7. NÅGRA SPECIELLA DISKRETA SANNOLIKHETSFÖRDELNINGAR Några sannolikhetsfördelningar förekommer ofta i tillämpade problem. Eftersomdeförekommeroftahardefåttspeciellanamn. Idettakapitelskallvi studera två vanliga fördelningar, likformiga fördelningen och binomialfördelningen. Vi skall också något studera deras egenskaper. 7.1 Likformiga fördelningen En diskret stokastisk variabel sägs vara likformigt fördelad om variabeln antar varje värde den kan anta med samma sannolikhet. Figur 7.1 visar frekvensfunktionen för en likformigt fördelad stokastisk variabel som kan anta fem olika värden. Övning 7.1 Tänk efter vilka likformigt fördelade stokastiska variabler du redan träffat på i det här kompendiet. Försök tänka ut några andra likformigt fördelade stokastiska variabler. 7.2 Binomialfördelningen Betrakta ett slumpmässigt försök med endast två utfall A och B. Ett sådant försök kallas Bernoulliförsök. Det slumpmässiga försöket att kasta ett mynt en gång och observera utfallet(krona eller klave) är alltså ett Bernoulliförsök. HärgällerattP(krona)=P(klave)=1/2ommyntetärsymmetriskt. Att kastaentärningochseomdetblirenseaellerinteärocksåettbernoulliförsök. De två utfallen är sea och inte sea och sannolikheterna för envanligtärningärp(sea)=1/6respektivep(intesea)=5/6. BetraktanuettBernoulliförsökmedP(A)=p,därpärettvisstgivettal. Antag att vi gör n oberoende upprepningar av detta Bernoulliförsök, där 1
20% 15% 10% 5% 0% 2,00 4,00 6,00 8,00 Figure 7.1: Eempel på frekvensfunktionen för en diskret likformig fördelning 2
n är ett visst givet heltal. Låt den stokastiska variabeln X vara det antal gånger som händelsen A inträffar. X säges då vara binomialfördelad med parametrarnanochp. DevärdenX kanantaärtydligen0,1,2,...,n. Eempel 7.1 Låt oss igen betrakta eemplet med tärningen. I varje försök har vi sannolikheten 1/6 för att händelsen sea skall inträffa. Om vi gör två försök (n=2)kanvitydligenfå sea 0,1eller2gånger. Låt A beteckna att vi får sea i ett försök och definiera den stokastiska variabeln X som antalet seor. Låter vi ( A,A ) beteckna händelsen inte sea iförstakastetoch intesea iandrakastetfårvi P(ingensea)=f(0)=P ( A,A ) =P ( A ) P ( A ) = 5 6 5 6 =25 36 ty,omdetvåförsökenäroberoendeär Vidare får vi på motsvarande sätt P ( A,A ) =P ( A ) P ( A ). P(ensea) = f(1)=p (( A,A ) ( A,A )) =P ( A,A ) +P ( A,A ) = 1 6 5 6 +5 6 1 6 = 10 36. Vikanskrivapådettasättty ( A,A ) och ( A,A ) kaninteinträffasamtidigt - man kan inte få sea i första kastet och inte sea i det andra kastet samtidigtsomvifår intesea iförstaoch sea iandrakastet. P(2seor)=f(2)=P(A,A)=P(A) P(A)= 1 6 1 6 = 1 36. Vi sammanfattar i följande tabell Händelse 2 A, A 0 25/36 0 0 A, A 1 10/36 10/36 10/36 A,A 1 A, A 2 1/36 2/36 4/36 Summa 1 12/36 14/36 3
Uttabellenserviocksåatt och E(X)= 1 3 V (X)= 14 36 ( ) 2 12 = 5 36 18. Detremöjligautfallenhosdenstokastiskavariabeln,0,1och2seor,representerar tillsammans en säker händelse som inträffar med sannolikheten 1, f(0)+f(1)+f(2)= 25 36 +10 36 + 1 36 =1. Låt nu allmänt X vara antal gänger en händelse A inträffar. Med beteckningarna P(A) = p och P ( A ) = q(=1 p) får vi med två oberoende upprepningar av försöket f(0)=q q=q 2 f(1)=pq+qp=2pq f(2)=p p=p 2 Om vi gör tre oberoende upprepningar av försöket kan A inträffa 0, 1, 2 eller3gånger. UtfallsrummetförX blirdärförω X ={0,1,2,3}ochsannolikheterna blir f(0)=q q q=q 3 f(1)=pqq+qpq+qqp=3pq 2 f(2)=ppq+pqp+qpp=3p 2 q f(3)=p p p=p 3. Dessa termer kan vi helt allmänt få genom utveckling av ( ) n = p q n n! =!(n )! p q n där! = 1 2 3... n! = 1 2 3... n 0! = 1 4
0,60 0,40 0,20 0,00 0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 0,40 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,20 0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 Figur 7.2 Frekvensfunktionen för binomialfördelningen då p=1/6 och n = 2, 5 respektive 20. 5
0,00 0,50 1,00 1,50 2,00 0,50 0,40 0,30 0,20 0,10 0,30 0,20 0,10 0,00 0,00 1,00 2,00 3,00 4,00 5,00 0,15 0,10 0,05 0,00 0,00 5,00 10,00 15,00 20,00 Figur 7.3 Frekvensfunktionen för binomialfördelningen med p = 1/6 och n =2,5respektive20. 6
Den binomiala fördelningen illustreras i figurerna 7.2 och 7.3. I figur 7.2 visas delsvårteempelmedtärningarna,p=1/6,förn=2,5respektive20.kast. Ifigur7.3visasetteempelmedp=1/2. Detsistaeempletkanförslagsvis hänföra sig till n stycken kast med ett symmetriskt mynt med registrering av antalet klave. Som framgår av figurerna är fördelningen symmetrisk för alla värden på n då p = 1/2. När p = 1/6 är fördelningen däremot sned. Snedheten blir dock mindre markant då n ökar. Allmänt gäller att fördelningen är snedare ju mer p avviker från 1/2. Vi påminner oss definitionen av en binomialfördelad stokastisk variabel: Låt X vara den stokastiska variabeln antaler gånger en händelse A inträffar i n stycken upprepningar av ett Bernoulliförsök. Antag att upprepningarna är oberoendeochattsannolikheten förattaskallinträffa,p(a)=p, ärlika i varje försök. Vi säger då att X är en binomialfördelad stokastisk variabel med parametrarna n och p. Vad menar vi då med att försöken är oberoende? Vi kan anknyta till de tidigare eemplen på beroende och oberoende samt uttrycka saken så att vilket par avförsökvi än tar ut, säg det i-teoch det j-teförsöket, såskall sannolikheten för att händelsen A inträffari det i-te försöket vara oberoende av om den inträffar i det j-te försöket. Antag att händelsen inträffar i det i-teförsöketbetecknasmeda i,ochidetj-temeda j. Uttrycktiformlerhar vioberoendeomdetgälleratt P(A i A j )=P(A i ). Att sannolikheten är konstant över upprepningar innebär att P(A 1 )=P(A 2 )=...=P(A n ). Huruvida oberoende och konstant sannolikhet föreligger kan vi inte- inte ens teoretiskt- verkställa en fullständig prövning av. Omvikastarettmyntupprepadegångersåskallutfalletisägdet17-ekastet varaoberoendeavutfallenivartochettavdeföregåendekasten. Vifårt.e. integöradet17-ekastetsåattvibaralyfterupppmyntetefterdet16-ekastet ochintesinglarivägdetuntanbarakasterdetplattpågolvetungefärsom 7
man kaster varpa. Då är sannolikheten att få samma resultat som i 16-e kastet tydligen stötte än 1/2. Varje kast måste vara helt oberoende, dvs vi måste singla ordentligt. Om X är en binomialfördelad stokastisk variabel med parametrarna n och p betecknarvidetgenomattskrivax bin(n,p). Väntevärdetochvariansen för X kan enkelt beräknas genom formlerna E(X) = np V (X) = npq. Vibryrosshärinteomattbevisadessaformler. Eempel 7.2 Betrakta eemplet med tärningskasten igen. Parametrarna är n = 2 och p=1/6ochenligtovanståendeformlerfårvi E(X) = n p=2 1 6 = 1 3 V (X) = n p q=2 1 6 5 6 = 5 18 vilket överensstämmer med de väntevärdes- och variansberäkningar vi har utförttidigare. Övning 7.2 Låt X vara en binomialfördelad stokastisk variabel. Använd en tabell för att finnavärdetpåsannolikhetenp(x=)för a)=2,n=5,p=0.2 b)=3,n=5,p=0.8 c)=7,n=10,p=0.6 d)=13,n=20,p=0.5 8
Övning 7.3 Sannolikheten att en viss typ av glödlampor skall lysa mer än 1000 timmar är 0.9. Tre sådana lampor kopplas in i ett belysningsnät. Händelserna att de olika lamporna slocknar antas vara oberoende. Beräkna sannolikheten att efter 1000 timmar a) ingen lampa lyser b)eaktenlampalyser c) minst två lampor lyser Övning 7.4 Iengrupppåtiopersonerfårvarocheniuppdragattpåmåfåskrivaner någon av siffrorna 0, 1, 2,..., 9. Försöksledaren tror att personer gärna väljer siffrorna 3 eller 7. Om siffrorna verkligen valdes på måfå (med lika sannolikhet för alla siffror), hur stor är då sannolikheten att fyra personer ellerflerskulleväljanågonavsiffrorna3eller7? Övning 7.5 Man gör en serie på n stycken kast med en symmetrisk tärning. Hur stor ärsannolikhetenattrelativafrekvensenseorskallliggaiintervallet 1± 1 6 18 (inklusive intervallgränserna) ifall a)n=20 b)n=40 c)n=80 Övning 7.6 Antagattmanvetatt75%avallafamiljermedeninkomstmindreän15.000 per månad har(minst) en TV apparat. Om 12 familjer slumpmässigt väljs ut för en sociologisk undersökning, vad är sannolikheten att eakt tio familjer har TV?(Antag att totala antalet familjer med inkomst under 15.000 kr per månad är så stort att förutsättningarna för binomialmodellen är approimativt uppfyllda.) 9
Övning 7.7 Ientillverkningsprocessärdetkänt att40%avallafelaktigaenheterkan repareras. Vid ett tillfälle levereras se felaktiga enheter till reparationsavdelningen. Vad är sannolikheten att minst tre av dessa kan repareras? Övning 7.8 Ett företag har följande beslutsregel vid kvalitetskontroll av inköpta partier råmaterial: Tag ett slumpmässigt urval om 100 enheter. Om urvalet innehåller högst två felaktiga enheter accepteras partiet. Om fler än två felaktiga enheter påträffas återsänds partiet till leverantören. Beräkna sannolikheten att ett parti accepteras om det innehåller a)2%felaktigaenheter b)5%felaktigaenheter c) 10% felaktiga enheter. 10