan i konsten att skissa funktioner och betraktar figur 9.1 Figur 9.1: g,h,i visar funktionens f() nollställen Får man genom att lösa ekvationen

2 Skissa grafer f() = 0 b,c,d,e visar nollställen hos derivatan f () Får man genom att lösa f () = 0 a,f begränsar det intervall a f som vi studerar av f() B,D,F är lokala mapunkter. Får man genom f(b), f(d), f(f) A,C,E är lokala minpunkter. Får man genom f(a), f(c), f(e) A är global minpunkt D är global minpunkt Funktionen f() i figur 9.1 är väande i intervallen nedan Då är f () > 0. a < b c < d e < f Funktionen f() i figur 9.1 är avtagande i intervallen nedan. Då är f () > 0. b < c d < e Figur 9.2: Övning 9.1 Här ser vi ett 3:e-gradspolynom. Bestäm, med hjälp av diagrammet, i vilka intervall funktionen är väande respektive avtagande. (Det är heltal där du tror att det är det) Funktionen f() är väande i intervallen och avtagande i intervallet < < 3 11 < < 3 < < 11 För = 3 och = 11 är däremot funktionen varken väande eller avtagande.

9.1 Dagens Teori 3 Övning 9.2 Funktionen har etrempunkter i f() = 5 5 4 173 + 30 2 + 50 3 1 = 4 2 = 0 3 = 3 4 = 5 Ta med hjälp av andraderivatan f () reda på vilken typ av etrempunkter det rör sig om. För att komma fram till f () måste vi först bestämma Nu får vi f () = 4 4 3 17 2 + 60 f () = 4 3 12 2 34 + 60 Vi har nu att bestämma tecknet hos f () för de fyra nollställena till f () f ( 4) = 252 < 0 mapunkt f (0) = 60 > 0 minpunkt f (3) = 42 < 0 mapunkt f (5) = 90 > 0 minpunkt Så här ser grafen ut. Stämmer våra beräkningar? 400 0-6 -4-0 -400 Figur 9.3: Övning 9.3 En luftballong startar sin uppstigning vid tiden t = 0 timmar för att stanna uppe i drygt t = 6 timmar. På vilken höjd (i meter) ballongen befinner sig på vid tiden t bestäms av funktionen h(t) = 4t 3 54t 2 + 240t Bestäm den högsta höjd ballongen befunnit sig på under de 6 första timmarna i luften. Vi startar med att derivera funktionen och därefter lösa ekvationen h (t) = 0 h (t) = 12t 2 8t + 240

4 Skissa grafer h (t) = 0 ger 12t 2 8t + 240 = 0 t 2 9t + = 0 t = 9 2 ± 81 4 80 4 t = 9 2 ± 1 2 t 1 = 4 t 2 = 5 h(t) har etrempunkter för t = 4 och t = 5. Genom att ta fram andraderivatan kan vi snabbt se vilken typ av punkter. Vi testar de de två punkterna h () = 24t 8 h (4) = 12 < 0 mapunkt h (5) = 12 > 0 minpunkt Vi bestämmer nu h(4) och h(5), samt höjden för intervallets gränser h(0) och h(6). Svar: Ballongens högsta höjd är 360 meter t 0 4 5 6 h(t) 0 352 350 360 Övning 9.4 Här får du se tre grafer. Hur hör de ihop 5-5 1 2 3 4 5 6-15 5-5 1 2 3 4 5 6 40-1 2 3 4 5 6-40 Översta grafen visar funktionen f(), antagligen ett 5:e-gradspolynom. Den mellersta grafen visar f () och den nedersta f ().

9.1 Dagens Teori 5 Övning 9.5 Vi startade med ett polynom p(), som vi deriverade två gånger och fick p () = 6 Berätta allt du kan om p() p() är av andra graden. Andragradstermen måste vara 3 2, vilket betyder att funktionen har ett minimum, vilket också f () vittnar om. De andra termerna i p() vet vi dock inget om. Övning 9.6 Denna gång har polynomet p () = 0 två rötter 1 = 2 och 2 = 5. Dessutom vet vi att f (2) > 0. Frågor: a) Vilket gradtal har p()? b) Vad vet vi om etrempunkten då = 2? c) Vad kan vi säga om den andra etrempunkten? d) Vart försvinner kurvan då? a) 3:e graden b) Det är en minpunkt c) Det är en mapunkt d) Mot y = Övning 9.7 Vilket gradtal måste ett polynom, som i figur 9.4, minst ha, för att ha två terrasspunkter? p() måste vara av minst 5:e graden. 7.5-3 -2-1 1 2-2.5 5 2.5-5 -7.5 - Figur 9.4:

6 Skissa grafer Övning 9.8 Här får du grafen till polynomet f () berätta vad du vet om f(). Här har du en möjlig f() 60 40-4 - -40 Figur 9.5: 50-4 -50-0 -150 Figur 9.6: Övning 9.9 Här följer inte mindre än 9 grafer. Tre polynom f(), g(), h() och deras första respektive andra derivator. Din uppgift är att para ihop dem rätt! 4 3 2 1 - - -30-40 -50 50 40 30 - - - -30-40 12.5 7.5 5 2.5-2.5 - - 40 30 - - 5 2.5-2.5-5 -7.5 - - -

9.1 Dagens Teori 7 g () h() f() h () g() g () f () f () h () Övning 9. Figuren visar några funktionskurvor. Vilka funktioner har en förstaderivata som är a) poistiv för alla b) negativ för alla 1 y 2 y 3 y 4 y 5 y 6 y 1) f() har ingen etrempunkt. Alltså är f () 0 för alla. Då är antingen f () > 0 eller f () < 0 för alla. Här handlar det förstås om f () > 0. 2) Här har f() en etrempunkt vilket betyder att f () = 0 för något. f() är varken positiv eller negativ för alla. 3) Alla tangenter vi kan dra till denna funktion är positiva, vilket innebär att f () > 0 för alla. 4) Denna funktion är mest lik 1). Böjer av något men aldrig så att tangenten till kurvan har k-värdet 0. Då är f () > 0 för alla. 5) Här avtar f() hela tiden, så då är f () < 0 för alla 6) Varken det ena eller det andra. f() har ju en tangent med k = 0.

8 Skissa grafer Övning 9.11 Figuren visar några funktionsgrafer.vilka funktioner är a) väande för alla b) avtagande för alla c) konkava uppåt för alla d) konkava nedåt för alla 1 2 3 4 5 6 1) väande, konkav nedåt 2) avtagande, konkav uppåt 3) avtagande 4) konkav uppåt 5) väande, konkav uppåt 6) väande Övning 9.12 Rita en skiss av grafen till funktionen f(), om följande villkor gäller a) f(3) = 1, f (3) = 0 och f () < 0 för alla b) f(4) = 3, f (4) = 0 och f () > 0 för alla c) f(1) = 3, f (1) = 0, f () < 0 för < 1 och f () > 0 för > 1 d) f(5) = 0, f (5) = 0, f () > 0 för < 5 och f () < 0 för > 5 a) Först får vi en punkt (3, 1) på kurvan som vi prickar in. Sedan får vi att f (3) = 0, vilket betyder att punkten vi fått är en etrempunkt. Genom f () < 0 för alla förstår vi att etrempunkten är en mapunkt. Att f () < 0 för alla kan betyda att till eempel f () = och då är f() ett andragradspolynom. Men även f () = 28 2 är en möjlighet och då är f() av fjärde graden. b) Den här gången har vi en punkt punkt på kurvan, (4, 3) som vi prickar in. Återigen har tangenten i denna punkt k = 0, Men nu är f () > 0 för alla och vi har istället en minpunkt. c) Vi får en punkt på kurvan (1, 3) med en tangent som har k = 0. den här gången får vi inte veta något om f (), men eftersom f () < 0 då < 1 och f () > 0 då > 1 förstår vi att det handlar om en minpunkt. d) Vi får punkten (5, 0) på kurvan. Eftersom det tangenten i denna punkt är lika med -aeln har vi ett dubbelt (minst) nollställe i punkten. f () > 0 då < 5 och f () < 0 då > 5 talar om att det handlar om en mapunkt.

9.1 Dagens Teori 9 Figur 9.7: Figur 9.8: Övning 9.13 f () = 24 för en polynomfunktion. Vad kan man säga om f()? TB: Inte mer än att termen med högst gradtal är av typ 3 och att koefficienten är 4. f() = 4 3 +... Övning 9.14 Vi har ett polynom där man får reda på att f(0) = 1 f (0) = 1 f (0) = 12 f (0) = 18 f IV (0) = 0 Bestäm polynomet f() TB: Polynomet kan ha högst gradtalet 3 eftersom fjärdederivatan är = 0. Jag antar nu att polynomet har följande utseende: f() = a 3 + b 2 + c + d f(0) = 1 ger direkt att d = 1. Nu deriverar jag och får f () = 3a 2 + 2b + c Jag vet att f (0) = 1, vilket betyder att c = 1. Så derivera jag igen f () = 6a + 2b Den här gången får jag reda på att f (0) = 12, vilket betyder att b = 6. Så en sista derivering f () = 6a

Skissa grafer Eftersom f (0) = 18 så måste a = 3, Nu har jag hela polynomet f() = 3 3 + 6 2 + 1 Övning 9.15 Polynomet f() = 2 2 + a är givet, där a är en konstant. Men vet att f(4) = 40, bestäm a. TB: Ett av de lättaste problem jag fått. Jag sätter in = 4 i funktionen och får 2 16 + a 4 = 40 med lösningen a = 2. Polynomet har följande utseende f() = 2 2 + 2 Övning 9.16 Tre punkter (1, 3), (0, 1) och ( 1, 1) ligger alla på ett polynom av andra graden. Bestäm detta polynom. TB: Hur många punkter måste man egentligen känna till för att kunna bestämma koefficienterna till et polynom? KTH: Du vet ju att två punkter gäller för att bestämma ekvationen för en rät linje (ett förstagradspolynom). Det blir säkert inte överraskande för dig att man behöver en punkt mer än polynomets gradtal. TB: Så här räcker det alltså med tre punkter för detta andragradspolynom. Jag antar att polynomet har följande utseende f() = a 2 + b + c Nu ska jag använda mig av de tre punkterna och får då f(1) a + b + c = 3 f(0) c = 1 f( 1) a b + c = 1 Vi har ett ekvationssystem med tre obekanta, som man egentligen brukar skriva a + b + c = 3 c = 1 a b + c = 1 Ganska lätt att lösa. Jag får c = 1, a = 1 och b = 1. Lösningen ger f() = 2 + + 1. 9.2 Gamla tentauppgifter Här kommer några uppgifter till vilka du endast får svar! Övning 9.17 Bestäm ekvationen för tangenten till kurvan y = 2 + 1 i punkten (0, 1) Svar: y = 1

9.2 Gamla tentauppgifter 11 Övning 9.18 Bestäm f (2) med hjälp av derivatans definition då f() = 4 2 7 Svar: f 4(2 + h) 2 7 (4 2 2 7) (2) = lim = 16 h 0 h Övning 9.19 Funktionen f() = a + b är given. Bestäm konstanterna a och b, så att f( 1 4 ) = 4 och f (1) = 2 Svar: a = 0.4 och b = 4.8 Övning 9. Kurvan y = 4 2 + 3 har en normal som är parallell med den räta linjen 13y = 5. Bestäm ekvationen för denna normal. Svar: y = 13 + 28 13

KS - Svår Problem 1 Lös ekvationen ln3+5+ln 2 4 = 0 Problem 2 Givet funktionen f() = 2+ 32 2 + 3 3 +4 Bestäm största och minsta värdet hos funktionen på intervallet 1 3 Problem 3 Givet funktionen och dess derivata f() = ( 2)( 2)( 6)(+1)(+1) f () = (+1)( 2 5 )( 2)( 5) Skissa kurvan genom att utföra teckenstudium. Problem 4 Grafen visar f () av ett polynom. Vad kan man säga om f()? Dess gradtal och dess etrempunkter? Problem 5 Bestäm f ( 5) till funktionen f() = 5+ Problem 6 Bestäm derivatan till f() = 1 5 +3 +1 5 4 Håkan Strömberg 1 KTH STH

Lösning 1 Med substitutionen t = 2 får vi ln3+5+lnt 4 = 0 lnt = ln3 1 e lnt = e ln3 1 t = e ln3 e 1 t = 1 e ln3 1 e t = 1 3 1 e Då 2 = t är 2 = 1 3e som ger = ± 1 3e Lösning 2 Planen är att lösa f () = 0. Om det finns två rötter 1 och 2, sådana att de tillhör intervallet, så bestämmer vi f( 1 ) och f( 2 ). Dessutom bestämmer vi f(1) och f(3). Ur dessa resultat kan vi så plocka fram de två eftersökta värdena. f() = 2+ 32 2 + 3 3 +4 f () = 2+3+ 2 f () = 0 ger 2 +3+2 = 0 9 = 3 2 ± 4 8 4 1 = 2 2 = 1 Nu visar det sig att ingen av etrempunkterna ligger i intervallet. Återstår att bestämma f(1) = 47 65 6 och f(3) = 2. Svar: Mavärdet är 65 2 och minvärdet är 47 6 OBS! För den här typen problem, med intervall, behöver man inte avgöra om etrempunkterna är ma- eller min-punkter. Så här ser grafen ut Håkan Strömberg 2 KTH STH

Lösning 3 Funktionen har nollställena 1 = 2, 2 = 2, 3 = 6, 4 = 1 och 5 = 1, två dubbelrötter och en enkelrot. Derivatan har nollställena 1 = 1, 2 = 2 5, 3 = 2 och 4 = 5 < 1 = 1 1 < < 2 5 = 2 5 2 5 < < 2 = 2 2 < < 5 = 5 > 5 f () + 0 0 + 0 0 + f() ր ma ց min ր ma ց min ր Till vänster f() och till höger f () Lösning 4 Eftersom f () verkar vara av gradtalet 4, är f() av gradtalet 5. En dubbelrot hos f () innebär terrasspunkt hos f(). Här finns två dubbelrötter. Vilket betyder att etrempunkterna hos f() är två terrasspunkter. Så här kan funktionen se ut Håkan Strömberg 3 KTH STH

Lösning 5 Vi har bara ett sätt att klara av derivering av f() i den här kursen. I vår får du lära dig att derivera mer komplicerade funktioner med i nämnaren, med hjälp av kvotregeln. f() = 5+ 5 + 5 1 +1 f () = 5 2 5 2 f ( 5) = 5 ( 5) 2 = 1 Svar: f ( 5) = 1 Lösning 6 f () = 1 5 5 + ln3 31+ 4 5 Håkan Strömberg 4 KTH STH