LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK TENTAMENSSKRIVNING Matristeori Maj 2 Denna hemtentamen skall göras och redovisas enskilt. I övrigt är alla hjälpmedel tillåtna. Lösningar till uppgifterna lämnas in i pappers form till mitt postfack på institutionen, eller till någon av sekreterarna på studieexpedition på femte våningen eller skickas som en.pdf fil till e-postadressen matrisvt@maths.lth.se senast torsdagen den 6 maj kl 7.. Ange direkt på titel sida e-post-adress och namn så att jag kan meddela resultatet så snart det är klart. Lämna också några förslag på tider för muntlig tentamen under perioden maj till 5 maj Varje uppgift kan ge maximalt poäng och för godkänt och möjlighet att tentera muntligt krävs minst 3 poäng av vilka minst poäng uppnås på uppgifter 4-8. Högsta betyg är 5 och uppnås med 6 poäng med minst 3 poäng på uppgifter 4-8 eller motsvarande genomsnitt prestation. Se till att lösningarna är lättlästa och försedda med ordentliga motiveringar. Det är tillåtet att hänvisa till satser och lemman i boken. Om dock hänvisning görs till en övningsuppgift, så bör lösningen på övningsuppgiften bifogas. Maple eller ev Matlab kan användas för beräkningar. Delsteg i elementära matrisoperationer utförda med Maple eller Matlab, såsom delsteg i matrismultiplikationer, behöver inte redovisas. Däremot skall huvudstegen, resultat av huvudstegs beräkningar och huvudprincip av lösningen redovisas vid mer komplicerade operationer, såsom Jordanisering, beräkning av singulära värden, normberäkningar, matrisfaktoriseringar osv. Fråga mig om ni är tveksamma. Sergei Silvestrov Lycka till!. a Bestäm Jordans normalform och minimalpolynom av Toeplitzmatrisen 2 2 2 T = 2 2 2 b Visa att om P t = t 2 4 t 29 6 t 28 +2 t 27 +5 t 26 +t 5 4 t 4 6 t 3 +2 t 2 +5 t så är P T =. c Hitta ett polynom P 4 av grad 4 och ett polynom P 2 av grad 2 som kvadrerar matrisen T i den meningen att P T = T 2
2. Matriser A = a a 2 där a är en reell parameter kan ses som 3 3 Vandermonde matriser. Bestäm determinanten och rangen av A för alla a. Finns det par av värden av parametern a då Jordans normal form av A har olika antal av Jordan block? Vad är orsak till svaret ni fick? Bestäm alla värden på parametern a då matrisen A är normal A A = AA? Vad blir Jordan normal form i dessa fal. 3. Matris A =, är känd inom kvantberäkningar och kodteori i samband med en av viktigaste linjära felrättande koder, så kallade Hamming kod. Bestäm rang och nolrumm, de singulära värdena för matrisen, Frobenius normen A F och operatornormen A x 2 A 2 = max x =. x 2 och SV-faktoriseringen Singulärvärdesfaktoriseringen av A. 4. a Den så kallade kvantplanrelation AB = qba och q-deformerade Heisenberg relation AB qba = I är viktiga inom kvantfysik och flera ingenjörsämnen. Matrislösningar operatorlösningar till dessa matrisekvationer är därför viktiga både inom matematik och tillämpningar. Matriser A, B som uppfyller sådant relation kallas representationer av relationen. För att hitta matriser som uppfyller kvantplanekvationen eller q-deformerade Heisenberg relation är avbildningen Ψ q : X AX qxa, Ψ q : M n M n på n n-matriser mycket användbar. Om A är given, då består nollrumet NΨ q av linjära avbildningen Ψ q av precis de matriser B som uppfyller kvantplanrelationen tillsammans med A. Matriser B som avbildas av Ψ q på enhetsmatrisen I uppfyller däremot q-deformerade Heisenberg relation. Så klart är NΨ q ett linjärt rum ty Ψ q är ett linjär avbildning. Bland annat nolmatrisen X = så klart tillhör det. I uppgiften betraktar vi n = 3. I detta fal är M 3 ett linjär rum av dimension 9. Välja ett bas av 9 st matriser i M 3. Låt A vara en diagonal 3-matris A = λ λ 2 λ 3 Bestäm matris av linjär avbildning Ψ q : M 3 M 3 med avseende på valt av dig bas i M 3. Det kommer att vara 9 9 matris med matriselement som beror på λ, λ 2, λ 3. Bestäm tillräckliga och nödvändiga om och endast om villkor i termer av λ, λ 2, λ 3 för att det skulle finnas icke-noll 3 3-matriser X som löser AX = qxa. Välj 3 olika explicita med tal matriselement exempel på matriser A och för varje A icke-noll X så att AX = qxa..
Välj icke-nol värde på q =. För dessa 3 explicita lösningar med den valda värde på q beräkna Jordan normal form, egenvärdena, egenvektorer, singulära värden samt Frobenius och Hermitisk operator norm och konditionstal. För samma 3 matriser A och värden på q bestäm om det finns X som uppfyller q-deformerad Heisenberg relation AX qxa = I. Obs! Glöm inte som vanligt även om du använder Maple för vissa beräkningar! att redovisa huvudstegen i beräkningen, vilka principer används och slutsatser som du drar från resultatet av beräkningarna och från formlerna som du kommer fram till. b Låt nu A och B nu vara godtyckliga kvadratiska matriser av ändlig storlek med komplexa element. Visa att om q = är ett godtycklig komplext tal sådant att q =, så finns det inga par A, B av kvadratiska matriser med normal A = och inverterbar B =, som uppfyller kvantplanrelationen AB = qba. 5. Matrismonotona funktioner är en viktig klass av funktioner med intressanta tillämpningar inom signalbehandling, elektronik samt inom riskanalys i bl a ekonomi. Ett kontinuerlig funktion ft definierad på intervall I av reell axel sägs vara monoton på matriser av storlek n n eller kortfattat n-monoton om för alla hermiteska n n matriser A och B som har alla sina egenvärden inom intervallet I, gäller att B A medför fb fa, d v s om de kvadratiska formerna med matriser A och B A är positivt semidefinita, så är den kvadratiska formen med matrisen fb fa är också positivt semidefinit. a Det är välkänt att funktionen ft = t 2 är kontinuerlig och monotont växande for positiva reella tal, d v s om s t, så är s 2 t 2. Trots det, visa att för a > så gäller för matriserna A = a, B = att B A men fb fa, d v s visa att de kvadratiska formerna med matriser A och B A är positivt semidefinita eller positivt definita, men att den kvadratiska formen med matrisen B 2 A 2 är indefinit. b Det är välkänt att funktionen ft = t 2 är kontinuerlig och monotont växande for positiva reella tal, d v s om s t, så är s 2 t 2. Visa att för a = 2 så gäller för matriserna A = a, B = att B A och fb fa, d v s visa att de kvadratiska formerna med matriser A och B A är positivt semidefinita eller positivt definita, och att den kvadratiska formen med matrisen B 2 A 2 också är positivt semidefinit eller positivt definit. 6. a Definera pseudoinvers och Moore-Penrose-pseudoinvers för m n matriser. Beskriv användningen av Moore-Penrose-pseudoinvers i samband med lösning av systemet A x = b
b Beräkna Moore-Penrose-pseudoinversen A + för Hamming kod matrisen A = c Vad mennas med en minstakvadratlösning till systemet A x = b? d Beräkna minstakvadratlösning till systemet A x = som har minst 2-norm. 7. a Visa att de berömda 2 2 Pauli matriserna från kvantfysiken i σ =, σ =, σ 2 = i, σ 3 = uppfyller kommuteringsreglerna σ σ 3 = σ 3 σ och [σ, σ 2 ] = 2iσ 3, [σ 2, σ 3 ] = 2iσ, [σ 3, σ ] = 2iσ 2, [σ, σ ] = [σ, σ 2 ] = [σ, σ 3 ] =, Här används den vanliga beteckningen för kommutator [A, B] = AB BA av matriser. b För alla matriser A sådana att A 2 = I visa att för alla reella tal x. e iax = cosxi + i sinxa c Visa att för alla reella tredimensionella vektorer med längd v 2 = v 2 + v 2 2 + v 3 2 = och Pauli matriser i a gäller v σ + v 2 σ 2 + v 3 σ 3 2 = I. d Visa att för alla reella tredimensionella vektorer med längd v 2 = v 2 + v 2 2 + v 3 2 =, alla reella tal θ och Pauli matriser i a gäller e iθ v σ +v 2 σ 2 +v 3 σ 3 = cosθ σ + i sinθ v σ + v 2 σ 2 + v 3 σ 3. e Visa att för alla reella tal θ och Pauli matriser i a gäller σ e i θ 2 σ θ 2 i σ = e 2 σ 2. Beräkna matrisen e i θ 2 σ 2. Beskriv geometriska betydelsen av transformationer som har matriser σ och e i θ 2 σ 2 med avseende på ett ortonormerade koordinat system i ett 2-dimensionellt rum.
8. a Visa att A B = tra H B definierar en skalärprodukt på M n n C. Visa sedan att tra 2 tra H A = A A. b Visa att om matrisen A är skevhermitesk så implicerar tra 2 = att A =. c Visa att [A, B] = AB BA är skevhermitesk om matriserna A och B är hermiteska A H = A, B H = B. d Visa att om A och B är hermiteska och S är godtycklig kvadratisk matris som uppfyller kommuteringsreglerna [A, B] = A + S [B, S] = så gäller [A, B] = AB BA = och därmed S = A. vilket innebär att A och B kommuterar, dvs uppfyller AB = BA.