Matemati 5 Kap 1 Disret matemati I Inledning Konretisering av ämnesplan (län) http://www.ioprog.se/public_html/ämnesplan_matemati/strutur_äm nesplan_matemati/strutur_ämnesplan_matemati.html Inledande ativitet Introdution Kursen an i princip delas upp i två nästan helt omplementära delar, nämligen disret matemati och differentialalyl. Det sistnämnda är en påbyggnad på derivata- och integralöret i Ma4, och behandlas sist. Första delen blir alltså disret matemati. Det är inte fråga om något som är hemligt eller särsilt stillsamt utan snarare ett samlingsnamn för all matemati som inte inblandar ontinuitet (som t.ex. derivator och integraler gör). En översit över delarna inom den disreta matematien an man hitta här. För att få en änsla för de delar som vi sa behandla i denna urs an ni ia på och lösa följande problem Kombinatori - Hur många olia femorts poerhänder finns det? - Fem personer sa ställa sig i en ö. Hur många olia öer an dom bilda? Mängdlära (Från ursboen.) Vid en gymnasiesola an eleverna på naturvetensapsprogrammet välja att läsa en eller flera av urserna matemati 5, emi 2 och fysi 2. 90 elever valde matemati, 82 emi och 80 fysi. 30 elever valde matemati och emi, 36 matemati och fysi, 34 emi och fysi och 14 valde alla tre urserna. a) Hur många valde bara matemati? b) Hur många valde bara emi? c) Hur många valde bara fysi? d) Hur många av de 200 eleverna valde inte någon urs? Grafteori - Kan du arrangera en promenad över Königsbergs sju broar så att varje bro passeras exat en gång? - Om du får lägga till en bro (var du vill), går det då?
1. Disret matemati I - Hur ser man snabbt på ett tal om det är jämnt delbart med 2, 4, 5, 6, 9? 1.1 Kombinatori Lådprincipen (sid 8-10) På engelsa heter denna princip Pigeonhole_principle, och i Wiipediaartieln an man läsa mer om denna än vad boen presenterar. Principen är enel: Antag att du sa placera 5 (eller fler) föremål i 4 lådor. Då säger lådprincipen att minst en låda måste innehålla minst två föremål (tän igenom denna formulering). Mer allmänt, om du placerar n+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst två föremål. Ännu mer allmänt, om du placerar nŋ+1 (eller fler) föremål i n lådor så måste minst en låda innehålla minst +1 föremål. Om inte så hade vi ju haft högst nŋ föremål, vilet vi ju INTE hade. Principen är enel, men det som an vara nepigt är att bestämma vad som sa fungera som lådor och vad som sa fungera som föremål. Här rävs rutin/träning och inte sällan en dos fantasi. Boens uppgifter sätter inte detta på sin spets, så om ni vill an ni fundera på följande problem. 1) Du har n+1 olia heltal från 1 till 2n. Visa att man an ploca ut två som inte har någon gemensam fator. 2) Du har n+1 olia heltal från 1 till 2n. Visa att man an ploca ut två tal där det ena delar det andra. 3) Albin spelar minst en tennismatch varje dag under en fyravecorsperiod men han spelar högst 40 matcher totalt under denna tid. Visa att det måste finnas en följd av dagar under vila Albin spelar exat 15 matcher. Lös samtliga uppgifter. Multipliations- och additionsprincipen (sid 11-14) Antag att en restaurang erbjuder p st förrätter och q stycen varmrätter. Om du vill välja en förrätt och en varmrätt an detta göras på pŋq olia sätt (multipliationsprincipen). Om du vill välja en förrätt eller en varmrätt an detta göras på p+q olia sätt (additionsprincipen). Tän efter så ni är med på detta. Lite slarvigt an man säga att och ger multipliation och eller ger addition.
Lös samtliga uppgifter utom 1130 (deluppgift c har fel i facit och d är barnslig) och 1132, antingen är frågan felställd, eller är facit fel, eller både och. I 1125 är rätt svar 260000 (facit har tappat en nolla). Permutationer (sid 15-18) En permutation är en "uppräning" av en mängd objet i en viss ordning. Att beräna antalet permutationer av element ur en mängd med n element/objet bygger på multipliationsprincipen. Första elementet an väljas på n sätt, andra på n 1 sätt osv. till näst sista som an väljas på n +2 sätt och det sista på n +1 sätt (tän efter varför det inte blir n ). Därmed får vi antalet permutationen av bland n som P(n,) = nŋ(n 1)Ŋ Ŋ(n +2)Ŋ(n +1) =!! där n! = 1Ŋ2Ŋ Ŋ(n 1)Ŋn!!!! som utläses "n faultet" (n factorial) är en pratis betecning. Ett "lassist" problem är att räna antalet olia sexbostavsord som man an bilda av bostäverna i ordet ANKFOT. Tydligen handlar det om P(6,6)=6!=720 stycen. Förresten, an du ange ett ritigt ord som an bildas förutom ANKFOT självt? Lös 1136, 1137b, 1139a, 1141, 1144 och b- och c-uppgifter allt efter behov. Kombinationer (sid 19-22) I förra avsnittet ränade vi antalet sätt att ordna element bland n. En sådan ordning allades en permutation. Nu sa vi räna antalet sätt att från n element ploca ut stycen utan ordning. Ett sådant utval allas en ombination. Tenien är att man först ränar antalet permutationer P(n,) =!!!!!! Sedan noterar man att det finns! olia permutationer som ger upphov till samma oordnade utval (t.ex. ger ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA) upphov till samma oordnade urval {A,B,C}. Alltså grupperar vi ihop dessa permutationer till samma ombination och får då antalet ombinationer av element bland n som C(n,) = n =!(!,!)!! =!!!!!!!! n där n utläses "n över ". Inför framtiden an man ocså notera att uttrycet dyer upp i samband med binomialsatsen och därför ibland allas binomialoefficient. Utöver uppgifterna i boen an ni fundera på
Hur många femorts poerhänder finns det som innehåller a) ett par (men inget bättre)? b) ett tvåpar (men inget bättre)? Lös 1153, 1154, 1155, 1156, 1157. Iofs är dessa gansa triviala så anse anse an börja diret med 1159, 1160, 1161 och 1162 som var för och en räver lite eftertane (hur sa man räna). Kommer du ihåg sannolihetslära? (sid 23-25) Kombinatori är sålart nära förnippat med sannolihetslära. Vill man har reda på sannoliheten beränar man ju P(H) =!"#!$%#!"##$%&&%!"#$%%!"!#$#!"#!$%#!"#$%% och talen i täljare och nämnare är ju ombinatorisa. Lös samtliga uppgifter, eller i alla fall så pass många att du har ontroll. Kombinatori och sannolihetslära (sid 26-27) Finns inget att säga om detta mer än att det bygger på förra avsnittet. Lös samtliga, eller så långt ambition räcer. Det är bra att göra ett antal så man får vanan inne Tema Binomialsatsen (sid 30-34) Hur man utveclar (multiplcerar ihop) (x+y) 2 är säert beant; nämligen enligt vadreringsregeln (x+y) 2 = x 2 +2xy+y 2 Binomialsatsen är i princip en formel för att utvecla (x+y)n för ett godtycligt positivt heltal n. T.ex. an man få en uberingsregel (x+y) 3 =(x+y)(x+y)(x+y)= 3 0 x3 + 3 1 x2 y + 3 2 xy2 + 3 3 y3. Man inser att oefficienten framför t.ex. xy 2 blir 3 genom att täna efter på hur 2 många sätt man an ploca ut två y (och därmed ett x) ur de tre parenteserna. Koefficienten n allas binomialoefficient. Ett smidigt sätt att ploca fram binomialoefficienterna är reursivt via Pascals triangel. För att förstå att detta fungerar måste täna igenom liheten n = n 1 + n 1 1
vilet boen hjälper till med på sida 31-32. Det ombinatorisa argumentet på sida 31 är att föredra framför det algebraisa på sida 32. Lös 1186, 1187, 1188, 1192, 1193, 1194 och eventuellt 1197 (tän gärna ut ett ombinatorist argument). 1.2 Mängdlära Mängder - Grundbegrepp (sid 35-38) Här handlar det mest om att lära sig en del syntax (hur man sriver). Gansa tråigt (men nödvändigt) att lära sig. Som uriosa an nämnas att vad som egentligen är en mängd och hur en sådan får defineras är mycet mer intriat än boen medger, se t.ex. Barber_paradox. http://en.wiipedia.org/wii/barber_paradox Lös samtliga uppgifter utom 1203c. c-uppgifterna an väljas beroende på ambition och intressse. I 1213 är n=11 det orreta svaret! Mängdoperationer (sid 39-40) Här inför man en sorts "ränesätt" på mängder, nämligen union, snitt, differens och omplement. Man noterar att för att omplementet sa ha mening måste grundmängden vara lar, för de övriga är det inte nödvändigt. Lös samtliga uppgifter, c-uppgiften är inte så svår. I 1227d sa den sista parentesen sitta efter B:et inte efter C:et. Venndiagram (sid 41-44) Eftersom mängder an ses som påsar med element i an man täna sig att representera dem grafist som "plana påsar". Man ritar helt enelt en mängd som en cirel (eller annan sluten urva) och täner sig att elementen ligger inuti cirel. Ett finare namn för dessa cirlar är Venndiagram (efter John Venn). Ritar man lämpligt an man illustrera snitt, unioner, omplement etc. Lös samtliga uppgifter utom 1233, möjligen an man göra a-uppgifterna i huvudet. I 1232 anser boen att t.ex. parallellogrammer inte är parallelltrapetser, vilet inte är orret. 1.3 Grafteori Inledning (46-49) Ordet graf har två olia betydelser inom matemati. Det som ni är vana vid är en "grafis bild" opplad till en funtion, t.ex. grafen till f(x)=x 2. Här är det fråga om något helt annat, en graf är något som byggs upp av noder sammanopplade med anter. Man an se en graf som ett sorts nätver. Det lasssia problemet som anses ha givit upphov till grafteorin är Königsbergs broar som besrivs på sida 46. På sida 47 är det fråga om att lära sig en del terminologi (som inte är standard).
Lös samtliga uppgifter. Facit i 1306a stämmer ej utan svaret är "Nej, går ej". Några lassisa problem (sid 50-53) Här handlar det om Hamiltoncyler, där det är fråga om att "åa" runt i en graf så att alla noder passeras en gång innan man är tillbaa där man startade. I 1312 sa man försöa finna Hamiltoncyler. Att visa att sådan finns är enelt, rita den, men att visa att sådan inte finns räver ett bättre argument än "jag om inte på någon". I handelsresandes problem vill man, i en graf med vitade anter, finna vägen med minsta antsumma. För detta finns ingen ritigt bra algoritm (i alla fall har man inte ommit på någon) utan man nöjer sig med en s.. girig algoritm där man varje gång väljer den bästa anten. Konstruera gärna en graf där denna algoritm inte leder till optimal cyel. Lös samtliga uppgifter. Träd (sid 54-55) Detta är ett gansa marginellt avsnitt. Ni behöver änna till vad ett träd är och Krusals algoritm, som man an använda för att oppla ihop noder "på billigaste sätt". Varför algoritmen fungerar ingår inte i ursen. Lös 1315, 1317 och eventuellt 1319. Notera att man inte behöver veta något om emi i 1319, det handlar egentligen om att onstruera samtilga möjliga träd på n noder.