STOCKHOLMS UNIVERSITET MATEMATISK STATISTIK Thomas Höglund Lösningar Tentamen i Finansmatematik I 9 december 003 Uppgift q = / f = fu+f d 40 30 0 0 0 0 s : 00 00 00 90 90 80 80 70 60 5 5 05 05 00 95 f : 00 95 85 00 95 05 05 5 5 a = fu f d s u s d
Lösning Finansmatematik I, 9 december 003 c = f as / a : 0 0 / 5 5 45 5 c : 00 95 45 85 85 85 Uppgift Vid t = 0: Köp en säljoption med lösenpris K och ställ ut en köpoption med lösenpris K. Uppgift 3 c) Följer av sälj-köppariteten med K = Se rt. d) Priset på en säljoption växer med lösenpriset. P.g.a. c) gäller därför P (S, K) < P (S, Se rt ) = C(S, Se rt ). Funktionen C(S, H) avtar mot 0 då H växer mot och C(S, H) > P (S, K) > 0 för H = Se rt varav påståendet följer.
Lösning Finansmatematik I, 9 december 003 3 Uppgift 4 a) Sätt K = S 0 e rt. Vi har s K = max(0, s K) s + K = max(0, s K) + max(0, K s). Uttrycket till höger är målfunktionen för en portfölj som består av en köpoption och en säljoption. Svar: Köp vid t = 0 en köpoption och en säljoption med lösenpris S 0 e rt och löptid T år. (Alternativt kan man vid vid t = 0 köpa två köpoptioner med lösenpris S 0 e rt och löptid T år, sälja kort en aktie och lägga S 0 kr i kassan. Ett annat alternativ är att vid t = 0 köpa en aktie och två säljoptioner med lösenpris S 0 e rt och låna S 0 kr.) b) Portföljens värde vid t är F t = C t (K) + P t (K). Enligt Black-Scholes formel för en köp- respektive säljoption gäller F t = S t Φ(d (t)) e rt S 0 Φ(d (t)) S t Φ( d (t)) + e rt S 0 Φ( d (t)) = där S t (Φ(d (t)) ) + e rt S 0 ( Φ(d (t))), och d (t) = ln(e rt S t /S 0 ) σ T t + σ T t d (t) = d (t) σ T t. Här använde vi oss även av att e r(t t) K = e rt S 0 och att Φ( x) = Φ(x). Kassan och aktieinnehavet är vid t värda e rt S 0 ( Φ(d (t))) respektive S t (Φ(d (t)) ). c) Vi har F 0 = S 0 (Φ(d (0)) ) + S 0 ( Φ(d (0))) och d (0) = d (0) = σ T. Därför är F 0 = S 0 q, där q = 4Φ( σ T ) > 4Φ(0) = 0. Här använde vi identiteten Φ( x) = Φ(x). Sätt s = e rt S T /S 0. Det följer att F T > F 0 (S T /S 0 ) då s > qs. Om q <, så gäller detta då s ligger utanför intervallet [ +q, q ]. I annat fall, q, så ska s ligga utanför intervallet [ +q, ).
Lösning Finansmatematik I, 9 december 003 4 Insättning av siffrorna ger q = 0.5 respektive q = 0.395. Svar: Intervallet är [ +q, q ] om q < och [ +q, ) om q. Här är q = 4Φ( σ T ). I de speciella fallen blir intervallet (0.90,.3) då T är en månad och (0.7,.65) då T är ett år. Uppgift 5 a) Enligt Black-Scholes formel för köpoptioner är optionspriset C =.0Φ(d ) KΦ(d ) =.97 Här är K = 0 exp( 0.074 5 = 9.886, d = ln(.0/ K) 0.55 5/ + 0.55 5/ = 0.7699, Φ(d ) = 0.7793 och d = d 0.55 5/ = 0.449, Φ(d ) = 0.6609. Svar: Optionen kostar.97 kr. b) Sätt K = e rt Ke rt, l = ln(s/ K), σ = σ T t, d = l σ + σ och d = l σ σ. Vi har C t t = t (sφ(d ) KΦ(d )) = sφ(d ) d t Kφ(d ) d t K t Φ(d ) = Kφ(d ))( d t d t ) r KΦ(d ) = Kφ(d ) σ t r KΦ(d ) = K[φ(d σ ) T t + rφ(d )]. Här använde vi identiteterna sφ(d ) = Kφ(d ) och d d = σ. c) Θ t = 9.888 5 [ 0.55 5 φ(0.444) + 0.074 0.6607] = 0.033. Svar: Optionspriset blir.94 kr.
Lösning Finansmatematik I, 9 december 003 5 Uppgift 6 a) Låt F beteckna leveranspriset. F = S d =.0.074 =.5. b) Låt f 6 beteckna kontraktets värde efter 6 månader och F 6 leveranspriset för en termin som tecknas efter 6 månader. De två betalströmmerna ( f 6, 8.50 F ) och (0, 8.50 F 6 ) måste då ha samma nuvärde om arbitragefrihet råder. Detta ger f 6 =.03 5 (F 6 F ), där F 6 = 8.50.03 5 = 8.6. Svar: Kontraktet är värt -3.86 kr. c) Låt S A och S B beteckna A- respektive B-aktiens priser i november 004. Sätt σ A = V ar(s A) och σ B = V ar(s B). Skriv ρ för korrelationskoefficienten mellan S A och S B och låt F beteckna leveranspriset för en termin på en B-aktie i november. Teckna h kontrakt på B-aktien. Variansen V ar(000s A h(s B F )) = 000 σ A h000σ Aσ B ρ + h σ B minimeras för Den minimala variansen är h = 000 σ Aρ σ B = 60. 000 σ A ( ρ ) = 367975 = 905. Svar: Teckna 60 terminskontrakt på B-aktien. Standardavvikelsen blir 905 SEK.