Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen

Krafter i Lisebergbanan och Kaffekoppen Kristoffer Carlsson Martin Gren Viktor Hallman Joni Karlsson Jonatan Olsson David Saletti Grupp: Alfvén 3 Datum: 2008 09 25 Figur 1: Lisebergbanan :http://www.scharzkopf.coaster.net/eslisebergbanangf.htm 1

Sammanfattning Denna rapport skildrar våra undersökningar av de krafter som verkar i nöjesparksattraktionerna Lisebergbanan respektive Kaffekoppen. De data vi använt oss av har uppmätts med hjälp av vanliga tidtagarur. Vi har kommit fram till att Lisebergsbanan förlorar 48% av sin begynnelseenergi under en åktur på grund av friktion och luftmotstånd. G-kraften på en person som åker varierar mellan 0,5g och 3,5g under åkturen. Våra resultat för Kaffekoppen är dels en graf över dess rörelsemönster och dels att dess acceleration är som mest 5 m/(s 2 ). Nyckelord: Acceleration, kraft, rotation, berg- och dalbana,energi Lisebergbanan, Kaffekoppen This article shows our investigations of the forces in the amusement rides Lisebergbanan and Kaffekoppen. The data we have used have been gathered with regular timers. Our results show that Lisebergbanan loses 48% of its initial kinetic energi during one ride due to friction and air resistance. The g-force that affect a human during a ride varies between 0.5g and 3.5g. Our investigations of Kaffekoppen resulted in a graph that shows its movement pattern and that its acceleration is 5m/(s 2 ) at most..keywords: Acceleration, force, rotation, amusement ride, energy, Lisebergbanan, Kaffekoppen

Innehåll 1 Inledning 2 1.1 Frågeställning........................... 2 2 Lisebergbanan 2 2.1 Teknik och säkerhet........................ 2 2.2 Patent............................... 3 2.3 Metod............................... 3 2.4 Resultat.............................. 4 2.4.1 Krafter........................... 4 2.4.2 Energi........................... 4 3 Kaffekoppen 9 3.1 Metod............................... 9 3.2 Uträkningar............................ 9 3.3 Resultat.............................. 14 4 Diskussion 14 A Tabeller av tider vid olika pelare 16 1

1 Inledning De största krafter en människa upplever i vardagliga sammanhang är troligtvis krafterna i olika attraktioner på nöjesfält. Det är därför av högsta intresse att undersöka dessa krafter närmare och förstå hur åkattraktionerna fungerar.vi har i denna rapport analyserat krafterna i dels en berg-och-dalbana och dels i en mindre attraktion som baseras på två olika rotationer, specifikt Lisebergbanan och Kaffekoppen som finns på nöjesfältet Liseberg i Göteborg 1.1 Frågeställning Hur mycket energi förlorar tågen under åkturen? Hur mycket av den förlorade energin är friktion? Vilken är den högsta g-kraften som uppnås under åkturen? och var uppnås den? Är det någon skillnad mellan tågen? Vilken är den högsta hastigheten som uppnås? Hur ser Kaffekoppens rörelsebana ut? Vilken är Kaffekoppens högsta acceleration? och i vilket läge? 2 Lisebergbanan 2.1 Teknik och säkerhet Den 15 Juli 2006 havererade Lisebergsbanan. 1 Det som hände var att den kedja som drar upp tåget för första backen brast då tåget gått en tredjedel av backen. Vagnen rullade ner för backen och in på perongen där det krockade med ett stillastående tåg. Enligt haverikommissionens rapport ro2007 03 skadades 21 personer. Anledningen till att tåget började rulla ner för backen var de så kallade backspärrarna inte fungerade som de skulle. I Oginalkonstruktionen var backspärrarna konstruerade på ett sätt så att de gled direkt mot metallspåret under hela backen, men det medförde en för hög ljudnivå. Vid invigningsåret 1987 gjordes en omkonstruktion så att backklaffarnas glidyta istället ersattes med en typ av plast för att miska friktionen och ljudnivån. Omkonstruktionen kan ha vara ett bidrag till att inte backspärrarna fungerade som de skulle. Backklaffarna är konstruerade som ett spiralformat metallblock. Blocket lig- 1 http://www.havkom.se/virtupload/reports/ro2007 03.pdf 2

Figur 2: En logaritmisk spiral. ger och glider mot en bromsyta i banan och om tåget börjar åka åt andra hållet nyper klaffarna ihop. En så kallad logaritmisk spiral. En annan del av säkerhetsystemet är ett form av checkpoint-system. Banan är indelad i olika etapper och säkerhetssystemet ser till att inte ett tåg åker in i en ny etapp förrän det framförvarande tåget lämnat etappen. På det sättet kan inte tågen kollidera om ett tåg skulle stanna i banan. Tågen regristreras med att det uppkommer en induktion då tåget passerar. Mellan varje etapp finns säkerhetsbromsar som aktiveras om framförvarande tåg inte kommit ut ur etappen framför. 2.2 Patent Ett patent som kan kopplas till Lisebergbanan är patentet över konstruktionen 2 som drar upp vagnarna i början av attraktionen. Patentet ägs av Anton Schwarzkopf som även har designat Lisebergbanan. Själva konstruktionen baseras på kedjor och flera kugghjul som tillsammans drar upp vagnarna för den stora backen i början och på så sätt ger vagnarna dess lägesenergi som sedan används för att uppnå höga hastigheter och stora krafter. 2.3 Metod Lisebergbanans tåg är 14 m långa För att mäta hastigheten på tågen mätte vi tiden tågen tog på sig att passera olika punkter och delande våra medelvärdestider med tågetslängd. För att kunna jämföra hur mycket energi som gått förlorad under banans gång på grund av bland annat friktion jämförde vi hastigheten i olika punkter. I en ritning vi tilldelats kunde vi utläsa banans höjd vid de olika punkterna och på så vis räkna ut vad energin skulle vare teoretiskt med hjälp av energiprincipen. Sedan kunde vi bara jämföra våra uppmätta värden med de teoretiska värdena. För att beräkna krafterna i olika punkter behövde vi bara mäta hastigheten på tågen. I den ritning vi fått 2 http://v3.espacenet.com/textdoc?db=epodoc&idx=de2832991&f=0&qpn=de2832991 3

kunde vi utläsa krökningsradierna i vertikal och horisontell led och spårets lutning. Med detta kunde vi sedan räkna ut den resulterande kraften i de olika punkterna. 2.4 Resultat 2.4.1 Krafter Berg och dalbanor handlar nästan enbart om krafter som verkar i olika riktningar. Vi kommer här beräkna krafter i tre olika delar av banan; Stolpe 72 som är första gången banan går under uppswinget, Passage över flummride och lägsta punkten i slutet av banan. Vi räknar också ut hur många g-krafter som uppstår. Kraften(F) är lika med massan(m) gånger accelerationen(a); F = ma. Det leder till att kraftdiagram har samma form oberoende av massan. De accelerationer som är inblandade är centripetalacceleration, tyndacceleration(g). Centripetalaccerelationen(a c ) ges av formeln v 2 r, där v är tågets hastighet och r cirkelrörelsens radie. För att räkna ut a c delar vi upp den i en vertikal och en horisontel komponent. Värden för vertikal respektive horisontel krökningsradie kan vi läsa ur vår ritning. g är konstant 9.82(m/(s 2 )). Genom att skalärmultiplicera med en godtycklig massa m fås krafterna. Den resulterande kraften (F R ) kan bestämmas med hjälp av den horisontella (F h ) och den vertikala (F v ) centripetalkraften och tyngdkraften (F g ) med sambandet; F R = F v + F h F g Vinklar fås med arcusfunktioner. Antal g-krafter fås ur; g-kraft = F R g Resultaten för krafter i Lisebergbanan finns i Figur 3, 5 och 4. Mätfelet i våra tider ger upphov till en felmarginal i krafterna på ca ± 15% 2.4.2 Energi Lisebergsbanans framdrivning bygger på energiprincipen där potentiell energi (1) omvandlas till kinetisk energi (2) och vice versa. Den potentiell energi som tåget får i första backen räcker för att driva tåget runt det 1,3km långa spåret. Vi har jämfört den teoretiska och den praktiska energin på olika platser 4

F v F R F g F h Figur 3: Kraftdiagram till lisebergsbanans lägsta punkt. Hastigheten är 20,90(m/s), krökningsradien(r) i horisontell led är 14,5m och i vertikal led 70m och lutningen är 56,5 åt vänster. Tåget åker längst ner i en dal. Det ger krafterna; F v = m 6,24N, F h = m 30,11N, F g = m 9,82N och F R = m 34.1N. Den resulterande kraften är riktad 61,9 åt vänster från den vertikala axeln och 5,4 till vänster från tågets normal. Den har beloppet 3,5g. F R F g F v F h Figur 4: Kraftdiagram vid stolpe 72 (första gången under uppsvinget). Hastigheten är 23,60m/s, krökningsradien i vertikal led är 50m och i horisontal led 27m. Tåget lutar 42 åt höger och åker längst ner i en dal. Det ger krafterna; F v = m 11,8N, F h = m 20,1N, F g = m 9.82N och F R = m 29.5N. Den resulterande kraften är riktad 44,6 åt vänster från den vertikala axeln och därmed 2,6 åt höger från tågets normal och den har beloppet 3g. 5

F g F v F R Krafter i Lisebergsbanan Figur 5: Kraftdiagram över passagen vid flumride Hastigheten är 9,6m/s,vertikal krökningsradie är 20m. Tåget lutar inget vid den här pelaren. Tåget åker över ett krön. Krafterna blir då följande F g = m 9.82N, F v = m 4.6N och F R = m 5.2N. Den resulterande kraften är riktad rakt upp och har beloppet 0,5g. på spåret. Till vårt förfogande har vi haft en ritning på spåret med höjdangivelser. Vi har uppmätt tiden för olika tåg på olika platser utmed spåret och utifrån det beräknat farten och energiförluster. Lägsta punkten Den lägsta punkten är det ställe på spåret där den kinetiska energin teoretiskt sett är störst. Anledningen till att tåget har störst kinetisk energi här är att all den potentiella energin som tåget hade på den högsta punkten i början av spåret har omvandlats till kinetisk energi (i idealfallet). Vi kan därmed räkna ut den teoretiska hastigheten vid den lägsta punkten med formeln. (3) Den teoretiska farten fås då till 35,84 m/s, men då vi beräknade farten utifrån våra tidsdata fick vi fram att den var 20,90 m/s. Detta tyder på att det har försvunnit energi på vägen. Energiförluster För att undersöka hur mycket av den ursprungliga energin E 0 som finns kvar vid olika platser utmed spåret har vi utfört följande beräknigar. Först räknade vi fram ett utryck (4) som beskriver hur mycket energi som tåget har på den högsta punkten på spåret. Vi kom fram till att det var en summa av potentiell energi och kinetisk energi eftersom tåget hade en liten ursprungsfart V 0 på toppen. Sedan har vi ställt upp ett utryck (5) som beskriver hur mycket energi tåget har på olika punkter utmed spåret. För att kunna använda uttrycket har vi räknat fram medelfarten V s vid varje punkt utifrån våra tidsdata (Tabell 2), och höjden H s har vi fått från ritningen. För att få fram hur mycket energi som finns kvar vid varje punkt (i procent) har vi räknat kvoten (6) av E 0 och E s (massorna tar ut varandra).värdena finns i Tabell (1) Resultaten visar hur energin minskar allt mer utefter spåret och att det återstår ungefär 50 procent av den ursprungliga energin vid slutet av spåret. Detta kan vara troligt eftersom tåget bromsas in kraftigt på slutet. 6

Tabell 1: Den energin som finns kvar av den ursprunngliga energin vid respektive stolpe uttryckt i procent. Stolpe M.ö.h. Avlagd sträcka (m) Kvarvarande energi i procent 50 49,8 345 88% 67 42,8 479 83% 72 26,8 511 84% 80 41,5 562 78% 90 40,9 643 75% 103 41,6 721 70% 111 40,7 788 69% 128 35,2 913 62% 158 28,0 1118 52% Det är friktion och luftmotstånd som gjort att tåget har tappat energi och denna förlorade energin har ombildats till värmeenergi. E p = mgh (1) E k = mv2 2 (2) v = 2gh 0 + v 0 (3) ( ) E 0 = m gh 0 + v2 0 2 ( ) E s = m gh s + v2 s 2 (4) (5) P rocentuell del av E 0 som finns kvar = gh s + v2 s 2 (6) gh 0 + v2 0 2 7

0.9 Energiförlust 0.85 0.8 Kvarvarande energi i procent 0.75 0.7 0.65 0.6 0.55 0.5 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 1200 Avlagd sträcka (m) Figur 6: Kvarvarande energi i procent. Tabell 2: Den beräknade medelfarten vid respektive stolpe. Stolpe Medelfart (m/s) 50 13,22 67 14,82 72 23,64 80 13,51 90 12,89 103 9,19 111 9,19 128 9,50 158 11,12 8

Figur 7: Bild från kaffekoppen 3 Kaffekoppen Kaffekoppen kom till Liseberg 1985. Den består utav 9 stycken koppar som sitter tre och tre på olika brickor. Brickorna sitter på en platta och båda brickorna och plattan roterar. De roterar åt olika håll och olika fart. I varje kaffekopp finns det ett bord som man kan snurra på för att rotera den enskilda koppen. Resultat av det här är att man kan uppleva tre olika cirkulära rörelser samtidigt. 3.1 Metod Vi hade en av våra gruppmedlemmar åka kaffekoppen medan vi andra försökte bestämma hans bana. Detta visade sig vara svårt och vi kunde inte på ett tillräckligt säkert sätt uttala oss om personens bana i attraktionen. Vi hade då inte tillgång till en accelerometer så vi saknar bra konkreta data så denna analys kommer mest vara teoretisk. 3.2 Uträkningar Låt Ω vara vinkelhastigheten för plattan och ω vara vinkelhastigheten för brickan. 9

r R Figur 8: Visar rörelsen i kaffekoppen Ω = 8 varv per minut och ω = 12 varv per minut relativt till marken. Ω = 8 2π 60s = 4 15 πs 1 ω = 12 2π 60 = 6 15 πs 1 Låt R vara radien av plattan och r vara radien för brickan. Vi vet att för plattan kan positionen (om vi inför ett koordinatsystem där x och y axeln korsar i mitten av cirkeln) skrivas: s P x (t) = R cos(ωt) s P y (t)r sin(ωt) (7) Brickan rör sig åt motsatt håll och positionen på den skrivs då s Bx (t) = r cos(ωt) s By (t) = r sin(ωt) (8) För att få koordinaten i tidpunkten t så adderas formel (7) och (8) ihop s x (t) = R cos(ωt) + r cos(ωt) s y (t) = R sin(ωt) r sin(ωt) Figur 9 visar hur man rör sig i kaffekoppen. Sen deriverar vi för att få hastigheten. v x (t) = RΩ sin(ωt) rω sin(ωt) v ( y) = RΩ cos(ωt) rω cos(ωt) Den absoluta hastigheten blir då: v(t) 2 = ( RΩ sin(ωt) rω sin(ωt)) 2 + (RΩ cos(ωt) rω cos(ωt)) 2 = 10

5 Rörelsen i Kaffekoppen 4 3 2 Plats i y led 1 0 1 2 3 4 5 6 4 2 0 2 4 6 Plats i x led Figur 9: Visar hur en person i Kaffekoppen rör sig 11

R 2 Ω ( 2 sin 2 (Ωt) + cos 2 (ωt) ) + ( r 2 ω 2 (sin 2 (Ωt) + cos 2 (ωt) ) + 2RrΩω (sin(ωt) sin(ωt) cos(ωt) cos(ωt)) = R 2 Ω 2 + r 2 ω 2 + 2RrΩω (sin(ωt) sin(ωt) cos(ωt) cos(ωt)) = R 2 Ω 2 + r 2 ω 2 2RrΩω sin(ωt ωt) En till derivering för att få accelerationen. a x (t) = RΩ 2 cos(ωt) rω 2 cos(ωt) a y (t) = RΩ 2 sin(ωt) + rω 2 sin(ωt) Vi söker absolutbeloppet av accelerationen a(t) 2 = ( RΩ 2 cos(ωt) rω 2 cos(ωt) ) 2 + ( RΩ 2 sin(ωt) + rω 2 sin(ωt) ) 2 = R 2 Ω ( 4 cos 2 (Ωt) + sin 2 (Ωt) ) + r 2 ω ( 4 cos 2 (ωt) + sin 2 (ωt) ) + 2RrΩ 2 ω 2 cos(ωt) cos(ωt) 2RrΩ 2 ω 2 sin(ωt) sin(ωt) = R 2 Ω 4 + r 2 ω 4 + 2RrΩ 2 ω 2 [cos(ωt) cos(ωt) sin(ωt) sin(ωt)] = R 2 Ω 4 + r 2 ω 4 + 2RrΩ 2 ω 2 sin(ωt ωt) Den här funktionen har tydligt ett max/min när sin(ωt ωt) = ±1 Vi kan nu säga att a(t) 2 har max R 2 Ω 4 + r 2 ω 4 + 2RrΩ 2 ω 2 = ( RΩ 2 + rω 2) 2 och då har a(t) max (RΩ 2 + rω 2 ) 2 = RΩ 2 + rω 2 Vi kan självklart också lösa för min och får då R 2 Ω 4 + r 2 ω 4 2RrΩ 2 ω 2 = ( RΩ 2 rω 2) 2 a(t) min = RΩ 2 rω 2 12

5 4.5 Hastighet och acceleration i Kaffekoppen Acceleration Hastighet Acceleration (ms 2 ) och hastighet (ms 1 ) 4 3.5 3 2.5 2 1.5 1 0.5 0 5 10 15 20 25 Tid (s) Figur 10: Visar hur accelerationen och hastigheten varierar i förhållande till tiden. 13

3.3 Resultat Dessa värden är de förväntade eftersom de i max har samma riktning och i min motsatt vilket enligt vektorlagarna är samma som att addera respektive subtrahera de båda accelerationsvektorerna. Det kan ses i Figur 10 att när accelerationen har ett max så har hastigheten ett min och vice versa. Från Figur 9 kan det se att den maximala hastigheten är då mellan två vändningar och det fås då att den maximala accelerationen är i vändningarna. Från diagrammet kan det ses att den hastigheten varierar mellan ca 5 och 0.5 ms 1 och accelerationen varierar mellan 5 och 1 ms 2 4 Diskussion Vi är nöjda med vårt resultat. Våra värden för Lisebergsbanans g-krafter verkar rimliga i förhållande till vad som sägs på Lisebergs hemsida. Energiförlusten verkar också rimlig, men det hade vi dock ingen direkt uppfattning om innan. Det vi kunde gjort bättre skulle möjligtvis kunna vara att mäta fler olika tider med fler mätinstrument och på så sätt få lägre mätosäkerhet och därmed bättre resultat, för närmare granskning, se tabellerna i bilagan. När det gäller Kaffekoppen så trodde vi inte att den skulle ha ett rörelsemönster liknande en stjärna. Dock så förändras rörelsemönstret avsevärt när vinkelhastigheten förändras för de olika cirkelrörelserna och då stämmer resultatet bättre med vår hypotes. Det var också intressant att åka Lisebergbanan efter att vi undersökt den så noggrant. Vi jämförde senare våra resultat med hur det faktiskt kändes att åka attraktionen. Det är lättare att avgöra hur stor en negativ g-kraft (uppåtriktad) är jämfört med en positiv, vi kunde därför lätt känna att g-kraften aldrig var mindre än -1. Vi lyfte aldrig från sätet, vilket stämde med resultat som vi fick senare. Vi kände också att g-kraften var som störst i den lägsta punkten, vilket också stämde överens med vårt resultat. Om vi går tillbaka till vår frågeställning i inledningen, så har vi besvarat de flesta frågorna i resultatdelen. Det vi kan diskutera vidare är hurvida det är någon skillnad mellan tågen i Lisebergbanan. Detta kunde vi dock inte avgöra, eftersom vår mätmetod var för osäker och antal mätdata för få. Referenser [1] Ritning över Lisebergbanan (Anton Schwarzkopf) [2] http://www.liseberg.se/ [3] http://physics.gu.se/liseberg/lisebergbanan.html 14

[4] http://v3.espacenet.com/textdoc?db=epodoc&idx=de2832991&f=0&qpn=de283299 [5] http://schwarzkopf.coaster.net/eslisebergbanangf.htm [6] http://www.havkom.se/virtupload/reports/ro2007 03.pdf 15

Tåg 1 och 5 (s) 4,97 4,96 5,00 5,00 5,00 Tabell 3: Starten Tabell 4: Pelare 50, Höjdskräcken Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 1,00 1,08 0,96 1,11 1,14 1,07 1,04 1,07 Medelvärde 1,033 1,074 Varians 0,0089 0,000625 Standardavvikelse 0,094 0,025 A Tabeller av tider vid olika pelare 16

Tabell 5: Pelare 67, Första övergången Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 0,87 0,93 0,93 0,90 0,95 0,96 0,95 0,91 0,96 0,96 0,92 0,96 0,97 0,99 0,94 0,88 0,94 0,95 0,93 0,95 1,00 0,98 1,02 Medelvärde 0,93 0,95 Tåg 1 och 5 (s) 0,61 0,61 0,59 0,64 0,60 0,60 0,63 0,57 (0,48) Medelvärde 0,59 Tabell 6: Pelare 72 17

Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 1,03 0,99 0,96 1,01 1,10 1,02 1,05 1,08 1,05 1,04 1,08 Medelvärde 1,03 1,05 Tabell 7: Pelare 80 Tabell 8: Pelare 90, Tredje övergången Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 1,15 1,23 1,17 1,02 1,11 1,06 1,07 1,06 1,15 1,16 1,20 0,97 1,18 1,13 1,12 1,06 1,02 1,01 1,19 1,07 1,03 1,14 Medelvärde 1,04 1,13 Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 1,49 1,52 1,49 1,40 1,51 1,59 1,53 1,51 1,62 1,45 1,68 Medelvärde 1,49 1,55 Tabell 9: Pelare 103 18

Tabell 10: Pelare 111, Femte övergången Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 1,41 1,59 1,53 1,55 1,46 1,52 1,57 1,50 1,55 1,69 1,46 1,65 1,49 1,53 1,50 1,55 1,47 1,59 1,51 1,51 1,49 1,64 1,49 1,69 Medelvärde 1,51 1,58 Tabell 11: Pelare 128-129, Flumride (högsta) Tåg 1 och 5 (s) 1,53 1,46 1,50 1,52 1,48 1,61 1,32 1,45 1,40 Medelvärde 1,47 Tabell 12: Pelare 143, Lägsta punkten Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 0,58 0,67 0,71 0,63 0,73 0,70 Medelvärde 0,67 0,67 19

Tabell 13: Pelare 158, Innan broms Tåg 1 (s) Tåg 5 (s) 1,21 1,27 1,19 1,30 1,24 1,37 1,27 1,31 1,22 Medelvärde 1,23 1,29 20