Geometriupplevelse och skolgeometri 2

Geometriupplevelse och skolgeometri 2 I detta nummer avslutar Bengt Ulin, Bromma, sin artikel om geometrin som impulskälla till utveckling av kreativt tänkande och förmåga att dra logiska slutsatser 3. Gör tänkandet rörligt: öva geometrisk förvandling I hela vår boendemiljö och i den mineraliska världen spelar den räta vinkeln en mycket stor roll, ävenså parallellitet. Den uppträder ofta i symmetriformer. Det är dessa, som med sin vilande, stationära karaktär, verkar inkarnerande på skolbarnen. Men i alla åldrar förblir vi starkt förankrade i denna gren av geometrin, eftersom vår egen kropp och dess funktioner i många avseenden bygger på symmetri. Allra tydligast kommer beroendet av den räta vinkeln i dagen, när vi besinnar den upprätta gången och kroppsbalansens beroende av jämviktssinnet, som i sin tur har en fysisk grundval i de tre halvcirkelformade båggångarna i innerörat. Dessa båggångar befinner sig i tre plan, som parvis bildar räta vinklar med varandra (fig 13 a). I växt, djur och människa intar formförvandlingar en central plats, ofta i tidiga utvecklingsskeden. Men även i tekniken är förvandling av former viktig. I en förvandling råder rörelse. Den statiska formen är endast temporär (fig 13 b). Det är angeläget att skolan ger gott utrymme åt övningar i formförvandling. Några exempel: 1. Vi fixerar basen i en vald likbent triangel. Hur förändras triangelformen om triangelspetsen rör sig på triangelns symmetrilinje? (Eleverna ritar en skara sådana trianglar.) Närmar sig trianglarna någon gränsform, när de blir mycket höga (eller långa)? 33

2. Vi utgår från en (exempelvis vågrät) rektangel, fixerar en sida och låter motsatt sida med fix längd röra sig på parallellen till den fixerade sidan. Vilka former uppträder då? Finns det något gemensamt hos alla uppkomna figurer? (Fig 14.) ändpunkt på a. Rita kurvan för den andra ändpunktens rörelse och studera kurvans förvandling då den avsatta sträckans längd ökas. 5. En cirkel rullar på en given linje. Vilken kurva beskriver en på cirkeln vald fixpunkt? Hur ändras kurvan om man väljer en annan fix punkt a) på en radie i cirkeln? b) på förlängningen av en radie? 3. Vi utgår ånyo från en rektangel, säg ABCD, där AB är vågrät. Vi håller fast vid vågrät resp lodrät riktning hos AB resp AD och låter hörnet C röra sig så att a) rektangelarean bibehålls (fig 15); b) rektangelns omkrets bibehålls. Hur rör sig C och hur ser de uppkomna rektanglarna ut? Resultaten får visa sig åtminstone empiriskt genom figurritningen. 4. I fig 16 är linjen a och punkten P givna. Genom P går en rörlig linje p. Från p:s skärningspunkt med a avsätts en fix sträcka på p i riktning mot P. När p vrider sig kring P glider sträckans ena 6. Fig 17 visar en fix liksidig triangel T och en rörlig likadan triangel T'. Den senares spets rör sig nedåt genom parallellförskjutning så att spetsen alltid tillhör en av T:s höjder eller dess förlängning. Studera hur trianglarnas gemensamma område förvandlas. Finns det speciella lägen av intresse? 7. För att härleda cirkelns area ur kännedom om dess omkrets kan man dela cirkelarean i 4 lika stora sektorer, som omplaceras enligt figur 18. 34

Arean bibehålls men antar en helt annan form. Man kan göra samma procedur med 8 lika stora sektorer, därefter med 16, 32, 64 etc. Mot vilken gränsfigur går då den i sidled utlagda arean och till vilken formel kommer man på så sätt? I exempel 7 hålls areans storlek invariant, medan dess form stegvis förändras. Utnyttjande av invarianter har spelat och spelar en stor roll i matematiken. Som intressant kontrast mot formförändrade procedurer bör man ställa övningar i förstoring och förminskning, likställighet och likformighet. Här förändras figurernas storlek, medan formen bibehålls. Arbetsuppgifter Här följer några förslag på utredande arbetsuppgifter: Delar av en viss typkurva kan ha olika form, medan kurvan som helhet har en och samma form, oavsett storleken. Exempel: cirkeln. Finns det andra kända typkurvor med denna egenskap? En parallellogram med två sidor a och två sidor b har den ena a-sidan fixerad. I alla fyra hörnen finns det leder. När den andra a-sidan får röra sig ändras parallellogrammens form. Finns det något som inte ändras (mer än a- och b-längderna)? Hur utnyttjas detta exempelvis i bussar, i en viss typ av gungor och i en typ av rörliga lådor för sömnadsmaterial? (Fig 20.) [6] Till kapitlet förvandling av ytor hör även den geometriska illustrationen av konjugatregeln. Fig 19 visar geometriskt att a 2 b 2 kan skrivas (a + b)(a b). Förvandlingar av en figuryta kan även användas för bevis av Pythagoras sats. [5] Vi utgår från två linjer a och b som är vinkelräta mot varandra. En sträcka av fix längd, AB, rör sig så att A glider på a och B på b. Vilken kurva beskriver mittpunkten på AB? Och hur förändras kurvan om mittpunkten byts mot en annan fix punkt på AB? 35

I fig 21 är en cirkel med lodrät diameter given. Vinkelrätt mot denna är en skara kordor dragna. Varje sådan korda förflyttas i sin egen riktning åt höger tills dess mittpunkt kommer på den givna linjen a. Rita den kurva (ellips) som kordorna nu tillhör. Hur förändras ellipsformen, om a vrids till ett läge som alltmer närmar sig den vågräta riktningen? Finns det övningar i detta avsnitt som är av intresse i skuggläran, dvs vid konstruktion av skuggor till givna föremål? Genomsnitt av en turmalin kan ge vackra exempel på triangelförstoring. Samla på andra exempel från naturen som visar förstoring (förminskning) eller formförvandling (fig 22). Beträffande kurv- och formförvandling vill jag avslutningsvis betona att detta tema tas upp analytiskt i gymnasieskolans matematik, då man studerar hur variationen av en parameter i en ekvation förändrar en kurvas förlopp. Genom lämpligt parameterval kan man uppnå att kurvan går genom en önskad punkt, ett viktigt kapitel tillämpad matematik. Exempelvis kan man genom att beräkna ett visst värde på parametern k uppnå att hyperbeln xy = k går genom en given punkt i xy-planet. (Fig 23.) Av utrymmesskäl måste här en orientering om tredimensionella förvandlingar utelämnas. 36

4. Låt gymnasieeleverna få en kurs i projektiv geometri Eftersom projektiv geometri är tämligen okänd, måste detta avsnitt få karaktären av ett debattinlägg. När nu rätt starka röster höjs för en bredare geometriundervisning vill jag ta tillfället i akt och bryta en lans för projektiv geometri, efter många års erfarenhet av undervisning på detta område i klasser på gymnasienivå. Låt oss först bli medvetna om att geometrin sedan drygt femton år har en mycket svag ställning i svensk skola. Visst räknar eleverna ut areor och volymer fortfarande, kanske bättre än förut, men de övningar i ren "syntetisk" geometri som borde bedrivas parallellt med kvantitetsberäkningar har en ringa omfattning. Den analytiska "geometrin" finns företrädd, men i denna löser man geometriska problem på algebraisk väg; man går en ofta effektiv väg till det resultat man söker men utför ej någon geometrisk aktivitet. Vad skulle då syftet med projektiv geometri vara? Proj ektiv geometri kan ge ungdomarna en unik övning i flexibelt tänkande och mångfasetterad omdömesbildning, speciellt ur rakt motsatta aspekter en betydelsefull integration av klarhet i begreppsbildning, aktiv åskådning och estetisk upplevelse värdefulla perspektiv på Västerlandets idéhistoria. Kort historisk orientering Den projektiva geometrin växte fram på 1600-talet ur de problem som perspektivmåleriet ställde. Efter grundläggande insatser på 1640 talet av Gerard Desargues och den då mycket unge Blaise Pascal de gav namn åt "Desargues' sats" resp "Pascals sats" föll denna unga geometri i en törnrosasömn fram till ungefär år 1810, då den snabbt expanderade. Efter banbrytande och övergripande insatser av fransmän, främst J V Poncelet, utvecklades den projektiva geometrin i England och Tyskland och kom att bli "all geometry" (A Cayley): den visade sig innehålla euklidisk geometri och dess icke-euklidiska syskongeometrier som specialfall. Vad är projektiv geometri? I facklitteratur presenteras projektiv geometri i regel i analytisk dräkt, med hjälp av koordinater. Vad jag här vill plädera för är en elementär icke analytisk, syntetisk projektiv geometri. Perspektivläran redogör för samband som råder då objekt med hjälp av projektionsstrålar till ett tänkt punktformigt öga projiceras på ett bildplan. Denna lära utvecklades av matematiker och utvidgades till projektiv geometri. Viktiga delar av denna handlar om central projektion, vars avbildningar kallas perspektiviteter. Avbildningar som erhålls genom två eller flera perspektiviteter sägs vara projektiva. Till detta kommer att den projektiva geometrin inte minst kan engagera elever som finner algebra och analytisk geometri svårbemästrade. 37

Fig 24 visar perspektivavbildning av en linje a på en linje a'; C är perspektivcentrum. Euklidiskt uttryckt råder en 1 1 korrespondens mellan punkter på a och punkter på a' utom i två fall: då a-punkten (X i fig) är så belägen, att strålen genom C går parallellt med a', "saknas" bildpunkt X'; om däremot C-strålen går parallellt med a, "saknas" på a en punkt Y som svarar mot en punkt Y' på a'. Dessa euklidiska undantagsfall undanröjs i projektiv geometri genom introduktion av oändligt avlägsna punkter. Till varje euklidisk linje (ändlös åt två håll) tillfogas en oändligt avlägsen punkt, varigenom linjen (nu kallad projektiv linje) blir en sluten punktmängd. Den projektiva tolkningen av fig 24 blir då följande: När strålen genom C vrider sig genomlöper dess skärningspunkt med a resp a' hela linjen a resp a'. Mot X svarar den oändligt avlägsna punkten X'. och mot Y' den oändligt avlägsna punkten Y,. Parallella linjer har gemensam oändligt avlägsen punkt (fig 25). Introduktionen av oändligt avlägsna punkter den funktionella ekvivalensen till parallellitet kan göras helt osökt genom ett studium av Desargues' sats, en av den projektiva geometrins viktigaste och vackraste satser. Enligt Desargues' sats ligger de tre skärningspunkterna P, Q och R till motsvarande par av sidor i två (med avseende på en punkt 0) perspektiviska trianglar i rät linje, d i fig 26. Här är P=ABxA'B', Q=BCxB'C' och R=ACxA'C'. Trianglarna kan vara perspektiviska i rummet eller i planet. Fig 26 föreställer en tredimensionell realitet men är i sig själv tvådimensionell. Linjen d har fått namnet Desargues' linje. Man kan visa satsens omvändning: Om två trianglar har en Desargueslinje, så är de perspektiviska med avseende på en punkt. Om exempelvis AB//A'B' blir P en oändligt avlägsen punkt P ; om även BC//B'C', så blir alla de tre sidparen parallella, dvs både P, Q och R blir oändligt avlägsna. I denna situation introduceras planets oändligt avlägsna linje, l : mängden av planets samtliga oändligt avlägsna punkter. På så vis "räddas" Desargues' sats till att bli generellt gällande. 38

Om perspektivitetscentrum O är oändligt avlägset blir den centrala projektionen av ABC på A'B'C' euklidiskt uttryckt en parallellprojektion. Men kan på olika sätt bevisa att det s k dubbelförhållandet är invariant vid projektiv avbildning; Här några korta kommentarer: 1. Desargues' figur omfattar 10 punkter och 10 linjer, 3 punkter per linje och 3 linjer per punkt. Den är dual i sig själv: linjer och punkter deltar i funktioner som motsvarar varandra. Man kallar därför figuren för Desargues' konfiguration. Eleverna får utreda om perspektivitetscentrum kan väljas i vilken som helst av de 10 punkterna och omvänt, om Desargues-linjen kan vara vilken som helst av de 10 linjerna. Det gäller därvid att finna de två trianglarna. Övningen blir synnerligen flexibel, om en eller flera av de 10 punkterna är oändligt avlägsna. (Se fig 28.) Förhållandet PA PB = QA QB ändras ej (fig 27). Vid parallellprojektion bibehålls redan de vanliga förhållandena PA PB och QA QB Det finns betydligt mer djupgående satser men dessa skulle leda för långt i en skolkurs. Vad skulle en skolkurs innehålla? Främst tre kapitel: 1. Flexibla övningar i anknytning till Desargues' sats 2. Mångsidig övning av dualitet i figurer 3. Ett studium av geometriska axiom 2. Någon gång på 1810-talet upptäckte man att de oberoende av varandra uppställda satserna av Pascal (1640) och Brianchon (sannolikt 1810) utgör en och samma sats, formulerad ur dualt motsatta aspekter. (Fig 29.) I Pascals sats utgår man från 6 punkter på ett kägelsnitt, i Brianchons från 6 tangenter till ett kägelsnitt. Den förra figuren ger tre punkter i rät linje, den senare tre linjer genom en punkt. 39

I den dualitet som råder i planet är punkter och linjer motsatta element. Skärningspunkt och sammanbindningslinje motsvarar varandra. Skärning och sammanbindning är duala operationer. I rummet är punkten och planet varandras motsatser. Linjerna förmedlar mellan punkter och plan, varvid sammanbindningslinjer har skärningslinjer som dual motsvarighet och vice versa. Redan den plana dualiteten mellan punkter och linjer erbjuder en mångfald övningar. Fig 29 31 visar exempel på duala figurer. Den ena av dem är given, den andra skall ritas. 40

Under dualitetsövningarnas gång visar det sig, hur "indoktrinerade" vi är i fråga om punktaspekter och hur svårt det är att bli hemmastadd med de mot punktfigurer svarande linjefigurerna. Att eleverna får arbeta med duala motsatser, så att de blir förtrogna med dem och säkra i åskådningen är särskilt värdefullt. 3. Studiet av dualitetens grunder leder till en analys av axiomen. Härvid gäller det att även undersöka oändlighetselementens roll. Har exempelvis två punkter alltid en sammanbindningslinje? Hur är det om den ena punkten eller båda är en oändligt avlägsen punkt? I axiomstudiet är dörren öppen för en orientering om de geometriska fundament som lades av David Hubert omkring sekelskiftet. Som komplement till detta inlägg vill jag rekommendera en genomläsning av kapitlen 10, "Måleri och perspektiv", och 11, "Projektiv geometri" i SIGMA ([7]). Den senare uppsatsen finns i en bättre version i avsnitt 7, del VIII i samma verk. Referenser [1] Van der Waerden, B.L., Er wachende Wissenschaft, Birkhäuser, Basel 1956. [2] Dito, samt Scientific American, nr 6, 1964. [3] Ulin, B, Att finna ett spår, Utbildningsförlaget 1988. [4] Weyl, H., Symmetri, avsnitt 9, del VIII av SIGMA (se [7]). [5] Van Baravalle, H., Geometrie als Sprache der Formen. Verlag Freies Geistesleben, Stuttgart. [6] Bolt, B., Boken om aktiviteter i matematik. Gothia, 1984. [7] SIGMA, En matematikens kulturhistoria. (Red J Newman) Forum, 1965. 41