202 Matematikundervisningen i Norden under 1000 år - en jämförelse över tid

202 Matematikundervisningen i Norden under 1000 år - en jämförelse över tid Den nordiska skolutbildningens start kan dateras tillbaka till 800-talets kyrkoskolor. Men vad hände sedan? En del av de upptäckter som gjordes för nästan 1000 år sedan lever fortfarande kvar i dagens matematikundervisning. Vi kommer att redovisa matematiska milstolpar och försöka ge en beskrivning av utvecklingen i Norden parallellt med nedslag i händelser i Europa och övriga världen. Thomas Lingefjärd är docent i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet och Jönköpings högskola. Mikael Holmquist är universitetslektor i matematikdidaktik vid Göteborgs universitet Föreläsning Alla Dokumentation Utifrån ett internationellt perspektiv utgör de nordiska länderna Danmark, Norge och Sverige ofta en homogen enhet med avseende på kultur, social struktur, ekonomiska och politiska styrsystem och utbildning. På många sätt är en sådan sammanslagning försvarbar, eftersom dessa tre länder har mycket gemensamt. Ländernas historiska bakgrund har varit sammanvävd under flera tusen år, många kulturella, politiska och socioekonomiska traditioner och utövningar påminner om varandra, språken innehåller så många likheter att de oftast är möjliga att förstå, åtminstone i skriven form. De två andra länderna i Norden, Finland och Island, är separerade såväl geografiskt (Island) som kulturellt and språkligt. I Island har språket skyddats från intrång av utländska låneord, vilket innebär att man i Island talar vad vi kan kalla gammalnorska. Fastän detta var det språk som talades i Danmark, Norge och Sverige för över tusen år sedan, är det inte många som förstår det idag. Språket och det geografiska avståndet är två orsaker till varför Island skiljer sig relativt mycket från de andra nordiska länderna i kulturellt och politiskt hänseende. Det finländska språket är inte relaterat till de andra nordiska språken, måhända en avgörande orsak till varför Finland skiljer sig ganska mycket från de andra nordiska länderna. Oavsett dessa likheter och skillnader, så kan en berättelse om matematikundervisningen i Sverige under 1000 år aldrig bli något annat är en berättelse om matematikundervisningen i Norden under samma tid. De nordiska ländernas utbildningshistoria är mycket tätt sammanvävd under denna tidsrymd. Vi kommer bland annat att visa att en avgörande påverkan på matematikundervisningen i de nordiska länderna kom från Island, som på vissa sätt låg närmare Europa än vad Sverige gjorde för 1000 år sedan. Det går naturligtvis inte sammanfatta en total bild av matematikundervisningen i Sverige och Norden under denna tid, vilket inte heller är vår avsikt. I ställer kommer vi att göra historiska nedslag för att visa på vissa viktiga händelser under denna tid. När fick Sverige exempelvis sin första tryckta lärobok i aritmetik? När kom decimaltalen till Sverige eller till de nordiska länderna. Vilka var de personer som nedtecknades som speciella påverkansfaktorer i denna gryende matematiska medvetenhet? Vi vet idag att när Sverige fick sin första tryckta lärobok i aritmetik, så var det ca 100 år efter det att motsvarande läroböcker skrivna på grekiska eller latin cirkulerade i Europa. Den tidigaste kända tryckta läroboken i aritmetik kom från Treviso i Italien. Författaren är okänd. En engelsk

översättning kan hittas i Swetz (1987), tillsammans med en beskrivning av hur den så kallade nya matematiken av den tiden, det nya Hinduarabiska sättet att skriva tal tillsamman med nya algoritmer, så småningom kom att ersätta det romerska talsystemet. Men vad drev förändringen från romerska till Hinduarabiska siffror? Var och när ägde det rum? Ett generellt problem när det gäller historiebeskrivningar är frågan om hur långt tillbaka man skall gå. När startar man? Vi har valt en startpunkt i 800-talets klosterskolor. Klosterskolorna, eller katedralskolorna, vilande bland annat på kejserliga och påvliga dekret från 787, 789, och 827 e. Kr. och utgör ett första tecken på organiserad utbildning i norra Europa. I ett dekret från Karl den store daterat år 789, hittar vi spår av hur kursplanen såg ut: Scholae legentium puerorum fiant; psalmos, notas, cantus, computum, grammaticam discant [Skolan skall undervisa om: psalmer, skrivning, kantater, kyrkoaritmetik, och grammatik] Computum betyder egentligen computus ecclesiasticus, det vill säga att beräkna datum för kyrkoårets högtidsdagar. En annan lämplig startpunkt skulle kunna vara den första nedskrivna läroboken i matematik, en handskriven bok av munken Bede Venerablis (Den vördnadsvärde) som är omnämnd i åtskilliga källor (Dahlbo, 1897; Hollander, 1884; Howson, 1981; McLeish, 1991). Bede var en engelsk munk (673-735 e.kr.) och författare till en bok vid namn computus, De Temporum Ratione. Denna lärobok användes i Sverige och Finland likväl som i England (Dahlbo, 1897). I denna handskrivna bok, visade Bede hur man kunde beräkna datum för påsk. En speciell form av fingerräkning tillsammans med romerska siffror utgjorde Bedes metod. Metoden, kallad De computo vel loquela digitorum, används fortfarande i modifierad form på travbanor och börsmarknader. Det är emellertid ingen tvekan om att matematikundervisningen i Norden har utvecklats avsevärt sedan denna tid, vi avser att göra åtskilliga intressanta nedslag under vårt föredrag. Källor: Bekken, O. B., & Christoffersen, M. (1985). Algorismus i Hauksbok [Algorithms in the book of Hauk] (Report 1985:1). Kristiansand, Norway: Agder Distrikthøgskole. Biörk, M. (1643). Arithmetica eller Räkne-Book Uthi hwilken Blifwer förhandlat [Arithmetica or arithmetic textbook in which we treat ]. Westerås. Brun, V. (1962). Regnekunsten i det gamle Norge [The art of arithmetic in old Norway]. Oslo: Universitetsforlaget. Dahlbo, J. Uppränning till matematikens historia i Finland. Från äldsta tider till stora ofreden [Origin of the history of mathematics in Finland. From ancient times to the great war] Nicolaistad: Akamemisk avhandling. Dahlin, E. (1875). Bidrag till de matematiska vetenskapernas historia i Sverige före 1679. [Contribution to the history of the mathematical sciences in Sweden before 1679]. Uppsala: Akademisk avhandling. Duhre, A. (1721). Första Delen af en Grundad Geometria, Bewijst Uthi de Föreläsningar som äro håldna på Swänska Språket Uppå Kungl Fortifications Contoiret. [Part one of a foundational geometry, based upon lectures given in the Swedish language at the Royal Fortifications Office]. Stockholm. 2

Firsov, V., Kovalyova, G., & Loginova, O. (1994). Transition to a market economy: Applications for Curriculum and Teaching in a Post-Communist Society. Moscow. Unpublished manuscript. Gestrinius, M. E., (1642) Arithemetica practica et geometria practica (handskrift renskrifven av Karl Filip von Sack den 12 Augusti, Anno 1642).[Practical arithmetic and practical geometry (manuscript by Karl Filip von Sack August 12, 1642)]. In F. Hultman (Ed.), (1870). Svenska aritmetikens historia. [History of the Swedish arithmetic]. Tidskrift för matematik och fysik, vol. 1, 225-237. Grugnetti, L. (1994). Relations between history and didactics of mathematics. In J. P. Da Ponte & J. F. Matos (Eds.), Proceedings of PME XVIII (Vol. 1, pp. 121-124). Lisbon: Universidade de Lisboa. Hall, B. R. (1921) Sveriges allmänna Läroverksstadgar 1561-1905. [Sweden s secondary grammar school regulations 1561-1905] Stockholm: Föreningen för svensk Undervisningshistoria Hollander, A., G. (1884). Svenska Undervisningsväsendets Historia [The history of the Swedish educational system]. Uppsala: Akademiska boktryckeriet. Howson, A., G. (1981). A history of mathematics education in England. Cambridge: University Press Hultman, F. (1868-1871, 1874). Svenska aritmetikens historia. [The history of the Swedish arithmetic]. Tidskrift för matematik och fysik. 1, pp. 1-11; 53-69; 149-164; 245-256, 2, pp. 57-63; 105-113, 3, pp. 7-11; 49-95; 243-249, 4, pp. 5-12; 97-101; 209-224, 5, pp. 1-10; 145-164; 225-240. Larsen, L. M. (1952). Træk af regnekunstens historie i Danmark [Traces of the history of arithmetic in Denmark]. Matematisk tidskrift, A, 1-21. Lindroth, S. (1975). Svensk Lärdomshistoria, del I [The history of learning in Sweden, Part 1] Stockholm: Nordstedts. Lönnqvist, C. (1916). Quator Species: Gamla och nya metoder [The four arts: Old and new methods]. Verdandi, 34, 96-132. McLeish, J. (1991). Matematikens Kulturhistoria [The cultural history of mathematics]. Borås: Forum. Nordenmark, N. V. E. (1936). Anders Celsius: Professor i Uppsala 1701-1744 [Anders Celsius: Professor in Uppsala 1701-1744]. Uppsala: Almqvist & Wiksell. Ohlon, R. (1986). Gamla mått och nya [Old and new measurement] Stockholm: Svenska Byggtjänst. Swetz, F. (1987). Capitalism and arithmetic: The new math of the 15 th century. La Salle: Open Court. Stjerhielm, G. (1870). Arithmetica mnemonica universalis in Wasula conscripta. Manuscript in F. Hultman (Ed.), Svenska aritmetikens historia. [The history of the Swedish arithmetic]. Tidskrift för matematik och fysik, 3, 49-95. (First published in 1642.) Strömer, M. (1744). Euclides Elementa. Uppsala. Thomspon, J. (1991). Historiens matematik. [The mathematics of history]. Lund: Studentlitteratur. 3

203 Vad är det som får den finländska matematikundervisningen att fungera? PISA-undersökningen 2003 placerar de finländska 15-åringarnas matematikprestationer i topp bland OECD-länderna. I föredraget tolkas detta resultat mot bakgrunden av de uppgiftstyper som ingår i undersökningen samt hur resultaten återspeglar den finländska läroplanen och matematikundervisningen i finländska skolor. Hur bidrar verksamhetsformerna i finländska klassrum till de jämförelsevis goda prestationerna? Vilka förväntningar ställs på elever och lärare? En särskild beskrivning ges av den finländska lärarutbildningen och hur den förbereder lärarna för utmaningarna inom matematikundervisningen. Ole Björkqvist är professor i de matematiska ämnenas didaktik vid Åbo Akademis pedagogiska fakultet i Vasa, Finland. Lisen Häggblom är PeD och lektor i matematikens didaktik vid samma fakultet samt därtill läromedelsförfattare för åk 1-6. Föreläsning Alla Dokumentation PISA-undersökningens resultat PISA-studierna gäller begreppet literacy, dvs. läskunnighet/läsförståelse, som överförd på ämnet matematik gäller sådan matematisk kunskap och förmåga som behövs för att klara sig i dagens värld. Det är någonting annat än den matematiska kunskap och förmåga som testas t.ex. i matematikolympiader. PISA-uppgifterna har typiskt en relativt lång text, medan den matematiska komplexiteten inte nödvändigtvis är så hög. I PISA-undersökningen i matematik 2003 var de finländska 15-åringarnas matematikprestationer signifikant bättre än motsvarande prestationer i de flesta andra deltagande OECDländerna, och endast Hong Kong (ett land som inte hör till OECD) hade ett bättre resultat. De finländska resultaten kännetecknades av hög homogenitet. Skillnaderna mellan elevernas prestationer i olika delar av landet var små, likaså skillnaderna mellan prestationerna för elever med olika socioekonomisk bakgrund och för elever av olika kön. Andelen elever med svaga resultat var anmärkningsvärt låg. Finland har ingen tradition att klara sig bra vid internationella jämförelser av prestationer i matematik. Men resultaten i undersökningarna 2000 och 2003 är ganska imponerande, och de stöds av liknande PISA-resultat i fråga om vanlig läsförståelse, läsförståelse som gäller naturvetenskap samt problemlösning. Några bakgrundsfaktorer studerades som en del av PISA-undersökningen 2003. Man kan lägga märke till att intresset för matematik inte är särskilt högt i Finland (lägre än i alla andra OECDländer än Japan, Österrike och Luxemburg). Elevernas självkänsla i fråga om matematik ligger på medelnivå, medan ängslan för matematik är lägre än i alla andra OECD-länder än Sverige, Danmark och Nederländerna. Resultatet av undersökningen av de kulturella mönstren passar väl ihop med vad man från tidigare vet om läsförståelsen i Finland (finländare tenderar att klara sig mycket bra vid 4

internationella jämförelser i fråga om läsförståelse). T.ex. används bibliotek mycket i Finland. Att läsa tidningar och tidskrifter är en del av det vardagliga livet. Det bör nämnas att det finska språket uttalas som det skrivs, på ett mycket regelbundet sätt, vilket gör det lättare att koncentrera sig på betydelsen av det som läses. Eftersom det finns starka korrelationer mellan resultaten i de olika delundersökningarna i PISA, är de här faktorerna relevanta för tolkningen av resultaten i fråga om matematik. Om man å andra sidan baserar tolkningen på den matematiska komplexiteten (som är låg i PISA-undersökningen), är det lätt att se att i ett land med relativt homogen matematisk förmåga (såsom i Finland) är det en större andel av eleverna som klarar en lätt uppgift än i ett liknande land där den matematiska förmågan inte är lika jämnt fördelad. En del av tolkningen av PISA-resultaten kan således göras med hänvisning till det specifika syftet med PISA-undersökningen och till de uppgiftstyper som använts. Vilket värde de jämförelsevis goda resultaten har är en annan sak det är i hög grad beroende på undersökningens status, vilken publicitet resultaten ges och vilka deras konsekvenser är för matematikundervisningen i praktiken under den närmaste tiden. En enhetlig kunskapsskola Till det yttre påminner det finländska utbildningssystemet mycket om det svenska. Utan att göra en jämförelse med det svenska systemet vill vi peka på några faktorer som man kan se som grundbultar i vårt utbildningssystem. Den finländska skolan har karakteriserats som en kunskapsskola. Det är ett resultat av Finlands vägval att bygga upp ett samhälle där kunskap och utbildning har stor prioritet. Före skolgången har de flesta barn gått i förskola. Efter den grundläggande utbildningen (F-9) väljer mer än hälften av ungdomarna det teoretiska gymnasiet och de flesta avlägger efter tre år studentexamen, som ger behörighet för akademisk utbildning. Redan på ett tidigt stadium är många elever och föräldrar inställda på att eleven ska satsa på sin utbildning. Enligt PISA-undersökningen är Finlands utbildningssystem ett av världens enhetligaste grundutbildningssystem. Att de svaga elevernas andel är liten jämfört med situationen i de övriga OECD-länderna kan dels kan bero på vår utbildning av speciallärare, dels på lärarnas didaktiska kunnande och skolans möjlighet att anordna stödundervisning. Att elevernas socioekonomiska bakgrund har en mindre betydelse än i de övriga OECD-länderna implicerar att skolan som inlärningsmiljö har stor betydelse för elevernas lärande i Finland. Och det satsas på skolbyggnader och lärandemiljöer i Finland. Kvaliteten är viktig. Kraven på lärarnas ämnesmässiga och pedagogiska kompetens är höga och man bemödar sig om att anställa högt kvalificerade lärare vid skolorna. Lärarutbildningen Rekryteringen till klassläraryrket (åk 1-6) är god, medan rekryteringen till yrket som ämneslärare i matematik (åk 7-12) är mera problematisk. Men på det hela taget är läraryrket ett betydligt populärare alternativ än i de övriga nordiska länderna. Inför antagningen till lärarstudier anordnas lärarlämplighetsprov. All lärarutbildning i Finland är universitetsbaserad, även utbildningen av förskollärare. Klasslärare och ämneslärare avlägger en magisterexamen i pedagogik eller i ett eller två undervisningsämnen. En magisterexamen innefattar att man skriver en avhandling ( pro 5

gradu ), och oberoende av om man har pedagogik eller matematik som huvudämne i examen är det möjligt att välja ett matematikdidaktiskt tema för avhandlingen. Detta grundläggande vetenskapliga inslag i grundutbildningen av lärare skiljer Finland från de flesta andra länder. Den tid som investeras i arbetet med avhandlingen ses som en god investering, särskilt med tanke på höjande av lärarnas självförtroende. Det tar normalt fem år att avlägga en magisterexamen, från det att man antagits till lärarutbildning. Klasslärarutbildningen utvecklas kontinuerligt som växelverkan mellan teori och praktik. Endast omkring en fjärdedel av tiden används för obligatoriska studier i undervisningsämnena, och av det används ca. en tiondel för matematik. Vid sidan av detta specialiserar sig de studerande på ett eller två ämnen. I fallet matematik innebär detta att de studerar minst hälften så mycket matematik som ämneslärarstuderande gör. Huvuddelen av de teoretiska studiernas ägnas åt pedagogik, inklusive forskningsmetodik för avhandlingsarbetet. Ämneslärarna i matematik läser matematik vid matematisk-naturvetenskaplig fakultet. Deras pedagogiska studier uppgår till mindre än en fjärdedel av den totala tiden, och är placerade vid en pedagogisk fakultet. Till varje pedagogisk fakultet i Finland hör åtminstone en övningsskola. Dessa skolor erbjuder ramen för största delen av den praktik som hör till utbildningen. Övningsskolorna ger de studerande möjlighet att utforska sin personliga stil som lärare under stöd av erfarna handledande lärare. Praktiklektionerna är också avsedda för utprövning av undervisningsmodeller som man stött på i de teoretiska studierna. Allt detta förutsätter noggrant samarbete mellan lärarutbildarna vid fakulteten och i övningsskolan. Det finländska systemet för lärarutbildning är jämförelsevis dyrt, men det accepteras som sådant av samhället. Det grundades på 1970-talet, och de pedagogiska fakulteterna är numera tillräckligt etablerade för att kunna fungera både som lärarutbildningsenheter och som forskningsinstitutioner. Enskilda lärarutbildare är dessutom aktiva inom kompetensutveckling för lärare och som läromedelsförfattare. De nya lärarna uppfattas som mycket kompetenta från sitt första undervisningsår, åtminstone i teoretiskt avseende. De har förmåga att analysera de situationer som uppstår i undervisningen, och de har tillgång till alternativa sätt att reagera. De vet vad som förväntas av dem i fråga om utvärdering och stöd riktat till enskilda elever, och de har en syn på läroämnet som sträcker sig längre än lärobokens framställning. Denna typ av lärare är det finländska utbildningssystemets största tillgång. Lärande i matematik Lärarnas didaktiska kunnande ger en stabil plattform för skolans utveckling och elevernas lärande. Den finländska läraren har stor frihet att utforma sin egen undervisning och förändringarna görs efter noggranna överväganden. Undervisningen har en tydlig struktur och man strävar till att skapa kreativa inlärningsmiljöer utan att frångå högt ställda krav. Elevaktivitet och sammanhållna grupper Undervisningen styrs av en inlärningssyn som betonar betydelsen av elevens egen aktivitet och växelverkan med läraren och de andra eleverna. Matematikundervisningen sker inom sammanhållna grupper med gemensamma genomgångar och diskussioner. Man jobbar inom 6

samma kunskapshelhet men differentierar med uppgifter enligt behov. Nivågrupperingen i högstadiet slopades för många år sedan och varje skola har sin egen differentieringsmodell. Läroplanens kunskapsmål Finland har fått en ny nationell läroplan vart tionde år och den senaste kom 2004. Den nya läroplanen är mycket detaljerad och tydlig men återspeglar också de didaktiska intentioner om elevers lärande som länge diskuterats i vår utbildning. Att ribban ligger högt synliggörs genom att man preciserat nivåer för goda kunskaper i matematik i åk 2, 5 och 9. (Läroplanen kan laddas ner under adressen www.oph.fi/svenska.) Den nationella läroplanen ger rekommendationer för de läroplaner som kommunerna utformar. I detta läroplansarbete samverkar lärare inom olika stadier. Begreppsbildning och tydlig struktur Elevernas förståelse av matematiska begrepp ges en stark betoning i läroplanen. När det gäller begreppsbildningen framhålls språk och laborativt arbete med konkreta modeller. Genom fokusering på det matematiska innehållet och tydliga inlärningshelheter får eleverna en grund för att senare kunna tillämpa sina kunskaper vid problemlösning. En klar struktur gör det lättare för eleverna att utvärdera sina framsteg kunskapen blir tydligare och medvetenheten om det egna lärandet ökar. Räknefärdighet och problemlösning Inom det traditionella matematikinnehållet betonas säker räknefärdighet. Problemlösning övas enligt läroplanen på alla stadier och innehållet i uppgifterna är varierande för att tillgodose olika elevers förmåga att utveckla matematiskt tänkande. Matematisk problemlösning har varit ett tyngdpunktområde inom kompetensutvecklingen för lärare. Kontinuerlig utvärdering Målet med utvärderingen är att den ska ge information som hjälper både skolor och elever att utvecklas. Därför betonas en utvärdering som ska vara sporrande och uppmuntrande. Men det ställs också krav på eleverna. Läxor ges och görs. Utvärderingssystemet är tydligt och traditionellt med skriftliga utlåtanden redan från det första skolåret, och i slutet av det fjärde skolåret får de flesta elever sitt första sifferbetyg. Genom regelbundna diagnoser och prov får elever och föräldrar information om hur skolarbetet lyckas. Lärobokens roll Läroboken har en viktig roll i ett samhälle som betonar kunskap. Den ses som viktig både ur elevperspektiv och som ett redskap i samarbetet mellan hem och skola. En lärobok hjälper eleverna att se helheten av sitt arbete. För matematikens del innebär det att skolorna uppfattar 7

läromedlen i matematik som viktiga ända från de första skolåren. Genom att skolorna har egna läroplaner och lärarna utför sitt arbete självständigt har man möjlighet att använda läromedlen fritt. Lärarna upplever sig inte styrda av läroboken utan ser den som ett stöd i sitt arbete. Läroböckernas höga prioritet leder till att förlagen satsar mycket på att ta fram kvalitativt goda läromedel. Det är inte är någon enskild faktor som ligger till grund för de jämförelsevis goda resultaten. Det finns ingen genväg till framgång i matematik. Det behövs didaktiskt kunniga lärare samt tidsoch materialresurser som transformeras till en kreativ och effektiv lärandemiljö. Samtidigt behöver skolan kontinuerlig uppbackning från föräldrarna och samhällskulturen. 8

204 Om slump, sannolikheter och evolution Syftet med föredraget är att på en elementär nivå förklara slumpens roll i evolutionsläran, samt ge en förklaring till hur avancerade varelser såsom vi själva kan komma till stånd "av en slump". Olle Häggström är professor i matematisk statistik på Chalmers, ordförande i Svenska matematikersamfundet, ledamot i Kungliga Vetenskapsakademien, flitig utbildningsdebattör, och författare till den populärvetenskapliga boken Slumpens skördar (Studentlitteratur 2004). Alla Föreläsning Dokumentation Före Darwin var det snart sagt omöjligt att tänka sig hur avancerade biologiska varelser såsom vi själva skulle ha uppkommit genom blinda naturkrafter utan ingripande från högre makter. Darwins evolutionslära om arternas utveckling genom naturligt urval, som han offentliggjorde 1859 och som sedan dess vuxit sig så stark och väletablerad att modern biologisk vetenskap vore närmast otänkbar förutan den, visar att det går alldeles utmärkt med enbart dessa naturkrafter. Det visar sig att matematiken är ett utomordentligt redskap för att skapa sig en bättre förståelse för evolutionsläran. Jag ämnar i detta föredrag ge exempel på hur enkla sannolikhetsteoretiska överväganden kan hjälpa oss att nå sådan förståelse. Om tiden medger kommer jag också att ge exempel på hur en av de ledande förespråkarna för så kallad intelligent design (även kallad kreationism light ) använder matematiska rökridåer för att ge intryck av att vederlägga Darwins evolutionslära; min avsikt är att hjälpa åhörarna att återigen med hjälp av enkla matematiska resonemang - se igenom dessa rökridåer. Mitt föredrag kommer främst att bygga på följande två uppsatser: O. Häggström: Om slumpen och evolutionen, http://www.math.chalmers.se/~olleh/portkoder.pdf, även publicerad i Nämnaren 3/2005, s 25-31. O. Häggström: Intelligent Design and the NFL Theorems - Debunking Dembski, http://www.math.chalmers.se/~olleh/dembski.pdf. 9

205 Primtalens magiska värld Några idéer om hur man kan ha roligt med primtalen i matteundervisningen för olika åldrar från 4-åringar upp till gymnasiet. Primtalen som viktiga byggstenar i taluppfattningen. Primtalslabyrinter. Primtal i vardagen och historien. Hur många primtal finns det under en miljon? Vilket är det största primtalet? Sten Rydh, lärare och ledare för Mattesmedjan, ett matematikcentrum i Dalsland. Föreläsning Alla Dokumentation Några idéer om hur man kan ha roligt med primtalen i matteundervisningen för olika åldrar från 4-åringar upp till gymnasiet. Primtalen som viktiga byggstenar i taluppfattningen. Primtalslabyrinter. Primtal i vardagen och historien. Hur många primtal finns det under en miljon? Vilket är det största primtalet? Jag har i min matteskola i Bengtsfors många små barn från 4 år och uppåt som kommer tillsammans med sina föräldrar en gång i veckan. Jag försöker att ge barnen riktiga matematiska begrepp från början, både när det gäller geometri och taluppfattning. De får på ett lekfullt sätt lära sig begrepp som kvadrat, rektangel, triangel, kon, pyramid, parallellepiped, jämna tal, udda tal, kvadratrötter, och primtal! Den som inte ser hur det går till i praktiken kan tro att det är väldigt teoretiskt, men så är det inte alls. Vi använder rim, lekar, rörelser och alla möjliga roliga saker, där de matematiska begreppen kommer på ett naturligt sätt. Om det t.ex. finns 10 barn ber jag dem hålla varsin kamrat i handen. Det blir 5 par och ingen blir över. Alltså är 10 ett tal som går att dela upp i 5 grupper med 2 i varje (5 x 2). Det är ett sammansatt tal. Så prövar vi samma sak med 9 barn. De ställer sig två och två, och ett barn blir över. Så tråkigt! Då prövar vi istället med 3 i varje grupp, och simsalabim det gick bra! Talet 9 går att dela upp i 3 grupper med 3 barn i varje (3 x 3). Det är också ett sammansatt tal. Så får barnen pröva med olika antal och indelningar. De använder sig själva eller olika föremål, dockor, djur, klossar m.m. Så visar det sig att vissa tal är svåra, ja omöjliga att dela in i lika stora grupper. Det är tal som 5, 7, 11 och 13. De kallas primtal! Vi gör det till en sport att hitta nya primtal. Det här gäller framför allt de något äldre barnen som är 6-8 år. Vi har slagit fast att en grupp måste innehålla minst 2 barn eller föremål och att det måste vara minst 2 grupper. Vi skriver upp resultaten på tavlan i en tabell som ser ut ungefär så här: 10

I varje grupp Antal grupper 1 enhet 2 går inte P 3 går inte P 4 2 2 2 2 = 4 5 går inte P 6 2 3 2 3 = 6 7 går inte P 8 2 4 2 4 = 8 9 3 3 3 3 = 9 10 2 5 2 5 = 10 11 går inte P Så gör vi jakten på primtal till en återkommande lek. Hur många personer finns det i rummet idag? Det kanske är 15 med föräldrarna och läraren. Går 15 att dela upp i grupper? Hur då? Det kanske inte går i så fall är det ett primtal! Någon hittar lösningen: 3 i varje grupp fungerar: 3 5 = 15. Så går begreppet primtal hand i hand med multiplikation och division. Med de lite större barnen talar jag om delbarhet. Vilka tal är delbara med 5? (5, 10, 15 ). Hur kan man se att ett tal är delbart med 5? (Slutar på 5 eller 0). Kan ett primtal sluta på 5 eller 0? (Vanligen inte, men det finns ju ett undantag. Barnen kommer snart på att 5 är det enda primtalet som slutar på 5, men att det inte finns några primtal som slutar på 0). Nästa steg i utvecklingen är att barnen får göra Eratostenes såll. Man kan t.ex. låta barnen själva göra en lång, lång remsa, som räcker längs hela klassrummet. Där står talen 1, 2, 3, 4 o.s.v. i en fin och tydlig rad. Först målar man enheten 1 med röd färg. Det är grundenheten för alla talen. Så ringar man in talet 2 (det minsta primtalet) och gör sedan ett kryss över vartannat tal (4, 6, 8, 10 o.s.v.). Sedan ringar man in nästa lediga tal som är 3 (alltså nästa primtal!) och kryssar över vart tredje tal därefter (6, 9, 12, 15 o.s.v.). Vissa tal är redan överkryssade, men kan kryssas igen. Så hittar barnen nästa primtal, 5, och de kryssar därefter vart 5:e tal (10, 15, 20 o.s.v.). Till sist finns bara primtalen kvar alla andra är överkryssade. Det kan vara bra att redan från början tala om, att man inte behöver gå längre än till roten ur det sista talet på remsan. Detta är lite av magi! Låt barnen själva använda räknaren och få fram (största talet på remsan). Om det t.ex. finns 200 tal på remsan blir 200 = 14,1 och man behöver alltså aldrig gå längre än till 14 (då blir 13 det högsta primtal man utgår ifrån). När man i detta exempel kryssat över vart 13:e tal (26, 39, 52, ) är alla tal som inte är överkryssade primtal. Varför det är så går man igenom med äldre elever och föräldrarna. Jag brukar sedan göra olika arbetsblad med s.k. primtalslabyrinter. Där gäller det att dra sammanhängande linje från labyrintens ingång tills man kommer ut igen. Då gäller att man endast får passera primtal. Alla andra tal är förbjudna. Jag brukar i början bara använda primtalen 2, 3, 5, 7, 11, 13 och 19 för att sedan så småningom göra mer komplicerade labyrinter med primtal upp till 97. Primtalslabyrinterna brukar vara väldigt omtyckta! 11

Primtalen är utmärkta att använda i samband med huvudräkning. Detta kanske sker i en grupp med elever från mellanstadiet. Låt dem kasta två tärningar och bilda ett tvåsiffrigt tal. Varje elev gör detta och resultatet skrivs upp på tavlan. Vi har t.ex. fått följande tal: 21, 36, 65, 23, 63, 16, 61, 57, 12 och 48. Nu får eleverna diskutera vilka tal som går att dela upp och vilka som kan vara primtal. Någon säger: 65 kan inte vara ett primtal. Jag frågar: Varför? - Jo, det slutar på 5, och då måste det gå att dela med 5! Och då säger någon annan: 13 5 = 65! Så arbetar hela gruppen av barn tillsammans genom att man diskuterar och prövar. Någon har lärt sig att man kan testa siffersumman i ett tal för att se om det är delbart med 3 (eller 9). Med denna utmärkta hjälp kan man lätt se att 21, 36, 63, 57, 12 och 48 är delbara med 3. Exempel: 57 ger siffersumman 5 + 7 = 12 och 12 är delbart med 3. Man kan också gärna gå vidare ett steg: 12 ger i sin tur siffersumman 1 + 2 = 3. Med lite äldre elever går jag igenom Euklides underbara bevis i Elementa för att det finns oändligt många primtal. (Man måste först veta, att alla tall kan delas upp i primtalsfaktorer, se nedan). Jag gör det först konkret genom att vi antar att 13 är det största primtalet. Bilda då ett tal N med hjälp av alla primtal upp till 13 på följande sätt: N 13 =2 3 5 7 11 13 + 1 = 30031. Detta tal är ju inte delbart med något av talen 2, 3, 5,, 13 eftersom resten då alltid blir 1. Om 30031 är delbart med något primtal, måste det i så fall vara med ett primtal som är större än 13 men mindre än 30031. Vi kan kalla det talet x. Kanske finns det ett sådant tal. Men om det inte finns något sådant tal x måste 30031 självt vara ett primtal. Vi har alltså bevisat att det måste finnas ett primtal större än 13 (antingen talet x eller 30031). I det här fallet visar det sig, att 30031 = 59 509. Både 59 och 509 är primtal som är större än 13. På nätet finns många roliga sajter där man kan ta reda på om ett tal är ett primtal. Jag rekommenderar http://primes.utm.edu/ där man kan läsa oerhört mycket om primtal och på ett enkelt och snabbt sätt pröva om ett tal är prima eller sammansatt. Tillbaka till Euklides. Det är förstås viktigt att innan man går igenom beviset ha klarat ut att alla heltal kan skrivas som en produkt av enbart primtal, och att detta alltid sker på ett entydigt sätt. Ta t.ex. talet 42. Det kan ju delas upp som 6 7, men 6 =2 3. Alltså är 42 = 2 3 7. Samma resultat får man om man först delar upp 42 i 2 21 eller 3 14. Det är en jättefin träning att dela upp olika tal i primtalsfaktorer. Jag brukar låta eleverna göra det i form av träd, som grenar sig mer och mer, tills man hittar primtalen längst ut i grenarna. Nu är det dags att ge Euklides bevis i allmän form. Antag att p är det största primtalet som finns. Bilda N = 2 3 5 p + 1 (där produkten består av alla primtal upp till p). N måste då antingen självt vara ett primtal eller vara sammansatt av två eller flera primtalsfaktorer. Dessa kan inte innehålla något av primtalen upp till p, som ju ger resten 1 vid division, utan måste i så fall bestå av primtal som är större än p. Antagandet att p är det största primtalet leder alltså till en motsägelse, och vi har därmed bevisat att det finns oändligt många primtal. Den berömde matematikern G. H. Hardy skriver i En matematikers försvarstal (sv. övers. 1971) att Euklides bevis ovan är ett exempel på ett verkligt förstklassigt teorem (matematisk sats), vilket varje matematiker kommer att medge. Euklides bevis är ett exempel på reductio ad absurdum (då man genom ett antagande kommer fram till en logisk motsägelse) och Hardy säger: Detta reductio ad absurdum som Euklides tyckte så mycket om är ett av matematikerns finaste vapen. (s. 60). Ett annat område där primtalen är värdefulla är när man ska hitta den minsta gemensamma nämnaren av olika bråk. Detta tycks ha försvunnit från skolmatematiken, men eleverna brukar verkligen uppskatta metoden som är enkel när man har förstått den. 12

Primtalen är verkligen ett mycket fascinerande område, också för rent nöjes skull. Om man skaffar en lista med t.ex. primtalen upp till 1 miljon kan man hitta många märkliga tal bland dem med speciella egenskaper. (Listor kan hämts på den nämnda sajten ovan). Det finns t.ex. oändligt många primtalstvillingar av typen 41 och 43, som ligger nära varandra på avståndet 2. Jag har själv roat mig med att istället undersöka kvadrupler, som består av 4 primtal inom avståndet 8 av typen 11, 13, 17, 19. Det visar sig att sådana primtal återfinns då och då även bland de stora talen, t.ex. 3461, 3463, 3467, 3469. Min största kvadrupel är hittills 43781, 43783, 43787, 43789, men jag anar ju att det finns enormt stora kvadrupler också. De elever som har kommit längre (t.ex. i gymnasiet) kan få pröva på att lära sig Fermats lilla sats och att räkna ut Bruns konstant, som är B = 1,9021605 Vad den har med primtal att göra kommer jag att beröra i föredraget om tiden medger. Man får fram Bruns konstant genom att summera de inverterade värdena av alla primtalstvillingarna: B = (1/3+1/5) + (1/5+1/7) + (1/11+1/13) + (1/17 + 1/19) + Ganska roligt, inte sant! Hur många primtal det finns under 1 miljon ber jag dig att själv fundera över. Ledtråd: Det finns 25 primtal under 100, men längre upp kommer de förstås inte lika tätt (varför?). Vilket det största hittills kända primtalet är vill jag nästan inte ange, för detta ändras ständigt. Det pågår nämligen jättelika dataprojekt över hela världen, där man då och då hittar nya primtalsrekord. Det största kända primtalet när detta skrivs är 2^25964951 1 vilket är ett tal med 7816230 siffror. Om varje siffra i talet skrivs med 0,5 centimeters avstånd blir talet 39 km långt, ungefär som avståndet mellan Bengtsfors och Åmål. Snart hittar man nog primtal som räcker mellan Malmö och Kiruna eller varför inte mellan Malmö och Jupiter. 13

206 SMaL-information Sveriges Matematiklärarförening presenterar sin verksamhet. Här får du bl.a veta hur man startar en lokalavdelning. Helena Lilja, projektledare i matematik i Västerås, ordf. i SMaL och föreläser och undervisar inom Lärarutbildningen. Alla Föreläsning 14

207 Matematik - dialog - respekt - ett besvärligt föredrag Mot bakgrund av att matematik ofta orsakar dåligt självförtroende frågar vi: Är det svårt att bedriva respektfull och samtidigt framgångsrik matematikutbildning, eller är det tvärtom så att de två måste följas åt? Finns det viktig matematisk kunskap som vi lärare tar för givet och som vi därför endast kan antyda? Kan matematik vara ett lämpligt sammanhang där elever kan träna respektfulla sannings- och meningssökande dialoger, där vi lärare även kan få syn på våra egna för-givet-taganden? Håkan Lennerstad är docent i tillämpad matematik vid Blekinge Tekniska Högskola. Han har bland annat skrivit en universitetsmatematikbok som innehåller studentdialoger. Mia Selander är adjunkt i matematik vid grundskolans senare del vid Friskolan Asken, Strängnäs. Hon har långtgående erfarenheter och kunskaper om elevers matematiksvårigheter och av dialog med elever. Christer Kiselman är professor i matematik vid Uppsala Universitet. Han har deltagit i matematikdelegationen och i ett flertal andra centrala uppdrag i matematiksverige. Alla Workshop Dokumentation Det förefaller som om matematikämnet mer än andra ämnen orsakar dåligt självförtroende för elever/studenter. Samtidigt är vi lärare ofta förvånade/bekymrade över att elevers matematikkunskaper är mer ytliga än vi hoppas. Detta väcker grundläggande frågor. Är det svårt att bedriva respektfull och samtidigt framgångsrik matematikutbildning, eller är det tvärtom så att de två måste följas åt? Finns det viktig matematisk kunskap som vi lärare tar för givet och som vi inte är i stånd att kommunicera? Behöver vi lärare finna nya förutsättningslösa sätt att lyssna på elever/studenter för att förnya vår syn på vad som får matematikspärrarna att lossna? Är vi lärare alltför instängda av vår skolade matematikattityd har vi lärare motsvarande matematikspärrar? Är det viktigt att se respekt och personlig utveckling som en viktig del av matematikämnet, därför att matematikens självförtroendeproblem inte är tillfälligt utan bestående, därför att det är en sådan del? Kan matematik vara ett sammanhang där det är lämpligt att träna respektfulla sannings- och meningssökande dialoger? Är det viktigt att ta till vara elevers bidrag i matematiska dialoger för att långsiktigt förbättra matematikutbildningen? Kan matematik vara ett sammanhang där det är lämpligt att träna respektfulla sannings- och meningssökande dialoger i vilka vi lärare kan upptäcka vad vi omedvetet tar för givet? Kan man se en elevs matematiska feltänk som rimliga alternativa tolkningar utifrån elevens faktiska möte med ämnet under sin skoltid? Vad är respekt i matematikämnet? Föredragshållarna vill använda timmen till ett konstruktivt utbyte angående ovanstående grundläggande frågor om matematiken i skolan. Diskussion om idémässig matematik Man kan se matematikämnets problem som en brist hos vad vi ser som matematikkunskap. Man kan tänka sig att en komplett matematik som den beskrivs av läraren bör bestå av en balans av formell matematik och idémässig matematik. Formell matematik kan ses som matematikens 15

handfasta skelett, medan det idémässiga svarar mot matematikens muskler, nerver och inre organ. Kanske behöver ämnet en balans mellan dessa två för att vara levande för många elever/studenter. Idémässig matematik kan vara bilder, tillämpningar, analogier och öppna försök att formulera vad formalismen kan stå för, och hur den kan användas för att nå resultat. Det handlar om bilder som upplevs (av någon) som nära de matematiska idéerna, kanske som översättningar av formler, sådana som helt enkelt dyker upp vid matematikverksamhet. Det kan också handla om själva formelspråkets funktionssätt eller om den matematiska verksamhetens egenskaper, som konsten att formulera ett matematiskt mål och att finna en fungerande väg av kalkyler. Detta kräver fantasi i kombination med goda matematikkunskaper men en typ fantasi som kanske gärna uppträder i goda dialoger. Vilken idémässig matematik som är relevant beror givetvis på klassen/auditoriet. Den kan endast utvecklas och bli verkningsfull i dialog med gruppen, det är en lärarkompetens som är helt beroende av dialog. Det är klart att dagens undervisningstradition innehåller tillämpningar, bilder och analogier, men vi menar att den bör vara beroende av den befintliga gruppen. Elever har mycket att tillföra matematiken, förutsatt att man ser idémässig matematik som en del av den. Idag förverkligas idémässig matematik av många lärare i deras verksamhet. Vi skulle önska en större uppmärksamhet för matematiskt arbete av denna typ. Vad är matematik rätt/fel eller meningssökande dialoger? Kanske har dialoger svårt att överleva den starka rätt-eller-fel-anda som är förhärskande uppfattning om matematik. Det finns inte mycket att diskutera om man anser matematiska associationer (antydda i föregående stycke) är irrelevanta. Det finns gott om negativa matematikattityder som vi lärare kan bryta mot! Verkningsfulla matematiska dialoger kräver också insikt om matematikämnets högst speciella psykologiska kvaliteter för elever, bland annat relaterat till matematiken som instrument för sållning av människor i kategorier bra/dålig, något som särskilt upplevs av den senare kategorin. Respekt för individuellt tänkande Matematik är kanske mer laddat än andra ämnen genom att det handlar om det egna tänkande. Fel tänkande kan tolkas av barn under utveckling som ett fel på individen. En respektfull metod för en lärare att korrigera ett fel i en specifik fråga är att för eleven synliggöra både elevens eget tänkande och det officiella matematiska sättet att resonera, att se de rationella elementen och användningarna i båda, och sedan lämna valet till eleven. Att se felsteg som något som leder vidare är karaktäristiskt för en positiv anda. 16