KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER

Relevanta dokument
Bo E. Sernelius Residuer och Poler 27

Läsanvisningar till kapitel

Blixtkurs i komplex integration

Imz. Rez. Bo E. Sernelius

Instuderingsfrågor i Funktionsteori

Harmoniska funktioner

Bo E. Sernelius Funktioner av Komplex Variabel 15 KOMPLEXVÄRDA FUNKTIONER AV KOMPLEX VARIABEL

Patologiska funktioner. (Funktioner som på något vis inte beter sig väl)

Läsanvisningar till kapitel

Kursstart. Kursen startar tisdagen den 10 oktober kl i sal MA236 i MIT-huset. Schemat kan erhållas från matematiska institutionens hemsida.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

3. Analytiska funktioner.

TATA42: Föreläsning 5 Serier ( generaliserade summor )

gränsvärde existerar, vilket förefaller vara en naturlig definition (jämför med de generaliserade integralerna). I exemplet ovan ser vi att 3 = 3 n n

Serier. egentligen är ett gränsvärde, inte en summa: s n, där s n =

Lösningsmetodik för FMAF01: Funktionsteori

Lösningsförslag för omtentamen i Komplex analys, SF1628, 21/

Tentamen i Komplex analys, SF1628, den 21 oktober 2016

1. Lös ekvationen (2 i) sin z + cos z = 2 i. Svara med komplexa tal på formen a + bi. u(x, y) = φ(x)(1 y),

KOMPLEX ANALYS EXEMPELSAMLING. Augusti 2006 GRUNDLÄGGANDE EGENSKAPER. 1. Beräkna real- och imaginärdel av. 1 1 i. ( i i c) 1 + i.

Funktionsserier och potensserier. som gränsvärdet av partialsummorna s n (x) =

93FY51/ STN1 Elektromagnetism Tenta : svar och anvisningar

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

Låt vara en reell funktion av en reell variabel med definitionsmängden som är symmetrisk i origo.

Om konvergens av serier

Generaliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 10

Generaliserade integraler. Definitionen. J amf orelsesatser. Vad skall vi j amf ora med? Absolutkonvergens Dagens amnen 1 / 12

Läsanvisningar till kapitel 4

Möbiusavbildningar. 1 Inledning. Låt a, b, c och d vara komplexa tal och antag att ad bc = 0. Då kallas. Definition 1.

För ett andra ordningens system utan nollställen, där överföringsfunktionen är. ω 2 0 s 2 + 2ζω 0 s + ω0

Tillämpningar av komplex analys på spektralteori

Elektromagnetiska falt och Maxwells ekavtioner

SF1625 Envariabelanalys

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Matematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl xsinx (x 2 +1) 2 dx. p(z) = z 3 +(2 2i)z 2 +2iz +4

Elektromagnetiska fält och Maxwells ekavtioner. Mats Persson

( ), så kan du lika gärna skriva H ( ω )! ( ) eftersom boken går igenom laplacetransformen före

1 Potenitallösningen för strömningen kring en cylinder

= = i K = 0, K =

Kryssproblem (redovisningsuppgifter).

FK Elektromagnetism, Fysikum, Stockholms universitet Tentamensskrivning (2:a omtentan), fredag 30 augusti 2013, kl 9:00-14:00

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633.

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Complex numbers. William Sandqvist

Tentamen i ELEKTROMAGNETISM I, för F1 och Q1 (1FA514)

SF1625 Envariabelanalys Tentamen Måndagen den 11 januari 2016

Mer om Fourierserier. Fouriertransform LCB vt 2012

TSRT91 Reglerteknik: Föreläsning 4

29 Det enda heltalet n som satisfierar båda dessa villkor är n = 55. För detta värde på n får vi x = 5, y = 5.

Matematiska institutionen. Tentamen i Komplex analys (TATA45) kl v = Imf = coshxsiny +e y sinx+xy +1.

Lektion 1. Bo Bernhardsson FRT130 Control Theory, Lecture 1

FK Elektromagnetism och vågor, Fysikum, Stockholms Universitet Tentamensskrivning, måndag 21 mars 2016, kl 9:00-14:00

Cauchys integralformel och några av dess konsekvenser

KTH Matematik Tentamensskrivning i Differentialekvationer och transformer III, SF1637.

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

TATA42: Föreläsning 10 Serier ( generaliserade summor )

Tentamensskrivning i Differentialekvationer I, SF1633(5B1206).

k=0 kzk? (0.2) 2. Bestäm alla holomorfa funktioner f(z) = f(x + iy) = u(x, y) + iv(x, y) sådana att u(x, y) = x 2 2xy y 2. 1 t, 0 t 1, f(t) =

Mer om kontinuitet. Kapitel K. K.1 Övre och undre gräns

Tentamen i Envariabelanalys 2

SAMMANFATTNING TATA41 ENVARIABELANALYS 1

9. Magnetisk energi Magnetisk energi för en isolerad krets

IV, SF1636(5B1210,5B1230).

Föreläsning 3. Reglerteknik AK. c Bo Wahlberg. 9 september Avdelningen för reglerteknik Skolan för elektro- och systemteknik

SF1649, Vektoranalys och komplexa funktioner Tentamen, måndagen den 19 december Lösningsförslag. F n ds,

Lösningar till tentamen i kursen Envariabelanalys

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

Mer om EM vågors polarisation. Vad händer om man lägger ihop två vågor med horisontell och vertikal polarisation?

Transformer och differentialekvationer (MVE100)

Absolutstabilitet. Bakåt Euler Framåt Euler

Rita även grafen till Fourierserien på intervallet [ 2π, 4π]. (5) 1 + cos(2t),

x f (x) dx 1/8. Kan likhet gälla i sistnämnda relation. (Torgny Lindvall.) f är en kontinuerlig funktion på 1 x sådan att lim a

Poincarés modell för den hyperboliska geometrin

Strålningsfält och fotoner. Våren 2016

Visa att vektorfältet F har en potential och bestäm denna. a. F = (3x 2 y 2 + y, 2x 3 y + x) b. F = (2x + y, x + 2z, 2y 2z)

x 2 = lim x 2 x 2 x 2 x 2 x x+2 (x + 3)(x + x + 2) = lim x 2 (x + 1)

Tentamen i tmv036c och tmv035c, Analys och linjär algebra C för K, Kf och Bt A =, = det(a λi) = e 2t + c 2. x(t) = c 1. = c 1.

Institutionen för Matematik, KTH Lösningar till tentamen i Analys i en variabel för I och K (SF1644) 1/ e x h. (sin x) 2 1 cos x.

Föreläsning 12. Tidsharmoniska fält, komplexa fält (Kap ) Plana vågor (Kap ) i Griffiths

SF1625 Envariabelanalys Lösningsförslag till tentamen DEL A

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

ÖVN 6 - DIFFERENTIALEKVATIONER OCH TRANSFORMMETODER - SF Nyckelord och innehåll. a n (x x 0 ) n.

TSRT19 Reglerteknik: Välkomna!

Kap 5.7, Beräkning av plana areor, rotationsvolymer, rotationsareor, båglängder.

Strålningsfält och fotoner. Våren 2013

Tentamen, Matematik påbyggnadskurs, 5B1304 fredag 20/ kl

Föreläsning 4 1. Den andra av Maxwells ekvationer i elektrostatiken

Övning 3. Introduktion. Repetition

Läsanvisningar till kapitel

Dugga i elektromagnetism, sommarkurs (TFYA61)

TATA42: Föreläsning 6 Potensserier

= e 2x. Integrering ger ye 2x = e 2x /2 + C, vilket kan skrivas y = 1/2 + Ce 2x. Här är C en godtycklig konstant.

1.1 Den komplexa exponentialfunktionen

TENTAMEN HF1006 och HF1008 TEN2 10 dec 2012

Blandade A-uppgifter Matematisk analys

TATA42: Föreläsning 8 Linjära differentialekvationer av högre ordning

Matrisexponentialfunktionen

Transkript:

Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 33 KRAMERS-KRONIGS DISPERSIONSRELATIONER I detta kapitel diskuterar vi vad som händer om en pol finns på integrationskonturen och vi härleder Kramers-Kronigs dispersionsrelationer. Kramers-Kronigs dispersionsrelationer är mycket användbara hjälpmedel inom fysiken och vi ska nu ta fram dessa. De bygger på residuekalkylen som vi behandlade i förra avsnittet. Vi måste nu först studera några fler fall eller situationer. Antag först att vi vill integrera utmed hela reella axeln och vår integrand har alla sina poler i nedre halvplanet. Då är det lämpligt att välja vår kontur enligt alternativ (a) i förra avsnittet. Integralen blir då noll under förutsättning att integranden på halvcirkelbågen går mot noll tillräckligt snabbt, då radien av cirkeln går mot oändligheten, för att integrationen utmed cirkelbågen inte ska ge något bidrag. dx a ( x + ia )( x + + ia ) = ; >, reellt Om i stället alla poler ligger i övre halvplanet väljer vi kontur enligt (b). dx a ( x + ia )( x + + ia ) = ; <, reellt Att lägga märke till är att om integranden har alla sina poler i ett av det övre eller nedre halvplanen så är den inte reell. Vad händer nu om en pol ligger på reella axeln? dx ( x ) =? Den här integralen existerar inte i egentlig mening. Man måste ge ett recept på hur man ska integrera annars kan man få vilket värde som helst. Vi har nämligen att

Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 34 dx x dx x ( ) = ; ( ) = och summan av plus och minus oändligheten kan bli vad som helst. Problemet är analogt med det för oändliga serier som inte är absolutkonvergenta. Beroende på hur man grupperar ihop termerna kan man få vilket värde som helst. I fallet med integraler är det vanligast att man använder sig av principalvärdet av integralen. ε P dx dx dx ( x ) = lim ( x ) + ( x ) = ε + ε I detta specifika fall blev integralen. (Ibland flyttar man in Pet innanför integraltecknet och placerar det framför integranden). I en viktig del av den experimentella fysiken utgörs experimenten av att man stör sitt system på något sätt och studerar hur systemet svarar på den yttre störningen. Störningen kan vara i form av ett elektriskt fält, ett magnetiskt fält, en elektromagnetisk våg, en temperaturpuls,... Svaret eller responsen på störningen uttrycks i form av s.k. responsfunktioner eller korrelationsfunktioner. De som är av störst intresse inom elektromagnetismen är konduktiviteten, de elektriska och magnetiska polariserbarheterna, brytningsindexet och dielektricitetsfunktionen. Om man är intresserad av tidsutvecklingen av störningen är responsfunktionerna frekvensberoende s.k. tidskorrelationsfunktioner. Frekvensen (egentligen vinkelfrekvensen) är här den komplexa variabeln. Alla dessa responsfunktioner har sina poler i nedre halvplanet (de ligger faktiskt på ett infinitesimalt avstånd från axeln); det hänger samman med att responsen alltid kommer efter störningen (kausalitet). Av detta följer således enligt ovan att funktionerna är komplexvärda. Vi ska använda faktumet att korrelationsfunktionerna är analytiska i övre halvplanet vid härledningen av Kramers-Kronigs dispersionsrelationer. Låt f vara en korrelationsfunktion och ω en punkt på den reella axeln. Cauchys integralformel ger då

Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 35 ( ) f z dz i z ω ( ) = om vi väljer följande kontur: ω Den stora halvcirkelns radie låter vi gå mot oändligheten och den lillas mot noll. Om nu korrelationsfunktionen har valts med eftertanke så bidrar inte integralen utmed den stora halvcirkeln. Av exemplen vi har räknat upp ovan så gäller detta för konduktiviteten och för de elektriska och magnetiska polariserbarheterna. För brytningsindexet och dielektricitetsfunktionen måste vi subtrahera med för att få användbara funktioner. De resulterande funktionerna går då tillräckligt snabbt mot noll på cirkeln då dess radie går mot oändligheten. Integralen utmed den lilla halvcirkeln blir -if(ω ). Detta följer ur (95). När radien går mot noll kan funktionen f ersättas med dess värde i polen och kvar blir en integral över /z utmed en halvcirkel i negativ riktning. Cauchys integralformel ger nu = ( ω ) ω ( ) ( ω ) i P d f f (97) ω ω och f ( ω ) = i P d f ( ω ) ω ω ω ( ) (98)

Bo E. Sernelius Kramers-Kronigs Dispersionsrelationer 36 Om vi separerar ut real- och imaginärdelen av den komplexa funktionen fås: Re Im Im f ( ω ) f ( ω ) = P dω ( ω ω ) Re f ( ω ) f ( ω ) = P dω ω ω ( ) (99) Vi kan nu slutligen använda oss av ytterligare en egenskap hos dessa korrelationfunktioner: Realdelen är en jämn och imaginärdelen en udda funktion av frekvensen. Detta leder till: Kramers-Kronigs dispersionsrelationer: ω' Re f ( ω ) = P d ' Im f ' ω ( ω ) ω' ω ω Im f ( ω ) = P dω' Re f ( ω' ) ω' ω () Dessa relationer visar att real- och imaginärdelarna av en korrelationsfunktion är intimt förknippade med varandra. Ofta kan man i ett experiment bara mäta den ena av funktionerna. Relationerna ovan innebär att man från dessa resultat kan räkna ut den andra. Inom den teoretiska fysiken räknar man ofta utmed imaginäraxeln. Funktionerna beter sig mycket bättre där. HEMUPPGIFT: Bestäm motsvarande relationer för en punkt på imaginäraxeln, i övre halvplanet, dvs. Re fiω ( ) och Im fiω ( ). Resultatet ska vara i form av integraler utmed positiva real-axeln. Det är ju där som man kan mäta storheterna. Det är där de har direkt fysikalisk tolkning.

A. i Bo E. Sernelius Svar till Problemen 37 Svar till problemen:. + i 3. 5 i5 4. 5. i 6. 3 + i4 7. i 8. + i 9. + i. + i.. 99 + i. 455.. 455 + i. 344 3. + i 4. + i 5. + i 6. + i3 7. 3 + i 8. 5 9. + i. 5 + i5. 5 + i5. 35 + i5 3. 5 + i35 4. 35 + i 45 5. (,) 6. 5 7. i 8. -4

Bo E. Sernelius Svar till Problemen 38 B.. 7. - 8. - 9. -. -. z + z + z z ( )( + ) C. z = Log( ) ± ( n + ) i ; n =,,,. z = ± n i ; n =,,,. i D 7. exp ( ± 4n ) ; n =,,, 8. ( ± ± n) i ; n =,,, 3 9. ( ± n) i ; n =,,,. Log( + 3 ) + ( ± n) i. ( ± n) i. Log( + 3 ) + ( ± n) i

E.. i 3. i 4. 5. 6. 7. 8. 6 9. 4. 6.. 5 3. 4 4. 6 Bo E. Sernelius Svar till Problemen 39