Astrofysikaliska räkneövningar

Astrofysikaliska räkneövningar Stefan Bergström, Ylva Pihlström Ulf Torkelsson 23 november 2004 Uppgifter 1. Dubbelstjärnesystemet VV Cephei har en period P = 20.3 år. Stjärnorna har massorna M 1 M 2 20 M. Hur stor är banans halva storaxel? 2. Vad är summan av stjärnmassorna i en visuell dubbelstjärna med perioden 40 år, konstant separation 5.0 och parallaxen 0.3? Antag att stjärnornas banplan är vinkelrät mot siktlinjen. 3. De två stjärnorna i ett dubbelstjärnesystem har de skenbara magnituderna m = 1 och m = 1. Vilken skenbar magnitud har dubbelstjärnan? 4. a. En parsec är definierad som avståndet vid vilket en stjärna skulle ha en parallax av en bågsekund. Hur många ljusår är en parsec? b. Stjärnan 61 Cyg A har parallaxen π = 0.294. Bestäm dess avstånd från jorden och uttryck avståndet i pc, km, ljusår samt AE. 5. Den minsta vinkel som kan mätas för parallaxanvändningar är 0.001 bågsekund. Antag att 0.08 stjärnor/pc 3 kan observeras nära solens position i vår galax. För hur många stjärnor är parallaxmetoden för att bestämma avstånd användbar? 6. a. En A5V-stjärna har M V = 1.95. Antag att man observerar en sådan stjärna och mäter m V V = 7.56. Vad är avståndet till stjärnan i pc? 1

b. Om detta objekt istället visar sig bestå av två sådana stjärnor, vilket är då avståndet (i pc)? 7. Solens absoluta magnitud är 4.72. Argumentera utifrån detta varför den absoluta magnituden M för en stjärna med luminositet L ges av M = 4.72 2.5 log L L. Vad är luminositeten hos en stjärna vars avstånd är 60 pc och vars skenbara magnitud är 3.61? Svara i solluminositeter. 8. V -magnituderna för två stjärnor är båda observerade att vara 7.5, medan de blå magnituderna är B 1 = 7.2 respektive B 2 = 8.7. Vilken stjärna är blåare, och hur mycket mer blå (mätt i belysning F ) är den jämfört med den andra stjärnan? 9. a. Stjärnan Sirius (α CMa) observeras ha parallaxen 0.377. Vad är avståndet till Sirius? b. Egenrörelsen för Sirius är µ = 1.33 /år. Beräkna den tangentiella samt den totala hastigheten om den radiella hastigheten v r = 8 km/s. c. Om Sirius har den skenbara magnituden m V = 1.46 och solen har den absoluta magnituden M V = 4.79, vilken är den mest ljusstarka stjärnan? d. Vad är Sirius belysning i V -bandet? (F 0,V = 3.81 10 23 W m 2 Hz 1 ) e. Beräkna vinkelstorleken R/d för Sirius, och därur radien. (Jämför Sirius med en svartkroppstrålare vid temperaturen T = 10 000 K). f. Jämför luminositeten hos Sirius med solens. (L = 3.826 10 26 W) 10. Beräkna avståndet till en stjärna vars skenbara och absoluta magnitud är +13 respektive 4. Antag påverkan av interstellär absorption med 1.5 10 3 mag/pc. 11. Spektrum för väteatomen ges av 1 λ = R M ( 1 n 2 l 1 n 2 u ), 2

där R M = R Z 2 1 + m e /M är Rydbergskonstanten för en atom med kärnmassan M och kärnladdningen Z. För väte är denna konstant R M = R H = 10967758.3 m 1. n u och n l är övre och undre tillståndens huvudkvanttal, respektive. a. Vad är våglängden för övergångarna (3 2), (5 4) samt (7 4)? b. Bestäm de Balmerserieövergångar (n l = 2) som ger våglängderna 486.27 nm och 410.29 nm. c. Bestäm den Brackettserieövergång (n l = 4) som ger våglängden 2625.88 nm. d. Vad är frekvensen för övergången mellan tillstånden n u = 111 och n l = 110 i väteatomen? 12. Vad är den klassiska radien för en elektron i bana runt väteatomens kärna för n = 110? För n = 1 (den s k Bohrradien a 0 )? 13. Vad är medelavståndet mellan väteatomerna i solens fotosfär? Väteatomernas täthet i fotosfären är 6 10 22 m 3. Jämför detta avstånd x med radien r n på elektronbanan i en väteatom (där r n = a 0 n 2 ). För vilket tillstånd n är r n x? 14. En polis bötfäller en bilist som ej stannat för rött ljus (λ = 700 nm). Bilisten i fråga säger till polisen att hon snarare borde få böter för fortkörning eftersom hon uppfattade trafikljuset som grönt (λ = 540 nm). Hur fort påstår bilisten att hon har kört? 15. En stjärna befinner sig 40 pc från solen. Stjärnans totala hastighet genom rymden relativt solen är 5 km/s. Dopplerförskjutningen av vätelinjens våglängd λ = 656.3 nm i stjärnans spektrum är λ = +0.008757 nm. Beräkna den radiella och den tangentiella hastigheten hos stjärnan. Beräkna dessutom dess parallax (i bågsekunder) och egenrörelsen µ = v t /d (i bågsekunder/år). 16. Ett teleskops vinkelupplösning (även kallad diffraktionsgräns) som begränsas av dess diameter D och är beroende av vilken vågländ λ man observerar vid. Vinkelupplösningen 3

θ ges av det s k Rayleigh-kriteriet: θ = 1.22 λ D radianer [ ] [ ] λ 1 m = 2.5 10 4 1 nm D bågsekunder. Detta kriterium tar dock inte hänsyn till atmosfärstörningar. Bra s k seeing är typiskt 0.7 bågsekunder. Om man observerar ljus vid våglängden hos vätets övergång n = 6 2 (se uppgift 11), vilken teleskopdiameter ger en upplösning som motsvarar seeing-begränsningen? Är detta ett stort eller litet teleskopp? 17. Antag att man vill observera en dubbelstjärna med ett 10 m-teleskop vid den infraröda väglängden 2166 nm. a. Beräkna diffraktionsgränsen för teleskopet. b. Om dubbelstjärnan ligger 500 pc från jorden och har ett maximalt avstånd på 250 AE, kan de individuella stjärnorna då upplösas med teleskopet? 18. En förmörkelsedubbelstjärna med komponenterna A och B har normalt magnituden 12.2. Då den ljusstarkaste av de två, A, förmörkas av B är förmörkelsen total, och dubbelstjärnans magnitud sjunker till 14.2. Bestäm A:s magnitud. 19. En planet har hittats i bana kring en solliknande stjärna som ligger 12.3 pc från solen. Planeten har en massa som är 2.4 gånger så stor som Jupiters. Jupiter har massan 1.90 10 27 kg. a. Planetens stora halvaxel är 2.2 AE. Vad har planeten för periodtid? Ange denna i år. b. Om man antar att banan är cirkulär, vilken är då planetens hastighet i sin bana mätt i km s 1? c. Om vi observerar en spektrallinje som har vilovåglängden 500 nm, vad blir våglängdsförskjutningen pga Dopplereffekten när planeten är på väg bort från oss i sin bana runt stjärnan? d. Vad är den maximala vinkelseparationen mellan planeten och stjärnan, från jorden sett? Är det möjligt att upplösa systemet med ett 10 m-teleskop vid våglängden 500 nm? (Bortse från det faktum att stjärnan är så mycket ljusstarkare än planeten.) 4

e. Man uppskattar att planeten har en temperatur på 180K. Om planeten strålar som en svartkropp, vid vilken våglängd har den då sitt strålningsmaximum? I vilken del av det elektromagnetiska spektret är detta radio, infrarött, synligt ljus, osv? 20. En klotformig stjärnhop innehåller 10 4 stjärnor. 100 st av dem har M V = 0. Resten har M V = +5. Vilken är den totala absoluta visuella magnituden för stjärnhopen? 21. En stjärna har den skenbara magnituden V = 6.50. I denna del av Vintergatan är den visuella extinktionen A V = 0.75 mag per kpc. Stjärnan tros befinna sig på ett avstånd av 3 kpc. a. Vilken är den absoluta visuella magnituden? Är stjärnan en dvärg eller en superjätte? b. Antag att stjärnan har en svagare komponent som är precis 3 magnituder svagare. Vad är då den skenbara visuella magnituden? 22. För en A0 V-stjärna uppmättes apparenta magnituden V = 10.85 och färgindex B V = 0.25. Beräkna stjärnans avstånd. Den interstellära extinktionens inverkan antas given av A V = 3E B V. Absolutmagnituden för A0 V-stjärnor är i genomsnitt M V = 0.7. 23. Solens färg ovanför jordatmosfären är (B V ) 0 = 0.62. Beräkna en observerad färg för solen då den står lågt på himlen, och då endast 50% av solljuset i det blå och 70% i det gula våglängdsområdet når ned till jordytan efter spridning i atmosfären. 24. Deneb har den absoluta visuella magnituden M V = 7.1, apparenta blåmagnituden B = 1.35 och färgen B V = 0.09. Beräkna Denebs avstånd om a. den interstellära extinktionen försummas. b. den interstellära extinktionen i visuellt är 0.8 mag per kpc. 25. Den observerade mass-luminositetsrelationen för stjärnor i huvudserien beskrivs av { M L 3, för M 0.5 M M 2.5, för M < 0.5 M 5

Tabell 1: Temperaturer och luminositeter för vissa stjärnmassor M/M T eff (K) L/L 0.08 2000 0.0013 1.0 5800 1.0 20 30000 8000 Uttryckt i solenheter kan detta också skrivas ( ) 3 M L för M 0.5 M M = ( ) 2.5 L M 0.707 för M < 0.5 M M a. Om vi antar dessa samband vara korrekta, vad är luminositeten för en stjärna med minsta möjliga massa, M = 0.08 M? b. Jämför detta med den utstrålade effekten från planeten Jupiter, om vi antar att Jupiter strålar med dubbla effekten av en svartkroppsstrålare med temperaturen T = 140 K. Antag att Jupiters radie är R J = 71 400 km. c. Vilken är den förväntade luminositeten hos en stjärna med massan M = 20 M? d. Om de typiska effektiva temperaturerna ges av tabell 1, vilka är de motsvarande radierna om vi antar att stjärnorna strålar som svartkroppar vid temperaturen T eff? 26. a. Beräkna solens luminositet om yttemperaturen är 5780 K. b. 4 väteatomer väger 6.693 10 27 kg och en heliumatom 6.645 10 27 kg. Använd relationen E = mc 2 för att beräkna hur mycket energi som frigörs vid bildandet av en heliumatom. c. Hur mycket väte förvandlas till helium varje sekund? Hur stor andel av solmassan omvandlas till helium under 10 miljarder år (solens livstid på huvudserien)? 27. Genom interferometermätningar har man funnit att vinkeldiametrarna hos de båda jättestjärnorna Arcturus och Aldebaran är lika stora. Arcturus apparenta bolometriska magnitud är -0.8, Aldebarans -0.4. Beräkna förhållandet mellan stjärnornas effektiva temperaturer. 6

28. Capellas absoluta bolometriska magnitud uppskattas till -0.6 och dess effektiva temperatur till 4 400 K. Motsvarande storheter för solen är +4.7 och 5 800 K. Bestäm Capellas luminositet och radie med motsvarande storheter för solen som enhet. 29. Antag att mass-luminositetsrelationen från uppgift 25 gäller (L M 3 ). Uppskatta livslängden på huvudserien för en stjärna med 4 solmassor. Solens livstid är ungefär 10 10 år. 30. Solens yttemperatur är 5779K och ytgravitationen g = 273.8 m s 2. Solens absoluta visuella magnitud är M V = +4.79. Antag att en jättestjärna har samma yttemperatur som solen. Stjärnan har parallaxen π = 0.0025, en skenbar magnitud på m V = 5.01 och ytgravitationen g = 0.01g. a. Bestäm avståndet till stjärnan. b. Vad är stjärnans absoluta magnitud? c. Beräkna dess luminositet, både i L och watt. d. Om stjärnans yta antas stråla som en svartkropp, vad är då dess radie? e. Vad är stjärnans massa? f. Var tiden på huvudserien för stjärnan kortare än, lika med eller längre än solens? 31. OK, det är mycket text, men det skall du inte bry dig om uppgiften är rätt enkel =) Kring heta stjärnor uppstår ett område med joniserad gas. Gränsen mellan den joniserade och atomära vätgasen är mycket skarp och sfären av joniserat väte kallas Strömgrensfär. För att jonisera väte krävs energin 13.6 ev, vilket motsvarar en våglängd på 912 Å. Detta är den s k Lyman-gränsen. För att uppskatta storleken på en Strömgrensfär betraktar vi för enkelhets skull en gas enbart bestående av väteatomer (homogent fördelad), vilken omger en het stjärna. Låt N vara antalet ultravioletta fotoner bortom Lymangränsen (912 Å) som avlägsnas per tidsenhet från den stjärnan. Antag att varje sådan foton kommer att jonisera en och endast en väteatom. Låt R vara antalet rekombinationer av protoner och elektroner till väteatomer per volyms- och tidsenhet. I ett stationärt tillstånd måste antalet rekombinationer i Strömgrensfären med radien r balansera antalet jonisationer: ( ) 4π R 3 r3 = N. 7

Givet R och N kan denna ekvation alltså ge oss r. För att erhålla R noterar vi att rekombination vid interstellära densiteter är en tvåkropparsprocess. Det betyder att antalet rekombinationer per volymsenhet R måste vara proportionell mot produkten av proton- och elektrondensiteterna, n p n e. Proportionalitetsfaktorn skrivs α och kallas rekombinationskoefficient. Alltså, R = αn p n e = αn 2 e eftersom vi kräver n e = n p pga laddningsneutralitet. Visa att Strömgrenradien ges av ( ) 1/3 3N r =. 4παn 2 e Koefficienten α är en funktion av temperaturen hos väteplasmat. För temperaturer karakteristiska för H ii-områden har α det ungefärliga värdet 3 10 13 cm 3 s 1. Antag n e = 10 cm 3 och beräkna r för (i) O5V-stjärna: N = 3 10 49 s 1 (ii) BOV-stjärna: N = 4 10 46 s 1 (iii) G2V-stjärna: N = 1 10 39 s 1 Omvandla svaren till ljusår. Vilka typer av stjärnor på huvudserien kan sägas ha H iiområden? Överensstämmer detta med vad du vet om spektralklasserna? 8

Facit 1. 25.5 AE 2. 2.9 M 3. m total = 1.16 4. a. 1 pc = 3.26 ljusår b. d = 3.40 pc = 1.05 10 14 km = 11.1 ljusår = 701 300 AE 5. 3 10 8 st 6. a. 132 pc b. 187 pc 7. L = 100 L 8. a. Stjärna 1 är blåast. b. F (1) B = 4F (2) B 9. a. 2.65 pc b. v t = 16.7 km/s; v = 18.5 km/s c. M V,Sirius = 1.42 < M V, ; Sirius är mer ljusstark. d. F Sirius = 1.46 10 22 W m 2 Hz 1 e. R/d = 1.57 10 8 rad = 0.00324 ; R Sirius = 1.85 R f. L Sirius = 30.7 L 10. 3 kpc 11. a. 656.5, 4052.23 och 2166.13 nm 9

b. (4 2) och (6 2) c. (6 4) d. 4.874 GHz (= 6.15 cm) 12. r n=110 = 0.64 µm; r n=1 = a 0 = 5.29 10 11 m. 13. a. x 3 10 8 m b. n 23 14. Icke-relativistiskt: v = 68 524 km/s; relativistiskt: v = 76 099 km/s 15. v r = 4 km/s; v t = 3 km/s; π = 0.025 ; µ = 0.016 /år. 16. D = 15 cm vilket är ett litet teleskop i professionella sammanhang. 17. Teleskopets upplösning är på 0.05, men stjärnorna har den maximala separationen 0.5, vilket innebär att de är upplösta. 18. 12.4 19. a. 3.26 år b. 20 km/s c. 0.0335 nm d. Maximal separationsvinkel är 0.179 och teleskopets vinkelupplösning är 0.0138. Stjärnan och planeten är upplösta. e. Strålningsmaximum vid 28.33 µm; IR. 20. M = 5.75 21. a. M V = 8.14; H-R-diagram superjätte. 10

b. m V = 6.43 22. 760 pc 23. B V = 0.99 24. a. 470 pc b. 400 pc 25. a. L = 0.00128 L b. L J = 7.3 10 9 L c. L = 8000 L d. R M=0.08 M = 0.30 R, R M=1.0 M = 0.99 R, R M=20 M = 3.3 R 26. a. 3.856 10 26 W b. 4.31 10 12 J = 26.9 MeV. c. 6.0 10 11 kg/s; 9.5 % av solmassan förbränns under 10 10 år. 27. 1.1 28. L = 130L, R = 20R 29. 6 10 8 år. 30. a. 400 pc b. M V = 3 c. L = 1306 = 5 10 29 W d. 36R e. 13M f. Kortare, eftersom stjärnan är mer massiv än solen. 11

31. r O5V = 65.5 ljusår; r B0V = 7.22 ljusår; r G2V = 0.02 ljusår. O- och B-stjärnorna är hetast och borde följaktligen jonisera mest gas. 12

Lösningar till ett par uppgifter 9. a. d[pc] = 1 π[ ] d = 1 0.377 = 2.65 pc b. En stjärnas egenrörelse (eng. proper motion) är dess rörelse över himlen mätt i vinkelförändring per tidsenhet, vanligtvis bågsekunder per år. Egenrörelsen kan enkelt mätas genom att jämföra en stjärnas position på himlen med några år emellan. En stjärnas hastighet relativt oss kan delas upp i en radiell och en tangentiell komponent. Den radiella komponenten kan mätas mha rödförskjutningen och den tangentiella genom att känna egenrörelsen och avståndet till stjärnan. Om stjärnan förflyttats vinkeln dα under tiden dt på himlen, så är egenrörelsen µ = dα/dt. Den faktiska sträckan x som stjärnan flyttats i tangentialled är x = r tan α = {α liten} = rα, där r är avståndet till stjärnan. Den tangentiella hastigheten ges nu av v t = dx/dt, och då r kan antas vara konstant fås v t = dx dt = d dα (rα) = r dt dt = rµ. Om µ är given i /år och r i pc, ges v t i km/s genom { } 1 v t = r {1 pc} µ 1 år = rµ { 3.086 10 13 km } = 4.74 rµ Alltså (om r i pc och µ i /år), v t = 4.74 rµ = 4.74 µ π { 1 3600 π } { 180 rad = 4.74 1.33 0.377 = 16.7 km/s. Stjärnans totala hastighet fås mha Pythagoras sats: v = vt 2 + vr 2 = 16.7 2 + ( 8) 2 = 18.5 km/s. 1 3.156 10 7 s } c. En stjärnas absoluta magnitud M är den skenbara magnitud stjärnan har på avståndet 10 pc; d m M = 5 log 10 pc 13

Om d ges i pc: Alltså, m M = 5 log d 5. M V,Sirius = m V,Sirius + 5 5 log d Sirius = 1.46 + 5 5 log 2.65 = 1.42. M V,Sirius = 1.42 < M V, = 4.79, vilket betyder att Sirius är den ljusstarkare stjärnan (ju lägre magnitud, desto ljustarkare; kom ihåg definitionen av magnitud: m = 2.5 log F/F 0 ). d. Definitionen av magnitud, m = 2.5 log F/F 0, ger att F = F 0 10 0.4 m, och då m = 1.46 och F 0 = 3.81 10 23 W m 2 Hz 1, fås att F = 1.46 10 22 W m 2 Hz 1. e. En stjärnas luminositet kan beräknas ur L = 4πR 2 F, där R är stjärnans radie och F är stjärnans belysning. F ges av Stefan-Boltzmanns lag, F = σt 4, men om vi (som nu) vill ha luminositeten vid en viss frekvens ν, måste vi använda Plancks strålningslag: där L ν = 4πR 2 F ν = 4πR 2 πb ν, B ν = B ν (T ) = 2hν3 1 c 2 e hν/kt 1 och vi har antagit att stjärnan strålar isotropiskt. På avståndet r från en stjärna med luminositeten L har energin spridits över ytan 4πr 2 och man kan på detta avstånd mäta belysningen F = L 4πr 2. Vid en viss frekvens: F ν = L ν 4πr. 2 (Det var detta F ν vi beräknade i deluppgift d.) Alltså, F ν = L ν 4πr 2 = 4πR2 B ν 4πr 2 = 14 ( ) 2 R πb ν. r

Antag att B V = B 550 nm, dvs att den över V -bandet medelvärdesbildade intensiteten är likamed intensiteten vid centerfrekvensen 550 nm. Denna våglängd motsvarar frekvensen (c/λ =)5.45 10 14 Hz. B ν=5.45 10 14 Hz(T = 10 000 K) = 1.88 10 7 W m 2 Hz 1 sr 1 θ = R r = Fν 1.46 10 22 = πb ν π 1.88 10 = 1.57 7 10 8 = 0.0032 R Sirius = θr = 1.57 10 8 2.65 pc = 1.29 10 9 m = 1.85 R. f. Om en stjärna strålar isotropiskt och som en svartkropp gäller att L = 4πR 2 σt 4. Alltså, L Sirius = 31 L. R Sirius = 1.29 10 9 m T Sirius = 10 000 K R = 6.96 10 8 m T = 5770 K } L Sirius = 1.19 10 28 W } L = 3.83 10 26 W. 10. m V M V = 5 log d 10 pc + A V m V M V = 5 log d 5 + A V 13 ( 4) = 5 log d 5 + 1.5 10 3 d 22 = 5 log d + 1.5 10 3 d Den sista ekvationen löses numeriskt (gissa, eller använd nån smart metod), och då fås d = 3052 pc. 15

Nyttiga siffror Konstanter Gravitationskonstanten G 6.673 10 11 m 3 kg 1 s 2 Ljusets hastighet c 299 792 458 m s 1 Plancks konstant h 6.6260755 10 34 Js = h/2π 1.0545727 10 34 Js Boltzmanns konstant k 1.380658 10 23 J K 1 Vinklar Radian 1 (rad) 2π (rad) = 360 Bågminut 1 Bågsekund 1 Grad 1 60 = 3600 = π/180 rad Avstånd Astronomisk enhet AE (AU) 1.4960 10 11 m Ljusår lå (ly) 9.4605 10 15 m 63 240 AE Parsec pc 3.0857 10 16 m 3.2616 lå 206 265 AE Solen Massa M 1.9891 10 30 kg 332 950 M Radie R 6.96265 10 8 m 109 R Luminositet L 3.826 10 26 W Jorden Massa M 5.9742 10 24 kg Radie R 6.378 10 6 m 16