TENTAMEN I REGLERTEKNIK Y/D SAL: TER1, TER2, TER3 TID: 15 mars 2017, klockan 8-13 KURS: TSRT12, Reglerteknik Y/D PROVKOD: TEN1 INSTITUTION: ISY ANTAL UPPGIFTER: 5 ANTAL SIDOR PÅ TENTAMEN (INKLUSIVE FÖRSÄTTSBLAD): 10 ANSVARIG LÄRARE: Anders Hansson, tel 013-281681, 070-3004401 BESÖKER SALEN: 9:00, 10:30, 12:15 KURSADMINISTRATÖR: Ninna Stensgård, tel 013-282225, ninna.stensgard@liu.se TILLÅTNA HJÄLPMEDEL: Läroboken Glad-Ljung: Reglerteknik, grundläggande teori med normala inläsningsanteckningar, tabeller, formelsamling, räknedosa utan färdiga program. LÖSNINGSFÖRSLAG: Anslås efter tentamen på kursens hemsida. VISNING av tentan äger rum 2017-04-06 kl 12.30-13.00 i Ljungeln, B-huset, ingång 27, A-korridoren till höger. PRELIMINÄRA BETYGSGRÄNSER: betyg 3 23 poäng betyg 4 33 poäng betyg 5 43 poäng OBS! Lösningar till samtliga uppgifter ska presenteras så att alla steg (utom triviala beräkningar) kan följas. Bristande motiveringar ger poängavdrag. Lycka till!
1. (a) Bestäm impulssvaret för systemet givet av överföringsfunktionen G(s) = 3e 2s (s + 2) s + 5 (b) Bestäm stegsvaret för samma system. (3p) (2p) (c) Betrakta stegsvaren i Figur 1. Para ihop varje stegsvar med en av nedanstående överföringsfunktioner. Dina val skall motiveras. Figur 1: Stegsvar 1. G(s) = 0.5 s + 0.5 3. G(s) = 2s + 2 s 2 + 2s + 2 5. G(s) = 0.1 s + 0.1 2. G(s) = 0.5 s 2 0.1s + 1 4. G(s) = e s 2 s 2 + 2s + 2 6. G(s) = e s 2 s 2 + s + 2 (5p) 1
F U c Σ G 1 Σ G 2 Y R Figur 2: Blockschema 2. Vi har ett system sammansatt av G 1 och G 2 där G 1 = 1 s + 1 ; G 2 = 1 s + 2 Systemet återkopplas med regulatorn R och framkopplas med F enligt figuren ovan. (a) Antag nu först att framkopplingen inte finns, dvs F = 0. Vad blir slutna systemets överföringsfunktion? (2p) (b) Antag att regulatorn är en PI-regulator, d.v.s. R(s) = 1 + 1 s och att F = 0. Beräkna gränsvärdet av stegsvaret för systemets utsignal y(t) då tiden går mot oändligheten då u c (t) är ett enhetssteg. (3p) (c) Bestäm en framkoppling F som gör att överföringsfunktionen från U c till Y blir 1 s + 1 då R = 1, d.v.s. en proportionell regulator. (5p) 2
3. (a) Avgör om följande system är styrbart [ ] 0 1 ẋ(t) = x + 1 2 [ ] 1 u 0 (2p) (b) Bestäm en tillståndsåterkoppling för systemet i (a) så att slutna systemets egenvärden placeras i 1 och 2. (3p) (c) Antag att man mäter Är systemet observerbart? y(t) = [ 1 1 ] x (2p) (d) Bestäm en observatör för systemet beskrivet av (a) och (c) så att skattningsfelets dynamik har egenvärden i 10. (3p) 3
4. (a) Två överföringsfunktioner ges av G 1 (s) = s + 1 s + 2 ; G 2(s) = s + 1 s + 2 Rita deras Bodediagram samt avgör om de är minimumfas eller icke-minimumfas. Riv loss och använd bifogade Bodediagram. (5p) (b) För en överföringsfunktion med ett nollställe z i höger halvplan och en pol p i höger halvplan gäller att man kan visa att känslighetsfunktionen S(s) för vilken stabiliserande linjär regulator som helst uppfyller max S(iω) ω z + p z p För vilka värden på z/p kan man designa en regulator som uppfyller att max ω S(iω) 2 Ange speciellt om man kan uppfylla specifikationen för flygplanet X-29, för vilket det gäller för ett av flygfallen att z = 26 och p = 6. (5p) 4
Figur 3: Operationsförstärkare 5. Betrakta förstärkarkopplingen i figuren ovan. Det gäller att V 2 = AV g, där A är operationsfärstärkarens överföringsfunktion. Enligt Kirchhoffs strömlag gäller vidare att: V 1 V g = V g V 2 R 1 R 2 (a) Visa att man kan betrakta förstärkarkopplingen som en regulator för operationsförstärkaren såsom visas i figuren nedan, där F 1 (s) = R 1 R 1 + R 2 ; F 2 (s) = R 2 R 1 + R 2 (3p) Figur 4: Blockschema 5
(b) Visa att om A är stor jämfört med R 2 /R 1 så ges förstärkningen för den återkopplade förstärkaren av V 2 V 1 = R 2 R 1 (2p) (c) Antag att A(iω) har monotont avtagande fas och absolutbelopp som funktion av ω. Hur beror fas- och amplitudmarginal av kvoten R 2 /R 1? Är det lättare att designa en förstärkare med hög förstärkning eller är det lättare att designa en förstärkare med låg förstärkning när man måste ta hänsyn till robusthet? (5p) 6
10 20 db 20 5 2 1 0 db 20 0.5 G(iω) 0.2 0.1 0.05-20 db 20 0.02 0.01 0.005-40 db 20 0.002 0.001-60 db 20 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100 ω 0-30 -60-90 -120 arg G(iω) -150-180 -210-240 -270-300 -330-360 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100 ω
10 20 db 20 5 2 1 0 db 20 0.5 G(iω) 0.2 0.1 0.05-20 db 20 0.02 0.01 0.005-40 db 20 0.002 0.001-60 db 20 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100 ω 0-30 -60-90 -120 arg G(iω) -150-180 -210-240 -270-300 -330-360 0.01 0.02 0.05 0.1 0.2 0.5 1 2 5 10 20 50 100 ω