Övningar i Automationsteknik FK

Övningar i Automationsteknik FK Tidsdiskret reglering: Diskretisering av analoga regulatorer 3.. Införs beteckningen i(t t 0 e(τdτ så blir Euler-bakåt på i(t i(t i(t h+he(t, t kh, k 0,,2,... Egentligen bör man införa en annan beteckning för den tidsdiskreta signalen, t.ex. f samplad (k f(kh,k 0,,2,... så att rekursionen ovan kan skrivas i samplad (k i samplad (k +he samplad (k men av tradition och bekvämlighet undertrycks denna distinktion mellan tidskontinuerlig och tidsdiskret signal så att man medvetet slarvar genom att (något förvirrande helt enkelt bara skriva i(k i(k +he(k vilket tillsammans med ( u(k K e(k+ i(k T i definierar den tidsdiskreta PI-regulatorn. Det finns ingen anledning att skriva om den rekursiva formeln (differensekvationen för i(k som en summa eftersom just rekursionen är den som används då man ska koda sin PI-regulator (i i + h*e. Observera att det som brukar kallas I-delen av PI-regulatorn egentligen utgörs av K T i i(k och inte av i(k själv. 3.2. Genom att betrakta den bakåt-eulerska varianten av en PI-regulator i(k i(k +he(k ( u(k K e(k+ i(k T i kan man direkt konstatera att K 3 och T i 0.5. 3.3. Med bakåt-euler blir implementeringen i(k i(k +he(k e(k e(k d(k ( h u(k K e(k+t d d(k+ i(k T i

vilket med värden insatta blir: i(k i(k +0.02e(k e(k e(k d(k 50(e(k e(k ( 0.02 u(k 2 e(k+0.05d(k+ 0.2 i(k 2e(k+0.d(k+0i(k Z-transformen och tidsdiskreta överföringsfunktioner 3.4. Utan att titta i Z-transformtabellen erhålles P e (z p e (kz k z 0 3.5. Om tabell anlitas kan lösningen direkt skrivas upp som Utan tabell går också bra: z d z z d z d Z[s e (k d] s e (k dz k z k z d 3.6. Z-transformen blir k 0 Z[( k ] ( k z k ( z k kd z (k +d k 0 z k z d z z d z d ( z +z z z + 3.7. Z[f(k] 5z 3 (+z +z 2 +z 3 +z 4 3.8. Z[f(k] f(kz k +z 2 +z 4 + (z 2 k 3.9. a. z2 z 2 z 2 Z[f(k] f(kz k (2 k z k 2z z z z 2 z z 2

z (z (z 2 z z 2 3z +2 b. Z[f(k] f(kz k 0.5 k z k + 0.2 k 4 z k (0.5z k +0.2 4 (0.2z k 0.5z 625 0.2z c. Z[f(k] 5Z[p e (k 2]+3Z[s e (k 4] 5z 2 + 3z 4 z 5z 2 5z 3 +3z 4 z 5z2 5z +3 z 3 (z 3.0. [ ] f(k f(k Z h F(z z F(z h 3.. Z-transformering av båda leden ger ( 3z +2z 2 Y(z Y(z z z (z (z 2 z Invers Z-transformering av detta ger ( 2 z 2 z y(k 2 2 k, k 0 z F(z z h zh F(z 3z +2z 2 z 2 z 2 3z +2 2 z z 2 z z 3.2. Z-tranformering ger vilket ger överföringsfunktionen H(z (.2z +0.35z 2 Y(z 2z U(z 2z.2z +0.35z 2 Polerna blir z 0.5 och z 0.7. 3.3. Omskrivning ger 2z z 2.2z+0.35 (.4z +0.45z 2 Y(z (z z 2 U(z 2z (z 0.5(z 0.7 Efter invers Z-transformation och lite omflyttning blir sambandet y(k.4y(k 0.45y(k 2+u(k u(k 2 3

Diskretisering av tidskontinuerliga system 3.4. Låt h beteckna samplingsintervallet a. H(z 3+ 2h z b. H(z 3 2 e 2h z e 2h c. G(s 4 s(s+2 2 s 2 s+2 H(z 2h z e 2h z e 2h (2h +e 2h z + (+2he 2h (z (z e 2h d. G(s s (s+(s+3 s+ 2 s+3 (2h +e 2h z + (+2he 2h z 2 (+e 2h z +e 2h H(z e h e 3h z e h 2 3 z e 3h ( e h (z e 3h 2 3 ( e 3h (z e h (z e h (z e 3h 3 ( 3e h +2e 3h z +2e h 3e 3h +e 4h z 2 (e h +e 3h z +e 4h 3.5. Av bekvämlighetsskäl väljes tabellmetoden. z + H(z 2( cos2h z 2 (2cos2hz + 3.6. Tidsfördröjningen är 2 samplingsintervall så att H(z z 24( e 2 2 z e 2 2 z 2 3.93 z 0.08 Kommentar: Den tidsdiskreta överföringsfunktionen har en pol mycket nära 0. Detta indikerar att tidskonstanten (T 0.5 s är mycket dåligt upplöst i denna långsamma tidsskala (h 2 s. Orsaken till detta är valet att anpassa samplingsintervallet till tidsfördröjningen (L 4 s. Att välja ett kortare samplingsingsintervall förbättrar visserligen upplösningen av tidskonstanten men det ger å andra sidan upphov till en större fördröjning d hos det tidsdiskreta systemet vilket höjer ordningen hos H(z. 3.7. Diskretiseringen blir H(z 3( e h/5 z e h/5 a. h ger H(z 3( e 0.2 z e 0.2 0.544 z 0.89 4

b. h 0 ger H(z 3( e 2 z e 2 2.594 z 0.35 c. Då h 0 gäller att H(z 3( ( h/5+o(h2 z ( h/5+o(h 2 3h/5 z d. Då h gäller att H(z 3 z 3z 3.8. Med G(s b s+a blir den tidsdiskreta överföringsfunktionen b e ah a z e ah Med h kan ekvationen e a 0.368 ställas upp vilket ger a ln0.368.0. Dettainnebärisinturattb( e.264vilketgerb.264/( e 2.0. 3.9. Med och blir h 0. s. G(s 3 +0.5s H(z 3 e h/0.5 0.544 z e h/0.5 z 0.89 3.20. Partialbråksuppdelning av G(s blir G(s a2 s 2 +a 2 a 2 (s+ia(s ia ( ia 2 s+ia + ia s ia Med ZOH-diskretisering avbildas detta på H(z ( e iah e iah + 2 z eiah z e iah (2 e iah e iah (z + 2 (z e iah (z e iah vilket skulle visas. Egenskaper hos tidsdiskreta system ( cosah(z + z 2 2cosah+ 3.2. Först beräknas överföringsfunktionen: H(z 2z 0.5z 2 z 0.5 5

Amplitudfunktionen kan sen beräknas som A(ω H(e iωh 2 e iωh 0.5 2 cosωh+isinωh 0.5 2 (cosωh 0.52 +(sinωh 2 Fasfunktionen blir 2 cos2 ωh 2 0.5 cosωh+0.5 2 +sin 2 ωh 2.25 cosωh φ(ω argh(e iωh arg 2 e iωh arg(cosωh 0.5+isinωh f(ω 0.5 där funktionen f defineras som sin ωh arctan cosωh 0.5 om ωh < π/3 f(ω π/2 om ωh π/3 sinωh π arctan cosωh 0.5 om ωh > π/3. och där 0 < ωh < π (för att slippa vikning. 3.22. Den tidsdiskreta frekvensfunktionen ges av H(e iωh (e iωh 2 e iωh +0.25 (e iωh 0.5 2 Genom att utnyttja att z 2 zz och att e iα e iα kan amplitudfunktionen bekvämt beräknas enligt A(ω H(e iωh (e iωh 0.5 2 e iωh 0.5 2 (e iωh 0.5(e iωh 0.5.25 cosωh Fasfunktionen blir inte mycket mindre bekväm att beräkna: φ(ω argh(e iωh arg (e iωh 2arg(cosωh 0.5+isinωh 2f(ω 0.5 2 med f(ω som i föregående uppgift och där 0 < ωh < π. 3.23. Överföringsfunktionen är H(z 0.6z.2z +0.4z 2 0.6 Statiska förstärkningen blir alltså H(.2+0.4 3. Ett mer intuitivt sätt att få fram statiska förstärkningen är att direkt utgå från att sekvensen är stationär, dvs att u(k u 0 och y(k y(k y(k 2 y 0. Då erhålles y 0.2y 0 0.4y 0 +0.6u 0 varav statiska förstärkningen y 0 /u 0 3. 3.24. a. H( 0.7 +0.6 0.2 0.5 b. H( 0.8+0.4 +0.8 0.2 2 6

3.25. a. Pol i z 0.3 stabilt ty 0.3 <. b. Schur-Cohn-Jury ger tabellen.5 0.6 0.6.5 0.64 0.6 0.6 0.64 0.0496 Eftersom > 0, 0.64 > 0 och 0.0496 > 0 så är systemet stabilt. c. Schur-Cohn-Jury ger tabellen 2 2 2 2 3 2 2 3 5 Negativt tal i vänsterkolumnselementen instabilt. Det går också direkt att se att polerna ±i vilka båda har absolutbeloppet 2 >. d. Schur-Cohn-Jury ger tabellen 2 2 3 3 8 2 2 8 60 Eftersom det finns ett negativt tal bland vänsterkolumnen ( 3 8 60 T (bara förstakoefficienterna i de icke-speglade raderna så är systemet instabilt eftersom minst en rot då måste befinna sig utanför enhetscirkeln. I detta fall är detta också möjligt att se eftersom produkten p p 2 p 3 av de tre polerna är 2 (sistakoefficienten så då måste minst en av polerna ha ett absolutbelopp >. 3.26. Överföringsfunktionen för systemet är H(z 0.3z 0.3 0.8z z 0.8 Återkopplat med u(k K(r(k y(k blir karaktersistiska ekvationen z 0.8+0.3K 0 så att polen finns i z 0.8 0.3K. För stabilitet krävs att polen befinner sig innanför enhetscirkeln dvs z < vilket i detta fall innebär att < 0.8 0.3K < eller 0.2 < 0.3K <.8 dvs 2/3 < K < 6. 7

3.27. Tidskontinuerliga systemets överföringsfunktion är Med ZOH-diskretisering erhålles G(s 2 s+ H(z 2 e h z e h Med återkopplingen u(k K(r(k y(k ges den karakteristiska ekvationen av z e h +2K( e h 0 Polens läge är då z e h 2K( e h. För att denna ska finnas i z < måste < e h 2K( e h < eftersom det bara är en ensam (och därmed reel pol. Detta villkor låter sig översättas till att < 2K < +e h e h 0.5 < K < 0.5 +e h e h med h 0.2 s insatt kan den övre gränsen räknas ut så att 0.5 < K < 5.07. 3.28. Denna gång är det förstärkningen som är bestämd (K 2 medan h är obestämd. Med utnyttjande av mellanresultatet < e h 2K( e h < från förra uppgiften så blir olikheten med K 2 insatt < 5e h 4 < 0.6 < e h < 0 < h < ln0.6 0.508 3.29. Karakteristiska ekvationen blir + 0.6 z 0.3 K0.4z+0.2 0 z vilketledertillpolynomekvationen(z 0.3(z +0.6K(0.4z+0.2 0ellerz 2 + (0.24K.3z+0.3+0.2K 0. Om man vill kan man använda Schur-Cohn- Jury eller Tustin -Routh för att avgöra stabiliteten. Eftersom polynomet är av andra ordningen med parameterberoende i koefficienterna känns det bekvämare att använda stabilitetstriangeln för polynomet z 2 +a z +a 2 0: a 2 < a 2 > a a 2 > a Med a 0.24K.3 och a 2 0.2K+0.3 insatta i olikheterna ovan erhålles: 0.2K +0.3 < 0.2K +0.3 > 0.24K.3 0.2K +0.3 > 0.24K +.3 8

Dessa olikheter kan i sin tur skrivas om enligt: 0.2K < 0.7 2.6 > 0.2K 0.36K > 0 Eftersom den första av dessa olikheter är strängare än den andra erhålles villkoret för stabilitet: 0 < K < 0.7/0.2 5.83 3.30. Det gäller att G(s 3 s+2 ZOH(h H(z 3 e 2h 2 z e 2h Med proportionell återkoppling med förstärkningen K blir karakteristiska ekvationen z e 2h + 3K 2 ( e 2h 0 vilket göratt polen blir p e 2h 3K 2 ( e 2h. Förstabilitet krävsatt p <. Eftersom detta handlar om en reel pol kan detta skrivas som < p < eller med uttrycket för p insatt: < e 2h 3K 2 ( e 2h < ( a. Med K 2 kan olikheten ( skrivas om som < e 2h 3( e 2h < 2 < e 2h < Endast den vänstra olikheten är intressant (gissa varför. Slutresultatet blir att h < ln2 2 0.367 b. Då K är obestämt kan olikheten ( skrivas e 2h e 2h < 3K 2 < +e 2h e 2h 2 3 < K < 2 +e 2h h0.693 3 e 2h. c. I den högra olikheten till vänster om ekvivalenspilen ovan 3K 2 < +e 2h e 2h ärhögerledetalltid> 0ochgårmotdåh. DettainnebärattomK 2/3 kan olikheten inte uppfyllas för något h > 0. Lite mer noggrant kan man skriva om olikheten som h < 3K/2+ ln 2 3K/2 vars högerled endast är definierat då K > 2/3 dvs bara då finns det någon övre gräns för samplingsintervallet h. 9

Vikningseffekten (aliaseffekten 3.3. Med f s 48 khz viks början av ljudpulsen med sina 70 khz ner till spökfrekvensen 70 48 22 khz vilken knappast kan höras av någon mänsklig varelse. Observera att denna ligger strak under nyquistfrekvensen f s /2 24 khz. Slutet av ljudpulsen viks däremot ner till 30 48 8 khz vilken skulle kunna uppfattas av yngre personer med bra hörsel. En intressant observation är att vid svepet från 70 khz ner till 30 khz kommer f s 48 khz passeras. Den frekvensnervikta signalen kommer därför att svepa från 22 khz ner till 0 Hz och därefter upp till 8 khz. I mitten av svepet kommer alltså ganska låga frekvenser att framträda i den samplade signalen även om pulsen är så kortvarig som /20 s (50 ms. 3.32. Med f s /0.025 40 Hz kommer nätbrummet att vikas ner till frekvensen 50 40 0 Hz vilken kommer att synas i en logg av den samplade signalen. Diskretiseringsmetoder 3.33. Med G(s s+ blir de olika diskretiseringarna ( z h Euler-framåt: H(z G h z z +h + h ( z Euler-bakåt: H(z G zh Tustin: H(z G ( 2(z h(z + z zh + 2(z h(z + + zh (+hz h(z + (2+hz 2+h Impulssvarsinv.: H(z Z ( L (G(s tkh Z ( L ( Z ( e t ( tkh Z e kh e h z z z e h Stegsvarsinv.: H(z z ( ( G(s Z L z s tkh z ( ( Z L z s s+ tkh z Z ( ( e kh z z z ( z z z Z z s+ tkh z Z ( ( e t θ(t z tkh z z e h ( (L s(s+ tkh z e h z e h z e h 0

Rampsvarsinv.: H(z ( (z 2 Z (L zh (z 2 Z zh ( ( (z 2 G(s Z L zh s 2 s (s+ tkh 2 ( ( L s 2 s + s+ tkh (z 2 Z ( kh +e kh (z 2 zh zh z h + (z 2 h(z e h tkh (z 2 Z ( (t +e t θ(t zh tkh ( zh (z 2 z z + z z ( h z e h z h ( e h z e h ( h ( e h z e h + h ( e h z e h z z e h 3.34. Med Euler-framåt som approximation blir den tidsdiskreta överföringsfunktionen H(z h z +h Polen är z h så för h 2 s blir systemet instabilt eftersom polen då råkar vara. Polplacering 3.35. Sambanden Y(z B(z A(z U(z U(z F(z D(z R(z C(z C(z Y(z blir efter substitution av U(z i den övre ekvationen Y(z B(z A(z vilket kan skrivas om som ( F(z D(z R(z C(z C(z Y(z (A(zC(z+B(zD(zY(z B(zF(zR(z Y(z B(zF(z A(zC(z+B(zD(z R(z 3.36. Eftersom A(zC(z + B(zD(z P(z kan slutna systemet beskrivas med Y(z B(zF(z P(z R(z K rb(z P(z R(z : H closed (zr(z Statiska förstärkningen för slutna systemet fås genom insättning av z i H closed (z: H closed ( K rb( P( K r P( B(

3.37. Z-transformering ger först Y(z 0.6z U(z 0.7z vilket möjliggör identifiering av A(z 0.7z och B(z 0.6z. Detta ger n A och n B vilket (enligt gradtalsregeln ger n C n B 0 och n D n A 0. Därför blir regulatorns polynom så enkla som C(z och D(z d 0 (motsvarande P-reglering. Polynomekvationen blir ( 0.7z +d 0 0.6z P(z 0.5z vilket tämligen omgående resulterar i att d 0 ( 0.5+0.7/0.6 /3 0.333. Börvärdesförstärkningen beräknas sen som K r P( B( 0.5 0.6 5/6 0.833. 3.38. Eftersom A(z 0.7z och B(z 0.65z +0.35z 2 så är n A och n B 2. Utan integrationiregulatornväljs n C n B ochn D n A 0såattregulatorpolynomenblirpå formenc(z +c z ochd(z d 0. Alla poler i 0.5 ger att P(z ( 0.5z 2 (ty n P n A + n B 2. Polynomekvationen A(zC(z+B(zD(z P(z ser då ut så här: ( 0.7z (+c z +(0.65z +0.35z 2 d 0 z +0.25z 2 Koeffecientekvationssystemet blir (förutom den triviala ekvationen : 0.7+c +0.65d 0 0.7c +0.35d 0 0.25 med lösning d 0 0.04/0.805 0.0497 och c 0.3 0.65d 0 0.332. Börvärdesförstärkningen blir (om statiska förstärkningen för slutna systemet ska vara K r P(/B( ( 0.5 2 /(0.65 + 0.35 0.25. Regulatorn kan skrivas på formen C(zU(z K r R(z D(zY(z vilket i detta fall blir ( 0.332z U(z 0.25R(z 0.0497Y(z Vitsen med detta är att det sen är lätt att skriva upp regulatorn på en form som är lämplig för kodning i ett program: u(k 0.332u(k +0.25r(k 0.0497y(k Motsvarande C-kod blir ju då u 0.332*u + 0.25*r - 0.0497*y; eller på någotmergeneraliserbarformu u; u 0.332*u + 0.25*r - 0.0497*y; (sparande av gamla styrsignaler och ärvärden blir viktigt för regulatorer av högre ordning. 3.39. Med A(z 0.7z och B(z 0.6z blir n A och n B. Integration i regulatorn ger villkoret n C n B och n D n A dvs C(z z och D(z d 0 + d z. Då n P n A + n B 2 innebär alla poler i z 0.5 att P(z ( 0.5z 2. Därför blir polynomekvationen AC +BD P i detta fall följande: ( 0.7z ( z +0.6z (d 0 +d z z +0.25z 2 2

Ekvationssystemet för polynomkoefficienterna blir denna gång.7+0.6d 0 0.7+0.6d 0.25 vilket direkt ger d 0 0.7/0.6.67 och d 0.45/0.6 0.75. Börvärdesförstärkningenblir K r P(/B( ( 0.5 2 /0.6 0.47(eller ännuenklare K r D( d 0 +d 0.47pgaattregulatornärintegrerande(funderasjälvut varför detta gäller. Regulatorn skrivs återigen på den implementeringsvänliga formen C(zU(z K r R(z D(zY(z: ( z U(z 0.47R(z (.67 0.75z Y(z vilket kvickt och lätt översätts till u(k u(k +0.47r(k.67y(k+0.75y(k 3.40. Med A(z.3z +0.4z 2 och B(z 0.4z +0.4z 2 blir n C n B och n D n A varav ansatsen C(z + c z och D(z d 0 + d z. Med alla poler i z 0.2 och n P n A + n B 3 blir P(z ( 0.2z 3 vilket leder till att polynomekvationen A(zC(z + B(zD(z P(z i det aktuella fallet kan skrivas (.3z +0.4z 2 (+c z +(0.4z +0.4z 2 (d 0 +d z 0.6z +0.2z 2 0.008z 3 Ekvationssystemet för koefficienterna blir.3+c +0.4d 0 0.6 0.4.3c +0.4d 0 +0.4d 0.2 0.4c +0.4d 0.008 Det kan vara illustrativt att sätta upp detta ekvationssystem på matrisform. För att tydligare se strukturen i ekvationssystemet medtages även den trivialt uppfyllda koefficentekvationen : 0 0 0.3 0.4 0 c 0.4.3 0.4 0.4d 0 0 0.4 0 0.4 d 0.6 0.2 0.008 Det finns naturligtvis flera vägar att lösa detta ekvationssystem men en väg är denna följd av radoperationer: 0 0 0 0 0 0.3 0.4 0 0.6 0 0.4 0 0.7 0.4.3 0.4 0.4 0.2 0.3 0.4 0.4 0.28 0 0.4 0 0.4 0.008 0 0.4 0 0.4 0.008 0 0 0 0 0.4 0 0.7 0.7 0.4 0 0.272 0 0.4 0 0.4 0.008 0 0 0 0 0.4 0 0.7 0 2.7 0 0 0.972 0 0.4 0 0.4 0.008 3

0 0 0 0 0.4 0 0.7 0 0 0 0.36 0 0.4 0 0.4 0.008 0 0 0 0 0.4 0 0.7 0 0 0 0.36 0 0 0 0.38 0 0 0 0 0 0.4 0 0.34 0 0 0 0.36 0 0 0 0.38 0 0 0 0 0.4 0 0.7 0 0 0 0.36 0 0 0.02 0 0 0 0 0 0 0.85 0 0 0 0.36 0 0 0 0.38 vilket tolkas som c 0.36, d 0 0.85 och d 0.38. Börvärdesförstärkningen blir K r P(/B( ( 0.2 3 /(0.4+0.4 0.64. Regulatorn kan skrivas u(k 0.36u(k +0.64r(k 0.85y(k+0.38y(k I C-programkod skulle regulatorn kunna kodas y y; y adin(0; u u; u -0.36*u + 0.64*r - 0.85*y + 0.38*y; adout(0,u; Observera att gamla värden på signalerna måste sparas undan innan signalerna uppdateras. Möjligen hade man klarat sig utan variabeln u men detta fungerar inte längre för högre ordningens regulatorer. 3.4. Samma process som i föregående uppgift dvs A(z.3z +0.4z 2 och B(z 0.4z +0.4z 2 skall regleras, denna gång dock med integralverkani regulatorn. Med gradtalsvillkoren n C n B 2 och n D n A 2 tillsammans med kravet på att C(z skall innehålla faktorn z (integralverkan blir ansatsen C(z ( z (+c z, D(z d 0 +d z +d 2 z 2. Eftersom i detta fall n P n A + n B 4 betyder alla poler i z 0.2 att P(z ( 0.2z 4. Polynomekvationen AC +BD P blir därför denna gång (.3z +0.4z 2 ( z (+c z +(0.4z +0.4z 2 (d 0 +d z +d 2 z 2 vilket kan utvecklas till 4 0.2z +6 0.2 2 z 2 4 0.2 3 z 3 +0.2 4 z 4 ( 2.3z +.7z 2 0.4z 3 (+c z +(0.4z +0.4z 2 (d 0 +d z +d 2 z 2 0.8z +0.24z 2 0.032z 3 +0.006z 4 Ekvationssystemet kan direkt skrivas på matrisform som 0 0 0 0 2.3 0.4 0 0 c.7 2.3 0.4 0.4 0 d 0 0.4.7 0 0.4 0.4d 0 0.4 0 0 0.4 d 2 0.8 0.24 0.032 0.006 Denna gång utelämnas detaljer i form av mellanled i ekvationslösningen och lösningen blir c 0.66, d 0 2.2, d 2.38och d 2 0.62. Regulatorpolynomen blir alltså C(z ( z (+0.66z 0.384z 0.66z 2 och 4

D(z 2.2 2.38z +0.62z 2. BörvärdetskoefficientblirK r P(/B( ( 0.2 4 /(0.4+0.4 0.52. Styrlagen blir u(k 0.384u(k +0.66u(k 2+0.52r(k 2.2y(k+2.38y(k 0.62y(k 2 Denna gång blir C-koden för regulatorn y2 y y y; y adin(0; u2 u; u u; u 0.384*u - 0.66*u2 + 0.52*r - 2.2*y + 2.38*y - 0.62*y2; adout(0,u; 3.42. Systemet G(s 3e 2s +5s diskretiseras med olika samplingsintervall h. a. Om h 2 s blir det diskretiserade systemets överföringsfunktion H(z z 3( e h/5 z e h/5 3( e 0.4 z 2 e 0.4 z vilket ger A(z e 0.4 z +a z och B(z 3( e 0.4 z 2 b 2 z 2. Regulatorpolynomen blir C(z +c z (n C n B och D(z d 0 (n D n A 0. Gradtalsvillkoret n P n A +n B +2 2 blir denna gång lite lurigt att tolka pga att alla polerna placeras i z 0 (deadbeat. Det kan tyckas konstigt att sätta P(z men detta ska tolkas som P(z ( 0 z 2. polynomekvationen A(zC(z+B(zD(z P(z blir alltså (+a z (+c z +b 2 z 2 d 0 och översatt till ekvationssystem på matrisform blir detta 0 0 a 0 c 0 0 a b 2 d 0 0 vilket har lösningen c a e 0.4 0.6703och d 0 a 2 /b 2 e 0.8 /(3( e 0.4 0.4543. Börvärdesförstärkningen blir K r P(/B( /b 2.0. Regulatorn kan skrivas u(k c u(k +K r r(k d 0 y(k 0.6703u(k +.0r(k 0.4543y(k b. Samplingsintervallet h s innebär två samplingar på tidsfördröjningen (2 s. Den här gången blir därför överföringsfunktionen för det diskretiserade systemet H(z z 23( e h/5 z e h/5 5 3( e 0.2 z 2 e 0.2 z

dvs A(z e 0.2 z +a z och B(z 3( e 0.2 z 3 b 3 z 3. Då n C n B 2 och n D n A 0 blir C(z + c z + c 2 z 2 och D(z d 0. Med deadbeat (polerna i z 0 blir polynomekvationen eller i utvecklad form (+a z (+c z +c 2 z 2 +b 3 z 3 d 0 +(a +c z +(a c +c 2 z 2 +(a c 2 +b 3 d 0 z 3 Matrisvarianten av ekvationerna blir 0 0 0 a 0 0 c 0 a 0c 2 0 0 0 0 a b 3 d 0 0 Ekvationssystemet har lösningen c a e 0.2 0.887, c 2 a 2 e 0.4 0.6703 och d 0 a 3 /b 3.009. K r blir P(/B( /b 3.839 så att styrlagen blir u(k 0.887u(k 0.6703u(k 2+.839r(k+.009y(k. 3.43. Systemet ZOH-diskretiseras till G(s 20 s(s+4 5 s 5 s+4 H(z 5h 5 z 4 ( e 4h b z +b 2 z e 4h z 2 b z +b 2 z 2 +a z +a 2 +a z +a 2 z 2 där b 5(h 4 e 4h, b 2 5( he 4h + 4 ( e 4h, a (+e 4h och a 2 e 4h. Med h 0.05 s erhålles b 0.0234, b 2 0.0290, a.887 och a 2 0.887. Villkoren på ordningstalen är n C n B och n D n A vilket lyckligtvis överensstämmer med förslaget i uppgiften. Ordningen på P(z blir n P n A +n B 3. Sätt därför P(z +p z +p 2 z 2 +p 3 z 3 så att polynomekvationen kan skrivas (+a z +a 2 z 2 (+c z +(b z +b 2 z 2 +p z +p 2 z 2 +p 3 z 3 Matrisversionen av koefficientekvationssystemet blir 0 0 0 a b 0 c a 2 a b 2 b d 0 p p 2 0 a 2 0 b 2 d p 3 De två fallen löses separat (detaljer utelämnade. a. P(z ( 0 z 3 vilket ger p p 2 p 3 0. Lösningen blir c 0.6944, d 0 48.02 och d 25.95. K r blir P(/B( /(b +b 2 22.07. b. P(z ( 0.5z 3 vilket ger p.5, p 2 0.75 och p 3 0.25. Lösningen blir c 0.06428, d 0 0.87 och d 8.09. K r blir P(/B( ( 0.5 3 /(b +b 2 2.758. Den tydligaste skillnaden på de båda regulatorerna är att deadbeat-regulatorn (a innehåller betydligt högre förstärkningar än regulatorn i (b. 6

Minsta-kvadrat-metoden 3.44. a. Parametervektorn utgörs av ( a θ b Observera att parametriseringen skiljer sig lite från definitionen av Φ i det förberedande avsnittet. Från tabellen kan Y och Φ hämtas: y( 0.5 y(0 u(0 0 y(2 Y.. 0.2.0 y( u( och Φ.. 0.42.. 0.5 0 0.2 2. 0 y(5 0.6 y(4 u(4 0.42 0 Först beräknas matrisen Φ T Φ: Φ T Φ ( 5 k (y(k 5 2 ky(k u(k 5 k y(k u(k 5 k (u(k 2 Därefter beräknas Φ T Y: Φ T Y ( 5 ky(k y(k 5 k u(k y(k ( 0.8492 2.7 Till sist beräknas lösningen (skattningen ˆθ enligt ( (.6764 0.4 0.8492 ˆθ (Φ T Φ Φ T Y 0.4 5. 2.7 ( 0.3850 0.5092 (.6764 0.4 0.4 5.0 (â Detta tolkas som att MK-skattningarna av parametrarna a och b är â 0.3850 respektive ˆb 0.5092. b. Denna gång antas a vara känd (a a 0 0.4 vilket innebär att parametervektorn av okända parametrar nu reducerats till θ b. Konsekvensen av detta är att definitionen av Y och Φ måste ändras (a 0 0.4: y( a 0 y(0 0.5 y(2 a 0 y( Y. 0.02 0.02 y(5 a 0 y(4 0.008 Nu blir skattningen av den enda okända parametern b ˆb ˆθ (Φ T Φ Φ T Y 0.508 u(0 u( och Φ. 0 2 0 u(4 0 ˆb c. Det minimala värdet på förlustfunktionen i deluppgift (a blir 5 V(ˆθ (y(k ây(k ˆbu(k 2 (Y Φˆθ T (Y Φˆθ 0.000772 k 7

RMS-värdet på skattningens fel blir alltså 0.000772 0.033. 3.45. a. Först beräknas P( utgående från att P(0 I (där Ienhetsmatrisen och att ϕ(0 (y(0 u(0 T (0 T : ( 0 0 (0 ( P( P(0 P(0ϕ(0ϕT (0P(0 0 +ϕ T (0P(0ϕ(0 0 ( ( 0 ( 0 0 0 + ( 0 ( 0 0 0 0.5 0 ( Därefter kan felet ( a priori beräknas ε( y( ϕ T (ˆθ(0 0.5 ( 0 ( 0 0 0.5 Nu kan nästa parameterskattning beräknas: ( ( ˆθ( ˆθ(0+P(ϕ(ε( 0 0 0 + 0.5 0 0 0.5( ( 0 0.25 På samma sätt erhålles i tur och ordning i nästa iteration: ( ( 0 0.5 (0.5 ( 0 ( 0 P(2 P( P(ϕ(ϕT (P( 0 +ϕ T (P(ϕ( 0 0.5 0 0 0.5 0 0.5 + ( 0.5 0 ( ( 0 0.5 0 0.5 0 ε(2 y(2 ϕ T (2ˆθ( 0.2 ( 0.5 0 ( 0 0.2 0.25 ( ( ( ( ˆθ(2 ˆθ(+P(2ϕ(2ε(2 0 0.8 0 0.5 0.08 + 0.2 0.25 0 0.5 0 0.25 b. Med P(0 0I blir resultatet istället ( ( 0 0 0 P(, ε( 0.5, ˆθ( 0 0/ 5/ ( 0 0.455 ( 0.8 0 0 0.5 och P(2 ( ( 20/7 0 2/7, ε(2 0.2, ˆθ(2 0 0/ 5/ ( 0.286 0.455 I Fig. visas samtliga iterationer både för (a och (b. 8

2.0.8.6.4.2.0 0.8 0.6 0.4 0.2 In och utsignal 0.0 0.0 0.5.0.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 0.6 Parametrarna a och b (2 olika fall 0.5 0.4 0.3 b 0.2 0. a 0.0 0.0 0.5.0.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 4.5 5.0 Figur : Konvergens hos parametrar för två olika initialvärden på P. 9