K En modell för gaser

K En modell för gaser Allmänna gaslagen Densiteten hos en gas är under normala förhållanden ungefår en tusendelavdensitetenhosfastaämnenellervätskor.dettyderpåattdetfinns gott om tomrum i en gas. Det genomsnittliga avståndet mellan molef,yl"rrru är många molekyldiametrar' I en enkel modell av en gas tänker vi oss att molekylerna på grund av värmerörelsen flyger omkring i en oordnad rörelse som en svärm små kulor - så små att deras sammanlagda volym är försumbar i jämförelse med volymen hos den behållare di, gur.., är innesluten. Ofta kolliderar de med varandra' och förr eller senare stöter de också emot behållarens våggar. På så sätt sprider de sig ochfyllerutheladetutrymmegasenhartillsittförfogande.eftersom medelavståndenmellanmolekylernaärsåstora,kanviantaattinga krafter verkar mellan dem utom under kollisionerna. Mellan krockarna rusar de fram rätlinjigt utan att störas avvarandra' Denna förenklade modell av vår gas kallas en ideal gas' Trycket ien ideal gas En innesluten gas utövar ett tryck mot behållarens väggar' och enligt gasmodellenorsakastrycketavmolekylstötarnamotväggarna.attenstaka stötar inte märks beror på att molekylerna är så oerhört många. Att följa varje molekyl och beskriva dess bidrag till trycket i en verklig gas är så kompliceratattdetintelåtersiggöras.vistärhärinförenvanligsituation i fysiken. För att över hul'ud taget kunna göra en beräkning måste vigöraidealiseringarocharbetamedenmodell,somiblandärenförenkladbildavverkligheten.mentrotsdettakanresonemangenledatill resultat som stämmer mycket väl med experimentella undersökningar och som kan användas vid beräkningar' Anta att vi har en behållare i form av en kub med kantläng den a' fig' 3 ' Behållaren innehåller N st gasmolekyler' alla med massan m' Vi ska undersöka molekylstötarna mot den skuggade väggen A i kuben' Vi gör två antaganden: rg- 3. En kub med kantlängden.r. sonr innehåller N likadana gasnn'rdekyler. 1. Vi delar upp molekylernas slumpvisa hastigheter i komposantel parallella med axlarna x, y och zifiguten' Enligt figuren finns det sex möjliga riktningar för dessa komposanter' och i genomsnittbör de bli lika stora i varje riktning' Endast en riktning pekar mot A \i föreställer oss därför att bara 1i6 av molekylerna rör sig mot A' alla med samma fart Y. KAptTEl Z nörelse.\täuco OClF :$l pul lis ',!l

il ili 2. MoleMerna krockar inte med varandra utan bara med behållarens väggar. (I själva verket rör sig en molekyl vid normalt tryck bara ungeftir 10-3 mm, innan den krockar med en annan.) Den tid f det tar for en molekyl att tillryggalägga sträckan a frän en sidoyta av kuben till den motsatta är: a f,=v Alla de molekyler inuti kuben som vid en viss tidpunkt är på väg mot A, kommer efter tiden t attha slagit emot A. Under tiden / utsätts alltså väggen A ftir N/6 molekylstötar. Varje molekyl har rörelsem angden mv. Stöten mot väggen är elastisk, och storleken av varje molekyls rörelsemängdsändringvid stöten är därför mv -(m'(-v))=mv +mv =2mv Den totala rörelsemängdsändring hos mole$erna som väggen åstadkommer under tiden f är: N 2mv.- 6 Men enligt impulslagen är denna ändring i rörelsemängd lika med impulsen Ft, där F är den genomsnittliga kraft som väggen utövar på molekylerna: eller P.!=z^u\ - mvtn 3a Enligt Newtons tredje lag är väggens kraftverkan på molekylerna lika stor som molekylernas tryckkraft mot väggen. Därför är trycket mot väggen kvoten mellan kraften F och väggens area a2: F mv'n f ) aja ^3 Men gasvolymen Y = a'. Alltså' mv'n h=_ t3v Om vi inför de enskilda molekylernas rörelseenergi E* 2mv2 N 2 N D=-.-.---E,.- (1) ' 3 2 v 3rv _ 2 mv = fär vi: 2 Il''(Å:':-: :-;:!r,äti6d och tto1 puls

Eftersom N/V är antalet molekyler per volymsenhet, innebär sambandet att trycket i en gas är lika med två tredjedelar av molekylernas sarnmanlagda rörelseenergi per volymsenhet. Trots de förenklade räkningarna gäller detta samband med mycket stor noggrannhet för en ideal gas, under förutsättning rtt v2 är medelvärdef av kvadraterna på molekylhastigheterna och E är medelvärdef av molekylernas rörelseenergier. Gaskinetisk tolkning av temperaturen Både i tidigare kemikurser och fysikkurser har du stött pä den allmönna gaslagen pv = krnt när vi diskuterat jordens atmosfär. Konstanten k' som är oberoendsav vilken gas det är fråga om, spelar en viktig ro11 inom fysiken. Den kallas Boltzmanns konstant och kan beräknas om man har värden på alla övriga storheter som ingår i gaslagen. Kemister brukar skriva sambandet något annorlunda: pv =nrt där n är antaletmol hos gasen och R den s.k. gaskonstanten. Vi jämför den allmänna gaslagen med uttrycket för trycket p frän ekvation (1) i foregående avsnitt: 'v K-NT p=?p, \- '3nv (l) Sätt högerleden lika. Det ger för den absoluta temperaturen Ihos gasen: 2 T-_.F, 3k, K Temperaturen hos en gas är alltså proportionell mot den genomsnittliga rörelseenergin hos var och en av gasens molekyler. Detta överensstämmer med vad vi tidigare antagit. Observera att det endast är den oordnade molemrörelsen som har med temperaturen att göra. Temperaturen hos en luftmassa ökar inte för att luften börjar röra sig t.ex. vid blåst. Lägg också märke till att temperatur har att göra med ett statistiskt medelvärde hos ett stort antal molekyler. Att tala om temperatur hos en enstaka molekyl är meningslöst. EXEMPEL 5 Uppskatta sgemolekylens fart vid rumstemperatur om 32 g O, vid 20 'C och atmosfärstryck (0,10 MPa) upptar volymen 2,4. l0-2 m3- Anta att alla sl.remolekylerna har samma fart. r.*llte: 2 +OF.E-S8.'1:\. : : ::- r.t:".; '!l

Lösning Vi använder uttrycket for trycketp från fciregående avsnitt: mv2n D=- '3V Det ger: " 3oV mn Massan hos en syremolekyl är: M ^ = i, där M är hela gasens massa. Därmed får vi foljande enkla uttryck för l:, 3PV M Insättning av givna vdrden ger:, 3.0,I0.10u.2,4.10',. I =,;*r- m-lsv2 = 0,23. 106 m2ls2 v = 470 mls Svar: Molekylhastigheten är 0,5 km/s. När man tillämpar gaslagen på en och sam,ma gasmängd i två olika tillstånd kan man utnyttja att uttrycket ]."tig, gaslugen ar konstant och använda ekvationen t P1\ _P2V2 Tr T2 Den allmänna gaslagen ger en god beskrivning av de flesta gasers uppträdande. Men ingen gas ftljer lagen exakt, och awikelserna blir stora ifall temperaturen är så 1åg och trycket så högt att gasen närmar sig det tillstånd där den kondenseras. När molekylernas medelhastighet är så liten och deras avstånd så små att attraktionskrafterna mellan dem inte längre kan försummas krävs mer avancerade modeller. :rr'rr \:: -j-2-'17 Luften i en cykelpump pressas samman från 50 cm3till 20 cm3, varvid temperaturen stiger från 10 "C till 40 "C. Trycket var från början lika med atmosfärstrycket, d.v.s. 100 kpa. Beräkna trycket hos luften direkt efter sa m man pressn ingen. m-

r I Ll3,{nta att antalet gasmolekyler i en behållare tbrdubblas. Temperatur och volym ändras hte. a) Hur påverkas enligt gasmodellen trycket i behållaren härigenom? Ånta sedan att vi har ytterligare en behållare som är tom och har samma volym som den gasfyllda behållaren' De tvä sätts i förbindelse med varandra genom ett smalt rör och gas får strömma in i den tomma behållaren' Temperaturen förutsåtts oförändrad' bi Hur Påverkas gasens tryck? fr + O.-.rtrvcket i ett bildäck ät 0'20 MPa' när v -urtens tryck utanför däcket är 0'10 MPa' TemPeraturen är 20'C' al tdur stort är lufttrycket i däcket? b"l \år däcket har rullat några mil' är över- :4-cket 0,22MPa' Hur mycket har ieffrperaturen stigit i däcket? Bortse trtan vol1'rnändring' frg --e:t ln1skäp är temperaturen först 18oC och!",.-cl.t O,1OO MPa' vilket också är den omgi- ', ande luftens tryck' Kylaggregatet startas rr";h temperaturen sjunker till +8"C' al Hur stort är nu trycket i kylskåpet om vi antar att det är lufttätt tillslutet? (Inte realistiskt!) Tn'ckskillnaden skulle ge upphov till en kraft mot kylskåpets dörr' b) Bestiim denna kraft om dörren är 0'50 m bred och 1,00 m hög' En liten bägare vänds upp- och ner och 2.19 sänks ner i vatten. Därvid innesluts en luftmängd som från början har volymen 100 cm3 och temperaturen25"c. Bägaren förs i upp- och nervänt läge till 1,8 m djup. Hur stor volym har nu den inneslutna luften sedan den antagit vattnets temperatur +12"C? Atmosfärens tryck är 99,0 kpa. 4-\ '<!V I en luftmängd med volymen 1,00 m3 är trycket 100 kpa och temperaturen 290 K. a) Hur många molekyler finns det i denna luftmängd? b) Hur stor sammanlagd rörelseenergi har dessa molelcfler? c) Hur stor fart skulle en bil med massan 1,0 Mg ha, om den hade den rörelseenergi, som luftmolekylerna har tillsammans? 2.1 8 En rotor som roterar kring axeln A består av fyra kulor med lika massor, f;istade på lika långa armar. a) Hur stor är rotorns totala rörelsemängd? b) Hur stor rörelsemängd har ett hjul på grund av att det roterar kring sin axel? b. 2.20 T\-å runda stegrr Den ena. R li$er Ögonblicket öre A den rörelsernån i fig. a. Fig. b lisar deibart efter det a Isfriktionen lian { a) Rita in B:s röre stöten i frg. b- b) Beriikna de trår omedelbart dt upphörr A har massan l,l kg- 6{ \ä4] i. \_- En tegelsten utan ner på en ragn, sr farten0,64msp massa är 2,0 kg r ras vagnens t-art? n I

Fjliilild-Uld!;Ailiui#qr"{flrdig!{iFlui/r@i!1li$*lt.ltrLt!i.rrå Kontrolluppgifter kap 2 2.K1 0,25 mls 2. K2 a) 3,0 m/s åt höger. b) Den är elastisk. Rörelseenergi 9,0 J i båda failen. 2. K3 a) 54 km/h i lastbilens rörelseriktning efter kollisionen b) l,o MI Detta är lika mycl<et rörelseenergi sorn bilen skulle haft efter att ha fallit fritt i 100 m. 2.K4 O,2SMPa 2.K5 2.K6 5,3 Ns Plsin 30'= prsin 40' Eer Pr> P, 2.K7 2,6 Ns resp. 4,6 kn 2.K8 a) *rj1. D"n är riktad snett nedåt i figuren och bildar vinkeln 45' med hastigheten efter rörkröken. t;).. \lö mv llr :::...:-litllalirbiiffiiiditiianileii!ffiliti,*uiff,effilar&gt*&afftif#hb+l14;!il övningar kap 2 2.1 4,5 m/s (:,0 kg). (l,s m/s) = (1,0 kg).vb 2.2 a) 1,3 m/s b) Den ökar med 40 kgmis c) Den minskar med 40 kgm/s 2.3 0,30 m/s (2,0 kg). (0,50 m/s) = (1,0 kg).v + (1,0 kg). (0,70 m/s). Den bakre vagnen rör sig åt samma hå1i som tidigare. 2.4 a) 0,i0 mi s ål höger i fig. Vagnarnas massa antas vara m och cleras gemensamma sluthastighet v: 2m ' (0,20 m/s) + r,. (-0,10 m/s) = = 3m. y b)0 c) 0,10 m/s åt vänster i fig. 2.6 a) 0,45 m/s åt samma håll som r-agn -\. b) Stöten är inte elastisk Scmmanlagda rörelseenergrn a: t,';..-,''--,'.1: I,rch efter stöten 0,09 J. 2.7 3,0 m/s resp. 2,0 m/s Betecknas farterna v, m/s och r'- m! iåi i::: '. - 1,5 v, och v,2 + 1,5 vrz = 15. Detta ler \- = -'. 2.A Stöten är elastisk. Efter stöten har vardera kulan farten vrl 2.9 a) 0,20 m/s Elastisk stöt. b) 0,10 m/s Fullständigt oelastisk stöt. c) 0,15 m/s Oelastisk stöt. 2.1O la,2ul3. 2.11 Il4 eller 314. 2.12 \n0 Siuthastigheten blir 1/4 eller 3/4 av den stötande slädens hastighet. 2.13 a) Trycket fördubblas. Det blir i genomsnitt dubbelt så många molekylstötar per sekund mot behallarens väggcr. b) Trycket halveras. 2.14 a) 0,30 MPa b) 20" c 2.15 a) 96,6 KPa b) 1,7 kn inåt. 2.16 81 cm3 2.17 a) 2,5. 1025 1'r = pvlkl b) 0,ls MI NEo= 312 ' OY c) 62 km/h 2.5 a) 0,20 km/s b) Praktiskt taget hela kulans rörelseenergi (0,20 kj) övergår i värmeenergi genom friktion mot sanden. En liten rest (0,20 J) blir kvar som rörelseenergi hos vagnen med last. -n