Ett engagerande övningsfält

Storlek: px
Starta visningen från sidan:

Download "Ett engagerande övningsfält"

Transkript

1 Ett engagerande övningsfält Bengt Ulin Den projektiva geometrin har sin grund i det perspektivmåleri som utvecklades i Europa under renässansen. En teoretisk grund lades av den franske arkitekten Gerard Desargues på 1600-talet. Den projektiva geometrin ger nya och spännande ingångar till geometriämnet och visar på möjligheter till samverkan mellan matematik och de sköna konsterna. Konstruktioner, kreativitet och logiskt tänkande kännetecknar den projektiva geometrin, dvs problemlösning när den är som bäst. Häromdagen slog jag upp Bra Böckers lexikon för att utöka min kunskap om geologi och hamnade då först på ett angränsande uppslag som presenterade ämnet geometri. Artikeln är inte lång men den är koncis och historiskt intressant. Desto mer utrymme upptar två färgade faktarutor. Den ena visar med text och instruktiva figurer fem exempel på geometriska satser. De redogör för triangelns vinkelsumma, Pythagoras sats, parabeln som ljussamlare eller strålkastare samt Pascals och Desargues satser. Det gläder mig att den projektiva geometrin är representerad i två av de fem exemplen (Pascals och Desargues satser, fig 1). I samma förtjänstfulla stil visar den andra rutan sju geometriska konstruktioner med passare och linjal (inklusive bevis!): fyra grundkonstruktioner och tre tilllämpningar. Vid en kommande revision av den svenska skolmatematikens kursplan borde man beakta de tyngdpunkter som Bra Böcker (enligt medarbetarförteckningen professor Carl-Erik Fröberg) valt i sin presentation av matematikgrenen geometri. Innnan vi går in på projektiv geometri kan det vara av intresse att se några årtionden bakåt i fråga om svensk skolgeometri. Fig 1a Två trianglar ABC och A B C är perspektiviska med avseende på en punkt (O), om och endast om de har en Desargues-linje (d) Fig 1b För varje godtyckligt val av ett hexagram , inskrivet i ett kägelsnitt, ligger punkterna 12x45, 23x56 och 34x61 på en rät linje (p) Bengt Ulin är välkänd från biennnaler, artiklar och några böcker. Han har varit lektor vid Lärarhögskolan i Stockholm och Kristofferskolan i Bromma. Nämnaren nr 3, 2000 Beteckning: krysset, x, innebär skärning. AB x CD anger skärningspunkten mellan linjerna AB och CD. 43

2 Den blev starkt beskuren vid tiden för grundskolans genomförande. I praktiken var den på väg att helt försvinna ur skolan, speciellt från gymnasieskolan, skriver Wiggo Kilborn i del 3 av Didaktisk ämnesteori i matematik [3]. Försök att införa avbildningsgeometri rann ut i sanden. Avbildningsgeometrin knyter nära an till geometriska konstruktioner, som enligt min mening är hjärtpunkten i den klassiska geometri som grekerna utvecklade i bokverket Elementa. Geometriundervisningen är sedan länge betänkligt enbent: den allra mesta tiden ägnas åt kvantitativa beräkningar. Visst är sådana värdefulla men det behövs mer av kvalitativa problem. Konstruktioner med passare och linjal erbjuder ett stimulerande övningsfält i grundskolan, ett utrymme för såväl kreativitet som logiskt tänkande, kort sagt: problemlösning när den är som bäst. Studiet kan fortsättas i gymnasiet men bör på denna nivå även omfatta projektiv geometri. Vad är då projektiv geometri och varför erbjuder denna ett så utvecklingsfrämjande kunskaps- och övningsfält? Ordet projicera härrör från latinet och betyder kasta. En skugga på en vägg utgör en projektion av ett föremål. Vi säger som bekant att föremålet kastar skugga på väggen. De centrala frågorna i projektiv geometri handlar om vad som bevaras vid s k central projektion, dvs projektion utifrån en punktformig källa. Att projektiv geometri är så fruktbar i skolan beror till stor del på ämnets egna kvaliteter: man kan bygga upp en omfattande ren icke-metrisk geometri, i vilken operationerna sammanbindning och skärning är centrala. Dessutom är ämnets historia fascinerande. Erfarenheter sedan 1960 med över 1000 elever i årskurs i Kristofferskolan (en 12-årig waldorfskola i Bromma) har visat mig att projektiv geometri engagerar praktiskt taget alla elever. Eftersom kursen börjar på gräsrotsnivå känner sig alla motiverade och de upplever mer arbetsglädje än på flertalet andra matematikområden. Kursen genomförs som periodundervisning med en omfattning av ca 30 klocktimmar. Därav läggs ca 20 klocktimmar i årskurs 11 på grundläggande begrepp och övningar. När perspektivmåleriet kom i förgrunden under och 1500-talen var detta ett tecken på en tilltagande medvetenhet om rummets alla dimensioner i Västerlandet. Den franske arkitekten Gerard Desargues lade en grund för den nya geometrin på 1640-talet och Blaise Pascal upptäckte som 16-åring en viktig karakterisering av kägelsnitten. Efter en lång törnrosasömn återuppväcktes projektiv geometri främst av Victor Poncelet, då han under ett och ett halvt år vistades som utblottad krigsfånge i Saratov vid nedre Volga. Återkommen till Frankrike gav han geometrin en solid grundval och publicerade ett standardverk Det stod då klart att projektiv geometri rymmer vackra dualiteter, både i rummet och i planet, på linjen och i punkten. Fig 2 illustrerar detta. Fig 2 De vågräta dubbelpilarna visar dualitet i planet, på linjen och i punkten. Kryssdiagonalerna visar dualiteter i rummet, där punkt och plan är dels duala element, dels duala totaliteter (bärare av linjer och plan resp linjer och punkter. Exempelvis utgör punkt och plan duala element i rummet, medan linje och plan är duala element om man väljer punkten som scenario för en geometri. 44 Nämnaren nr 3, 2000

3 I planet är punkt och linje, punktkurva och linjekurva duala element. Fig 3 Linjeellips formad av tangenter. I gängse undervisning ses planet som ett punktfält och kurvor som en mängd av punkter. Ser man däremot planet som ett linjefält formas kurvorna av linjer. Fig 3 visar en linjeellips. Eleverna får nya, intressanta perspektiv, bl a på kägelsnitten. Dessa framstår som slutna kurvor: parabeln är ett kägelsnitt som tangerar planets oändligt-avlägsna linje; hyperbeln är ett kägelsnitt med två oändligt-avlägsna punkter, i vilka kurvan tangerar asymtoterna (fig 4). De oändligt-avlägsna elementen introduceras inte ad hoc som fallna från himlen utan på ett osökt sätt för att göra Desargues sats om perspektiviska trianglar allmängiltig. Efter en trevande första bekantskap med dessa icke-åskådliga element erfar eleverna alltmer hur de fungerar. Denna process, att gradvis växa in i nya begrepp, är en värdefull övning. Hälften av kursen i 11:e klass ägnas åt en mycket flexibel problemlösning kring Desargues sats. Under den återstående delen av kursen (år 11-12) löser vi problem rörande dualitet. Att bygga upp och studera dualiteter innebär att betrakta ting och problem ur motsatta aspekter en övning i flexibilitet och omdömesbildning av värde långt utöver skoltiden. Waldorfskolans arbetssätt, som bl a innebär att varje elev utformar en periodredogörelse, ger eleverna extra möjligheter att uppleva skönhet i geometrin, t ex funktionell symmetri som erhållits ur en asymmetrisk utgångsfigur (fig 5). Fig 4 Hyperbeln som ett slutet konvext kägelsnitt med två oändligt avlägsna punkter. Fig 5 Kägelsnitt som linjekurva, erhållen ur en asymmetrisk utgångsfigur. I gymnasieskolan domineras geometrin av analytisk geometri. Den är ett viktigt och effektivt verktyg vid vissa problemtyper: Nämnaren nr 3,

4 man löser problemen med algebraisk metod och översätter resultat till geometri. Icke-analytisk projektiv geometri erbjuder däremot en alltigenom geometrisk aktivitet och det är överraskande att man kan komma mycket långt utan att införa en metrik (en längdenhet), dvs genom att studera sammanhang mellan punkter, linjer och plan utan måttbestämningar. Projektiv geometri inrymmer faktiskt alla andra geometriska system. ( Projective geometry is all geometry, yttrade den engelske matematikern Arthur Cayley.) Låt oss gå till ett problemexempel för att kvaliteten i projektiv geometri ska bli mer konkret. Vi får här ta Desargues sats som en given baskunskap. Som ytterligare förutsättning för problembehandlingen fungerar några valda grundregler för perspektivisk avbildning på ett lodrätt bildplan: (1) Vågräta parallella linjer som bildar vinkel med bildplanet möts i en gemensam punkt på bildens horisont (som vi låter vara horisontell) (2) Vågräta linjer som är parallella med bildplanet avbildas som paralleller till bildhorisonten (3) Lodräta linjer avbildas som lodräta linjer Fig 6 illustrerar dessa regler. den projektiva linjen är identisk med den euklidiska linjen, utökad med en oändligt-avlägsen punkt I plan projektiv geometri har således två linjer alltid en gemensam punkt. Problemet blir nu att undersöka om de nyss formulerade grundreglerna håller måttet vid perspektivritning av ett hus med form av ett rätblock. Vi tänker oss detta placerat på ett vågrätt plan under ögonhöjd och så att husets lodräta kanter har olika avstånd till bildplanet. Husets väggar bildar alltså vinkel med bildplanet. AA väljs som den vertikala kant som är närmast bildplanet. Linjerna AV och A V är paralleller som går till en gränspunkt V; linjerna AH och A H är paralleller som går till en gränspunkt H (regel 1). Se fig 7. Fig 7. På AV, A V och AH, A H väljs hörnpunkter B, B resp D och D så att kanterna BB och DD blir vertikala (regel 3). Se fig 8. Fig 6. Innan vi formulerar problemet bekantar vi oss med några begrepp av fundamental vikt i projektiv geometri: varje riktning bestämmer en oändligtavlägsen punkt och vice versa parallella linjer har en gemensam punkt: en ändligt-avlägsen skärningspunkt Fig 8 Nu dras linjerna DV, D V, BH och B H. Därmed erhåller vi husets återstående två hörn C = DV x BH och C = D V x B H. Se fig Nämnaren nr 3, 2000

5 Fig 9. Fråga: Blir husets fjärde knut, CC, lodrät i bilden? (F) Kan vi garantera att kanten CC blir lodrät? Vi formulerar om frågan till den ekvivalenta frågan: Blir kanten CC parallell med kanten AA (och därmed per konstruktion även med BB och DD )? Fig 9 innehåller inte mindre än 13 linjer (horisonten plus husets 12 kanter) och 11 punkter. Ja, 11 punkter, eftersom de tre lodräta parallellerna AA, BB och DD möts i en oändligt-avlägsen punkt. Räknar vi linjer och punkter i Desargues-figuren (fig 1), finner vi 10 linjer och 10 punkter. De är förknippade med varandra på så vis att 3 punkter ligger på varje linje och 3 linjer går genom varje punkt. (Figuren sägs vara självdual.) Det gäller tydligen att förenkla fig 9 på något sätt så att vi lättare kan tillämpa Desargues sats. I fig 8 är antalet linjer 8 och antalet punkter 9 (av vilka en är oändligt-avlägsen i lodrät riktning). Det vore önskvärt med ytterligare två linjer och en punkt! Man kan här göra en upptäckt: det går att testa perspektivreglerna redan med fig 8, om vi bara bygger ut den på lämpligt sätt. De linjer vi ska tillfoga är de två diagonalerna d = DB och d = D B. De är vågräta paralleller i huset och bildar vinkel med bildplanet. Alltså ska de enligt regel (1) mötas på horisonten. Vi kommer kanske att ha nytta av att besvara följande förberedande fråga: Möts d och d på horisonten? Fig 10. Det förefaller naturligt att i fig 10 utgå från trianglarna ABD och A B D. De är nämligen perspektiviska med avseende på den oändligt-avlägsna punkten O i lodrät riktning. Vilka är Desargues-punkterna? Svar: V = AB x A B, H = AD x A D och d x d. Eftersom V och H bestämmer Desargues-linjen och denna sammanfaller med horisonten, måste den tredje Desargues-punkten, d x d, ligga på horisonten. Så långt står sig perspektivreglerna, åtminstone. Nu åter till fig 9 och huvudfrågan (F). Utrustade med det nyss vunna resultatet är det frestande att denna gång utgå från trianglarna BCD och B C D. Det gäller att visa att CC är lodrät, dvs går genom den oändligt-avlägsna punkten BB x DD. Vi kan tydligen ta bort linjen AA. Med denna linje stryks även punkterna A och A samt linjerna AB, A B, AD och A D. Medräknat diagonalerna d och d och deras skärningspunkt (S) på horisonten uppvisar den renodlade figuren, fig 11, faktiskt 10 linjer (av vilka en är den heta linjen CC ) och 10 punkter (av vilka BB x DD ska visas tillhöra CC ). Fig 11. Trianglarna BCD och B C D har en Desargues-linje med punkterna S, V och H. Således är trianglarna enligt Desargues perspektiviska. Deras perspektivitets-centrum är punkten BB x CC x DD. Därmed Nämnaren nr 3,

6 är visat att CC går lodrätt, dvs är parallell med de tre övriga kanterna. Vi har samtidigt funnit att de tre perspektivreglerna fungerar vid konstruktionen av husets perspektivbild. Detta får illustrera att projektiv geometri bildar grundvalen för den perspektivlära som utvecklats och som var vaggan för detta område av geometri. Jag skulle helst se att alla gymnasieelever kunde få en delkurs i projektiv geometri. De skulle bli engagerade och kursen skulle bidra till en mer positiv atmosfär kring skolmatematiken. (Vem är inte bedrövad över de ensidiga reportage och diskussioner kring den tråkiga matematiken som media då och då ställer fram?) I en problemsamling för projektiv geometri på gymnasienivå kan svårighetsgraden variera mellan mycket enkla problem till mer komplicerade (i stil med det nyss behandlade perspektivproblemet). Dessutom kan snarlika problem varieras på ett flexibelt sätt så att repetitionsövningar blir intressanta och tillför eleverna nya erfarenheter. På senare tid har projektiv geometri i ökande grad utnyttjats i datorgrafik. I skolan ligger dess värde främst i att den på ett så fruktbart sätt utvecklar förmågor av skilda slag hos eleverna. Att ämnet högaktas även av namnkunniga matematiker framgår av det slutord som jag här ger åt amerikanen Morris Kline, författare till en rad värdefulla böcker om matematik: Det är naturligtvis sant att andra områden inom matematiken, framför allt differentialekvationerna, har betytt mer för vetenskapens utveckling än den projektiva geometrin. Men ingen del av matematiken kan tävla med den projektiva geometrin i fråga om originalitet i idéer, samordningen av intuition vid upptäckterna med stränghet i bevis, renhet i tanke, logisk fulländning, elegans i bevis och begreppens omfångsrikedom. Den vetenskap som föddes ur konsten visade sig även tillhöra konsten. Referenser Coxeter, H. S. M. (1994) Projective Geometry. Springer. Coxeter, H. S. M. (1955). The Real Projective Plane. Cambridge Univ Press. Kilborn, W. (1992). Didaktisk ämnesteori i matematik, del 3. Almqvist & Wiksell Hermods Kline, M. (1977). Projektiv geometri. SIGMA, band 4. Bonniers. Kline, M. (1977). Matematiken i den västerländska kulturen, kap 11. Måleri och perspektiv. Prisma Ulin, B. (1998). Klassisk geometri. Ekelunds. Ulin, B. (2000). Projektiv geometri. Ekelunds. Winroth, H. (1999). Dynamic Projective Geometry. KTH. Projektiv geometri en åskådlig introduktion Bengt Ulin Geometri har haft en aktad ställning som vetenskap under fyra årtusenden, i vår tid kanske framförallt området analytisk geometri. Till skillnad från detta område så har dock den projektiva geometrin trots sin vidd och skönhet inte fått något nämnvärt utrymme i svenskt skolväsende. I sin bok Projektiv geometri en åskådlig introduktion visar Bengt Ulin just på denna vidd och skönhet. Titeln har en dubbel innebörd, dels kan den projektiva geometrin ses som en introduktion till övrig geometri, dels är Ulins egen framställning i hög grad en åskådlig introduktion med många intressanta figurer och bilder. Den projektiva geometrin har sina rötter i 1400-talets perspektivmåleri, och Ulin visar på intressanta samband mellan matematik och renässansens målarkonst. Ulin påpekar också möjligheten att utnyttja datorkraft, så att man med hjälp av ritprogram kan variera givna data och på så sätt ge den projektiva geometrin en dynamisk karaktär. Boken vänder sig till alla vänner av geometri och erbjuder såväl en ny ingång till geometrin som en vidgad matematisk allmänbildning. ISBN , Ekelunds Förlag AB 48 Nämnaren nr 3, 2000

Geometriupplevelse och skolgeometri 2

Geometriupplevelse och skolgeometri 2 Geometriupplevelse och skolgeometri 2 I detta nummer avslutar Bengt Ulin, Bromma, sin artikel om geometrin som impulskälla till utveckling av kreativt tänkande och förmåga att dra logiska slutsatser 3.

Läs mer

Spegeln i Snövit och de sju dvärgarna kunde ge den elaka drottningen

Spegeln i Snövit och de sju dvärgarna kunde ge den elaka drottningen Bengt Ulin Spegling i plan geometri En vanlig spegel presenterar en avbild av oss när vi tittar i den. Vissa geometriska konstruktioner kan kallas speglingar, när ett objekt avbildas på ett annat i relation

Läs mer

Arkitektur. en utgångspunkt för projicering av rummet ned på planet

Arkitektur. en utgångspunkt för projicering av rummet ned på planet Lasse Berglund Arkitektur en utgångspunkt för projicering av rummet ned på planet I artikeln ges exempel på hur man med hjälp av den 500-åriga perspektivlärans relativt enkla principer kan skapa trovärdiga

Läs mer

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 Matematik Gymnasieskola Modul: Matematikundervisning med digitala verktyg Del 6: Undersökande arbetssätt med matematisk programvara Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2 I texten Undersökande arbetssätt

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt.

Ellipsen. 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Ellipsen 1. Apollonius och ellipsen som kägelsnitt. Vi skall stifta bekantskap med, och ganska noga undersöka, den plana kurva som kallas ellips. Man kan närma sig kurvan på olika sätt men vi väljer som

Läs mer

Kursplan Grundläggande matematik

Kursplan Grundläggande matematik 2012-12-06 Kursplan Grundläggande matematik Grundläggande matematik innehåller tre delkurser, sammanlagt 600 poäng: 1. Delkurs 1 (200 poäng) GRNMATu, motsvarande grundskolan upp till årskurs 6 2. Delkurs

Läs mer

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Explorativ övning 11 GEOMETRI Explorativ övning 11 GEOMETRI Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000

Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 2011-12-21 Matematik: Det centrala innehållet i kurserna i Gy 2011 i relation till kurserna i Gy 2000 Kurs 1a och 2a i Gy 2011 jämfört med kurs A och B i Gy 2000 Poängomfattningen har ökat från 150 poäng

Läs mer

Kompendium om. Mats Neymark

Kompendium om. Mats Neymark 960L09 MATEMATIK FÖR SKOLAN, Lärarlftet 2009-02-24 Matematiska institutionen Linköpings universitet 1 Inledning Kompendium om KÄGELSNITT Mats Nemark Detta kompendium behandlar parabler, ellipser och hperbler

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan

Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan Del ur Lgr 11: kursplan i matematik i grundskolan 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet

Läs mer

Centralt innehåll. I årskurs 1.3

Centralt innehåll. I årskurs 1.3 3.5 Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

Explorativ övning euklidisk geometri

Explorativ övning euklidisk geometri Explorativ övning euklidisk geometri De viktigaste begreppen och satser i detta avsnitt är: Kongruens och likhet mellan sträckor, vinklar och trianglar. Kongruensfallen för trianglar. Parallella linjer

Läs mer

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan

Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan Kursplanen i matematik 2011 - grundskolan MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust

Läs mer

Ämnesblock matematik 112,5 hp

Ämnesblock matematik 112,5 hp 2011-12-15 Ämnesblock matematik 112,5 hp för undervisning i grundskolans år 7-9 Ämnesblocket omfattar ämnesstudier inklusive ämnesdidaktik om 90 hp, utbildningsvetenskaplig kärna 7,5 hp och VFU 15 hp.

Läs mer

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK

MATEMATIK 5.5 MATEMATIK 5.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik

ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik ESN lokala kursplan Lgr11 Ämne: Matematik Övergripande Mål: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera matematiska begrepp och samband

Läs mer

Förmodligen är vi ganska många som

Förmodligen är vi ganska många som Laborera via internet Hur kan internet användas i matematikundervisningen på gymnasiet? Här ges smakprov på interaktiva övningar som författaren använt i sin klass. Förmodligen är vi ganska många som har

Läs mer

Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande:

Undervisningen i ämnet matematik ska ge eleverna förutsättningar att utveckla följande: Matematik Skolverkets förslag, redovisat för regeringen 2010-09-23. Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans

Läs mer

MVE365, Geometriproblem

MVE365, Geometriproblem Matematiska vetenskaper Chalmers MVE65, Geometriproblem Demonstration / Räkneövningar 1. Konstruera en triangel då två sidor och vinkeln mellan dem är givna. 2. Konstruera en triangel då tre sidor är givna..

Läs mer

7F Ma Planering v2-7: Geometri

7F Ma Planering v2-7: Geometri 7F Ma Planering v2-7: Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

Banach-Tarskis paradox

Banach-Tarskis paradox Banach-Tarskis paradox Tony Johansson 1MA239: Specialkurs i Matematik II Uppsala Universitet VT 2018 Banach-Tarskis paradox, bevisad 1924 och döpt efter Stefan Banach och Alfred Tarski, är en sats inom

Läs mer

8A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

8A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. 8A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier

Läs mer

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik

Betyg i årskurs 6. Grundskolans läroplan Kursplan i ämnet matematik Betyg i årskurs 6 Betyg i årskurs 6, respektive årskurs 7 för specialskolan, träder i kraft hösten 2012. Under läsåret 2011/2012 ska kunskapskraven för betyget E i slutet av årskurs 6 respektive årskurs

Läs mer

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist

ENDIMENSIONELL ANALYS B1 FÖRELÄSNING II. Föreläsning II. Mikael P. Sundqvist Föreläsning II Mikael P. Sundqvist Att bygga matematisk teori Odefinierade begrepp Axiom påstående som ej behöver bevisas Definition namn på begrepp Sats påstående som måste bevisas Lemma hjälpsats Proposition

Läs mer

Kongruens och likformighet

Kongruens och likformighet Kongruens och likformighet Torbjörn Tambour 23 mars 2015 I kompendiet har jag tagit kongruens- och likformighetsfallen mer eller mindre som axiom, vilket jag nu tycker är olyckligt, och de här sidorna

Läs mer

9A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

9A Ma: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. 9A Ma: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier

Läs mer

8F Ma Planering v2-7 - Geometri

8F Ma Planering v2-7 - Geometri 8F Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Tisdagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (30 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2

e 3 e 2 e 1 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet precis ett sätt skrivas v = x 1 e 1 + x 2 e 2 Kapitel 3 Vektorer i planet och i rummet B e 3 e 2 A e 1 C Figur 3.16 Vi har ritat de riktade sträckor som representerar e 1, e 2, e 3 och v och som har utgångspunkten A. Vidare har vi skuggat planet Π

Läs mer

48 p G: 29 p VG: 38 p

48 p G: 29 p VG: 38 p 11F322 MaI Provmoment: Matematik 5 hp Ladokkod: Tentamen ges för: Studenter i lärarprogrammet F-3 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 16-05-31 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel Totalt

Läs mer

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär,     NOMP Geometri Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp

Läs mer

9E Ma Planering v2-7 - Geometri

9E Ma Planering v2-7 - Geometri 9E Ma Planering v2-7 - Geometri Arbetsform under en vecka: Måndagar (50 min): Genomgång av gemensamma svårigheter i begrepp och metoder. Arbete i grupp med begrepp och metoder. Läxa (45 min): Läsa på anteckningar

Läs mer

En parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant?

En parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant? En parallellogram har delats i två delar P och Q som figuren visar. Vilket av följande påståenden är säkert sant? P har större omkrets än Q. P har mindre omkrets än Q. P har mindre area än Q Q och P har

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I det här dokumentet diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data Geometri och statistik Blandade övningar Sannolikhetsteori och statistik 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data 27, 30, 32, 25, 41, 52, 39, 21, 29, 34, 55,

Läs mer

Centralprojektion och perspektiv

Centralprojektion och perspektiv Centralprojektion och perspektiv Torbjörn Tambour 2001 tt teckna eller måla perspektiviskt riktigt är inte lätt och det var inte förrän under renässansen som man insåg hur det skall göras, även om det

Läs mer

Problemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F

Problemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F På jakt efter förmågor i undervisningen Problemlösning, utveckla förmågan att kommunicera matematik och använda matematikens uttrycksformer 5 F Aktivitetens namn: Triangelmatte Syfte Undervisningen ska

Läs mer

Ma7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri.

Ma7-Per: Geometri. Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Ma7-Per: Geometri Det tredje arbetsområdet handlar om geometri. Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda

Läs mer

ämnesområden. Funktioner och räta linjens ekvation. Hur funktioner kan användas för att undersöka förändring, förändringstakt och andra samband.

ämnesområden. Funktioner och räta linjens ekvation. Hur funktioner kan användas för att undersöka förändring, förändringstakt och andra samband. MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Parabeln och vad man kan ha den till

Parabeln och vad man kan ha den till Parabeln och vad man kan ha den till Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning I den här artikeln diskuterar vi vad parabeln är för geometrisk konstruktion och varför den

Läs mer

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod:

22,5 högskolepoäng. Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 3hp. Studenter i inriktningen GSME. TentamensKod: SMID Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: TentamensKod: Matematik 3hp Studenter i inriktningen GSME 22,5 högskolepoäng Tentamensdatum: 12-08-30 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga Totalt antal poäng på

Läs mer

Explorativ övning Vektorer

Explorativ övning Vektorer Eplorativ övning Vektorer Syftet med denna övning är att ge grundläggande kunskaper om vektorräkning och dess användning i geometrin Liksom många matematiska begrepp kommer vektorbegreppet från fysiken

Läs mer

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ

2012-01-12 FÖRSLAG TILL KURSPLAN INOM KOMMUNAL VUXENUTBILDNING GRUNDLÄGGANDE NIVÅ Matematik, 600 verksamhetspoäng Ämnet handlar bland annat om mängder, tal och geometriska figurer. Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska

Läs mer

Samband och förändringar Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften.

Samband och förändringar Olika proportionella samband, däribland dubbelt och hälften. MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

LPP för årskurs 2, Matte V.46-51 HT12

LPP för årskurs 2, Matte V.46-51 HT12 LPP för årskurs 2, Matte V.46-51 HT12 Värdegrund och uppdrag Skolan ska vara öppen för skilda uppfattningar och uppmuntra att de förs fram. Den ska framhålla betydelsen av personliga ställningstaganden

Läs mer

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600

Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk verksamhet är till sin lad till den samhälleliga, sociala och tekniska utvecklingen. Kunskaper

Läs mer

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper

Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Om ellipsen och hyperbelns optiska egenskaper Anders Källén MatematikCentrum LTH anderskallen@gmail.com Sammanfattning Ellipser och hyperbler är, liksom parabeln, s.k. kägelsnitt, dvs kurvor som uppkommer

Läs mer

Mängder, funktioner och naturliga tal

Mängder, funktioner och naturliga tal Lådprincipen Följande sats framstår som en fullständig självklarhet: Sats (Lådprincipen (pigeon hole principle)). Låt n > m vara naturliga tal. Fördelar man n föremål i m lådor, så kommer åtminstone en

Läs mer

Statistik, sannolikhet, algebra och funktioner, 3 hp. Studenter i lärarprogrammet F-3 III, 12F380 ht17 Varberg

Statistik, sannolikhet, algebra och funktioner, 3 hp. Studenter i lärarprogrammet F-3 III, 12F380 ht17 Varberg Grundläggande matematik II 7,5 högskolepoäng Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Statistik, sannolikhet, algebra och funktioner, 3 hp Studenter i lärarprogrammet F-3 III, 12F380 ht17 Varberg TentamensKod:

Läs mer

Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag

Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag Högstadiets matematiktävling 2018/19 Finaltävling 19 januari 2019 Lösningsförslag 1. Lösningsförslag: Vi börjar med att notera att delbarhet med 6 betyder att N är delbart med 2 och 3. Om N är delbart

Läs mer

Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON

Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON Matematikplanering 3 geometri HT-12 VT-13 7 a KON MÅL Grundkurs Mäta (med gradskiva) och beräkna vinklar Känna till triangelns vinkelsumma och använda den för att räkna ut vinklar Kunna namnen på några

Läs mer

Grundläggande matematik fo r grundlärare med inriktning mot arbete i grundskolans a rskurs 4-6, 15 hp VT ho gskolepoäng

Grundläggande matematik fo r grundlärare med inriktning mot arbete i grundskolans a rskurs 4-6, 15 hp VT ho gskolepoäng Grundläggande matematik fo r grundlärare med inriktning mot arbete i grundskolans a rskurs 4-6, 15 hp VT17 Provmoment: Tentamen Matematik, 4 hp, tillfälle 1 Ladokkod: TE01 Tentamen ges fo r: Studenter

Läs mer

Trigonometri. Sidor i boken 26-34

Trigonometri. Sidor i boken 26-34 Sidor i boken 6-34 Trigonometri Definition: Gren av matematiken som studerar samband mellan vinklar och sträckor i planet (och rymden). Det grundläggande trigonometriska problemet är att beräkna alla sidor

Läs mer

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK

MATEMATIK 3.5 MATEMATIK TETIK 3.5 TETIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan.

Läs mer

9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att:

9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: 9D Ma: Geometri VT 2018 Syftet med undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, använda och analysera

Läs mer

Skönhet och kreativitet: en introduktion till projektiv geometri

Skönhet och kreativitet: en introduktion till projektiv geometri U.U.D.M. Project Report 2015:35 Skönhet och kreativitet: en introduktion till projektiv geometri Henrik Gustavsson Examensarbete i matematik, 15 hp Handledare och examinator: Gunnar Berg September 2015

Läs mer

MATEMATIK. Ämnets syfte

MATEMATIK. Ämnets syfte MATEMATIK Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas, såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Kommunikation

Läs mer

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n

i=1 β i a i. (Rudolf Tabbe.) i=1 b i a i n Årgång 48, 1965 Första häftet 2505. Låt M = {p 1, p 2,..., p k } vara en mängd med k element. Vidare betecknar M 1, M 2,..., M n olika delmängder till M, alla bestående av tre element. Det gäller alltså

Läs mer

Explorativ övning Geometri

Explorativ övning Geometri Explorativ övning Geometri Syftet med denna övning är att ge kunskaper om grundläggande geometriska begrepp och resultat om geometriska figurer. Vi vill också ge en uppfattning om geometri som en matematisk

Läs mer

Ladokkod: TentamensKod: Tentamensdatum: Tid: Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Ladokkod: TentamensKod: Tentamensdatum: Tid: Hjälpmedel: Inga hjälpmedel 11GF20 MaI Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 0,5 hp Studenter i lärarprogrammet GF(11GF20) 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 16-05-13 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets

Vid kartläggningen av elevernas kunskaper har vi använt Skolverkets Madeleine Löwing & Wiggo Kilborn Elevers kunskaper i mätning och geometri I Nämnaren nr 4, 2009, finns en artikel som beskriver svenska elevers kunskaper i aritmetik. Den beskriver första delen av ett

Läs mer

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär, NOMP

Matematikbokens Prio kapitel Kap 3,.,Digilär,     NOMP Geometri Syftet undervisningen är att du ska utveckla din förmåga att: - formulera och lösa problem hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder, - använda och analysera begrepp och samband

Läs mer

Studenter i lärarprogrammet GF(11GF20) 46 p G: 28 p VG: 38 p

Studenter i lärarprogrammet GF(11GF20) 46 p G: 28 p VG: 38 p 11GF20 MaI Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 0,5 hp Studenter i lärarprogrammet GF(11GF20) 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 18-05-22 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Provmoment: Tentamen Matematik och matematikdidaktik, 3 hp, tillfälle 1

Provmoment: Tentamen Matematik och matematikdidaktik, 3 hp, tillfälle 1 Matematik med didaktisk inriktning för grundlärare i förskoleklass och grundskolans a rskurs 1-3, III, VT18 7,5 högskolepoäng Provmoment: Tentamen Matematik och matematikdidaktik, 3 hp, tillfälle 1 Ladokkod:

Läs mer

Poincarés modell för den hyperboliska geometrin

Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Poincarés modell för den hyperboliska geometrin Niklas Palmberg, matrikelnr 23604 Uppsats för kandidatexamen i naturvetenskaper Matematiska institutionen Åbo Akademi 12.2.2001 Innehåll 1 Presentation av

Läs mer

Syfte. Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING. prövning grundläggande matematik

Syfte. Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING. prövning grundläggande matematik prövning grundläggande matematik Malmö stad Komvux Malmö Södervärn PRÖVNING Kurs: Matematik Kurskod: GRNMAT2 Verksamhetspoäng: 600 Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer.

Läs mer

Förslag den 25 september Matematik

Förslag den 25 september Matematik Matematik Matematiken har en flertusenårig historia med bidrag från många kulturer. Den utvecklas såväl ur praktiska behov som ur människans nyfikenhet och lust att utforska matematiken som sådan. Matematisk

Läs mer

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta

Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta 325 Kurvlängd och geometri på en sfärisk yta Peter Sjögren Göteborgs Universitet 1. Inledning. Geometrin på en sfärisk yta liknar planets geometri, med flera intressanta skillnader. Som vi skall se nedan,

Läs mer

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1:

Matematik CD för TB. x + 2y 6 = 0. Figur 1: Kontroll 8 1 Bestäm ekvationen för den linje som går genom punkterna P 1 (,4) och P 2 (9, 2). 2 Bestäm riktningskoefficienten för linjen x + 4y 6 = 0 Bestäm ekvationen för en linje som går genom punkten

Läs mer

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng

KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng 1(5) KURSPLAN Matematik för gymnasielärare, 61-90 hp, 30 högskolepoäng Mathematics för Teachers, 61-90 credits, 30 credits Kurskod: LMGN12 Fastställd av: Utbildningsledare 2012-06-15 Gäller fr.o.m.: HT

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9

Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Lokal pedagogisk planering i matematik för årskurs 9 Arbetsområde 3. Ekvationer och geometri. Syfte formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt värdera valda strategier och metoder. reflektera

Läs mer

Extramaterial till Matematik Y

Extramaterial till Matematik Y LIBR PROGRAMMRING OCH DIGITAL KOMPTNS xtramaterial till Matematik Y NIVÅ TT Geometri LÄRAR Desmos Geometry är ett matematikverktyg som bland annat kan hjälpa dig att avbilda geometriska figurer och göra

Läs mer

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs

Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs Rapport av genomförd lesson study av en lektion med temat geometri i gymnasiets A-kurs Förberedelser Geometri visade sig vara det svåraste området att planera utifrån tanken om en progression genom skolans

Läs mer

Kursplan. Matematiska och systemtekniska institutionen (MSI) Kurskod GUX712 Dnr MSI 03/04:16 Beslutsdatum 2003-10-10

Kursplan. Matematiska och systemtekniska institutionen (MSI) Kurskod GUX712 Dnr MSI 03/04:16 Beslutsdatum 2003-10-10 Kursplan Matematiska och systemtekniska institutionen (MSI) Kurskod GUX712 Dnr MSI 03/04:16 Beslutsdatum 2003-10-10 Kursens benämning Engelsk benämning Ämne Specialisering - ämnesfördjupning i matematik/matematikdidaktik

Läs mer

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara

Karta över Jorden - viktigt exempel. Sfär i (x, y, z) koordinater Funktionen som beskriver detta ser ut till att vara Föreläsning 1 Jag hettar Thomas Kragh och detta är kursen: Flervariabelanalys 1MA016/1MA183. E-post: thomas.kragh@math.uu.se Kursplan finns i studentportalens hemsida för denna kurs. Där är två spår: Spår

Läs mer

15 högskolepoäng. Grundläggande matematik fo r la rare med inriktning mot arbete i fo rskoleklass och grund-skolans a rskurs 1-3, 15 hp VT17

15 högskolepoäng. Grundläggande matematik fo r la rare med inriktning mot arbete i fo rskoleklass och grund-skolans a rskurs 1-3, 15 hp VT17 Grundläggande matematik fo r la rare med inriktning mot arbete i fo rskoleklass och grund-skolans a rskurs 1-3, 15 hp VT17 Provmoment: Tentamen Matematik, 5 hp, tillfälle 1 Ladokkod: TE01 Tentamen ges

Läs mer

Lokal pedagogisk planering i matematik för åk 8

Lokal pedagogisk planering i matematik för åk 8 Lokal pedagogisk planering i matematik för åk 8 Arbetsområde Geometri kap. 3 PRIO Syfte http://www.skolverket.se/laroplaner-amnen-ochkurser/grundskoleutbildning/sameskola/matematik#anchor2 formulera och

Läs mer

SF1620 Matematik och modeller

SF1620 Matematik och modeller KTH Teknikvetenskap, Institutionen för matematik 1 SF1620 Matematik och modeller 2007-09-03 1 Första veckan Geometri med trigonometri Till att börja med kom trigometrin till för att hantera och lösa geometriska

Läs mer

Ladokkod: Studenter i lärarprogrammet GF 11GF20 vt17 tillfälle 1 och vt16 tillfälle 4

Ladokkod: Studenter i lärarprogrammet GF 11GF20 vt17 tillfälle 1 och vt16 tillfälle 4 11GF20 MaI Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 0,5 hp 15 högskolepoäng Studenter i lärarprogrammet GF 11GF20 vt17 tillfälle 1 och vt16 tillfälle 4 TentamensKod: Tentamensdatum: 17-05-12 Tid:

Läs mer

Linjär algebra och geometri I

Linjär algebra och geometri I UPPSALA UNIVERSITET MATEMATISKA INSTITUTIONEN Jörgen Östensson Vårterminen 2010 Kurslitteratur Linjär algebra och geometri I för X, geo, frist, lärare H. Anton, C. Rorres, Elementary Linear Algebra (Application

Läs mer

Att skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU

Att skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Kleindagarna 2013, IML, Stockholm, 14-16 juni 2013 Att skala om, att mäta och att avbilda avstånd Jana Madjarova, Matematiska vetenskaper, Chalmers/GU Det kommer nog inte som någon större överraskning

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla.

Om LGR 11 FÖRMÅGOR CENTRALT INNEHÅLL. De matematiska förmågor som undervisningen i åk 1-9 syftar till att eleverna ska utveckla. Om LGR 11 FÖRMÅGOR FÖRMÅGOR Lgr 11: Genom undervisningen i matematik ska eleverna sammanfattningsvis ges förutsättningar att utveckla sin förmåga att formulera och lösa problem med hjälp av matematik samt

Läs mer

Mer om analytisk geometri

Mer om analytisk geometri 1 Onsdag v 5 Mer om analytisk geometri Determinanter: Då man har en -matris kan man till den associera ett tal determinanten av som också skrivs Determinanter kommer att repeteras och studeras närmare

Läs mer

Funktioner. Räta linjen

Funktioner. Räta linjen Sidor i boken 14-143, 145-147 Funktioner. Räta linjen Här följer en dialog mellan studenten Tor-Björn (hädanefter kallad TB) och hans lärare i matematik Karl-Ture Hansson (nedan kallad KTH). När vi möter

Läs mer

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen.

Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Sidor i boken 40-4 Komposanter, koordinater och vektorlängd Ja, den här teorin gick vi igenom igår. Istället koncentrerar vi oss på träning inför KS3 och tentamen. Läxa 1. En rät linje, L 1, skär y-axeln

Läs mer

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri

Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri 94 Möbiusgruppen och icke euklidisk geometri Lars Gårding Lunds Universitet Meningen med detta förslag till enskilt arbete är att alla uppgifter U redovisas skriftligt med fulla motiveringar och att alla

Läs mer

1 Euklidisk geometri.

1 Euklidisk geometri. 1 Euklidisk geometri. Pythagoras (ca 570 497 f. kr.) grundade i Kroton i nuvarande södra Italien en skola vars motto var Allt är tal. Skolans medlemmar, pytagoreerna, försökte visa att allt i deras omvärld

Läs mer

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR

MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Matematiska institutionen Stockholms universitet C.G. Matematik med didaktisk inriktning 2 Problem i Algebra, geometri och kombinatorik Snedsteg 6 MYSTERIER SOM ÅTERSTÅR Mysteriet med matrisinversen. Det

Läs mer

Kursinformation. Statistik och geometri, 7 hp. inom kursen 973G10, 15 hp för Lärare i årskurs 4-6

Kursinformation. Statistik och geometri, 7 hp. inom kursen 973G10, 15 hp för Lärare i årskurs 4-6 Kursinformation Statistik och geometri, 7 hp inom kursen 973G10, 15 hp för Lärare i årskurs 4-6 Kursen startar vecka 15 den 7 april 2014 Kursperiod Vecka 15-20 (7 april 17 maj) 2014 Lärare (kursansvarig

Läs mer

I den här uppgiften ska du undersöka förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean.

I den här uppgiften ska du undersöka förhållandet mellan parabelarean och rektangelarean. 17. Figuren visar en parabel och en rektangel i ett koordinatsystem. Det skuggade området är begränsat av parabeln och x-axeln. Arean av det skuggade området kallas i fortsättningen parabelarean. Vid bedömning

Läs mer

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Skriv inte på bladens baksidor. Helst en uppgift per blad.

Viktigt! Glöm inte att skriva Tentamenskod på alla blad du lämnar in. Skriv inte på bladens baksidor. Helst en uppgift per blad. Ma F-3 I Provmoment: Ladokkod: Tentamen ges för: Matematik 5 hp Studenter i lärarprogrammet Ma F-3 I (11F322) 15 högskolepoäng TentamensKod: Tentamensdatum: 15-04-29 Tid: 09.00-13.00 Hjälpmedel: Inga hjälpmedel

Läs mer

Kursplan för Matematik

Kursplan för Matematik Sida 1 av 5 Kursplan för Matematik Inrättad 2000-07 SKOLFS: 2000:135 Ämnets syfte och roll i utbildningen Grundskolan har till uppgift att hos eleven utveckla sådana kunskaper i matematik som behövs för

Läs mer

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt

MATEMATIK GU. LLMA60 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 2014. Block 5, översikt MATEMATIK GU H4 LLMA6 MATEMATIK FÖR LÄRARE, GYMNASIET Analys, ht 24 I block 5 ingår följande avsnitt i Stewart: Kapitel 2, utom avsnitt 2.4 och 2.6; kapitel 4. Block 5, översikt Första delen av block 5

Läs mer

Eulers polyederformel och de platonska kropparna

Eulers polyederformel och de platonska kropparna Eulers polyederformel och de platonska kropparna En polyeder är en kropp i rummet som begränsas av sidoytor som alla är polygoner. Exempel är tetraedern och kuben, men klotet och konen är inte polyedrar.

Läs mer

Inledning. Polydronmaterialet. Tio områden. Lgr11-koppling

Inledning. Polydronmaterialet. Tio områden. Lgr11-koppling Inledning Polydronmaterialet De färgglada bitarna i Polydronmaterialet har länge lockat till byggen av alla möjliga slag. Den geometriska funktionen är tydlig och möjligheterna till många matematiska upptäckter

Läs mer

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev

Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Matematik 92MA41 (15hp) Vladimir Tkatjev Projektarbete: bakgrund och idéer Etymologi Proicio: kasta fram, sträcka fram (latin) Projektarbetets historia Historiskt sätt har projektarbetet som arbetsform

Läs mer