Tentamen STA A10 och STA A13, 9 poäng 19 januari 2006, kl. 8.15-13.15 Tillåtna hjälpmedel: Ansvarig lärare: Räknedosa, bifogade formel- och tabellsamlingar, vilka skall returneras. Christian Tallberg Telnr: 08-839658 För att få maximala 10 poäng på en uppgift krävs att lösningen är så utförlig att den utan svårighet kan följas. 40 poäng ger säkert betyget Godkänd och 60 poäng ger säkert betyget Väl godkänd. Lycka till! Uppgift 1. I ett företag som säljer en produkt spenderar man varje vecka en summa på marknadsföring av produkten. Denna summa varierar beroende på företagets övriga utgifter. En dag blev ledningen i företaget intresserad av att utvärdera sambandet mellan försäljning och utgifter för marknadsföring. Under en tioveckorsperiod insamlades därför data varje vecka (dvs vi har tio observationer). Efter att ha bearbetat data erhölls följande uppgifter: Σx = 66 Σx 2 = 528 Σy = 763 Σy 2 = 58889 Σxy = 5254, där y = försäljning i 1000-tals kronor under en vecka och x = utgifter för marknadsföring i 1000-tals kronor under samma vecka. För att beskriva det aktuella sambandet avser man använda följande linjära regressionsmodell: y = a + bx där y är den anpassade försäljningen och x är utgifter för marknadsföring. a) Beräkna värdena på modellens koefficienter a och b. b) Tolka de erhållna koefficienterna i ord. c) Vad blir den genomsnittliga försäljningen då marknadsföringsutgifterna är 5500 kronor under en vecka?
Uppgift 2. I en litet företag har de åtta anställda följande inkomster (i 1000-tals kronor): 21.5 18.8 20.0 24.5 22.0 21.3 45.2 22.4 a) Beräkna kvartiler och medelvärde. b) Illustrera inkomstfördelningen i företaget med hjälp av ett lådagram (boxplot). c) Finns det några extremvärden? Motivera! d) Vilket av de lägesmått du har beräknat tycker du bäst beskriver materialet? Motivera! Uppgift 3. I samband med ett försök inträffar händelsen A med sannolikheten 0.8 och händelsen B med sannolikheten 0.7. Man vet dessutom att sannolikheten för att båda händelserna inträffar är 0.6. a) Hur stor är sannolikheten för att en och endast en av händelserna A och B inträffar? b) Hur stor är sannolikheten för att ingen av händelserna A och B inträffar? c) Givet att minst en av händelserna A och B inträffat, hur stor är då sannolikheten för att händelsen B inträffat?
Uppgift 4. Man utför åtta kast med ett asymmetriskt mynt, där sannolikheten för krona är 0.7. a) Vilken fördelning har slumpvariabeln antal krona vid åtta kast med ovannämnda asymmetriska mynt? Beräkna väntevärde och standardavvikelse för slumpvariabeln. Beräkna även sannolikheterna för följande utfall vid åtta kast med ovannämnda asymmetriska mynt: b) minst tre klave c) högst fyra krona d) exakt två krona e) minst fyra klave om man vet att minst tre klave erhållits. Uppgift 5. Vid tillverkning av en produkt är felfrekvensen 0.03, dvs sannolikheten att produkten skall bli felaktig på ett eller annat sätt är 0.03. Vad är sannolikheten att högst två exemplar blir felaktiga vid tillverkning av 250 stycken om vi antar att de olika exemplaren blir felaktiga oberoende av varandra? Gör en lämplig a) Normalapproximation med halvkorrektion (kontinuitetskorrektion). b) Normalapproximation utan halvkorrektion (kontinuitetskorrektion). c) Gör en exakt beräkning av den sökta sannolikheten. d) Vilken approximation blev bäst? Blev resultatet som väntat? Motivera! Uppgift 6. En amerikansk ekonom studerar inkomstfördelningen i en stor population och har därför slumpmässigt valt ut n = 400 individer ur populationen. Låt X = inkomst i dollar per år. Av studien framgår det bland annat att Σx = 20 000 000 och att s 2 = 64 000 000. a) Hjälp henne med analysen genom att beräkna ett 95%-igt konfidensintervall för μ = medelinkomsten i populationen. Glöm inte att tolka intervallet i ord. b) Förklara kortfattat innebörden av centrala gränsvärdessatsen (CGS).
Uppgift 7. Vår amerikanske ekonom studerar dessutom inkomstfördelningen i en annan stor population. Hon vet av erfarenhet från tidigare undersökningar att medelinkomsten per år har varit 50 000 dollar. Hon misstänker dock att den är högre nu, och bestämmer sig därför att utföra ett hypotestest på 1% signifikansnivå. Av brist på ekonomiska resurser har hon denna gång enbart valt ut n = 16 individer slumpmässigt ur populationen. Låt X = inkomst i dollar per år. Från stickprovet får hon följande data: Σx = 848 000 och s 2 = 49 000 000. Ger data stöd åt hennes misstanke? a) Ange de förutsättningar som måste vara uppfyllda för att testet skall ha den signifikansnivå hon har angett. b) Hjälp henne med analysen genom att utföra hypotestestet. c) Beräkna p värdet (probability value) för samma data, men med känd populationsvarians σ 2 = 73 000 000. Uppgift 8. En variabel X är normalfördelad med känd varians σ 2 = 64, men med okänt väntevärde μ. Utifrån ett slumpmässigt stickprov omfattande n = 36 observationer beräknades stickprovsmedelvärdet till 7.25. a) Beräkna ett 99%-igt konfidensintervall för μ och tolka det erhållna intervallet i ord. b) Hur stort stickprov krävs det om längden på intervallet i uppgift a) skall vara högst två enheter?
! " #$%! "! " %&# '" &$& # " (( # #$ #) ## ##* #*) *)# +!, " " " "
-" './" " " *)# /" - 0 " 0 0 " / " $. " #
* 1" " $
) 2,",,/!! % - " "! " "! " 34'. 5)6 " - 5)6 " '!! *
&!,," "" "" " '7" 8 " 9 " " )
(. 556 " - 556 " :" " # " " "!,,0 " *#& " " " # %