MATEMATIK Hjälpmedel: inga Chalmers tekniska högskola Datum: Våren 6 Övningstentamen Telefonvakt: Thomas Bäckdahl ankn 8 MVE Linjär algebra I Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper Fyll i omslaget ordentligt För godkänt på tentan krävs poäng på tentamens första del (godkäntdelen) Bonuspoäng från Maple T A räknas in i poängen på denna del, men högsta möjliga poäng är trots det alltid För betyg 4 resp krävs dessutom resp 4 poäng sammanlagt på tentamens två delar Lösningar läggs ut på kursens hemsida Resultat meddelas via Ladok ca tre veckor efter tentamenstillfället Del : Godkäntdelen Denna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas Detta blad (4p) inlämnas tillsammans med övriga lösningar (a) Förklara vad som menas med en minstakvadratlösning till en ekvation Ax = b (p) Svar: Definitionsmässigt är ˆx mistakvadratlösning till Ax = b om Aˆx b Ax b för alla vektorer x Dvs den vektor som minimerar felet Ax b (b) Anpassa med minsta kvadrat metoden y = a + bt till följande mätdata Lösning: Designmatrisen blir A = och parametervektorn x = t y t (4p) t =, mätdata y = t t 4 Minstakvadratlösningen ˆx löser normalekvationerna A T Aˆx = A T y A T A = A T y = (A T A) = [ a b [ [ [ 6 4 = [ 4 6 = [ 4,, ˆx = (A T A) A T y =, [ 7/ 7/ Svar: a = 7/ och b = 7/, alltså y = 7 + 7 t minimerar minstakvadratfelet (c) Hur stort blev minstakvadratfelet? Lösning: Felvektorn är Aˆx y = Aˆx y = ( ) + + + Svar: Minstakvadratfelet är = 7 (Kvadratiska medelfelet är = 4 = ) (p)
Låt v =, v =, v = och u = 4 (a) Bestäm en ortogonal bas för W = Span{v, v, v } (p) Lösning:Vi använder Gram-Schmidts ortogonaliseringsprocess Låt u = v, u = v v u u = u u =, u = v v u u u u v u u u u = = Då är {u, u, u } en ortogonal bas för W (b) Bestäm ortogonalprojektionen av u på W Lösning: Ortogonalprojektionen av u på W är (p) Proj W u = u u u + u u u + u u u u u u u u u = 4 + 6 + = (c) Bestäm minsta avståndet mellan u och W Svar: u Proj W u = = ( ) + = (p) 4 Bestäm med hjälp av diagonalisering A k för alla heltal k > då A = [ 4 Lösning: Karakteristiska ekvationen är det(a λi) = λ 4 λ = ( λ) 4 = (p) ( λ)( λ) Så vi har egenvärden λ = och λ =, båda med multiplicitet Egenvektorer till λ : [ [ [ / x 4 = x / Egenvektor v = Egenvektorer till λ : [ [ [ / x 4 = x / Egenvektor v = [ [ Detta ger A = P DP med P = och D = det(p ) = + = 4 ger P = [ A 4 k = P DP P DP P DP = P DD DP = P D k P = [ [ [ ( ) k k = [ ( ) k + k ( ) k k 4 4 4( ) k 4 k ( ) k + k VÄND!
Del : Överbetygsdelen I allmänhet kan inte poäng på dessa uppgifter räknas in för att nå godkäntgränsen Avgör om följande påståenden är sanna eller falska, samt motivera ditt svar (Rätt svar utan motivering ger inga poäng) (a) Om A är en matris så är det(a) = det(a) Svar: Falskt Med A = I blir det(a) =, men det(a) = = 7 (b) Om A är en diagonaliserbar n n matris så är det(a) produkten av dess egenvärden räknad med multiplicitet Svar: Sant A = P DP ger det(a) = det(p ) det(d) det(p ) = det(p ) det(d) det(p ) = det(d) som är produkten av diagonalelementen i D, dvs produkten av egenvärdena (c) Om a och b är vektorer i R n så är ( b (a Proj b a) = Svar: Sant b (a Proj b a) = b a a b ) b b b = b a a b b b b b = b a a b = (p) (p) (p) (d) Om A är en m n matris med m < n så har Ax = oändligt många lösningar (p) Svar: Sant Matrisen kan maximalt ha ett pivot element per rad, vilket innebär maximalt m pivot kolonner Alltså finns minst n m > fria variabler Fria variabler ger oändligt många lösningar 6 Antag att A är n n matris Bevisa att det(a) om och endast om A är inverterbar Du behöver inte visa att det(ea) = det(e) det(a) för elementära matriser E Lösning: Radreducera A B utan omskalning, med B på trappstegsform Detta kan skrivas A = E E p B, med E k elementära matriser det(e k ) = för matriser som motsarar addition av multipel av rad som ligger ovanför på grund av att sådana matriser är triangulära med ettor på diagonalen det(e k ) = för matriser som motsarar radbyten det(a) = det(e E p B) = det(e ) det(e p ) det(b) = ± det(b), där tecknet beror på hur många radbyten som gjordes Alltså får vi att det(a) = omm det(b) = A är inverterbar omm B har pivot positioner på varje rad och kolonn, dvs pivot positioner (nollskillda element) längs hela diagonalen Då B är triangulär är det(b) produkten av diagonal elementen, men A är inverterbar omm alla dessa element är nollskillda, dvs produkten är nollskilld Således får vi att A inverterbar omm det(b) omm det(a) (6p) 7 (a) Förklara, med hjälp av ett variabelbyte, hur diagonalisering av en matris leder till den allmänna lösningen av ett system av linjära differentialekvationer Lösning: Om x (t) = Ax(t) och A är diagonaliserbar, så A = P DP Då kan vi introducera nya variabler y(t) = P x(t) Derivering ger y (t) = P x (t) = P Ax(t) = P P DP x(t) = Dy(t) Om D är diagonal med λ,, λ n, blir systemet y (t) = Dy(t) särkopplat med allmän lösning y k (t) = C k e λkt Byt tillbaka till x(t) ger x(t) = P y(t) (b) Lös följande system av differentialekvationer { x (t) = x (t) x (t) x (t) = x (t) + x (t) med begynnelsevillkoren x () =, x () = Använd vid behov komplexa tal för beräkningarna, men skriv resultatet på reell form (p) (p)
[ [ x (t) Lösning: Med x(t) = och A = blir systemet x x (t) (t) = Ax(t) Diagonalisera A Karakteristiska polynomet är det(a λi) = λ λ = ( λ) +4 = (+i λ)( i λ), så egenvärdena blir λ = +i och λ = i = λ Egenvektorer till λ : [ [ [ [ i i i i Egenvektor v i i = På grund av att A är reell [ får vi att v = [ v är egenvektor till λ = λ Detta ger i i + i A = P DP med P = och D = i Låt y(t) = [ y (t) y (t) De allmänna lösningarna är Begynnelsevillkoren P y() = x() = Dvs y() = = P x(t) Då får vi y (t) = Dy(t), dvs { y (t) = C e (+i)t y (t) = C e ( i)t [ ger { y (t) = ( + i)y (t) y (t) = ( i)y (t) [ [ [ [ i i [ så C = och C = Det ursprungliga systemets lösning blir [ [ [ [ x (t) i i e (+i)t = P y(t) = x (t) e ( i)t = e t ie it ie it e it + e it = e t [ i(cos(t) + i sin(t)) i(cos(t) i sin(t)) cos(t) + i sin(t) + cos(t) i sin(t) = e t [ sin(t) cos(t) Hoppas det gick bra! Thomas Bäckdahl
Anonym kod sidnummer Poäng MVE Linjär algebra I Våren 6 Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats (endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas) x + y z = (a) Finn alla lösningar till ekvationssystemet x y + z = (p) x y z = Lösning: Svar: x = t, y =, z = t där t är en parameter (b) Låt F : R R vara en linjär avbildning i planet som motsvarar spegling i y = x Bestäm standardmatrisen för avbildningen F Lösning: ([ ) Spegelbilden [ av([ e blir) e och [ vice versa F = och F = [ Svar: F (x) = Ax med A = (c) Matriserna A = och B = [ är givna Lös matrisekvationen XB A = X Lösning: XB A = X XB X = A X(B I) = A X = A(B I) om (B I) existerar B I = [ Svar: X =, det(b I) =, (B I) = [ X = A(B I) = (d) Beräkna determinanten 4 [ = Lösning: Utveckla efter tredje kolonnen, och sedan efter första raden = [ (p) (p) (p) 4 = = ( + ) = ( 4 + 4 6) = 9 Svar: 9
(e) Bestäm för vilka värden på konstanten a som vektorn u = av vektorerna v =, v = a, v = är en linjärkombination 4 8 Lösning: Vektorekvationen x v + x v + x v = u kan skrivas 4 + 8 a a a (p) Så ekvationen har lösning omm a = Svar: u är en linjärkombination av v, v och v omm a =