LULEÅ TEKNISKA UNIVERSITET Ämneskod S0006M Institutionen för matematik Datum 2009-12-17 Skrivtid 0900 1400 Tentamen i: Statistik 1, 7.5 hp Antal uppgifter: 5 Krav för G: 11 Lärare: Robert Lundqvist, tel 49 24 04 Jour: Robert Lundqvist, tel 49 24 04 Resultatet anslås senast: 22/12 2009 Tillåtna hjälpmedel: En statistikbok, gärna Introduction to the Practice of Statistics av Moore & McCabe. Undantag: kombinationen Praktisk statistik/räkna med slumpen Miniräknare Tänk på att redovisa dina lösningar på ett klart och tydligt sätt. Endast det numeriska svaret räcker inte för full poäng. Korrekt lösning ger det poängantal som står angivet efter uppgiftstexten. LYCKA TILL!
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 2
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 I alla lösningar förutsätts du ge tydliga beskrivningar av såväl förutsättningar som frågeställning. Det innebär att händelser, slumpvariabler och fördelningar/slumpmodeller ska beskrivas tydligt. 1. I fastighetsenheten inom en större organisation vill man se hur lokaler man ansvarar för utnyttjas. Det finns totalt 14 hus, och i vart och ett av dessa finns en typ av sammanträdesrum. För en given månad sammanställs beläggningen, dvs andel av tillgänglig tid som lokalerna utnyttjas, för alla dessa 14 rum. Resultatet ges i nedanstående tabell: 0.264 0.277 0.284 0.239 0.219 0.261 0.250 0.254 0.233 0.270 0.268 0.261 0.243 0.246 (a) Beskriv beläggningen i ett stambladdiagram. (b) Beräkna median, undre och övre kvartil för beläggningen. Du ska tydligt ange hur du definierat dessa. (c) Beskriv beläggningen i en boxplot. (6p) 2. I en undersökning av sambandet mellan barns födelsevikt (enhet: gram) och viktökningen (enhet: %) under den första månaden studerades 22 barn. Följande värden erhölls: Födelsevikt Viktökning Födelsevikt Viktökning Födelsevikt Viktökning 2020 100 4175 53 3100 56 2500 70 2740 50 3340 50 3325 27 3250 38 4510 29 4180 19 3185 79 2780 90 2750 105 2175 96 4000 31 3740 31 2300 90 3295 68 2025 114 3785 38 2835 80 3500 62 Görs en regressionanalys med födelsevikten som förklarande variabel och viktökningen som beroende variabel fås följande samband: ŷ = 168.3 0.033 x Kan koefficienterna i det sambandet ges meningsfulla tolkningar? Ge i så fall sådana tolkningar. Ifall det inte är möjligt, motivera då detta. (3p) 1
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 3. Uppgifter om antalet nyregistrerade personbilar anses vara en viktig indikator på tillståndet i ekonomin. I nedanstående tabell gesantalet nyregistrerade bilar under några månader detta år: Månad Antal Februari 15 508 Juni 24 141 November 21 285 (a) Beskriv dessa antal i en indexserie med november som bastidpunkt, dvs den tidpunkt då index är 100. (b) Hur stor har den månatliga genomsnittliga förändringen varit under perioden från februari till november? (2p) 4. Efterfrågan på blyfri bensin, 95 oktan, på en viss macken vanlig måndag har visat sig kunna beskrivas med en normalfördelning där genomsnittet är 27 000 liter och standardavvikelsen är 2 000 liter. (a) Hur stor är andel av alla måndagar kommer efterfrågan att överstiga 30 000 liter? (b) Hur många liter bensin måste finnas i tanken en måndag för att det ska vara högst 5% av måndagarna som bensinen tar slut, dvs att efterfrågan är större än den tillgängliga volymen? (4p) 5. Du ska genomföra en undersökning av vad hyresgästerna i det kommunala bostadsbolaget tycker om bolagets tjänster och utbud. I undersökningen ingår att gå ut med en enkät till bolagets hyresgäster. Idet aktuella området finns 1000 lägenheter. Några av frågorna där är följande: Antal personer i hushållet? Antal personer i hushållet som är 18 år eller äldre? Hur många år har ni bott i den lägenhet du nu bor i? Hur brukar du oftast transportera dig till de centrala delarna av staden? (Bil/Cykel/Buss/Promenerar/Annat, nämligen... ) Hur ni bott i en annan lägenhet inom detta bostadsområde? (Ja/Nej) Vilket av följande alternativ passar bäst på din nuvarande bostadssituation? (Jag är helt nöjd, vill inte ändra på något/jag trivs rätt bra, men funderar ändå på att flytta/jag trivs inte alls/annat, nämligen... ) 2
Tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 Planen är att göra ett slumpmässigt urval av 100 hushåll. (a) Ge ett exempel på en grafisk metod för att beskriva fördelningen av antalet år de svarande bott i nuvarande lägenhet. (b) Ge ett exempel på en grafisk metod för att beskriva hur de svarande brukar transportera sig till centrum. (c) Ge ett exempel på en grafisk metod för att beskriva sambandet mellan antalet år de svarande bott i nuvarande lägenhet och om de bott i annan lägenhet inom området. (d) Ge exempel på en numerisk/sifferbaserad metod för att beskriva sambandet mellan vad de svarande tycker om sin bostadssituation och antalet år de bott i den nuvarande lägenheten. (e) Beskriv kortfattat hur du skulle göra det slumpmässiga urvalet när du ska använda en slumptalstabell till din hjälp: vad du behöver för slags underlag, hur urvalet görs. Du ska i denna uppgift utgå från att variablerna inte ska utsättas för beräkningar annat än möjligen bestämmande av mått baserade på ordningsvärden, dvs kvartiler, median och liknande. (6p) 3
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 1. (a) Ett stambladdiagram för andelen av tiden som rummen används kan se ut på följande sätt: The decimal point is 2 digit(s) to the left of the 20 9 22 39 24 3604 26 114807 28 4 (b) Medianen blir det mittersta värdet, dvs värde nr 7.5 eller medelvärdet av 6:e och 7:e värdet. Här blir det 0.2575. Undre kvartil (q 1 ) blir mitten i undre halvan, dvs värde nr 4 som här råkar vara 0.243. Övre kvartil (q 3 ) blir på motsvarande sätt 0.268. (c) 0.22 0.23 0.24 0.25 0.26 0.27 0.28 2. Låt y beteckna den procentuella viktökningen och x barnens födelsevikt i kg. Med regressionsanalys har man fått sambandet ŷ = 168.3 0.033 x Här kan värdet 0.033 tolkas som att den förändringen i viktökning minskar med i genomsnitt 0.033% om födelsevikten ökar med 1 kg. Värdet 168.3 kan inte ges någon meningsfull tolkning eftersom det givetvis inte finns några observationer på viktökning för barn som skulle ha födelsevikt 0 kg. 4
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 3. I tabellen ges antalet nyregistrerade bilar under några månader detta år: Månad Antal Februari 15 508 Juni 24 141 November 21 285 (a) Index för februari blir 15508/21285 100 = 72.86, för juni blir det 24141/21285 100 = 113.42 eller uttryckt i en tabell: Månad Index Februari 72.86 Juni 113.42 November 100 (b) Låt k beteckna den månatliga tillväxtfaktorn under perioden. Då gäller att 15508 k 9 = 21285 eftersom det är 9 månader i perioden. Detta betyder att k 9 = 1.3725 och k = 1.3725 1/9 = 1.0358. Den procentuella månatliga förändringen är alltså 3.58%. 4. Låt E stå för efterfrågan på blyfri bensin. Den variabeln sägs kunna beskrivas med en normalfördelning där genomsnittet är 27 000 liter och standardavvikelsen är 2 000 liter. (a) P(efterfrågan överstiger 30 000) = ( E 27000 = P(E 30000) = P 2000 ) 30000 27000 = 2000 = P(Z 1.5) = 1 P(Z < 1.5) = 1 0.9332 = 0.0668 (b) Det som söks är det värde c som gör att P(E c) = 0.05. ( E 27000 P(E c) = P c 27000 ) = P(Z c) = 0.05 2000 2000 Enligt tabell är P(Z > 1.645) = 0.05, vilket betyder att c 27000 2000 = 1.645 vilket i sin tur betyder att c = 30290 liter. 5
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 5. Några av frågorna i undersökningen med ett urval av 100 hushåll bland de 1000 i området var följande: Antal personer i hushållet? Antal personer i hushållet som är 18 år eller äldre? Hur många år har ni bott i den lägenhet du nu bor i? Hur brukar du oftast transportera dig till de centrala delarna av staden? (Bil/Cykel/Buss/Promenerar/Annat, nämligen... ) Hur ni bott i en annan lägenhet inom detta bostadsområde? (Ja/Nej) Vilket av följande alternativ passar bäst på din nuvarande bostadssituation? (Jag är helt nöjd, vill inte ändra på något/jag trivs rätt bra, men funderar ändå på att flytta/jag trivs inte alls/annat, nämligen... ) (a) Antalet år de svarande bott i nuvarande lägenhet är en kvantitativ variabel som kan beskrivas med exempelvis ett histogram, en boxplott eller ett stambladdiagram. Eftersom det inte kan handla om särskilt många olika värden går det också med ett stapeldiagramaven om det inte blir särskilt snyggt. Anledningen till detta är förstås att det knappast behövs någon indelning i klasser. (b) En grafisk metod för att beskriva hur de svarande brukar transportera sig till centrum kan till exempel vara ett stapeldiagram, en stapel för varje svarsalternativ. (c) En grafisk metod för att beskriva sambandet mellan antalet år de svarande bott i nuvarande lägenhet och om de bott i annan lägenhet inom området kan förstås vara två boxplottar, helst i samma diagram: en boxplott som beskriver år för de som svarat Ja och en boxplott för de som svarat Nej. Det skulle också gå att göra två histogram, men det kan d a bli svårare att göra jämförelser mellan grupperna. Ett tredje alternativ är att bilda stapeldiagram: en stapel för varje år uppdelad på de två svaren Ja och Nej. (d) En numerisk/sifferbaserad metod för att beskriva sambandet mellan vad de svarande tycker om sin bostadssituation och antalet år de bott i den nuvarande lägenheten kunde vara att ställa upp en korstabell med antalet år och åsikterna som variabler. (e) För att göra ett slumpmässigt urval behövs först en förteckning (dvs en urvalsram) över hushållen i området. Där numreras alla hushåll från 1 till 1000. Efter det görs urval ur listan genom att ta en godtycklig 6
Svar till tentamen i Statistik 1, S0006M, 2009-12-17 startpunkt i slumptalstabell, ta fyra efter varandra följande siffror och se om den kombinationen motsvarar något av hushållen i ramen. Om så är fallet väljs detta hushåll ut, annars tas fyra efterföljande siffror ut. På det viset fortsätter man tills 100 hushåll är valda. 7