Dokumentet är från sajtsidan Matematik: som ingår i min sajt: http://www.leidenhed.se/matte.html http://www.leidenhed.se Minst och störst Senaste revideringen av kapitlet gjordes 2014-05-08, efter att ett fel upptäckts. Kapitlets syfte Kapitlet presenterar den ryska nollan och den ryska oändligheten, som är väsentliga i min tankevärld. När tal representeras som punkter på tallinjen, visar sig den klassiska synen på tallinjen inte hålla. Vi får små pusselbitar om i första hand det oerhört lilla, bitar som är viktiga i senare kapitel. Inledning 1 kilometer är större än 1 meter som i sin tur är större än 1 millimeter. Betrakta följande uppställning. 1 km > 1 m > 1 mm 0,01 km > 0,01 m > 0,01 mm 0,000001 km > 0,000001 m > 0,000001 mm... Hela tiden är kilometervärdet 1000 gånger större än metervärdet som i sin tur hela tiden är 1000 gånger större än millimetervärdet. Men 0 km = 0 m = 0 mm Vid exakt 0 är de plötsligt lika stora. Det beror på, att 0 inte är ett värde utan en markör för, när värde saknas. Tallinjen visar de reella talen i en sorteringsordning. När det gäller de positiva talen råkar talens sorteringsordning sammanfalla med deras storleksordning. Uttrycket a < b bör generellt uttalas a ligger före b och för de positiva talen dessutom varianten a är mindre än b. När jag i texten nämner små tal, avser jag små, positiva talvärden. Nollan saknar tecken. Den ingår varken i de positiva eller negativa reella talen utan markerar bara positionen, där dessa möts. De naturliga talen inleds i min värld med 1, alltså 1, 2, 3,, vilket överensstämmer med originalversionen av Peanos axiom. De positiva, reella talen bildar ett öppet intervall, vars gränser 0 och inte ingår. Talen inom intervallet saknar därför både minsta och största värde. Minst och störst 2014-05-08 Jan Leidenhed 1 / 6
Den ryska nollan Det startade för länge sedan i Norge. På en konferens i Kongsberg bollade jag en idé med ett par ryska matematiker. Din tankegång håller inte, fick jag veta. Du har satt ett variabelvärde till noll, men hur litet det än är, är det ändå alltid skilt från noll! Denna oändligt lilla flisa punkterade mitt, som jag trodde, vattentäta bevis. Nollan som ändå inte är noll, kallar jag den ryska nollan. Den blev ett tankefrö, som under de fortsatta åren gav fäste åt flera spännande idéer. Det är tack vare den, som de här texterna har blivit formulerade. Jag har givit den ryska nollan beteckningen 0±, där avslutande ± ska påminna om, att 0± är ett teckenförsett tal (till skillnad från den exakta nollan). 0± är inte ett på förhand bestämt tal utan representerar i varje enskilt fall ett nollliknande värde som är så litet, att vi i den aktuella situationen anser oss kunna bortse från det. Här kommer ett exempel på den ryska nollan. 1 = 0,9 + 0,1. 1 = 0,99 + 0,01. 1 = 0,999 + 0,001.... 1 = 0,999999999999999999999 + 0,000000000000000000001.... Ettan till vänster om likhetstecknet är hela tiden summan av två tal. Det ena närmar sig värdet 1 och det andra 0. Det obetydliga talet 0,000...0001 blir allt mindre, ju fler nollor jag fyller på med. Där ser du 0± tona fram. Den lilla ettan finns alltid i slutet efter alla nollorna, men när vi kommer upp i det, vi kallar ändlöst många nollor, bryter vår hjärna ihop och uppfattar den avlägsna decimalettan som försvunnen, så att 1 = 0,999... exakt. Alltså: 1 = 0,999999999999999999999999999999999999999999999999 + 0± 0,999999999999999999999999999999999999999999999999... Men den ensamma ettan finns kvar! Den knuffas allt längre från decimalkommat, men ingenstans ändras förflyttningen av ettan till att den plötsligt blir en nolla. När vi tar bort 0±, skapar vi samtidigt ett slut på kedjan av nior som därmed inte kan vara gränslöst lång, bara väldigt lång. Matematiklitteraturen är genomsyrad av 1 = 0,999 i olika varianter. Kommentar: I kapitlet Min oändlighet tar jag upp begreppen uppnåeliga respektive ouppnåeliga tal. Resonemanget ovan gäller för uppnåeligt antal decimaler. Om antalet däremot är ouppnåeligt, kan vi utnyttja, att decimalerna är Minst och störst 2014-05-08 Jan Leidenhed 2 / 6
cykliska. Då får vi, att x = 0,999... ger 10x - x = 9x = 9,999... - 0,999... = 9, det vill säga 9x = 9, alltså x = 1. Den ryska nollan (och längre ner den ryska oändligheten) har sin existens ihop med uppnåeliga tal, vilket sammanfaller med rationella tal. Se mer om detta i Min oändlighet! Punkten Tal betraktas visuellt som punkter på tallinjen. Den (geometriska) punkten är ett nolldimensionellt objekt. Avsaknaden av dimensioner innebär, att den saknar utbredning. Vi kan sammanfatta med, att alla eventuella mått på punktens utbredning är exakt 0. Två punkter som placeras helt intill varandra resulterar inte i en två punkter lång linje utan i en enda punkt, eftersom deras utbredning = 0 + 0 = 0, det vill säga 1 punkt. Hundra punkter som ligger i rad och i kontakt med varandra har utbredningen 100 x 0 = 0, alltså fortfarande en enda punkt. Enda möjligheten att skapa utbredning med hjälp av punkter är att exempelvis placera ut två distinkta punkter A och B samt binda samman dem med ett endimensionellt tomrum i form av en kurva. Eftersom punkten saknar utbredning, kan vi rada upp hur många distinkta sådana som helst mellan A och B, till och med oändligt många, utan att de fyller ut någon som helst del av kurvan mellan ändpunkterna. Detta ganska enkla konstaterande kan ställa till det i huvudet. En och annan tycks tro, att punkten trots allt har en utbredning, om än obeskrivligt liten, till exempel oändligt liten. Hur kan man annars bygga sammanhängande kurvor av punkter? Svaret är, att det kan man inte! Eftersom en distinkt punktmängd aldrig kan täcka något avstånd alls, spelar det ingen roll hur lång eller kort den kurva är (så länge kurvan ej har degenererat till en punkt), som punkterna ligger på. De distinkta punkterna är alla åtskilda från varandra. De är fullständigt osammanhängande. Vi synliggör en kurva genom att pricka ut den med färgade punkter, som vi kan se, alltså små objekt med utsträckning i 2 dimensioner. Det är förmodligen detta, som får oss att tro, att tillräckligt många punkter bygger upp en sammanhängande kurva. En äkta, geometrisk punkt är omöjlig att upptäcka visuellt. Ofta betraktas en yta som ett oändligt antal tätt bredvid varandra packade kurvor. Invändningen mot detta synsätt är motsvarande det för kurva uppbyggd av punkter. Eftersom kurvor saknar bredd, kan de inte heller adderas ihop till bredd. Ytan har en egenskap, som kurvan saknar en andra dimension. Ett exempel följer strax. Precis som med punkter kan inte heller kurvor synas, eftersom också de saknar yta. Minst och störst 2014-05-08 Jan Leidenhed 3 / 6
Volymer kan i sin tur inte genereras av på varandra staplade ytor (samma resonemang som ovan) inte heller av packade kurvor eller punkter. Åt motsatta hållet går det bättre. Utsträckning i en godtyckligt vald dimension kan neutraliseras genom att man tilldelar den längden 0 (= avsaknad av längd). Om den berörda dimensionen då försvinner eller ska betraktas som befintlig men oanvänd och i standby-läge får väl bli en fråga för filosoferna eller för den aktuella tillämpningen. Vår klassiska värld beskrivs av tre utbredningsdimensioner, som vi ofta kallar längd, bredd och höjd. Jag hade lika gärna kunnat säga, att vi har 1000 sådana dimensioner, varav 997 stycken alltid har utbredningen 0, alltså saknar utbredning. Med det synsättet kan också punkten ha 1000 dimensioner. Larvigt, eller hur? K 1, K 2, K 3 och K 4 här under visar ett avsnitt av kurvor, där enda skillnaden ligger i avståndet mellan två intilliggande vertikala delar. I K 2 är avståndet 1/2 av K 1 :s, i K 3 1/3 av K 1 :s och så vidare. Hos den n:te bilden (K n ) är avståndet 1/n av avståndet i K 1. Minst och störst 2014-05-08 Jan Leidenhed 4 / 6
Låt nu värdet hos n växa upp mot det oändliga. Då kommer de vertikala linjerna att närma sig varandra allt mer till att så småningom ligga oändligt nära varandra. Aha, till slut blir väl denna hela tiden tätnande kurva en yta? Svaret är nej. Kurvan saknar dimensionen bredd och upptar därför hela tiden, oberoende av antalet slingor, bredden 0. Vi ser de vertikala linjerna, eftersom de är ritade med en viss tjocklek. Ögat lurar oss att dra fel slutsats. Här har jag ramat in en oändligt tät kurva uppritad med korrekt linjetjocklek: Som du ser, ser du inte kurvan! Så här ska även de glesare kurvorna (K n ) se ut. Talet De reella talen återfinns som punkter på en endimensionell tallinje. Så här skrev jag tidigare, men det är inte korrekt! Om jag ändrar De reella talen till De rationella talen, blir det rätt. Ett irrationellt tal kan inte representeras av en punkt. Om detta skriver jag utförligt i kapitlet Min oändlighet. Resten av texten i det här avsnittet (Talet) har utgått, då den utgick från en felaktighet. Den ryska oändligheten Det försvinnande lilla tal 0± jag kallar den ryska nollan kan alltid halveras till ett ännu mindre värde (som också är en rysk nolla). Det sanslöst stora tal jag kallar den ryska oändligheten kan alltid dubbleras till ett (till belopp) ännu större värde (som också är en rysk oändlighet). I analogi med 0± har jag givit den teckenförsedda ryska oändligheten beteckningen ±. Både den ryska nollan 0± och den ryska oändligheten ± representerar i varje ögonblick ett teckenförsett tal, exempelvis extremtalen (+)janl, -janl, (+)JANL och -JANL från tidigare kapitel. Den vanliga nollan och oändligheten 0 är ett heltal som inte följer samma räkneregler som de positiva och negativa talen. kan definitivt inte tolkas som ett tal, men används i vissa fall som ett Minst och störst 2014-05-08 Jan Leidenhed 5 / 6
sådant, till exempel i fallet 7 = 0. Trots att saknar bestämt värde, utgår man från, att det är ett oändligt stort värde på något sätt. Det räcker i praktiken för att få resultatet 0. Jag är mycket tveksam till detta sätt att räkna på. Jag föredrar att använda den ryska oändligheten och den ryska nollan genom att dividera med ± och få resultatet 0±, så här: 7 = 0 ±. Sedan ersätter jag 0± med 0 och är ± medveten om, att resultatet inte är exakt rätt. Stor eller liten? Ändlig storlek är relativ och avgörs av betraktarens tolkning. Min livslängd är oändligt kort (0±) i det eviga perspektivet. För mig själv är den hyggligt lång. Jämfört med vissa elementarpartiklars försvinnande korta liv, så lever jag nästan oändligt länge. Min livslängd är med andra ord 0±, normal och ± på samma gång. I kapitlet Gränsvärden visar jag bland annat, att en funktion som växer mot oändligheten samtidigt går obönhörligt mot 0 beroende på, vem som betraktar den. Minst och störst 2014-05-08 Jan Leidenhed 6 / 6