MATEMATIK Chalmers tekniska högskola Tentamen MVE52 Linjär algebra LMA55 Matematik, del C Hjälpmedel: inga Datum: 28-8-29 kl 8 2 Telefonvakt: Sebastian Jobjörnsson ankn 6457 Examinator: Håkon Hoel Tentan rättas och bedöms anonymt Skriv tentamenskoden tydligt på placeringlista och samtliga inlämnade papper Fyll i omslaget ordentligt För godkänt på tentan krävs 2 poäng på tentamens första del (godkäntdelen) Bonuspoäng från duggor 28 räknas med För betyg 4 resp 5 krävs dessutom resp 4 poäng sammanlagt på tentamens två delar, varav minst 4 resp 6 poäng på del 2 Lösningar läggs ut på kursens hemsida Resultat meddelas via Ladok ca tre veckor efter tentamenstillfället Del : Godkäntdelen Denna uppgift finns på separat blad på vilket lösningar och svar skall skrivas Detta blad (5p) inlämnas tillsammans med övriga lösningar 2 a) Definiera begreppet inverterbar matris (2p) b) Beräkna inversen till matrisen (p) 2 A = 2 2 c) Låt B och C vara inverterbara 2 2 matriser där (p) B = [ ] Finn inversen till matrisen D = BC T och C = [ ] 7 a) En kvadratisk matris A är inverterbar om det finns en matris B av samma storlek sådan att BA = I = AB b) Gausseliminering ger 2 2 2 2 5 2 5 2 2 6 2 2 2 2 6 5 2/ 2 5/, / / 2/ 2 5/ dvs A = 2 6 5
c) D = (BC T ) = (C T ) B = (C ) T B = [ ] ( 7 [ ]) = [ ] 8 6 4 22 Låt punkterna A = (,, ), B = (2,, 2) och C = (,, 2) vara givna a) Beräkna arean till triangeln med hörn A, B och C (p) b) Beskriv (med en ekvation) planet Π som går genom punkterna A, B och C (2p) c) Beräkna minsta avståndet från punkten P = (, 2, ) till planet Π (2p) a) Arean till ABC är lika med hälften av arean till parallellogrammen som spänns av AB och AC Dvs Area( ABC) = 2 AB AC = 2 2 2 2 2 = 4 2 = 2 b) n = AB AC = ( 8,, 4) T = (n, n 2, n ) T är normalvektor till Π Sedan planet går genom punkten A kan mängden av punkter i planet skrivas som ger planets ekvation Π = {(x, y, z) R (x )n + (y ( ))n 2 + (z )n = } Π : 8(x ) + 4z = c) Minsta avståndet är lika med längden av vinkelräta projektionen av AP på normalvektorn n från uppgift b) Sedan AP = (,, ) T får vi som ger projn AP = n AP n n n = 2 n 8 n = n 5 n, Minsta avstånd = projn AP = 5 4 Anpassa med minsta kvadratmetoden en rät linje y = c + c 2 x till punkterna (p) ( 2, ), (, ), (, ) och (2, ) Ekvationssystem: 2 [ ] c c 2 2 }{{}}{{} =c =A = }{{} =b
Minstakvadratlösningen till detta ekvationssystemet kan beräknas vid att lösa normalekvationen A T Ac = A T b där [ ] [ ] A T 4 A = och A T b = 9 9 Det ger c = 5 [ ] [ ] 9 = [ ] 8 4 9 5 5 a) Beskriv vad som menas med att en mängd vektorer v, v 2,, v k R n är linjärt (2p) beroende b) Avgör om följande vektorer är linjärt beroende (p) 2 v = 2 2, v 2 =, v = a) Vektorerna v, v 2,, v k R n är linjärt beroende om ekvationen x v + x 2 v 2 + x k v k = har minst en icke-trivial lösning x = (x, x 2,, x k ) T b) Vektorerna är linjärt beroende endast om ekvationssystemet 2 2 x 2 x 2 = x har minst en icke-trivial lösning x Gausseliminering ger 2 2 2 2 2 Konklusion: ekvationsystemet har entydiga lösningen x = så vektorerna är linjärt oberoende
Del 2: Överbetygsdelen I allmänhet kan inte poäng på dessa uppgifter räknas in för att nå godkäntgränsen 6 Avgör om följande påståenden är sanna eller falska, samt motivera ditt svar (Rätt svar utan motivering ger inga poäng) a) Om både F : R n R m och F 2 : R m R k är linjära avbildningar så måste också (2p) avbildningen G : R n R k definierad som G(x) = F 2 (F (x)) x R n vara linjär b) För tre godtyckliga vektorer i R, (2p) så gäller följande a b c a = a 2, b = b 2, c = c 2 a b c a (b c) = det([a b c]), där [a b c] betecknar matrisen med kolonner a, b och c c) Om A, B och C är kvadratiska matriser av samma storlek där A kommuterar med B (2p) och B kommuterar med C, så måste A kommutera med C d) Om a, a 2, a R är linjärt oberoende så måste följande matris vara inverterbar: (2p) B = [a (a + a 2 ) (a + a 2 + a )] (Förtydligande: kolonn nr k i matrisen B är lika med k j= a j för k ) a)om F och F 2 är linjära gäller följande för alla x, y R n och α R: G(x + y) = F 2 (F (x + y)) = F 2 (F (x) + F (y)) = F 2 (F (x)) + F 2 (F (y)) = G(x) + G(y) och G(αx) = F 2 (F (αx)) = F 2 (αf (x)) = αf 2 (F (x)) = G(x) Konklusion: G är linjär och påstanden är sann b) Påstanden är sann: a (b c) = a (b 2 c b c 2 ) + a 2 (b c b c ) + a (b c 2 b 2 c ) [ ] [ ] [ ] b2 c = a det( 2 b c ) a b c 2 det( b c ) + a b c det( ) b 2 c 2 = det([a b c]) c) Påstanden är falsk Motexempel: A = [ ], B = [ ] och C = [ ] ger trivialt att men AB = A = BA och BC = C = CB, AC = [ ] CA = [ ]
d) Påstanden är sann: Om vektorerna a, a 2, a är linjärt oberoende så är det([a a 2 a ]) Ekvationen B = [a a 2 a ] ger vidare att det(b) = det([a a 2 a ]) det = det([a a 2 a ]) som implicerar att B är inverterbar 7 Beskriv mängden av alla (a, b, c) R sådana att [ ] 2 A = och B = 4 [ ] a b c 4 (4p) kommuterar och AB = BA = [ a + 2c ] b + 8 a + 4c b + 6 [ ] a + b 2a + 4b c + 2 2c + 6 För att AB = BA måste följande ekvationer gälla a + 2c = a + b b + 8 = 2a + 4b a + 4c = c + 2 b + 6 = 2c + 6 Det kan skrivas som ekvationssystemet 2 a 2 b = 8 c 2 Gausseliminering ger 2 4 4 4 2 8 2 2 2 2 2 8 2 Konklusion: Lösningsmängden (a, b, c) R så att AB = BA kan betraktas som alla punkter på räta linjen 4 L : + t 2/ t R
Lycka till! Håkon Hoel
Anonym kod sidnummer Poäng MVE52 Linjär algebra 28-8-29 Till nedanstående uppgifter skall korta lösningar redovisas, samt svar anges, på anvisad plats (endast lösningar och svar på detta blad, och på anvisad plats, beaktas) (a) Låt och beräkna: i a + 2b c, ii a (b + c), iii b c, iv och vinkeln mellan a och b 2 a = 2, b = 2, och c = (p) (p) (p) (p) i ii iii + 2() (2) a + 2b c = 2 + 2( 2) ( ) = 7 + 2() () 5 a (b + c) = 2 5 = (5) + 2( 5) + () = 4 b 2 c b c 2 b c = b c b c = 2 b c 2 b 2 c 5 iv Vinkeln mellan a och b är definierad som entydiga θ [, π] som uppfyller ekvationen cos(θ) = a b a b Sedan a b = följer det att θ = π/2 (b) i Beräkna matrisprodukten AB där (2p) A = 2 och B = 2 5 ii Låt C, D och E vara rektangulära matriser sådana att CD är en m n matris och DE är en p k matris Beskriv storleken till matriserna C och E (2p) i 2 2 = 2 2 5 7 ii CD R m n implicerar att C har m rader, D har n kolonner och C har samma antal kolonner som D har rader DE R p k implicerar att D har p rader, E har k kolonner och antal kolonner i D är lika med antal rader i E Vi konkluderar direkt att D är p n matris, som vidare ger att C är m p och E är n k
(c) Låt 2 A = 7 5 4 6 5 i Beräkna det(a) ii Låt B vara en 4 4 matris med det(b) = Bestäm det(abba) iii Låt C = [c c 2 c ] vara en matris där c k betecknar matrisens k-te kolonn Ge en geometrisk tolkning av det(c) (p) (2p) (2p) i 5 4 7 5 det(a) = 2 det det 5 6 ( [ ] [ ] ) ( [ ] [ ] ) 5 4 5 7 = 2 det( ) det( ) 6 det( ) + det( ) 5 5 ii = 2(45 2) (6(4) + 4) = 48 28 = 2 det(abba) = det(a) det(bba) = = (det(a)) 2 (det(b)) 2 = 4 9 = 6 iii det(c) är volymen till parallellepipeden som spänns upp av vektorerna c, c 2 och c