LABORATION I MAPLE MIKAEL STENLUND. Introduktion I laborationen skall ett program som heter Maple användas för att lösa ett antal matematiska problem. Maple är ett symbolhanterande program som har ett antal fördefinierade funktioner för att lösa problem inom matematik, teknik, fysik, ekonomi. Maple går också att programmera för att lösa mera komplexa problem. Maples funktioner ger svaren främst i symbolisk form och om möjligt exakt. Även numeriska svar går att erhålla. För numeriska beräkningar används i huvudsak andra program, tex. Matlab. Det finns två sätt att mata in kommandon i Maple det ena sättet är att via menyer välja en lämplig funktion och sedan mata in värden i funktionen. Detta sätt rekommenderar jag inte. Det andra sättet vilket jag rekommenderar är att via ett fönster där en prompt > är skriven på en rad mata in en funktion eller uttryck efter prompten och avsluta med ; semikolon. För att få fram en sådan sida välj File!New! Worksheet Mode. Trycker man sedan enter eller vagnretur efter kommandot så genomförs beräkningen. Några exempel följer nedan: Efter prompten mata in 8/6; följt av en vagnretur. Maple svarar då med 4/3 % betyder resultatet av den tidigare beräkningen. Då kan man skriva genomföra en ny beräkning med det gamla resultatet på följande sätt. > 2*%+; /3 Högprecisionsberäkningar. > 2^00; 26765060022822940496703205376 > Digits := 50: > evalf( sin(pi/3) ); \# Flyttalsberäkning av uttrycket \# sker med funktionen evalf. > Digits := 0:.86602540378443864676372370752936834740262690520 Symbolisk integration och derivering. > int(x*ln(x),x); 2 x2 ln (x) 4 x2 > int(sqrt(-x^2),x);
2 M.STENLUND > int(ln(x),x=..2); > diff(ln(x),x); > diff(arcsin(a*x),x); x 2 xp x 2 + 2 arcsin(x) + 2 ln(2) a p a2 x 2 Ekvationslösning och lösning av di erentialekvationer. Lösning av ekvationen x 3 6x = 5: > solve( x^3-6*x=5, x );, 2 + p p 2, 2 2 2 2 > fsolve( x^3-6*x=5, x,-2..2); # Numerisk beräkning av rötterna i # en ekvation i intervallet [-2..2]..79287847,. Lösning av di erentialekvationen y(x)+y 00 (x) = e x med begynnelsevillkor y(0) = och y 0 (0) = 0 > dsolve({y(x)+diff(y(x),x$2)=exp(x), y(0)=, D(y)(0)=0}, y(x)); y (x) = 2 sin (x) + 2 cos (x) + 2 ex Uppritning av funktioner i 2 dimensioner och 3 dimensioner. Observera hur man kan ange intervall både i x-led och i y-led. > plot( sin(x)/x, x=-2..2 ); > plot3d( (x^2-y^2)/(x^2+y^2), x=-.., y=-.. ); Definition i Maple av funktioner och uttryck. I Maple skiljer man mellan funktioner och uttryck nedan visas hur man kan definiera en funktion som kallas f och hur man beräknar värdet i 2.0. Numerisk beräkning sker om man anger talen med decimalkomma, vilken i Maples fall måste skrivas med punkt. > f:=x->sin(x)/x; > f(2.0); > f(t); x 7! sin (x) x.454648734 sin (t) t Nedan följer hur man kan definiera ett uttryck sin(x)/x som sparas i variabeln a. > a:=sin(x)/x;
MATEMATISKA INSTITUTIONEN VID LTU, OKTOBER 200 3 Om man vill ersätta x med värdet 2.0 i ett uttryck så måste man göra det med subs kommandot som man har beskrivning på om man söker kommandot i hjälpmenyn i Maple. Tilldelning och ekvationer. Resultat av en beräkning kan sparas i en variabel som kan användas i senare beräkningar. Detta görs med tilldelningstecknet :=. > a:=x^2-; > solve(a=0,x); Ovanstående uttryck har vi skrivit en ekvation a = 0 dvs. med enbart = tecken vi ser skillnaden mellan detta och en tilldelning som skrivs med :=. > eq:= x^3-=0 > solve(eq,x); Vilket innebär att variabeln eq tilldelas en ekvation som sedan löses med hjälp av solve. Olikheter. Funktionen solve kan även användas för att lösa vissa olikheter, om Maple kan lösa olikheten. Testa följande kommando >solve(x^2-4>0,x); Denna möjlighet gör att vi kan t.ex. bevisa lokala max eller minpunkter med hjälp av förstaderivatatestet; används i Maple laborationen, t.ex. Intervall för konvexitet eller konkavitet kan hittas med hjälp av vilket tecken 2:a derivatan har i olika intervall. Detta kan användas för att bevisa att man har hittat en inflexionspunkt. Tips hur man undviker fallgropar. Maple sparar resultatet av beräkningar i minnet. Om man tex. har tilldelat x värdet 2 och sedan försöker rita upp x 2 så ger Maple ingen graf för funktionen. Detta beror på att plot funktionen i maple måste kunna sätta in värden från ett intervall i variabeln x. Om detta händer dig så kan du återställa x till en variabel med hjälp av kommandot > x:= x ; dvs. med primtecken runt variabeln.(avsluta alltid med semikolon). Spara filer görs som i andra program med save som hittas i menyerna. För att inte blanda ihop räkningar och vad som har gjorts sist så bör man skriva in kommandon i den ordning de utförs. Ett förbryllande faktum kan tyckas är att Maple tömmer minnet på all information när man stänger programmet. Det innebär att din fil som du kanske öppnar vid en senare tidpunkt är nu bara en dum textfil utan information om dina tidigare beräkningar. Åtgärd är då att sätta pekaren på de rader som du behöver resultatet ifrån och trycka enter (eller vagnretur) för att resultatet av dina räkningar skall lagras i Maples minne, om du behöver resultatet från gamla kalkyler. Obs. Kom dessutom ihåg att andvända för multiplikationstecken och att decimalkomma skrivs med punkt.
4 M.STENLUND Ett vanligt fel är också att man blandar ihop funktioner och uttryck. Om man gör detta kan det komma ut svårtolkade svar från Maple vid fortsatta beräkningar eller så går räkningarna i fortsättningen inte att utföra. OM RÄKNINGARNA INTE GÅR ATT GENOMFÖRA MED EN FUNKTION PRÖVA MED ATT GENOMFÖRA DEM MED ETT UTTRYCK, se Funktioner och uttryck ovan. 2. Några kommandon i Maple Maple kommandon Betydelse Matematisk beteckning x+y addition + -x och x-y negativa tal och subtraktion x and x y x*y multiplikation xy x/y division x^y eller x**y exponentiering x y k! fakultet k! I eller sqrt(-) Imaginära enheten i or p Pi pi infinity oändligheten abs(x) absolutbelopp x sqrt(x) eller x^(/2) kvadratrot p x exp(x) exponentfunktionen e x ln(x) eller log(x) naturliga logaritmen ln x sin(x) sinus sin x cos(x) cosinus cos x tan(x) tangens tan x diff(f(x),x); int(f(x),x); sum(f(n),n); Derivata Obestämd integration Obestämd summation x y d dx f(x) Z f(x)dx X f(n) n int(f(x),x=a..b); sum(f(k),k=a..b); Bestämd integration Bestämd summation Z b a f(x)dx bx f(k) k=a Kommandon för linjär algebra. Maple har inte alla kommandon fördefinierade utan man måste t.ex. ladda in kommandon för linjär algebra med hjälp av följande kommando. > with(linearalgebra); # Obs. var stor bokstav sätts in. Ut kommer en lista på maplekommandon för linjär algebra. Följande kommandon kan det vara lämpligt att titta särskilt noga på med hjälp av hjälpmenyn i Maple, LinearSolve (lösning av linjära ekvationssystem),
MATEMATISKA INSTITUTIONEN VID LTU, OKTOBER 200 5 GaussianElimination (Gausseliminering, Gauss Jordan elimination), Det (determinantberäkning), Matrix, Vector sök även på Matrix and Vector Construction Shortcuts. 3. Laborationsinstruktioner Laborationen får genomföras med högst 3 personer i varje grupp, om inte speciella skäl föreligger som har godkänts av rättande lärare. Personerna i gruppen fördelar arbetet så rättvist som möjligt inom gruppen. Varje uppgift som löses skall innehålla en tydlig problem formulering, maplekommandon och ett tydligt svar som anger lösningen på problemet. Skriv dessutom ned en tolkning av vad Maplekommandot som du använder gör. Hänvisning till satser som används i problemlösningen skall göras. 3.. Nödvändig information. Laborationen skall innhålla ett försättsblad med fullständiga namn på alla personer i gruppen och e-postadress till alla. 3.2. Inlämningsdatum och betyg. Laboration i Maple är ett obligatoriskt moment i kursen. För att bli godkänd på hela kursen så måste Maplelaborationen vara godkänd. Maplelaborationen lämnas in till laborationshandledaren så snart som möjligt och skall vara godkänd i sin helhet senast ca 4 dagar efter det erat sista laborationstillfälle, laborationen skall dock vara inlämnad senast den 23:e december. Maplelaborationen kan bara bli godkänd eller underkänd i sin helhet. Delvis godkänd laboration räknas som underkänd Maplelaboration. Om man lämnar in laborationen så snart som möjligt efter laborationstillfället kan man få markerat ev. fel i laborationen eller möjligheter att komplettera ev. brister. I såfall blir det en retur där bristerna påpekas och man har tid på sig till sista inlämningstillfälle, se ovan, för att rätta till bristerna. Om laborationen inte blir godkänd inom föreskriven tid så får man göra om laborationen tex. nästa gång kursen ges, dvs nästa år. 3.3. Fusk. Till fusk räknas kopiering elektroniskt, förhand, eller på annat sätt av andra gruppers laborationer, smärre modifieringar av andra gruppers laborationer räknas också som kopiering. Ni får gärna diskutera Maple och problemlösning mellan grupperna. Men ni måste genomföra er egen plan för problemlösning. Fusk som upptäcks kommer att anmälas till disciplinnämnden för universitetet och detta kan föranleda avstängning från undervisning.
6 M.STENLUND 4. Laborationsuppgifter Laboration När du har startat programmet Maple (eller senare) öppna ett nytt dokument via File välj New och välj sist Worksheet Mode. (Document Mode rekommenderas du inte välja). Nu kommer du in i en miljö där du kan använda instruktionerna för nedanstående laboration. Uppgifter ur Adams upplaga 7..3 7, 6, 34, (se maple kommandon s. 76-77).4 42 (se sid 85) 2.4 43 (se sid 7) 4.6 35, 38 (se s.235) Uppgifter ur Lay.2 4.4 39, 4 Extra hjälp och tips Tips: Adams. för.3, 34 läs om horisontella och vertikala asymptoter på sid 245. För 4.6, 35, 38 beräkna lokala max, lokala min, asymptoter samt inflexionspunkter med hjälp av derivatan och andra derivatan mm, läs även vad som är skrivet om olikheter i Maple på sid. 3 i detta dokument och hur Maple kan användas för teckenstudium. Läs sid. 235. s. 240 sats 7 respektive def. 4 och motivera ditt svar mha. dessa. Tips: Lay. För dessa uppgifter krävs att man laddar in linjär algebra kommandon i Maple med hjälp av kommandot: > with(linearalgebra); Läs igenom vad som står om linjär algebra under avsnitt 2 i detta dokument. Kom ihåg att ge en tydlig problemformulering och ett tydligt svar till uppgiften. Läs igenom noggrant vad som erfodras i uppgiften. Följande funktioner kan det vara lämpligt att titta på noggrant i hjälpmenyn för lösandet av ovanstående uppgifter LinearSolve (lösning av linjära ekvationssystem), GaussianElimination (Gausseliminering, Gauss Jordan elimination), Matrix, Vector och det du kan hitta under rubriken Matrix and Vector Construction Shortcuts eller liknande. För uppgift.4 39, 4 motivera svaret med hjälp av lämplig sats i avsnittet.4.