Vippningsproblematik vid uppförande av samverkansbroar

Vippningsproblematik vid uppförande av samverkansbroar En jämförelse av olika beräkningsmetoder för det kritiska momentet samt olika stagningsmetoders inverkan för vippningsrisken Sara Viklund Civilingenjör, Väg- och vattenbyggnad 016 Luleå tekniska universitet Institutionen för samhällsbyggnad och naturresurser

Vippningsproblematik vid uppförande av samverkansbroar En jämförelse av olika beräkningsmetoder för det kritiska momentet samt olika stagningsmetoders inverkan för vippningsrisken Sara Viklund 016 Civilingenjör Väg-och Vattenbyggnad

Förord Detta examensarbete utreder vippningsproblematiken för NCC:s samverkansbroar. Handledare för arbetet är Tobias Larsson, specialistchef, Anläggningskonstruktion på NCC i Göteborg. Examinator är Ove Lagerqvist, professor i stålbyggnad på Luleå Tekniska Universitet. Examensarbetet är ett avslutande arbete för utbilningen Civilingenjör, Väg- och Vattenbyggnad med inriktning konstruktion på Luleå Tekniska Universitet. Jag vill tacka för bra handledning och givande utmaningar under mitt examensarbete. Luleå, augusti 016 Sara Viklund i

Sammanfattning Detta examensarbete utreder vippningsproblematiken för NCC:s samverkansbroar. En samverkansbro består av två symmetriska stålbalkar med en ovanliggande platsgjuten betongfarbana. Innan samverkan mellan materialen har uppstått kan instabilitetsfenomenet vippning uppkomma. Vippning inträffar då stålbalken vrids samtidigt som det sker en horisontell utböjning i sidled. För att klassas som vippning ska detta ske som en följd av att balken belastas med ett böjande moment. Vippningsrisken beaktas genom att kontrollera det kritiska momentet M cr. Den idag gällande stålnormen EN 1993-1-1 (005) ger inga specifika rekommendationer för hur det kritiska momentet ska beräknas. Detta examensarbete undersäker därmed följande beräkningssätts metoder för att få fram M cr : - EN 1999-1-1 (005) - ENV 1993-1-1 (005) - StBK-K (1973) Dessutom utförs beräkningar utifrån beräkningsprogrammet LTBeam (01) samt genom en härledning utifrån Energimetoden. Vidare beräknas det dimensionerande momentet för den studerade stålbalken, M b.rd med avseende på vippning för respektive metod. Det lägsta resultatet för det kritiska momentet uppvisades genom beräkningsprogrammet LTBeam (01) medan det högsta resultat var genom Energimetoden. Den procentuella skillnaden däremellan var på 3,6 %. Den procentuella skillnaden i resultat för det dimensionerande momentet var på endast 0,3 %, vilket är en minimal skillnad. Därmed kan LTBeam (01), som är det mest tidseffektiva sättet, vara ett bra alternativ för beräkning av det kritiska momentet. Dessutom utfördes en kontroll över hur lastens angreppspunkt påverkar det kritiska och dimensionerande momentet. En jämförelse mellan beräkningsmetoderna StBK-K(1973) och LTBeam (01) gjordes dels då angreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum men också då angreppspunkten är ovan balk. Det kritiska momentet uppvisar en skillnad på 9 respektive 3 % mellan lastens två olika angreppspunkter. Detta innebär att det kritiska momentet, enligt LTBeam (01), minskar med 3 % om lastens angreppspunkt förflyttas från skjuvcentrum till ovan balk. För det dimensionerande momentet blir den procentuella skillnaden betydligt mindre. Det dimensionerande momentet uppvisar endast en skillnad på 3,3 respektive 4 %. För att underlätta beräkningsgången kan därmed lastens angreppspunkt antas sammanfalla med skjuvcentrum, även i det fall då den i verkligheten angriper ovan balk. Examensarbetet behandlar även olika stagningsmetoders inverkan på det kritiska momentet. Följande stagningsmetoder kontrolleras: - Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, beaktad med fjäderkonstant. - Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln. - Stagning genom att placera en överliggande platta. Samtliga stagningsalternativ baseras på att stålbalkarna hindras mot vridning, därmed visade det sig vara svårt att utföra en kontroll då gjutformen bestod av trä. Gjutformens bidrag till stagning genom vridfjädrar beaktas istället för en förlorad gjutform av stål. ii

Resultatmässigt ger fullständig stagning med hjälp av sekundära balkar det mest gynnsamma bidraget till det kritiska momentet, M cr. För vissa konstruktioner kan det dock räcka med endast ett litet stagningsbidrag för att eliminera vippningsrisken. Vid fullständig stagning genom sekundära balkar utfördes även en kontroll av hur antalet stag påverkar det kritiska och dimensionerande momentet. iii

Abstract This master thesis studies the problem of lateral torsional buckling. The thesis deals with a concept bridge for the Swedish construction company NCC. The concept bridge, which is constructed as a composite bridge, is designed with a composite girder comprising of two symmetrical beams with an overhead slab of concrete. Before the composite action between the materials has emerged lateral torsional buckling may occur. Lateral torsional buckling occurs when the beam is twisted while exposed to a bending moment. The risk of lateral torsional buckling is taken into account by checking the critical moment M cr. The european steel standard EN 1993-1-1 (005) makes no recommendations how to calculate the critical moment. This thesis thus deals with different calculation methods to obtain M cr : - EN1999-1-1(005) - ENV 1993-1-1 (005) - StBK-K (1973) Calculations are also performed with the calculation program LTBeam (01) and through a derivation based on the Energy method. The design bending moment for the studied cross section, M b.rd was also calculated based on each method. The lowest result of the critical moment was provided by the program LTBeam (01), while the highest result was by the Energy method. The percentage difference between those two methods was 3.6 %. The percentage difference of the design bending moment was only 0.3 %. Thus will LTBeam (01), which is the most time-efficient way, be a preferred when calculating the critical moment. Additionally, the effect of load application will be controlled. The interest is to check how it affects the critical and design moment. The result shows that the load attack point can be assumed to be coincident with the shear center, even in the case where the load actually attacks the beam from above. This simplification makes the calculation process less time consuming. This thesis also deals with various bracing methods. In order to study the different bracing methods impact on the critical moment, following methods was studied: - Prevention of rotation by bracing of an intermediate bracing, taken into account as a spring constant. - The form contributions to the bracing, taken into account as torsion springs all along the beam axis. - Bracing through an overlying slab. - The bracing options are based on that steel beams are prevented against rotation, thus it was found to be difficult to perform a control when the mold consisted of wood. For this bracing method will instead a lost mold steel be taken into account. iv

Innehållsförteckning 1. Inledning... 1 1.1 Bakgrund... 1 1. Frågeställning... 1. Syfte/Mål... 1.3 Metod... 3 1.4 Begränsningar... 3. Stabilitetsproblem, materialegenskaper, upplagsförhållanden och instabilitetsfenomen 4.1 Stabilitetsproblem för stål... 4. Materialegenskaper för stål... 5..1 Egenspänningar... 6.. Initialkrokighet... 6.3 Upplagsförhållanden... 7.3.1 Upplagsförhållandets inverkan på knäckningsfenomen... 8.4 Instabilitetsfenomen i stålbalkar... 11.4.1 Buckling... 11.4. Knäckning... 11.4.3 Vippning... 14.4.4 Beräkningsgång för imperfektioner... 16.4.5 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen... 17.4.6 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen enligt EN 1993... 18 3. Framtagning av det kritiska momentet, M cr... 1 3.1 Beskrivning av verkningssättet för en principiell respektive verklig balk... 1 3.1.1 Principiellt verkningssätt... 1 3.1. Verkligt verkningssätt... 1 3. Antaganden för beräkningar... 3..1 Verkningssätt... 3.. Upplagsförhållanden... 3..3 Lastens angreppspunkt och studerade normer... 3 3.3 Kritiskt vippningsmoment, M cr... 4 3.3.1 Beräkning av M cr med härledningen utifrån Energimetoden... 5 3.3. Beräkning av M cr enligt ENV 1993-1-1... 7 3.3.3 Beräkning av M cr enligt EN 1999-1-1... 7 3.3.4 Beräkning av M cr enligt StBK-K... 9 3.3.5 Beräkning av M cr enligt datorprogrammet LTBeam... 31 3.3.6 Sammanställning av studerade beräkningssätt för M cr... 3 3.4 Olika stagningsmetoders inverkan på M cr... 33 3.4.1 Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag... 34 3.4. Gjutformens bidrag till stagning genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln... 38 3.4.3 Stagning genom en överliggande platta... 40 3.4.4 Stagning i x antal punkter... 41 4. Bärförmåga för ståltvärsnitt... 44 4.1 Tvärsnitt... 44 4.1. Tvärsnittskontroll enligt Eurokod... 46 5. Fallstudie för NCC... 50 5.1 Indata... 50 5.1.1 Indata stålbalk, huvudbalk... 50 5.1. Indata för gjutform av trä... 51 v

5.1.3 Indata för stagande tvärbalk av trä... 51 5. Inverkan av olika beräkningssätt för M cr... 5 5..1 M cr då lastens angreppspunkt sammanfaller med skjuvcentrum... 5 5.. M cr då lastens angreppspunkt är ovanpå balken... 55 5.3 Inverkan på M cr av olika stagningsmetoder... 56 5.3.1 Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, betraktade med fjäderkonstant... 57 5.3. Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln... 60 5.3..1 Förlorad gjutform av stål... 60 5.3.. Tillfällig gjutform av trä... 6 5.3.3 Stagning genom en överliggande platta, utan inspänning... 63 5.3.4 Stagning genom en överliggande platta, med inspänning... 66 5.3.5 Kontroll av antal stagninspunkters inverkan på M cr... 68 6. Resultat och diskussion... 7 6.1 Resultat för det kritiskt moment M cr... 7 6.1.1 Resultat för M cr, då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum... 7 6.1. Resultat för M cr, då lastangreppspunkten angriper ovan balk... 73 6.1.3 Jämförelse för M cr med avseende på lastens angreppspunkt... 73 6. Resultat för det dimensionerande momentet M b.rd... 74 6..1 Resultat för M b.rd, då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum... 74 6.. Resultat för M b.rd, då lastangreppspunkten angriper ovan balk... 75 6..3 Jämförelse för M b.rd med avseende på lastens angreppspunkt... 75 6.3 Jämförelse av M cr och M b.rd... 76 6.3.1 Jämförelse mellan beräkningssätten då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum... 76 6.3. Jämförelse mellan beräkningssätten då lastangreppspunkten är ovan balk... 77 6.3.3 Jämförelse av hur M cr och M b.rd påverkas av lastens angreppspunkt... 78 6.4 Stagning... 80 6.4.1 Beräkning av M cr enligt olika stagningmetoder... 80 6.5 Antal stagningspunkters inverkan på M cr och M b.rd, enligt ENV 1993-1-1... 8 6.6 Diskussion utifrån uppställd frågeställning... 85 6.6.1 Jämförelse mellan olika beräkningsmetoder... 85 6.6. Lastens angreppspunkt... 85 6.6.3 Stagningsmetoder... 85 6.7 Beräkningsalternativ för fortsatta studier... 86 7. Slutsatser... 87 7.1 Jämförelse mellan beräkningsmetoder... 87 7. Lastens angreppspunkt... 87 7.3 Stagningsmetoder... 87 8. Referenser... 88 BILAGOR... A BILAGA A - Tvärsnitt som beaktas... A BILAGA B - Härledning enligt energimetoden... D BILAGA C - Beräkning av M cr enligt ENV 1993... M BILAGA D - Beräkning av M cr enligt EN 1999... O BILAGA E - Beräkning av M cr enligt StBK-K... Q BILAGA F - Beräkning av M cr enligt LTBeam... T BILAGA G - Inverkan av elastisk vridningsförhindring i fält... Y vi

Beteckningar Latinska versaler A 1 B z C C 1 C w E G H H i H y I z I y I t I w L L stag M M brd M cr M kr M kr1 M kr N cr SP TP W el Tvärsnittsarea Tvärsnittets böjstyvhet i sidled Tvärsnittets vridstyvhet Faktor som beror av lasttyp Tvärsnittets välvstyvhet Elasticitetsmodul Skjuvningsmodul Totala potentiella förändringen Inre arbete Yttre arbete Tröghetsmoment kring z-axeln Tröghetsmoment kring y-axeln Vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (K v i tidigare normer) Välvstyvhetens tvärsnittsfaktor (K w i tidigare normer) Balkens längd Längd på mellanliggande stag Moment Dimensionerande bärförmåga Kritiskt moment Kritiskt moment Det ursprungliga kritiska momentet Det nya uppnådda kritiska momentet Kritiska normalkraft med hänsyn till vippning Skjuvningscentrum Tyngdpunkt Elastiskt böjmotstånd vii

Latinska gemener a a a v b fl c c d liv f d f k f y h liv h 1 h t i i b i t k c k z k w l LT m q q cr q kr t fl u u 0 v y tp z a Avstånd mellan tväravstyvningar Lastangreppshöjd över skjuvningscentrum Avståndet mellan skjuvcentrum och lastens angreppspunkt Flänsens bredd Fjäderkonstant Avstånd mellan huvudbalkarna Livets tjocklek Dimensionerande hållfasthet Karakteristisk hållfasthet Stålets flytgräns Livets höjd Stålbalkens totala höjd Avstånd mellan flänsarnas tyngdpunkter Distribuerad vridspänning Huvudbalkens styvhet vi stag genom överliggande platta, alternativt inspänd i sekundärbalkar Plattans styvhet vid stag genom överliggande platta Korrektionsfaktor Korrektionsfaktor Korrektionsfaktor Vippningslängd Koefficient för vippningsberäkning Utbredd last Kritisk utbredd last Kritisk utbredd last Flänsens tjocklek Förskjutning i z-led Ursprunglig förskjutning i z-led Förskjutning i y-led Tvärsnittets tyngdpunkt Koordinat för lastens angreppspunkt med avseende på tyngdpunkt viii

z g z s Koordinat för lastens angreppspunkt med avseende på skjuvcentrum Koordinat för skjuvcentrum med avseende på tyngdpunkt Grekiska gemener ϕ ϕ 0 ϕ LT χ LT χ Vridningsvinkel Ursprunglig vridningsvinkel Reduktionsfaktor för vippning Reduktionsfaktor för vippning Reduktionsfaktor för knäckning Grekiska versaler α LT β γ γ M ε η κ κ wt Imperfektionsfaktor för vippning Reduktionsfaktor för knäcklängden Parameter vid representation av lösningar Partialkoefficient vid beräkning av dimensionerande hållfasthet Töjningsfaktor Omräkningsfaktor som beaktar systematiska skillnader mellan hållfastheten genom provning och materialet i en konstruktion Stödmomentkoefficient Dimensionslös vridparameter λ LT Slankhetsparameter µ Parameter vid representation av lösningar ζ g ζ j ψ Relativ koordinat för lastangreppspunkt i förhållande till skjuvcentrum Den relativa dimensionslösa parametern för enkelsymmetri Faktor för momentfördelning ix

1. Inledning 1.1 Bakgrund NCC var intresserade av att utreda vippningsproblematiken för att ytterligare kunna optimera deras konceptbroar. Konceptbron är i detta fall utformad som en samverkansbro. Detta innebär att konstruktionen består av balkar av stål med en farbana av betong. För denna typ av bro kan instabilitetsfenomenet vippning uppkomma under byggskedet. Vippning innebär att balken böjer ut samtidigt som den vrids ut från det plana jämviktsläget. Detta kan uppkomma då balken belastas av en transversallast i kombination med ett böjande moment. I en samverkanskonstruktion är syftet att stålet och betongen ska fungera som en konstruktiv enhet, SIS. (01). Efter att betongen har härdats förhindras stålbalken att vippa genom att betongen stagar stålbalkens tryckta överfläns. I byggskedet, då betongen ännu inte härdat, kan däremot ingen samverkan tillgodoräknas och stålbalken kan därför komma att vippa. Genom att staga balken på olika kvalitativa sätt, kan risken för vippning elimineras, Norlin. Bert (u.å). I de fall då konstruktionen endast kräver en liten stagning för att uppnå bärförmåga med avseende på vippning, kan gjutformens bidragande stagningseffekt kontrolleras. För att kunna gjuta en betongfarbana krävs att en gjutform monteras tillfälligt på stålbalkarna. Vid betonggjutning används en form av exempelvis trä eller stål. Vanligtvis används träform, vilket grundas i förhållandevis låga materialkonstnader samt relativt enkelt demonterings- och rivningsförlopp. Vid beräkning av instabilitetsfenomenet vippning beaktas inverkan av imperfektioner genom att studera det kritiska momentet, M cr. Vippningsfenomenet inträffar då den kritiska vippningslasten uppnås före den kritiska lasten för böjbrott. Den idag gällande stålnormen EN 1993-1-1 (005) ger ingen närmare hänvisning för beräkning av det. Därför kontrolleras M cr genom fyra olika beräkningssätt, genom beräkningsprogrammet LTBeam (01) samt genom härledning utifrån energimetoden. 1

1. Frågeställning Med avseende på jämförelsen mellan olika beräkningsmetoder: Ger de olika beräkningsmetoders resultat utslag för det kritiska momentet, M cr? Ger de olika beräkningsmetodernas resultat utslag för det dimensionerande momentet, M b.rd? Med avseende på lastens angreppspunkt: Kan lastens angreppspunkt betraktas angripa i skjuvcentrum då den i verkligheten angriper ovan balk? Hur påverkar lastens angreppspunkt resultatet för det kritiska momentet M cr? Hur påverkar detta resultatet för det dimensionerande momentet M b.rd? Med avseende på stagningsmetoder: Vad finns det för alternativa metoder för stagning av balken? Hur påverkar stagningsmetoderna det kritiska momentet M cr? Hur påverkar stagningsmetoderna det dimensionerande momentet M b.rd? Hur kan gjutformens stagningseffekt utnyttjas? Hur påverkas det kritiska momentet, M cr av olika antal stagningspunkter? 1. Syfte/Mål Syftet med examensarbetet är att utreda vippningsproblematiken för NCC:s samverkansbroar. Ett av målen är, att genom jämförelse av olika beräkningssätt för det kritiska momentet, M cr kunna påvisa skillnader för resultatet och dess påverkan för vippningsproblematiken. Det andra målet med examensarbetet är att påvisa olika stagningsmetoders inverkan på både det kritiska och dimensionerande momentet. Syftet är att komma med kvalitativa lösningar för olika stagningsmetoder. Gjutformens inverkan studeras med avseende på om den vid låg vippningsrisk kan användas som ett stagande alternativ. Antal stagningspunkters inverkan på det kritiska och dimensionerande momentet studeras.

1.3 Metod Examensarbetet inleddes med en litteraturstudie. Tillvägagångsättet för att nå examensarbetets uppsatta mål, innefattar härledningar, beräkningar och jämförelser mellan olika normer. Teoretiska beräkningar utförs för vippningsproblematiken, där det kritiska momentet kommer kontrolleras och jämföras genom tre olika beräkningssätt, vilka är: - EN 1999-1-1 (005) - ENV 1993-1-1 (005) - StBK-K (1973) Vidare används programmet LTBeam (01) för jämförelse med ovanstående beräkningssätt. För ökad förståelse samt för att kunna utvärdera beräkningssättens uppkomst, härleds det kritiska momentet utifrån energimetoden. Examensarbetet behandlar även olika stagningsmetoders inverkan på det kritiska momentet. Följande stagningsmetoder kontrolleras: - Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, beaktad med en fjäderkonstant. - Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln. - Stagning genom en överliggande platta. 1.4 Begränsningar I detta examensarbete har följande begräsningar gjorts: - Ett symmetriskt tvärsnitt studeras. - Studierna utförs på en enfacksbalk med ett spann på 10 meter. - Samverkansbron som studeras består av två balkar. - Balken antas ha gaffellagrade upplag och vara belastad med en jämnt utbredd last. - Samtliga stagningsmetoder baseras på vridningsförhindring. 3

. Stabilitetsproblem, materialegenskaper, upplagsförhållanden och instabilitetsfenomen.1 Stabilitetsproblem för stål I mekaniken finns det tre olika typer av jämvikter. De benämns som stabil, indifferent och labil, se Figur 1. Det stabila jämviktsläget illustreras i Figur 1 och karakteriseras av att det ursprungliga jämviktsläget återtas efter att kulan utsatts för en liten påverkan. Verkan av en liten störning får därmed inga ytterliga följder för instabiliteten. Indifferent jämviktsläge inträffar vid fall då endast stora störningar påverkar kulans läge, och därmed systemet, se Figur 1. I det labila läget kommer däremot även små yttre störningar räcka för att kulan ska lämna sitt jämviktsläge och att instabilitet ska uppstå, se Figur 1. En kula som ursprungligen befinner sig i ett stabilt läge kan under tillräckligt stora störningar inta ett labilt läge Höglund. Torsten (006). Den kritiska lasten definieras som den last vilket krävs för att ett stabilt jämviktsläge ska övergå i ett labilt Johansson Bernt (000). Figur 1 - Mekanikens jämvikt Källa: Johansson Bernt.(000) Mekanikens jämviktsteori kan tillämpas för stabilitetsberäkningar av belastade element. Jämförelsevis vill en stålkonstruktion, som belastas när den befinner sig i ett stabilt läge, återgå till sitt jämviktsläge. För en stabilitetsberäkning som baseras på den klassiska stabilitetsteorin, utgår analysen vanligtvis utifrån följande antagande: - Materialet är linjärelastiskt - Balken har en ideal form, dvs. är helt rak - Strukturella samband baseras på antaganden om små förskjutningar Jämvikts-, energi- och imperfektionsmetoden, är användbara metoder för att bestämma kritiska laster vid stabilitetsberäkningar. Jämviktsmetoden- och imperfektionsmetoden behandlas inte närmare i detta examensarbete. Däremot kommer en härledning av energimetoden att utföras. Energimetoden baseras på systemets potentialförändring. Jämvikt uppstår då potentialförändringen för systemet är lika med noll Höglund. Torsten (006). 4

. Materialegenskaper för stål Stålets hållfasthet anges normalt som ett sträck- eller flytgränsvärde. Då detta värde uppnås ändras materialets egenskaper. Innan stålet når sträckgränsen uppträder dess arbetskurva, beskriven i Figur rätlinjig. Detta innebär att materialet beter sig elastiskt. En stålkonstruktion som inte har uppnått sträckgränsen kommer därför vid avlastning återfå sina ursprungliga egenskaper. Då stäckgränsen uppnåtts börjar stålet flyta, materialets beteende blir plastiskt och töjningar hos stålkonstruktionen blir bestående. Vid ytterligare belastning nås brottsgränsvärdet f u, vilket beskriver högsta möjliga spänning innan stålet går till brott, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010). Figur - Stålets arbetskurva. Källa: Lunds Universitet (u.å) Elasticitetsteorin kan tillämpas då materialet förutsätts vara proportionellt mellan spänning och töjning, se Figur. För plasticitetsteorin kommer spänningen, efter att stålet uppnått sin flytgräns, förbli konstant under växande töjning ε e. Materialet antas därmed kunna plasticeras. Vid karakteristiska beräkningar antas balken följa den klassiska teorin, vilket innebär att en imperfektionsfri balk beaktas. Balken antas initialt vara helt rak, fri från egenspänningar och geometriska störningar. Dessa störningar kan vara håltagningar och asymmetri i tvärsnittet. Materialet antas vara linjärt elastiskt, d.v.s. att spänningar och töjningar är proportionella mot varandra. Stålets materialegenskaper påverkas i verkligheten av imperfektioner. Möjliga imperfektioner kan vara egenspänningar och initialkrokighet, vilket förklaras mer ingående nedan, Lundin. Kurt (u.å). 5

..1 Egenspänningar Egenspänningar är spänningar som finns i konstruktionen utan att elementet påverkas av en yttre last. Dessa spänningar uppkommer vid stålets tillverkning. Ett exempel på spänningens utseende redovisas i Figur 3. Det är svårt att härleda spänningarna till ett specifikt skeende. Troligtvis beror uppkomsten antingen på att varmt stål krymper under svalningsprocessen, eller att tvärkontraktionen förhindras vid kallbockning av olika profiler. Egenspänningar kan även uppkomma då svetsar svalnar i och med att krympningen då förhindras. Att egenspänningar uppkommer under svalningsprocessen beror av att delarna i ett tvärsnitt svalnar i olika takt. Partierna närmast den fria ytan får redan i ett tidigt skede en högre styvhet och hållfasthet än övriga partier. När de inre partierna sedan svalnar förhindras krympningen av de yttre, redan styva partierna, Lundin. Kurt (u.å) Figur 3 Exempel på egenspänningsfördelning över tvärsnittet Källa: (Lundin. Kurt (u.å)).. Initialkrokighet En verklig balk är initialt inte helt rak. Den initiala krokigheten bidrar till att balkens sidutböjning och vridning, till skillnad från den principiella balken, ökar med ett ökande moment, Norlin. Bert (u.å). 6

.3 Upplagsförhållanden En balks inspänningsegenskaper ger påverkan på balkens knäcklängd. Detta kapitel beskriver olika upplagsalternativ, samt deras inverkan på förskjutning och vridning. Balkens axlar definieras i detta examensarbete enligt Figur 4. Figur 4 - Tvärsnittskonstanter Tvärsnittets styva axel definieras som y och dess utböjning betecknas som v. Tvärsnittets veka axel definieras med z, och dess utböjning betecknas som u. Axeln som går längsmed balken betecknas med x. Den tredje deformationskomposanten är tvärsnittets rotation, ϕ, se Tabell 1. Tabell 1 Deformationskomposanter Deformationskomposanter Förskjutningsriktning v y u z ϕ Vridning Förskjutning av balken i styv riktning, enligt Tabell. Tabell Förskjutning i y-led: Källa: StBK-K Förskjutning i y-led Kommentar v=0 Ingen förskjutning v =0 Ingen vinkeländring v =0 Inget mothållande böjmoment Förskjutning av balken i vek riktning, enligt Tabell 3. Tabell 3 Förskjutning i z-led. Källa: StBK-K Förskjutning i z-led Kommentar u=0 Ingen förskjutning u =0 Ingen vinkeländring u =0 Inget mothållande böjmoment Balkens vridningsdeformation, enligt Tabell 4. 7

Tabell 4 Vridning. Källa: StBK-K Vridning Kommentar ϕ=0 Ingen vridning ϕ =0 Välvningsförhindrande förstyvning ϕ =0 Inget mothållande böjmoment vid vinkeländring för flänsar vid upplag.3.1 Upplagsförhållandets inverkan på knäckningsfenomen Bärförmågan med hänsyn till knäckning påverkas av balkens upplagsförhållanden. Olika upplagsförhållanden ger olika motstånd mot knäckningsdeformationer. Det vanligaste upplaget, vilket visas i Figur 5, medger inte någon förskjutning i y- och z-riktningen. Detta medför följande randvillkor: Figur 5 Fritt upplagd Om upplaget är fast inspänt, likt i Figur 6, uppkommer ingen vinkeländring. Följande randvillkor fås: Figur 6 Fast inspänd I det fall då upplagskonstruktionen består av en led kommer inget mothållande moment vid vinkeländringen uppkomma, se Figur 7. Figur 7 Led Utifrån den elastiska linjens ekvation gäller, för de fall då böjmomentet vid upplagen är obefintliga, följande villkor: 8

Denna typ av upplagsförhållanden uppfylls vid gaffellagring, vilket illustreras i Figur 8. Figur 8 Gaffellagring Källa: Höglund. Torsten. (006) Eulers fyra vanligaste knäckfall redovisas i Figur 9. Figur 9 - Eulers fyra knäckningsfall. Källa: Rubinsson. Joakim (015) De fyra knäckfallen beror av konstruktionens inspänningsförhållanden. Genom faktorn β tas hänsyn till inspänningen, dvs. balkens upplagsförhållanden. Denna parameter varierar mellan olika knäckfall, se Figur 9 och påverkar olika upplagsfalls knäckningslängder. Knäckningslängden kan betraktas som avståndet mellan inflektionspunkterna, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010). Därmed reglerar faktorn konstruktionens knäckningslängd så att bärförmågan anpassas beroende på upplagsförhållandena. En högre inspänning leder till en minskad knäcklängd, vilket bidrar till ökad bärförmåga hos en konstruktion, Höglund. Torsten (006). Balkens upplagsförhållanden har, som nämnts innan, en inverkan på balkens stabilitet. För teoretiska beräkningar är det vanligast att använda gaffellagring som utgångspunkt. Ett gaffellagrat upplag hindrar tvärsnittets vridning vid upplaget, dvs. ϕ=0. Upplaget ger heller inga mothållande moment mot flänsarnas utböjning i horisontalplanet, dvs. ϕ =0, Johansson. Bernt (005). Gaffellagring motsvara upplagsfall 1 i Figur 10 och används i praktiken även om upplaget ger en viss inspänning. Detta innebär i många fall att beräkningar ger resultat på den säkra sidan, Höglund. Torsten. (006). 9

Figur 10 Gränsvillkor vid upplagsfall Källa: StBK-K (1973) 10

.4 Instabilitetsfenomen i stålbalkar En stålbalk kommer normalt att deformeras i belastningsriktningen, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010). Vid instabilitet uppkommer dock en deformation som är vinkelrät mot denna riktning. Deformationen uppkommer av att en balk får ett flertal alternativa jämviktslägen. Detta kan uppstå i hela eller delar av konstruktionselementet och innebär en förlorad stabilitet. Små förändringar kan därmed ge stora deformationsföljder, Lundin. Kurt (u.å). De tre vanligaste instabilitetsfenomenen är knäckning, buckling och vippning, vilka behandlas i följande kapitel..4.1 Buckling En rektangulär stålplatta kan, vid påverkan av last i sitt plan, deformeras ur sitt plana jämviktsläge, vilket illustreras i Figur 11. När detta inträffar innan dess att sträckgränsen uppnås har instabilitetsfenomenet buckling uppkommit. Därmed kan, till skillnad från närbesläktade fenomen, den kritiska bucklingslasten överskridas utan att brott inträffa, StBK- K, (1973). Figur 11 Illustration av lokal buckling. Källa: Höglund. Torsten (006) Fenomenet buckling inträffar vid instabilitet till följd av tryckspänningar. Instabiliteten uppstår då lokalt i exempelvis fläns eller liv. Den kritiska lasten beräknas, likt knäckning av stänger, enligt elasticitetsteorin, men utgår i detta fall ifrån plattekvationen..4. Knäckning För att bestämma knäckningens inverkan på konstruktionens bärförmåga måste den teoretiska knäckningslasten beräknas. Vid beräkning av denna antas balken följa den klassiska teorin, vilket innebär att en imperfektionsfri balk beaktas, Lundin. Kurt (u.å). Balken antas initialt vara helt rak och materialet antas vara linjärt elastiskt. Stången förblir rak till dess att den kritiska lasten har uppnåtts. Vid den tidpunkten sker en plötslig utböjning till ett halvstabilt jämviktsläge, Norlin. Bert (u.å). Ett halvstabilt jämviktsläge innebär att endast en liten ökning av lasten ger en dramatisk ökning av deformationen. Vidare kommer balken att återgå till sitt helt raka läge om lasten återigen är mindre än den kritiska lasten, Norlin. Bert (u.å). Det finns tre olika knäckningsfenomen; böjknäckning, vridknäckning och böjvridknäckning. Vilket fenomen som kan komma att inträffa beror bland annat på tvärsnittsförhållanden, 11

balkdimensioner, stagningsförhållanden och upplagsförhållanden. Böjknäckning är i praktiken det vanligaste förkommande fenomenet medan vridknäckning vanligtvis enbart inträffar om balken är stagad för att förhindra böjknäckning, Lundin. Kurt (u.å)..4..1 Böjknäckning Böjknäckning inträffar då deformationen sker i något av balkens symmetriplan. Ifall inga upplagsförhållanden eller stagningar förhindrar knäckning i vek riktning kommer tvärsnittsrotation kring huvudtröghetsaxeln med lägst tröghetsmoment inträffa enligt Figur 1, Lundin. Kurt (u.å). Figur 1 Böjknäckning, vek riktning Figur 13 Böjknäckning, styv riktning 1

Figur 14 illustrerar böjknäckning av ett stålelement. Figur 14 - Böjknäckning. Källa: Höglund. Torsten (006).4.. Vridknäckning Vridknäckning uppkommer av att tvärsnittet vrider sig till följd av en angripande normalkraft. För att vridknäckning ska uppkomma måste balkens längdaxel förbli rak, se Figur 15. Vanligtvis uppkommer böjknäckning före den kritiska vridknäckningslasten. Undantagsfall är då tvärsnittet har väldigt låg vrid- och välvstyvhet och aktuella stagningsförhållanden förhindrar böjknäckning, Norlin. Bert (u.å). Figur 15 Vridknäckning.4..3 Böjvridknäckning Böjvridknäckning, som i engelska termer benämns lateral torsional buckling kan liknas vid en kombination av knäckning och vippning. För att detta instabilitetsfenomen ska inträffa måste balken vara centriskt tryckt, Norlin. Bert (u.å). Böjvridknäckning kan inte inträffa om balken, i längdled, är tillräckligt stagad mot vridning och sidoutböjning. Vidare kan böjvridknäckning inträffa för en balk som har otillräcklig sidostagning, samt låg vridstyvhet och välvstyvhet, Norlin. Bert (u.å). 13

Figur 16 Böjvridknäckning.4.3 Vippning En balk, som belastas med en transversallast i kombination med ett böjande moment, kan komma att vippa. Detta inträffar då balken böjer ut samtidigt som den vrids ut från det plana jämviktsläget. Vippningsfenomenet inträffar då den kritiska vippningslasten uppnås före den kritiska lasten för böjbrott. Detta är endast fysiskt möjligt vid momentpåverkan kring den styva huvudtröghetsaxeln. I den veka riktningen kommer den kritiska lasten för böjning vara betydligt lägre än den kritiska vippningslasten och därmed kommer vippning inte att inträffa, se Figur 17, Norlin. Bert (u.å). Figur 17 - Last i styv resp. vek riktning Balken kan stagas av en sekundär konstruktion som eliminerar risken för vippning. Denna konstruktion kan i en byggnad bestå av tvärgående åsar och vindförband. För en bro kan denna stagning uppnås när betongen har härdat. I byggskedet kommer dock stålbalken vara benägen att vippa, då ingen samverkan uppnåtts mellan stålet och betongen. För att lösa denna problematik kan balken stagas på olika kvalitativa sätt, Norlin. Bert (u.å). Se Kapitel 3 för vidare teori. Vippning är ett komplicerat instabilitetsfenomen. Detta eftersom en elasticitetsteoretisk analys för vippning måste ta hänsyn till att balken böjs i två axelriktningar samtidigt som den vrids, Höglund. Torsten (006). Se Figur 18. 14

Figur 18 Vippning. Källa: Norlin. Bert (u.å) Utöver detta måste andra ordningens effekter beaktas. Effekten uppkommer delvis av sidoutböjningen, vilken bidrar till ett tillskottsmoment i vek riktningen. Dessutom ger sidoutböjningen tillsammans med vridningen ett tillskott till vridmomentet, Norlin. Bert (u.å). Vippning kan delas in i två olika kategorier; fri vippning, och bunden vippning. Fri vippning illustreras i Figur 19 och baseras på en balk som inte är stagad. Balken är i detta stadie fritt benägen att vippa, Norlin. Bert (u.å). Figur 19 Fri vippning Källa: Norlin. Bert (u.å) Bunden vippning innebär en balk som är konstruerad med sidostag och därmed hindras från sin fria deformation. Den största effekten erhålls om det är den tryckta överflänsen som är stagad, dvs. förhindras att böja ut i sidled, se Figur 0. Stagning mot vippning i denna punkt kommer vara fullständig i de fall då balken är fritt upplagd, har ett positiv moment genom hela balken och en last som angriper vid överflänsen. Vid andra upplag och momentbeteenden kan vippning inträffa trots denna stagningsmetod., Norlin. Bert (u.å). Figur 0 -Bunden vippning. Källa: Norlin. Bert (u.å) För en I-balk är det den tryckta flänsen som är drivande vid övergången till det utböjda läget. Genom att förhindra överflänsen mot att böja ut kan vippning förhindras. Då den tryckta flänsen stagas på ett kvalitativt sätt kan balkens deformationsegenskaper komma att ändras. En ostagad balk deformeras likt en halv sinuskurva, se Figur 1, Höglund. Torsten (006). 15

Figur 1 - Deformationsbeteende för en ostagad balk. Källa: Höglund. Torsten (006) En sidostagning inverkar även på den elastiska vridningsförhindringen. Balkens kritiska last kommer att öka med stagningens styvhet, upp till den gräns då full stagning inträffar. Vid denna punkt kommer balken att ändra deformationsbeteende likt två halva sinuskurvor, se Figur, Höglund. Torsten (006). Figur - Deformationsbeteende för en, i mitten, fullständigt stagad balk. Källa: Höglund. Torsten (006).4.4 Beräkningsgång för imperfektioner Vid dimensionering med hänsyn till knäckning, buckling och vippning måste inverkan av imperfektioner beaktas. Imperfektioner kan som beskrivet ovan vara initialkrokighet och egenspänningar. För att ta hänsyn till dessa beräknas den kritiska normalkraften N cr för knäckningsinstabilitet respektive det kritiska momentet M cr för vippningsinstabilitetet. Detta genomförs enligt den klassiska teorin..4.4.1 Kritisk normalkraft, N cr För ett slankt element som belastas med en tryckande normalkraft, se Figur 3 kan ett utböjt jämviktsläge uppkomma. Det inträffar då den tryckta normalkraften överstiger N cr., vilket är den kritiska elastiska normalkraften enligt EN 1993-1-1 (005). Den beräknas enligt: Där E är elasticitetsmodulen för stål, och I är tröghetsmoment runt aktuell axel. Faktorn β*l benämns som stångens knäckningslängd och beror av elementets upplagsförhållande och stagning. De fyra klassiska knäckningsfallen redovisas åter i Figur 3. (1) 16

Figur 3 - Eulers fyra knäckningsfall. Källa: Rubinsson. Joakim (015).4.4. Kritiskt vippningsmoment, M cr För att kunna utföra beräkningar för det kritiska momentet behöver följande tvärsnittskonstanter vara kända; böjstyvheten, vridstyvheten, välvstyvheten samt parametrarna β och κ. Den idag gällande normen för stålkonstruktioner, EN 1993-1-1 (005), ger ingen närmare hänvisning för beräkning av det kritiska elastiska vippningsmomentet M cr. Därför har en undersökning och jämförelse av M cr genomförts. Denna jämförelse omfattar tre olika beräkningssätt, beräkningsprogrammet LTBeam (01) samt en härledning utifrån energimetoden. De beaktade beräkningssätten är: - EN 1999-1-1 (005) Dimensionering av aluminiumkonstruktioner, Del 1-1: Allmänna regler. - ENV 1993-1-1 (005) En förstandard till Eurokod. - StBK-K (1973) Stålhandbok. Kommentarer till Stålbyggnadsnorm 70; Knäckning, vippning och buckling. För vidare beräkningar se Kapitel 3..4.5 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen Vid dimensionering av en konstruktion är materialegenskaper, så som hållfasthetvärde och styvhet, av stor betydelse för konstruktionselementets bärförmåga och deformationsbeteende. Vid karakteristiska beräkningar antas balken följa den klassiska teorin, vilket innebär att en imperfektionsfri balk beaktas, Lundin. Kurt (u.å). Materialparameterns karakteristiska hållfasthetsvärde definieras generellt som ρ-fraktilen av den statiska fördelningen för hållfastheten. Hållfastheten beskrivs i detta arbete som f. Detta baseras på resultat från materialprovningar. Resultat från dessa materialprovningar visar en normalfördelning av stålets hållfasthet. Detta sammanfattas i en normalfördelningskurva enligt Figur 4 där hållfastheten definieras på x-axeln och dess frekvens på y-axeln. Kurvan 17

visar att resultaten koncentreras kring medelvärdet samt att fördelningen över och under har liknande beteende. Vanligtvis används 5 % -fraktilen, dvs. de fem lägst procenten i en normalfördelningskurva, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010). Figur 4 - Normalfördelningskurva Vidare beräknas det dimensionerande värdet för en materialparameter enligt nedan, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010). Där η är en omräkningsfaktor som beaktar systematiska skillnader mellan hållfastheten genom provning och ett material i en konstruktion. Vanligtvis anges istället ett värde på partialkoefficienten γ M som enligt Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010) definieras som: () Partialkoefficienten γ M tar därmed hänsyn till osäkerheter i hållfasthetsvärden, tvärsnittsmått och beräkningsmodeller. Vid dimensionering beaktas även osäkerhet som uppkommer via geometriska avvikelser. Detta berör framförallt tvärsnittsmått, snedställning, initialkrokighet och excentricitet. Säkerhetsfaktorn för ett ståltvärsnitts måttavvikelser är inbakad i partialkoefficienten γ m. Den dimensionerande hållfastheten beräknas enligt Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010). (3) (4).4.6 Dimensioneringsgång för instabilitetsfenomen enligt EN 1993 EN 1993 (005) är den del av Eurokod som behandlar dimensionering av stålkonstruktioner. Eurokoder är det samlingsnamn för de standarder som innefattar beräkningsregler för dimensionering av bärverk. Nedan beskrivs beräkningsgången för instabilitetsfenomenen vippning. 18

.4.6.1 Dimensionerande moment för vippning Dimensionerande bärförmågan för moment vid vippningsinstabilitet beräknas enligt EN 1993-1-1 (005). Där W är tvärsnittets böjmotstånd och f y är stålets sträckgräns. Faktorn γ M1 är en global partialkoefficient för aktuell bärförmåga. Beräkningsgången för instabilitetsfaktorn c LT, redovisas nedan. Reduktionsfaktorn för vippning kan för ett ekvivalent svetsat tvärsnitt beräknas enligt EN 1993-1-1 (005): (5) Där (6) Faktorn β sätts till 0,75 enligt EN 1993-1-1 (005). Vidare kan hänsyn till momentfördelning genom sidostagningar tas genom att reduktionsfaktorn reduceras enligt: (7) Där faktorn f 1 fås av: (8) Korrektionsfaktorn k c erhålls ur Tabell 5 och beror på momentfördelning av balken. (9) 19

Tabell 5 Korrektionsfaktorn k c av balkens momentfördelning. Källa: EN 1993-1-1 (005). Imperfektionsfaktorn α LT fås utifrån aktuell instabilitetsskurva. Vippningskurvan, som beror av tvärsnittets förhållande mellan h/b, väljs utifrån Tabell 6. Tabell 6 Imperfektionsfaktorer för vippning Vippningskurva a b c d Imperfektionsfaktorn α LT 0,1 0,34 0,49 0,76 För svetsat tvärsnitt, gäller att: (10) Där h 1 är balkens totala höjd, och b fl flänsens bredd. Slankhetsparametern, λ LT beräknas enligt EN 1993-1-1 (005) genom: för vippning (11) Vidare kan det dimensionerande värdet för vippning M b.rd, beräknas. 0

3. Framtagning av det kritiska momentet, M cr Vid beräkning av instabilitetsfenomenet vippning beaktas inverkan av imperfektioner genom att studera det kritiska momentet, M cr. Detta kapitel behandlar olika normers beräkningsförfarande för det kritiska momentet. Även det datorbaserade programmet LTBeam (01) beaktas. Kapitel 3.1 beskriver skillnaden i beteendet för en principiell och verklig balk. Detta för att skapa en insyn i vilken betydelse olika antaganden har för den praktiska tillämpningen. För beräkningar av det kritiska momentet M cr studeras en principiell balk, dvs. en imperfektionsfri balk. 3.1 Beskrivning av verkningssättet för en principiell respektive verklig balk 3.1.1 Principiellt verkningssätt Det principiella verkningssättet för en imperfektionsfri balk innebär att balken förblir rak tills den kritiska lasten har uppnåtts. Detta innebär att balken endast böjs i sitt styva plan utan sidoutböjning och vridning. Då den kritiska lasten uppnås intas ett indifferent jämviktsläge, vilket innebär en utböjning i den veka riktningen med samtidig vridning. Vid endast en liten ökning av lasten kommer deformationen påverkas dramatiskt. Om lasten däremot minskas till nivåer under den kritiska lasten, kommer balken återigen inta ett imperfektionsfritt utseende, Höglund. Torsten (006). Figur 5 visar verkningssättet för en momentbelastad och imperfektionsfri balk, med böjning kring styva axeln. Grafen i samma figur visar också skillnaden mellan en imperfektionsfri och verklig balk. Figur 5 - Verkningssätt vid vippning. Källa: Norlin Bert (u.å) 3.1. Verkligt verkningssätt En verklig balk kommer med största sannolikhet inte vara initialt helt rak eller fri från egenspänningar. Dessutom kommer materialet ha ett olinjärt elastiskt beteende. För det verkliga verkningssättet kan den tryckta flänsen beaktas som en tryckt stång med en viss initialkrokighet. Då balken antas vara gaffellagrad och belastad med två lika stora ändmoment beräknas momentet med avseende på normalkraft och initiala utböjningen. Detta böjmoment kommer att sträva för att böja ut flänsen ytterligare i sidled, vilket leder till att resterande tvärsnitt följer med och en vridning uppstår, Höglund. Torsten (006). Se Figur 6. 1

Figur 6 - Utböjning av fläns. Källa: Norlin Bert (u.å) Den initiala krokigheten kommer att bidra till att balkens sidutböjning och vridning, till skillnad från den principiella balken, ökar med det ökande momentet, se Figur 6. Denna ökning kommer att fortsätta tills dess att det kritiska momentet, för en imperfektionsfri balk, nästintill är uppnått. Det kritiska momentet kommer alltså inte helt att uppnås, då balkens olinjära materialegenskaper, inverkan av olinjär geometri och eventuell lokal buckling istället styr det fortsatta vippningsförloppet, Höglund. Torsten (006). Inverkan av egenspänningar för vippningsfenomenet innebär att tvärsnittet får en minskad sidostyvhet. Detta uppkommer av att egenspänningarna bidrar till att tryckflänsens ena kant plasticeras. På så sätt kommer den ena flänsen att flyta medan den andra fortfarande är linjärt elastisk. Vid ökat moment kommer plasticeringen av ena sidan att öka samtidigt som den andra sidan ännu inte uppnått sträckgränsen. Denna kombination leder till att tvärsnittet får en reducerad styvhet, vilket innebär att andra ordningens effekt av vippning ökar. 3. Antaganden för beräkningar 3..1 Verkningssätt En principiell balk kommer att beaktas. 3.. Upplagsförhållanden Balkens upplagsförhållanden har en påverkan på den kritiska lasten vid vippning. För teoretiska beräkningar är det vanligast att använda gaffellagring som utgångspunkt för upplagen, se Figur 7, Höglund. Torsten (006). Figur 7 - Vippning vid gaffellagring. Källa Norlin. Bert (u.å)

Balkens vridning vid upplagen ϕ, kommer därmed att vara noll. Däremot kommer denna utformning inte att förhindra flänsarnas relativa vinkeländring vid ändarna. Det randvillkoret som är aktuell för flänsen i detta upplag är ϕ =0. 3..3 Lastens angreppspunkt och studerade normer Den idag gällande stålnormen EN 1993-1-1 (005) ger ingen närmare hänvisning för beräkning av det kritiska elastiska vippningsmomentet M cr. Därför har M cr kontrollerats genom fyra olika beräkningssätt, genom beräkningsprogrammet LTBeam (01), samt genom härledning utifrån energimetoden. LTBeam (01) är ett datorbaserat program som beräknar elastisk vippningslast för balkar. För ytterligare information om programmet, se Kapitel 3..5. De beaktade beräkningssätten redovisas i Tabell 7. Dessa beräkningar och härledningar kommer, för att möjliggöra vissa förenklingar, att studeras med hänsyn till att angreppspunkten för lasten ligger i skjuvcentrum, dvs. avståndet a i Figur 8 är noll. Figur 8 Illustration av avståndet a som defineras som avståndet mellan lastens angreppspunkt och skjuvcentrum Detta val av angreppspunkt kommer dock inte att vara densamma som den verkliga för NCC:s fallstudie. Eftersom lasten framförallt kommer att bestå av en överliggande betongmassa kommer avståndet sättas lika med halva balkens totala höjd. Därmed kommer en studie, genom handboken StBK-K (1973) och programmet LTBeam (01), genomföras. Tabell 7 sammanfattar vilka normer och beräkningsprogram som beaktas för de två olika lastangreppspunkterna. Tabell 7 Studerade normer för respektive lastangreppspunkt Avståndet mellan lastens angreppspunkt och skjuvcentrum, a [m] Angreppspunkt i skjuvcentrum, a=0 Kontrolleras för: Energimetoden ENV 1993 EN 1999 StBK-K LTBeam Angreppspunkt på balken, a=h 1 / Kontrolleras för: StBK-K LTBeam 3

3.3 Kritiskt vippningsmoment, M cr För att kunna utföra beräkningar för det kritiska momentet behöver följande tvärsnittskonstanter vara kända; böjstyvheten, vridstyvheten, välvstyvheten samt parametrarna β och κ. Samtliga konstanter redovisas i Tabell 8. Tabell 8 Tvärsnittskonstanter vid beräkning av kritiska vippningsmoment 4

3.3.1 Beräkning av M cr med härledningen utifrån Energimetoden Det kritiska momentet har härletts utifrån energimetoden. Härledningen utgår från en fritt upplagd, gaffellagrad och ostagad balk som belastas med en jämnt utbredd last, enligt Figur 9, Höglund. Torsten (006). Energimetoden utgår från ett energisamband som baseras på att konstruktionens totala potential H, ska vara noll. Den totala potentialen innefattar både den yttre lastens potential H y, och den inre potentialen H i. Den inre potentialen är den elastiska energi som lagras i konstruktionen vid övergången från det raka till det utböjda jämviktsläget, Lundin. Kurt (u.å). Figur 9 - Fritt upplagd balk med utbredd last Härledningen utgår från att vippning inträffar när potentialförändringen är noll, enligt: Balkens axlar definieras enligt Figur 30 med deformationskomposanter enligt Tabell 9: (1) Figur 30 Tvärsnittets axlar Tabell 9 - Deformationskomposanter Deformationskomposanter Förskjutningsriktning u z ϕ Vridning Tabell 10 och 11 beskriver aktuella upplagsförhållanden som är relevanta för härledning utifrån energimetoden. Tabell 10 Förskjutning i z-led. Källa: StBK-K (1973). Förskjutning i z-led Kommentar u=0 Ingen förskjutning u =0 Ingen vinkeländring u =0 Inget mothållande böjmoment 5

Balkens vridningsdeformation, enligt Tabell 11. Tabell 11 Vridning. Källa: StBK-K (1973) Vridning Kommentar ϕ=0 Ingen vridning ϕ =0 Välvningsförhindrande förstyvning ϕ =0 Där det inre arbetet definieras enligt: Inget mothållande böjmoment vid vinkeländring för flänsar vid upplag Där B z och C w definieras i Tabell 8. Upplagsförhållandenas innebörd beskrivs i Figur 10. Faktorn i definieras som det moment per längdenhet som ger värdet en radian för stagpunktens vridningsvinkel, StBK-K (1973). Vid symmetriskt tvärsnitt gäller följande: (13) Det yttre arbetet definieras enligt: (14) Där (15) Den utbredda lasten definieras som q och a är en dimensionslös parameter. Se Bilaga B för fullständig härledning. Det kritiska momentet kan med härledning från energimetoden beräknas enligt: Där faktorn C 1 är en dimensionslös faktor som beror av upplagsförhållanden. Via härledning sätts C 1 enligt nedanstående. Se Bilaga B för fullständig härledning. (16) 6

3.3. Beräkning av M cr enligt ENV 1993-1-1 Följande beräkningar är hämtade från ENV 1993-1-1 (005). ENV 1993-1-1 (005) är en förstandard till Eurokod som används i undervisningen av stålbyggnadskonstruktion på Luleå Tekniska Universitet. Därför finns intresse av att studera detta beräkningssätt. Vid beräkning av Mcr tas hänsyn till lastförhållanden, den verkliga momentfördelningen och eventuell sidostagning, vilket beräknas enligt ENV 1993-1-1 (005). För fullständig beräkning, se Bilaga C. (17) Vid utbredd last längs hela bron erhålls: 3.3.3 Beräkning av M cr enligt EN 1999-1-1 Följande beräkningar är hämtade från EN 1999-1-1 (005). EN 1999-1-1 (005) är den aktuella standarden för aluminiumkonstruktioner och innefattar metod för beräkning av det kritiska momentet. Av standarden erhålls att, för en balk med symmetriskt tvärsnitt och som är kontinuerligt längs hela balken, kan M cr beräknas enligt: Där det relativa kritiska momentet, µ cr definieras enligt: (18) Den dimensionslösa knäckningsfaktorn k z kan sättas till 1,0 eftersom upplagen är förhindrade mot att förskjutas i sidled, men fria att rotera i horisontalplanet. Faktorerna C 1, C och C 3 beror huvudsakligen på last- och upplagsförhållanden. Vid utbredd last längs hela bron erhålls följande: (19) Den dimensionslösa vridparametern, k wt beräknas enligt: (0) 7

Den dimensionslösa faktorn k w kan sättas till 1,0, då upplagen vid vardera ände är förhindrad att rotera kring den längsgående axeln, men fri att välvas. Den relativa koordinaten för lastangreppspunkten i förhållande till skjuvcentrum ζ g beräknas enligt: Figur 31 definierar avstånden z i. S står för skjuvcentrum och G för tyngdpunkt. (1) Figur 31 Avstånd från skjuvcentrum Avståndet z g beräknas som: Där z a är koordinaten för lastangreppspunkten med avseende på tyngdpunkten, z s är koordinaten för skjuvcentrum med avseende på tyngdpunkten och z g är koordinaten för lastangreppspunkten med avseende på skjuvcentrum, se Figur 31. För ett symmetriskt tvärsnitt är avståndet mellan skjuvcentrum och tyngdpunkten, z s noll. Då lastangreppspunkten, för beräkning enligt denna standard, antas vara i tyngdpunkten fås att z g är lika med noll. Därmed blir även den relativa koordinaten för lastangreppspunkten i förhållande till skjuvcentrum lika med noll. () Enligt EN 1993-1-1 (005) kan z j sättas till noll för ett symmetriskt tvärsnitt. Den relativa dimensionslösa parametern för enkelsymmetri, ζ j blir därmed enligt: Vilket leder till att formeln för M cr kan förenklas till: (3) 8

(4) 3.3.4 Beräkning av M cr enligt StBK-K Följande beräkningar är hämtade från StBK-K (1973), som är en handbok och innefattar kommentarer till Stålbyggnadsnorm 70; Knäckning, vippning och buckling. Enligt StBK-K (1973) beräknas det kritiska momentet enligt följande: För en fritt upplagd balk kommer faktorn κ, enligt Figur 3 sättas till: (5) Figur 3 Gränsvillkor vid upplagsfall Källa: StBK-K (1973) Där faktorn m fås från aktuell tabell och beror av k*l och lastens angreppspunkt. Faktorn m är beroende av balkens utformning, belastning och gränsvillkor. Utformningens inverkan beskrivs med parametern kl och β. kl beskriver balkens verkningssätt vid vridning med förhindrad tvärsnittsvälvning. För en balk som upptar vridande moment genom endast flänsböjning sätts kl=0. Då en balk har ett välvningsfritt tvärsnitt sätts kl=oändligheten. Parametern β beskriver osymmetrins inverkan. För symmetriska tvärsnitt sätts β =0. (6) 9

I Figur 33 erhålls faktorn m genom att ta fram parametrarana γ och kl och därefter avläsa i diagrammet. Parametern γ fås enligt följande samband. (StBK-K. (1973)) (7) Figur 33 Kritisk last beroende av lastens angreppspunkt. Källa: StBK-K (1973) Figur 33 används för att beräkna den kritiska lasten, q kr. Detta beaktas enligt StBK-K (1973) genom följande formel: För en ostagad fritt upplagd balk med ett jämn utbredd last, beräknas det kritiska momentet utifrån elementarfall som: (8) Vilket sammanslaget blir: (9) (30) 30

3.3.5 Beräkning av M cr enligt datorprogrammet LTBeam Det kritiska momentet kan även erhållas genom att använda programmet LTBeam (01). LTBeam (01) är ett datorbaserat beräkningsprogram som ägs av CTICM, Centre Technique Industriel de la Construction Metallique. Figur 34 - LTBeam Programmet LTBeam (01) har som avsikt att underlätta tillämpningen av EN 1993 (015), men kan även användas tillsammans med andra normer. Programvaran gör det möjligt att utföra komplexa beräkningar på ett mycket användarvänligt sätt. Programmet beräknar, M cr utifrån aktuella förhållanden. För fullständigt tillvägagångsätt, se Bilaga F. 31

3.3.6 Sammanställning av studerade beräkningssätt för M cr Tabell 1 redovisar formeln för Mcr för respektive beräkningssätt. Faktorer specifika för aktuellt beräkningssätt redovisas i Tabell 1:s tredje kolumn. För fullständig beräkning se Bilagor. Tabell 1 - Jämförelse av studerade metoder för beräkning av M cr 3

3.4 Olika stagningsmetoders inverkan på M cr Detta kapitel behandlar hur stagning av balken påverkar det kritiska momentet. Stagningsalternativ enligt Tabell 13 kommer att beaktas: Tabell 13 Stagningsmetoder som kontrolleras Därefter kommer antal stagningspunkters inverkan på det kritiska momentet, M cr studeras. Denna studie utförs både för beräkning enligt ENV 1993 (005), där den kritiska vippningslängden reduceras med ökade antal stag, samt Kapitel K18, Höglund. Torsten (1994), där både huvudbalken och stagningsbalkens styvhet beaktas. 33

3.4.1 Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag Ett sätt att förhindra vridning av en balk är genom att sätta in ett stag mellan huvudbalkarna, se Figur 35. Detta stag ska motverka vridning och inte sidoförskjutning, vilket medför ändrad vridning av balksnittet. Så länge det inte förekommer några tvärsnittsdeformationer spelar infästningsnivån på tvärsnittet ingen roll, Collin Peter (1991). Figur 35 - Stag mellan parallella balkar Källa: StBK-K (1973). Med ökad styvhet på staget i mitten kommer vridningsvinkeln i fältmitt att gå mot noll. Även sidoförskjutningen vid staget går mot noll. Detta ändrar balkens deformationsbeteende, som kommer att ändras från en halv sinusvåg till två halva sinusvågor, vilket illustreras genom Figur 36. Vid detta stadie kommer staget inte införa något vridmoment i huvuvdbalken. Ytterligare ökning av stagets styvhet påverkar vid detta stadie varken deformationsbeteendet eller den kritiska lasten. (StBK-K (1973)) Figur 36 - Deformationskurva vid fullständig stagning i mitten. Källa: Höglund. Torsten. (006). Stabilitet för balkar och stänger, modul 6. Mcr kan vid fullständig stagning skrivas som: För att veta vilken kapacitet som krävs på staget för att uppnå ändrad deformationskurva, har följande härledning, för stagning i mitten av upplagen, behandlats, se Figur 37. (31) 34

Figur 37 - Stagad balk i mitten Då x=0, definierat från höger, fås gränsvillkor enligt Figur 38. Figur 38 Upplagsförhållanden, x=0 Då x=l/, definierat från höger, fås gränsvillkor enligt Figur 39. Figur 39 - Upplagsförhållanden, x=l/ Vippning inträffar, enligt StBK-K (1973), för den deformationsfigur som vid uppfyllda gränsvillkor ger: Ur detta villkor kan en variationskalkyl härledas enligt nedan. Från tidigare definition: För mer ingående härledning se Bilaga G. (3) 35

Lösningen för ϕ kan skrivas som följande formel, där A 1 -A 4 är konstanter: (33) Där λ, enligt StBK-K (1973), fås genom: I och med att gränsvillkoren i Figur 38 och 39 ska uppfyllas kommer konstanterna A1 och A3 vara 0, vilket ger: (34) Slutligen fås följande samband, där c är stagets fjäderkonstant: (35) Stagets fjäderkonstanten c, kan därmed utryckas enligt: (36) Det kritiska momentet beräknas, som tidigare enligt: (37) Där parametern n, sätts till ett vid ostagad balk, med deformationsfigur enligt en halv sinuskurva. Då n=, innebär det att den stagande balken har fullständig stagning i mitten, men är förövrigt ostagad, och därmed beter sig i två halva sinuskurvor, se Figur 40. (38) 36

Figur 40 - Deformationskurva vid fullständig stagning i mitten. Källa: Höglund. Torsten. (006). Stabilitet för balkar och stänger, modul 6. 3.4.1.1 Framtagning av fjäderstyvheten c, för okänd styvhet För en stagad balk med okänd styvhet på staget erhålls det kritiska momentet M cr genom ett itterationsförlopp med kända värden på balkarnas geometri, enligt nedan: Där λ 1 och λ beräknas enligt Bilaga G. Fjäderkonstanten c är i detta fall okänd. Vid vridning av huvudbalkarna kommer tvärbalken att deformeras, vilket bidrar till en inflektionspunkt på mitten. Därmed kan fjäderkonstanten beräknas enligt följande, StBK-K (1973). (39) (40) Där B tvärbalk, är tvärbalkens bredd och L tvärbalk dess längd. Figur 41 Mkr vid stagning. Källa: StBK-K (1973) 37

Vidare kontrolleras kl för huvudbalkarna, som tillsammans med följande samband, kan ge ett värde på faktorn n, ur Tabell 41. Utifrån Figur 41 kan därmed n fås, vilket i figuren benämns: (41) Detta är ett relativt osäkert tillvägagångssätt i de fall då annan lastpåvekan är aktuell. (StBK- K (1973)) (4) 3.4. Gjutformens bidrag till stagning genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln Denna stagning utförs genom att placera en gjutform mot balken. Formen beaktas som vridfjädrar längs med balkaxeln. Detta kan liknas med fallet knäckning av balk på elastiskt underlag. I detta fall, då vridfjädrar utnyttjas, förhindras vridningen istället för utböjningen, se Figur 4. Momentet definieras per längdenhet enligt: (43) Där i - är styvheten hos fjädrarna [Nm/rad*m] och φ - vridvinkeln [rad]. Figur 4 Vridningsförhindrad Källa: Collin. Peter. (1991) Det kritiska momentet beräknas som innan enligt: Då kl enligt StBK-K (1973) är (44) (45) 38

kan Mcr skrivas som (46) 39

3.4.3 Stagning genom en överliggande platta En dimensioneringsmetod som med fördel kan användas för att staga en vippningsbenägen balk, är att konstruera farbanan med hjälp av prefabricerade betongplattor. Stagning uppkommer genom att böjstyvheten hos plattan utnyttjas. Därmed motverkas vippning genom elastiskt vridningsförhindring av balkens övre fläns. Styvheten i, som plattan bidrar med, definieras som momentet per längdenhet av balken, då den fria flänsen vrids en vinkelenhet., Höglund. Torsten. (1994). Där M Rd är momentkapaciteten vid böjning utan hänsyn till vippning. I de fall då deformationen i förbindningen mellan en balk och den prefabricerade betongplattan följs åt, kan i istället beräknas genom följande samband, Höglund. Torsten. (1994): (47) Där, i b, beskriver huvudbalkens styvhet i vek riktning och i t den stagande plattans styvhet. Styvheten i b, beräknas, vid de fall då balken är inspänd i en utbredd platta, enligt: (48) Plattans styvhet, i t beräknas för en konstruktion med två huvudbalkar, enligt: (49) Där E t är Elasticitetsmodulen och I t är tröghetsmomentet för plattan. Avståndet mellan de två huvudbalkarna betecknas med c. Momentet beräknas enligt EN 1999 (005), vilket redovisas i Kapitel 3..3. Den kritiska momentberäkningen tar hänsyn till styvhetsparametern, i enligt momentberäkning av Torsten Höglund (u.å), utförd för en av NCC:s tidigare konceptbroar. Enligt StBK-K (1973) erhålls faktorn κ genom: (50) (51) Parametern b sätts till noll då lastens angreppspunkt antas sammanfalla med skjuvningscentrum och därmed även med tvärsnittets tyngdpunkt, enligt StBK-K (1973). 40

Enligt StBK-K (1973) erhålls faktorn n, som beror av deformationskurvans antal halva sinusvågor, enligt villkoren nedan. De är beroende av uttrycket: (5) (53) Mcr beräknas enligt: (54) Där faktorn beräknas enligt: µ cr (55) 3.4.4 Stagning i x antal punkter I detta kapitel behandlas antalet stagpunkters inverkan på M cr då balken är belastad med en jämnt utbredd last. Balken antas initialt vara ostagad, dvs. vid noll antal stag är knäcklängden densamma som balkens fullständiga längd. Den kritiska vippningslängden minskar sedan med antal stagpunkter längs balken. Beräkningar utförs enligt ENV 1993-1-1 (005), se Kapitel 3... Tabell 14 beskriver vilka vippningslängder som kommer att beaktas. Tabell 14 Antal stagningspunkter Kontroll av olika antal stagningspunkter Antal stag Balkens Längd [m] Vippningslängd, l LT [m] 0 10 10 1 10 5 10 3,3 3 10,5 4 10 41

3.4.4.1 Stagning i x antal punkter enligt ENV 1993-1-1 Balken antas vara fritt upplagd och faktorn k antas vara ett. Följande formel för M cr används: 3.4.4. Stagning i x antal punkter enligt Utdrag ur Handboken Bygg, K18 I detta kapitel används ett utdrag från boken bygg, Kapitel 18 av Torsten Höglund (1994). Om den tvärgående balken skulle vara inspänd i sekundärbalkarna utan livavstyvningar, beräknas i b enligt: Där (56) Där avståndet mellan stagen betecknas med l LT.stag. Plattans styvhet, i t beräknas för en konstruktion med två huvudbalkar, enligt: (57) Där E t är elasticitetsmodulen för tvärbalken och I t är dess tröghetsmoment. Avståndet mellan de två huvudbalkarna betecknas med c. Den kritiska momentberäkningen tar hänsyn till styvhetsparametern, i enlighet med momentberäkning av Höglund. Torsten. (1994), utförd för en av NCC:s tidigare konceptbroar. Enligt StBK-K (1973) erhåll faktorn κ genom: (58) Parametern b sätts till noll då lastens angreppspunkt antas sammanfalla med skjuvningscentrum, och med det även tvärsnittets tyngdpunkt, enligt StBK-K (1973). Enligt StBK-K (1973) erhålls faktorn n, som beror av deformationskurvans antal halva sinusvågor, enligt villkoren nedan. De är beroende av uttrycket: 4

Mcr beräknas enligt EN 1999 genom: Där faktorn beräknas enligt: µ cr 43

4. Bärförmåga för ståltvärsnitt Ett konstruktionselements bärförmåga kan kontrolleras både lokalt och globalt. Detta kapitel behandlar den lokala bärförmågan. Tvärsnittsbärförmåga, som är ett relativt nytt begrepp, innebär att ett konstruktionselement studeras lokalt, Johansson Bernt.(000). Vid lokal kontroll studeras endast en kort del av elementet. Bärförmågan är den snittresultant som uppkommer vid belastning av exempelvis ett moment eller en normalkraft. Ett konstruktionselements lokala bärförmåga påverkas alltså inte av global instabilitet. Global instabilitet avser hela konstruktionselementet och innefattar instabilitetsproblem beaktade i Kapitel. 4.1 Tvärsnitt En I-balk består av två flänsar, en övre och en undre, samt ett liv som binder samman flänsarna. Flänsen är hopsvetsad med livet både i över- och underkant. Tvärsnittets axlar är definierade som z för den veka axeln och y för den styva, se Figur 43. Vid avsaknad av stagning i vek riktning kommer balken vara benägen att böjas ut i densamma. Figur 43 - Tvärsnitt Det studerade tvärsnittet är dubbelsymmetriskt, vilket innebär att tvärsnittet har två symmetriaxlar. Beteckning för tvärsnitt beskrivs i Figur 44. Figur 44 Tvärsnitt med beteckning 44

Teckenförklaring för tvärsnittet enligt Tabell 15. Tabell 15 - Teckenbeskrivning Beteckning Förklaring h 1 h liv d liv b fl t fl a Hela balkens höjd Livets höjd Livets tjocklek Flänsens bredd Flänsens tjocklek Svetsens mått Ett dubbelsymmetriskt tvärsnitt, som befinner sig i tvärsnittsklass 1-3, har en tyngdpunkt, TP belägen i tvärsnittets centrum. Denna punkt sammanfaller med skärningspunkten mellan de två symmetrilinjerna. Vidare definieras tvärsnittets vridningsmedelpunkt VP, som den punkt där tvärsnittet vrids, då den utsätts för ett vridande moment. Vid ren böjning definieras även skjuvningsmedelpunkten, SP. Det är den punkt som skär mellan resultanterna till de enskilda delarnas tvärkrafter i två riktningar. Enligt Norlin (u.å) sammanfaller VP och SP. För ett dubbelsymmetriskt tvärsnitt sammanfaller även SP och TP, se Figur 45. Figur 45 Tyngdpunkt och skjuvningscentrum för enkel-, och dubbelsymmetriska tvärsnitt Källa: Norlin.Bert (u.å) 45

4.1. Tvärsnittskontroll enligt Eurokod I EN 1993 (005) är tvärsnitten indelade i fyra olika klasser. Klasserna kan beskrivas enligt följande: 4.1..1 Tvärsnittsklass 1 För tvärsnitt i klass 1 kan full plastisk flytning uppnås utan att buckling uppkommer. I denna tvärsnittsklass kan flytleder bildas utan begränsad rotationskapacitet, Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010). För tvärsnittsklass 1 tillämpas gränslastteorin. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass 1 illustreras i Figur 46. Figur 46 Spänningsfördelning tvärsnittsklarr 1 Källa: Lunds Universitet (u.å) 4.1.. Tvärsnittsklass Tvärsnittsklass avser tvärsnitt som kan uppnå plastisk bärförmåga för moment, men har begränsad rotationskapacitet på grund av buckling. Flytledsmetoden kan inte användas. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass illustreras i Figur 47. Figur 47- Spänningsfördelning tvärsnittsklarr Källa: Lunds Universitet (u.å) 4.1..3 Tvärsnittsklass 3 Tvärsnittslass 3 innefattar tvärsnitt där spänningen i det mest tryckbelastade ståltvärsnittet kan uppnå flytgränsen med en elastisk spänningsfördelning. Dock förhindrar buckling plastisk bärförmåga för moment. Viss plasticering kan dock ske innan buckling inträffar. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass 3 illustreras i Figur 48. Figur 48 - Spänningsfördelning tvärsnittsklarr 3 Källa: Lunds Universitet (u.å) 46

4.1..4 Tvärsnittsklass 4 Tvärsnittsklass 4 avser tvärsnitt som bucklar i en eller flera delar av tvärsnittet innan dess att flytgränsen uppnås. Genom att reducera plåttjockleken för det element som förväntas buckla tas hänsyn till att det effektiva böjmotståndet kommer att vara mindre än det elastiska. Spänningsfördelning för tvärsnittsklass 4 illustreras i Figur 49. Figur 49 Spänningsfördelning tvärsnittsklarr 4 Källa: Lunds Universitet (u.å) 4.1..5 Beräkningsgång för tvärsnittskontroll enligt Eurokod Töjningsfaktorn ε, som används vid kontroll av tvärsnittsklass, beräknas enligt ekvation 59 och beror av stålets flytgräns, f y. 4.1..5.1 Tvärsnittsklass för livet För att kontrollera livets tvärsnittsklass används Figur 47. Beroende på hur livet påverkas, studeras kolumnen för böjd, tryckt eller tryckt och böjd del. Vidare beräknas längden c, enligt Figur 51. (59) Figur 50 Längden c liv Förhållandet mellan längden c och livets tjocklek d beräknas. Beroende på dess storlek och hur delen påverkas fås tvärsnittsklass enligt: (60) 47

(61) Figur 51 Tvärsnittsklass liv, EN 1993 (005) För liv som påverkas av både tryck och böjning görs följande beräkningar för tväsnittsklassen: I det fall då tvärsnittet är symmetriskt och flänsarna inte är i tvärsnittsklass 4 sätts: (6) Därmed blir (63) 48

4.1..5. Tvärsnittsklass för fläns För att kontrollera flänsens tvärsnittsklass används Figur 54. Beroende på hur flänsen påverkas studeras kolumnen för tryckt kant eller tryckta och böjda delar. Vidare beräknas längden c, enligt Figur 53. Figur 5 Längden c fl Förhållandet mellan längden c och livets tjocklek d beräknas. Beroende på dess storlek och hur delen påverkas fås tvärsnittsklass enligt: (64) Figur 53 - Tvärsnittskontroll, fläns EN 1993 (005). 49

5. Fallstudie för NCC På begäran av Tobias Larsson på Anläggningskonstruktion på NCC Teknik i Göteborg, studeras en stålbalk med dimensioner från en av NCC:s konceptbroar. Denna studie används för att visa skillnader i resultat mellan olika metoder att beräkna det kritiska momentet, M cr. Genom att studera beräkningssättens inverkan på momentkapaciteten, erhålls en intressant jämförelse för fortsatta vippningsberäkningar inom NCC. Dessutom studeras olika stagningsmetoders inverkan på det kritiska momentet, vilket är användbart för beräkningsgången för NCC:s framtida verksamhet inom konstruktion av samverkansbroar. 5.1 Indata 5.1.1 Indata stålbalk, huvudbalk I detta kapitel redovisas stålbalkens dimensioner för det tvärsnitt som beräkningsmässigt kommer att studeras. Tvärsnittet består av en svetsad balk med ett I-tvärsnitt enligt Figur 54. Figur 54 - Tvärsnitt Dimensionernas beteckningar och storheter redovisas i Tabell 16. Tabell 16 - Tvärsnittets dimensioner Beskrivning Beteckning Värde Enhet Balkens höjd h 1 850 mm Flänsens tjocklek t fl 40 mm Flänsens bredd b fl 560 mm Livets tjocklek d liv 1 mm Livets höjd h liv 770 mm Svetsens dimension a 5 mm Balken är fritt upplagd med ett spann L= 10 m. 50

Figur 55 - Studerad balk Balkens egenskaper redovisas i Tabell 17. För fullständig beräkning se Bilaga A. Tabell 17 - Indata Tröghetsmoment vek riktning I z 1,171 *10 9 mm 4 Välvstyvhet I w 1,90 *10 14 mm 6 Vridstyvhet I t 0,07 *10 9 mm 4 5.1. Indata för gjutform av trä Gjutformens egenskaper redovisas i Tabell 18. Tabell 18 Gjutformens egenskaper, konstruktionsvirke C4 Gjutformens egenskaper, konstruktionsvirke C4 Beskrivning Beteckning Värde Enhet Höjd h trä 0,04 m Bredd b trä 10 m Längd L stag 3 m Elasticitetsmodul E trä 11000 MPa Tröghetsmoment I trä 5,3*10 7 mm 4 5.1.3 Indata för stagande tvärbalk av trä Gjutformen hålls uppe av tvärgående balkar av samma material som gjutformen. Dessa balkar fästs på stålbalkarna. Därmed kontrolleras även som stagande balkar för stålbalkarna. Den stagande balkens egenskaper redovisas i Tabell 19. Tabell 19 Stagande balks egenskaper Stagande balks egenskaper, konstruktionsvirke C4 Beskrivning Beteckning Värde Enhet Höjd h tvärbalk 0,385 m Bredd b tvärbalk 0,00 m Längd L stag 3 m Elasticitetsmodul E trä 11000 MPa Tröghetsmoment I trä 9,5*10 8 mm 4 51

5. Inverkan av olika beräkningssätt för M cr Balkens kritiska vippningsmoment M cr kontrollerat enligt Tabell 0. Tabell 0 - Beräkningssätt som studeras Avståndet mellan lastens angreppspunkt och skjuvcentrum, a [m] Angreppspunkt i skjuvcentrum, a=0 Kontrolleras för: Energimetoden ENV 1993 EN 1999 StBK-K LTBeam Angreppspunkt på balken, a=h 1 / Kontrolleras för: StBK-K LTBeam 5..1 M cr då lastens angreppspunkt sammanfaller med skjuvcentrum 5..1.1 Energimetoden Figur 56 Beräkning för Mcr enligt energimetoden 5

5..1. ENV 1993 Figur 57 - Beräkning för M cr enligt ENV 1993 (005) 5..1.3 EN 1999 Figur 58 - Beräkning för M cr enligt EN 1999 (005) 53

5..1.4 StBK-K Figur 59 - Beräkning av M cr enligt StBK-K (1973) 5..1.5 LTBeam Figur 60 Resultatet vid beräkning av M cr enligt LTBeam (01). 54

5.. M cr då lastens angreppspunkt är ovanpå balken 5...1 StBK-K Figur 61 - Beräkning av M cr genom StBK-K (1973), vid lastangreppspunkt ovanpå balk 5... LTBeam Figur 6- Resultat vid beräkning av M cr enligt LTBeam (01), vid lastangreppspunkt ovanpå balk 55

5.3 Inverkan på M cr av olika stagningsmetoder Stagningens styvhetsgrad kommer att beaktas genom att studera olika alternativ för hopkoppling av parallella balkar. Följande metoder kommer att studeras, se Tabell 1. Tabell 1 - Stagningsmetoder Därefter kommer antal stagningspunkters inverkan på det kritiska momentet, M cr studeras. Denna studie utförs både för beräkning enligt ENV 1993 (005), där den kritiska vippningslängden reduceras med ökade antal stag, samt K18, Höglund. Torsten (1994), där både huvudbalken och stagningsbalkens styvhet beaktas. 56

5.3.1 Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, betraktade med fjäderkonstant Beräkningar som redovisas i Figur 64 baseras på att tvärbalkens fjäderkonstant är känd. Denna beräkning ger det kritiska momentet för aktuellt stag. Tvärbalkens egenskaper redovisas i Tabell 19. Figur 63 Stag i mitten Figur 64 Inverkan av elastisk vridningsförhindring i fält 57

Beräkningar som redovisas i Figur 65 baseras istället på att deformationsbeteendet ska ändra utseende till två halva sinusvågor. Detta innebär att styvheten i tvärbalken är tillräckligt stor för att skapa fullständig stagning för huvudbalken. Figur 65 Krävd fjäderstyvhet vid vridningsförhindring i fält, för fullständig stagning För att uppnå en fullständig stagning, och därmed en deformationskurva i två halva sinusvågor, måste den stagande tvärbalken uppfylla den krävda fjärderkonstanten c träbalk.ktrl. Värdet på fjäderkonstanten, c träbalk.ktrl erhålls ur beräkningarna enligt Figur 65. Ett exempel på storheter som kan justeras för att tvärbalken ska uppfylla denna stagning redovisas i Figur 66. 58

Figur 66 Exempel på krävd höjd för fullständig stagning i fältmitt 59

5.3. Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln Gjutformens bidrag kontrolleras genom att beakta formen som vridfjädrar längs med hela balken, se Figur 67. Figur 67 Vridfjädrar längs med hela balkaxeln 5.3..1 Förlorad gjutform av stål Figur 69 redovisar beräkning av M cr utifrån gjutformens bidrag till stagning, enligt värden som redovisas i beräkningsgången. Gjutformen beaktas med en bredd som har samma längd som huvudbalken, dvs. 10 meter. Formen kommer vid dessa beräkningar innefatta en förlorad gjutform. Detta innebär att gjutformen aldrig kommer att monteras ner, utan istället blir en del av konstruktionen. Detta betraktelsesätt måsta göras då beräkningarna kräver en inspänning mellan huvudbalk och gjutform. Vid användning av en gjutform av trä kommer denna inspänning inte att uppnås. 60

Figur 68 Den förlorade gjutformens bidrag till stagning 61

5.3.. Tillfällig gjutform av trä Beräkningar för en tillfällig form av trä kommer inte att redovisas. Detta för att beräkningssättet kräver en inspänning av gjutformen som bidrar till vridningsförhindring av överflänsen. För en tillfällig gjutform av trä uppkommer inspänningssvårigheter. Svårigheter i inspänningen av gjutformen leder till att huvudbalkens överfläns inte kommer att förhindras mot vridning. Detta beräkningssätt kan därmed inte angripa en gjutform av trä. 6

5.3.3 Stagning genom en överliggande platta, utan inspänning Figur 70-7 redovisar beräkning av M cr då en prefabricerad betongplatta placeras på huvudbakarna. Betongplattans höjd antas vara 0,3 m och avståndet mellan stålbalkarna antas till 3 m. Figur 69 Stagning genom en överliggande platta, utan inspänning Figur 70 Beräkning genom stagning med en överliggande platta, utan inspänning 63

Figur 71 - Beräkning genom stagning med en överliggande platta, utan inspänning, forts. 64

Figur 7 - Beräkning genom stagning med en överliggande platta, utan inspänning, forts. 65

5.3.4 Stagning genom en överliggande platta, med inspänning I detta kapitel redovisas beräkningar för en platta som är inspänd i huvudbalkarna. Detta kommer inte vara aktuellt i gjutskedet eftersom plattan inte är inspänd i huvudbalken. Dessa beräkningar utförs med avseende för att kunna jämföra vilken skillnad inspänningen har för det kritiska momentet. Betongplattans höjd antas vara 0,3 m och avståndet mellan stålbalkarna antas till 3 m. Figur 73 - Beräkning genom stagning med en överliggande platta, med inspänning Figur 74 - Beräkning genom stagning med en överliggande platta, med inspänning 66

Figur 75 - Beräkning genom stagning med en överliggande platta, utan inspänning, forts. 67

5.3.5 Kontroll av antal stagninspunkters inverkan på M cr Det kritiska momentet kontrolleras med hänsyn till antal stagningspunkter längs balken enligt ENV 1993-1-1 (005), samt enligt Höglund. Torsten (004) tillsammans med EN 1999 (005). Stagen kommer att placeras på ett jämnt avstånd från varandra. De kontrollerade vippningslängderna l LT redovisas i Tabell. Tabell Olika stagningspunkter Kontroll av olika antal stagningspunkter Antal stag Balkens Längd [m] Vippningslängd, l LT [m] 0 10 10 1 10 5 10 3,3 3 10,5 4 10 5.3.5.1 Kontroll av antal stagninspunkters inverkan på M cr, enligt ENV 1993 Kontroll av antal stagningspunkter med avseende på att varje stag har full inspänning. Detta innebär att deformationskurvan får en ökad halv sinuskurva för stag som läggs till, se Figur 76. Figur 76 Deformationskurva Figur 77 Beräkning av antal stagningspunkters inverkan 68

5.3.5. Kontroll av antal stagninspunkters inverkan på M cr, enligt K18 och EN 1999 Genom detta betraktelsesätt ligger plattan ovanpå balken. De är dessutom inspända i huvudbalkarna, se Figur 78. Figur 78 - Beräkning genom stagning med en överliggande platta, med inspänning 69

Beräkningsgång enligt detta betraktelsesätt redovisas i Figur 79 och 80. Detta betraktelsesätt är inte heller aktuellt för gjutningsprocessen, då denna utformning inte är genomförbar. Kontroll görs för att se vilken inverkan, till skillnad från tidigare betraktelsesätt med avseende på att varje stag har full inspänning, detta betraktelsesätt har på det kritiska momentet. Då denna metod därmed inte kommer att kunna jämföras med beräkningar i Figur 78, kommer denna metod inte vara med i resultat- och diskussionsdelen. Figur 79 Beräkning av stagning med en överliggande platta, med inspänning 70

Figur 80 - Beräkning av stagning med en överliggande platta, med inspänning, forts 71

6. Resultat och diskussion I detta kapitel redovisas resultat från beräkningar i Kapitel 5. Olika beräkningssätts inverkan på det kritiska och det dimensionerande momentet kommer att diskuteras samt vilken betydelse lastens angreppspunkt har för resultatet. Kapitel 6.1 behandlar resultatet för det kritiska momentet både då lastens angreppspunkt sammanfaller med skjuvcentrum samt när den angriper ovan balk. Därefter sammanställs resultatet i en tabell för att genomföra en tydlig jämförelse dessemellan. Samma upplägg gäller för Kapitel 6. där det dimensionerande momentet redovisas. Kapitel 6.3 behandlar dels jämförelse mellan resultaten för respektive beräkningssätt men också en jämförelse av hur lastens angreppspunkt påverkar det kritiska respektive dimensionerande momentet. Vidare redovisas olika stagningsmetoders inverkan på det kritiska momentet i Kapitel 6.4. En diskussion förs runt de olika stagningsalternativen. I Kapitel 6.5 utförs en kontroll för hur det kritiska momentet påverkas av olika antal stagningspunkter. 6.1 Resultat för det kritiskt moment M cr I detta kapitel redovisas de numeriska resultaten mellan olika beräkningsmetoder. Resultaten redovisas både då lastens angreppspunkt sammanfaller med skjuvcentrum, samt när angreppspunkten är ovan balk. 6.1.1 Resultat för M cr, då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum Tabell 3 redovisar beräkningssätt för respektive metod. Den förenklade formeln för beräkning utifrån aktuella förhållanden redovisas i kolumn två. Faktorerna C 1 och m för ENV 1993 (005), EN 1999 (005) och StBK-K (1973) hämtas från respektive norm. För energimetoden är C 1 framtagen genom härledningsprocessen som redovisas i Bilaga B. Vid härledning genom energimetoden har utgångspunkten varit att efterlikna de normer som är baserade på denna metod. Detta resulterade i faktorn C 1. Tabell 3 M cr för olika beräkningssätt då lastangreppspunkten infaller i skjuvcentrum 7

Resultatet som redovisas i Tabell 3 visar numeriska skillnader för det kritiska momentet M cr. Det lägsta värdet på M cr uppvisas av beräkning genom datorprogrammet LTBeam (01). LTBeam (01) visar sig enligt denna jämförelse vara ett beräkningsalternativ som är på den säkra sidan. Då tidsåtgången genom beräkning med mjukvaran LTBeam (01) är minimal jämfört med övriga handberäkningsmodeller kan alternativet ändå ses som kvalitativt och eventuell överdimensionering kan bortses ifrån. 6.1. Resultat för M cr, då lastangreppspunkten angriper ovan balk I Tabell 4 redovisas det kritiska momentet då lastens angreppspunkt är ovanpå balken. Detta utförs enligt StBK-K (1973) samt genom datorprogrammet LTBeam (01). Anledningen till varför just dessa två metoder beaktas är delvis för att de visade sig ge de lägsta kritiska momenten, dvs. de är på den säkra sidan. Dessutom krävs en större tidsåtgång för att kontrollera de tre övriga beräkningsalternativen, då angreppspunkt flyttas till annat ställe än skjuvcentrum. Tabell 4 - Mcr för olika beräkningssätt så lastangreppspunkten är ovan balk Tabell 4 visar återigen att LTBeam (01) är det beräkningssätt som ger det lägsta värdet på M cr. En intressant aspekt är storleksskillnaden på resultatet då lastens angreppspunkt förflyttas från skjuvcentrum till ovan balk. I Kapitel 6.3.3 beaktas detta vidare genom att jämföra de numeriska och procentuella skillnaderna för det dimensionerande momentet utifrån lastens angreppspunkt. 6.1.3 Jämförelse för M cr med avseende på lastens angreppspunkt I Tabell 5 redovisas en jämförelse med avseende på lastens angreppspunkt. Angreppspunkten visar sig ha en betydelse för storleken på det kritiska momentet. Vilken betydelse lastangreppspunkten har för det dimensionerande momentet redovisats i Kapitel 6.3.3. Tabell 5 - Jämförelse för Mcr med avseende på lastangreppspunkt Jämförelse för M cr beroende av lastens angreppspunkt Beräkningssätt Lastens angreppspunkt i skjuvcentum Lastens angreppspunkt ovan balk StBK-K 13,61 MNm 9,7 MNm LTBeam 13,50 MNm 9,17 MNm 73

6. Resultat för det dimensionerande momentet M b.rd Nedan redovisas de numeriska resultaten för det dimensionerande momentet mellan olika beräkningsmetoder. Det dimensionerande momentet med hänsyn till instabilitetsfenomenet vippning beräknas enligt: (65) För de olika beräkningsalternativen fås följande reduktionsfaktor: Reduktionsfaktorn c LT är mindre än ett, vilket betyder att vippning kommer att vara dimensionerande för en ostagad balk med beaktade egenskaper. Då reduktionsfaktorn överstiger ett kommer andra instabilitetsfenomen inträffa innan det kritiska momentet för vippning uppnås. Utifrån beaktat beräkningsexempel ligger reduktionsfaktorn c LT mellan 0,933-0,936. För att ett ska uppnås, och därmed eliminerad risk för vippning, kan balken stagas genom olika alternativ. Stagningsalternativ behandlas i Kapitel 6.4. Reduktionsfaktorn skiljer sig minimalt mellan de olika beräkningsalternativen. Detta bidrar till en liten differens mellan de olika beräkningsalternativen även för det dimensionerande momentet, se Tabell 6. (66) 6..1 Resultat för M b.rd, då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum Det dimensionerande momentet redovisas i Tabell 6. Beräkningarna utgår ifrån de kritiska moment som redovisats i Kapitel 6.1.1. Tabell 6 Resultat för det dimensionerande momentet Resultat för det dimensionerande momentet Beräkningssätt M b.rd [MNm] Energimetoden 1,63 ENV 1993 1,6 EN 1999 1,6 StBK-K 1,60 LTBeam 1,59 74

Det dimensionerande momentet uppvisar ett betydligt mindre värde än det kritiska. Skillnaden mellan de olika beräkningssätten har dessutom minskat. Detta kommer av att reduktionsfaktorn c LT, för beräkning av det dimensionerande momentet, skiljer minimalt. 6.. Resultat för M b.rd, då lastangreppspunkten angriper ovan balk Det dimensionerande momentet redovisas i Tabell 7. Beräkningarna utgår ifrån de kritiska moment som redovisats i Kapitel 6.1.1. Tabell 7 Dimensionerande moment Beräkningssätt Numreriskt resultat StBK-K LTBeam 1,18 MNm 1,09 MNm 6..3 Jämförelse för M b.rd med avseende på lastens angreppspunkt I Tabell 8 redovisas en jämförelse med avseende på lastens angreppspunkt. Angreppspunkten visar sig ha en mindre betydelse för storleken på det dimensionerande momentet jämfört med det kritiska. Vilken procentuell betydelse lastangreppspunkten har för det dimensionerande momentet redovisats i Kapitel 6.3.3. Tabell 8 Jämförelse av dimensionerande momentet för lastens angreppspunkt Jämförelse för M b.rd beroende av lastens angreppspunkt Beräkningssätt Lastens angreppspunkt i skjuvcentum Lastens angreppspunkt ovan balk StBK-K 1,60 MNm 1,18 MNm LTBeam 1,59 MNm 1,09 MNm 75

6.3 Jämförelse av M cr och M b.rd Detta kapitel redovisar skillnaden på det kritiska och det dimensionerande momentet med avseende på olika beräkningssätt. Denna procentuella jämförelse redovisas både för lastangreppspunkt i skjuvcentrum och ovan balk. Vidare i Kapitel 6.3.3 kontrolleras innebörden av lastens angreppspunkt både för det kritiska och dimensionerande momentet. 6.3.1 Jämförelse mellan beräkningssätten då lastangreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum Tabell 9 redovisar det kritiska och det dimensionerande momentet för beaktade beräkningssätt. Den procentuella skillnaden mellan de beaktade beräkningssätten redovisas i samma tabell. Vid den procentuella jämförelsen används resultatet för energimetoden som referensvärde. Tabell 9 - Procentuell skillnad mellan olika beräkningsmetoder, angreppspunkt skjuvcentrum Beräkningssätt Procentuell skillnad mellan olika beräkningsmetoder M cr [MNm] Procentuell skillnad utifrån resultat från energimetoden M cr [%] M b.rd [MNm] Procentuell skillnad utifrån resultat från energimetoden M b.rd [%] Energimetoden 14,010 0,0 1,63 0,0 ENV 1993 13,87 1,3 1,6 0,1 EN 1999 13,87 1,3 1,6 0,1 StBK-K 13,608,9 1,60 0,3 LTBeam 13,500 3,6 1,59 0,3 Den procentuella skillnaden mellan det största och minsta beräknade värdet för det kritiska momentet uppgår till 3,6 %. En ännu mindre skillnad kan urskiljas mellan metoderna då det dimensionerande momentet beräknats. Endast 0,3 % skiljer här mellan energimetoden och funna värden med LTBeam (01). Detta visar att de olika beräkningsalternativen, med avseende på det dimensionerande momentet, endast har en liten påverkan. Detta är ännu en bekräftelse på att LTBeam (01) är en användbar metod vid beräkning av det kritiska momentet. 76

6.3. Jämförelse mellan beräkningssätten då lastangreppspunkten är ovan balk Tabell 30 redovisar det kritiska och dimensionerande momentet för beaktade beräkningssätt då lastens angreppspunkt är ovan balk. Den procentuella skillnaden mellan de beaktade beräkningssätten redovisas i samma tabell. I denna jämförelse används resultatet för StBK-K (1973) som referensvärde. Tabell 30 Procentuell skillnad mellan olika beräkningsmetoder, angreppspunkt ovan balk Beräkningssätt Procentuell skillnad mellan olika beräkningsmetoder M cr [MNm] Procentuell skillnad utifrån resultat från energimetoden M cr [%] M b.rd [MNm] Procentuell skillnad utifrån resultat från energimetoden M b.rd [%] StBK-K 9,70 0,0 1,18 0,0 LTBeam 9,170 5,7 1,09 0,7 Den procentuella skillnaden mellan de två olika beräkningssätten är för det kritiska momentet, 5,7 %. Motsvarande förändring för det dimensionerande momentet är 0,7 %. Återigen visar LTBeam (01) vara ett kvalitativt beräkningsalternativ då den heller inte ger någon stor skillnad vid beräkning av det dimensionerande momentet. 77

6.3.3 Jämförelse av hur M cr och M b.rd påverkas av lastens angreppspunkt Figur 81 illustrerar balkens tvärsnitt, där a symboliserar avståndet från skjuvcentrum till lastens angreppspunkt. Då angreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum är avståndet a=0. I det andra fallet då lasten angriper ovan balk, är avståndet a=h 1 /. Figur 81 Balkens tvärsnitt Lastens angreppspunkt har visat sig ha betydelse för det kritiska momentet. Tabell 31 redovisar den numeriska samt procentuella skillnaden för M cr utifrån lastens angreppspunkt. Både StBK-K (1973) och LTBeam (01) beaktas, då dessa två beräkningsmetoder är de som kontrollerats utifrån båda lastangreppspunkterna. Tabell 31 Resultat för det kritiska momentet M cr Beräkningssätt Numeriskt resultat, då lastens angreppspunkt är i skjuvcentrum Numeriskt resultat, då lastens angreppspunkt är ovan balk Numerisk skillnad med avseende på angreppspunkt Procentuell skillnad vid flytt av angreppspunkt StBK-K 13,608 MNm 9,7 MNm 3,89 MNm 8,59 % LTBeam 13,500 MNm 9,17 MNm 4,33 MNm 3,07 % Det kritiska momentet uppvisar en skillnad på 9 respektive 3 % mellan lastens två olika angreppspunkter. Detta innebär att det kritiska momentet, enligt LTBeam (01), minskar med 3 % om lastens angreppspunkt förflyttas från skjuvcentrum till ovan balk. Vidare i Tabell 3 redovisas skillnaden i det dimensionerande momentet. Tabell 3 - Resultat för det kritiska momentet M b.rd Beräkningssätt Numeriskt resultat, då lastens angreppspunkt är i skjuvcentrum Numeriskt resultat, då lastens angreppspunkt är ovan balk Numerisk skillnad med avseende på angreppspunkt Procentuell skillnad vid flytt av angreppspunkt StBK-K 1,60 MNm 1,18 MNm 0,04 MNm 3,33 % LTBeam 1,59 MNm 1,09 MNm 0,05 MNm 3,97 % 78

Tabell 3 redovisar det dimensionerande momentet för respektive beräkningssätt. Denna beräkning visar en mindre procentuell skillnad jämfört med det kritiska momentet. Enligt LTBeam (01) sker en förminskning av det kritiska momentet på 4 %, då lastens angreppspunkt ändras från skjuvcentrum till ovan balk. Det dimensionerande momentet påverkas alltså inte av lastens angreppspunkt på samma sätt som det kritiska momentet. 79

6.4 Stagning I gjutskedet kommer den betraktade balken vara benägen att vippa. Detta visar sig genom att reduktionsfaktorn, c LT, som är en reduktionsfaktor med avseende på vippning, ligger mellan 0,933-0,936. Då c LT > 1 behöver inte vippning beaktas. Detta eftersom andra instabilitetsfenomen, i detta fall, kommer att vara dimensionerande. För att förhindra vippning kan konstruktionen stagas på olika kvalitativa sätt. Tabell 33 redovisar de stagningsmetoder som har studerats i detta examensarbete. Eftersom reduktionsfaktorn i detta beräkningsexempel är precis under ett, skulle endast en liten stagning ge den påverkan att balken inte är benägen att vippa. Gjutformens bidrag till stagning kontrolleras. Detta för att studera om formen ger en tillräcklig påverkan på reduktionsfaktorn mot vippning och därmed eliminera risken för vippning. 6.4.1 Beräkning av M cr enligt olika stagningmetoder Tabell 33 redovisar det kritiska momentet för beaktade stagningsmetoder. Tabell 33 - M cr enligt olika stagningsmetoder Beräkning av Mcr enligt olika stagningsmetoder Stagningsmetod Föklaring Stagning genom Mcr Ett stag i mitten Vridningsförhindring genom stagning av ett mellanliggande stag, betraktade med fjäderkonstant Träbalk 3,98 MNm Stag längsmed hela balkaxeln Stagning genom ovanliggande platta Gjutformens bidrag till stagning, genom vridfjädrar längs med hela balkaxeln Betongfarbanan konstrueras med en prefabricerad betongskiva Förlorad gjutform av stål Tillfällig gjutform av trä Prefabricerad betongskiva, utan infästning Prefabricerad betongskiva, med infästning 16,05 MNm Krävs annat betraktelsesätt 14,04 MNm 15,11 MNm Det största bidraget för ökning av det kritiska momentet M cr, ges av att använda en träbalk som sekundärbalk mellan de två huvudbalkarna. I Tabell 33 utgår beräkningarna från en exempelbalk som redovisas i Kapitel 5.4.1. För en tillfällig gjutform av trä kan inte stagning genom vridningsförhindring tillämpas eftersom balkens överfläns inte är inspänd i träformen. Vid användning av en gjutform av trä skulle istället träkonstruktionen i sig kunna beaktas. De träbalkar, som vid betonggjutning stabiliserar formen utformas oftast som fackverksbalkar och kan därmed liknas vid takstolar. Dessa träbalkar kan även bidra till stagning genom vridningsförhindring. Figur 8 illustrerar en förenklad bild av horisontella stag, vilka används för att konstruera träformen på huvudbalkarna. Tabell 33 visar att mellanliggande stag har en stor inverkan på det kritiska momentet. Därmed skulle betraktelsesättet för en gjutform av trä istället innefatta stagning genom tvärbalkar. 80

Figur 8 Förenklad bild av tvärgående träbalk 81

6.5 Antal stagningspunkters inverkan på M cr och M b.rd, enligt ENV 1993-1-1 I detta kapitel redovisas antal stagningspunkters inverkan på det kritiska och dimensionerande momentet. Varje stagningspunkt har fullständig stagning, dvs. deformationskurvan övergår till en ny halv sinuskurva vid varje punkt. Dessa beräkningar utförs enligt ENV 1993-1-1 (005). Tabell 34 Beräkning av Mcr och Mb.Rd enligt ENV 1993-1-1 (005) Vippningsberäkning enligt ENV 1993-1-1 Antal stagningspunkter M cr [MNm] M b.rd [MNm] 0 14 1,6 1 47 1,37 103 1,41 3 181 1,43 4 81 1,44 Tabell 34 redovisar resultaten för stagningspunkterna för det kritiska momentet M cr och det dimensionerande momentet M b.rd. Momentet redovisas mot antal stagningspunkter och beteendet visas i diagram i Figur 83 och 84. Det kritiska momentet uppvisar stora förändring vid ökat antal stagningspunkter, vilket betyder att balkens bärförmåga med avseende på vippning ökar drastiskt. Det dimensionerande momentet påvisar dock endast en liten ökning av momentkapaciteten vid ökat antal stagningspunker. Detta kommer av att vippning inte fortsatt kommer att vara det dimensionerande instabilitetsfenomenet. Därmed kommer andra instabilitetsfenomen inträffa innan den kritiska vippningslasten uppnås. Den procentuella ökningen av momentets storlek vid ostagad balk redovisas i Tabell 34. Figur 83 visar att M cr ökar med antalet stagningspunkter. Figur 84 påvisar istället ett annat beteende för det dimensionerande momentet. Momentets ökning kommer som nämnt ovan att avta med antal stagningspunkter. 8

Figur 83 Det kritiska momentet utifrån antal stagningspunkter, ENV 1993-1-1 (005) Figur 84 Det dimensionerande momentet utifrån antal stagningspunkter, ENV 1993-1-1 (005) Tabell 35 redovisar den procentuella ökningen av det kritiska respektive dimensionerande momentet. Utgångspunkten är momentets storlek vid noll antal stag. Det kritiska momentet kommer, vid fyra antal stagningspunkter, ha uppnått en ökning på 1933 % jämfört med storheten på en ostagad balk. För det dimensionerande momentet kommer denna ökning endast uppgå till 14 %. 83

Tabell 35 Procentuell ökning utifrån ostagad balk. Antal stagningspunkter Procentuell ökning utifrån ostagad balk M cr vid x antal stagningspunkter jämfört med ostagad balk [%] M b.rd vid x antal stagningspunkter jämfört med ostagad balk [%] 0 0 0,0 1 43 8, 646 11,4 3 109 13,1 4 1933 14,1 84

6.6 Diskussion utifrån uppställd frågeställning 6.6.1 Jämförelse mellan olika beräkningsmetoder Kapitel 6.1 redovisar resultaten för det kritiska momentet M cr utifrån olika beräkningsmetoder, medan Kapitel 6. redovisar det dimensionerande momentet M b.rd. Det dimensionerande momentet uppvisar inga stora skillnader i resultat. 6.6. Lastens angreppspunkt Kapitel 6.1.3 behandlar det kritiska momentet då angreppspunkten sammanfaller med skjuvcentrum, medan Kapitel 6..3 behandlar det kritiska momentet då angreppspunkten är ovan balk. Lastens angreppspunkt har en relativt stor inverkan på det kritiska momentet. För det dimensionerande momentet uppstår endast små skillnader, vilket gör att det i många fall är möjligt att anta att lastens angreppspunkt sammanfaller med skjuvcentrum. Denna förenkling gynnar oftast beräkningsprocessens omfattning och minskar därmed tidsåtgången för konstruktören. 6.6.3 Stagningsmetoder Beaktade stagningsmetoder redovisas i Kapitel 6.4. De studerade stagningsmetoderna i detta examensarbete baseras alla på att balken är förhindrad mot vridning. Därmed kunde inte gjutformens stagningseffekt beaktas på önskvärt sätt. Det önskvärda sättet var att kunna beräknas stagningseffekten med avseende på den träskiva som placeras mellan stålbalkarnas överflänsar. Eftersom gjutformen inte är inspänd i stålbalkens överfläns måste dess stagningseffekt beaktas genom sidoförskjutning. Detta är en inriktning på fortsatta studier inom vippningsproblematiken. Det kritiska momentets storlek påverkas av stagningens inspänningsgrad. Vid full inspänning fås den största påverkan. Stagningsmetoder som ger full inspänning kan vara aktuell då vippningsrisken är hög, dvs. då reduktionsfaktorn för vippning, c LT är relativt låg. Vid värden på reduktionsfaktorn som ligger strax under ett, behöver staget inte ha full inspänning för att eliminera vippningsrisken. Istället kan staget betraktas som en fjäder och därigenom bidra med en tillräcklig stagning. Vidare behandlar Kapitel 6.5 antal stagningspunkters inverkan på det kritiska och dimensionerande momentet. 85

6.7 Beräkningsalternativ för fortsatta studier I detta examensarbete beaktas endast stagning genom vridningsförhindring. I vidare studier skulle gjutformens stagningseffekt kunna studeras utifrån förhindring av sidoförskjutning. 86

7. Slutsatser 7.1 Jämförelse mellan beräkningsmetoder Det kritiska momentet uppvisar vissa små skillnader resultatmässigt mellan de olika beräkningsmetoderna. Detta får dock inga betydelsefulla följder för det dimensionerande momentet. Mjukvaran LTBeam är ett användbart alternativ för beräkning av det kritiska momentet, M cr. Tidsåtgången för beräkning genom LTBeam är i jämförelse minimal samtidigt som resultatet visat sig vara på den säkra sidan. 7. Lastens angreppspunkt Lastens angreppspunkt har en relativt stor inverkan på det kritiska momentet. För det dimensionerande momentet uppstår endast små skillnader. För att underlätta beräkningsgången kan därmed lastens angreppspunkt antas sammanfalla med skjuvcentrum i det fall då den i verkligheten angriper ovan balk. 7.3 Stagningsmetoder Det kritiska momentets storlek påverkas av stagningens inspänningsgrad. Vid full inspänning fås den största påverkan. Stagningsmetoder som ger full inspänning kan vara aktuell då vippningsrisken är hög. Vid värden på reduktionsfaktorn som ligger strax under ett, behöver staget inte ha full inspänning för att eliminera vippningsrisken. Istället kan staget betraktas som en fjäder och därigenom bidra med en tillräcklig stagning. 87

8. Referenser BSK 99. Boverkets konstruktionsregler, Boverket, Karlskrona. Colin, Peter. (1991). Vippning av stålbalkar i hallramar. Dr.-avh. Tekniska Högskolan i Luleå. Höglund. Torsten. (1994). Dimensionering av stålkonstruktioner, Utdrag ur Handboken Bygg, Kapitel K18 och K19. Stockholm. Höglund. Torsten. (006). Stabilitet för balkar och stänger. Att konstruera med stål, modul 6. Luleå. Isaksson T., Mårtensson A. och Thelandersson S. (010) Byggkonstruktion. :4 Uppl. Lund, Sverige. Johansson Bernt.(000) Klassisk stabilitetsteori. Stålbyggnad LTU. Luleå Johansson. Bernt. (006). Tvärsnittsbärförmåga, Att konstruera med stål, modul 5. Luleå. Lundin. Kurt (u.å). Knäckning. KTH-Byggkonstruktion Stålkonstruktion. Stockholm Lunds Universitet. (u.å) Konstruktionsmaterial, kap 5. Lund Norlin. Bert (u.å). Vippning av rent momentbelastade balkar Rubisson. Joakim (015). Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet för träpelare. Examensarbete. Lunds tekniska Högskola. SIS. (01). Samverkanskonstruktioner, Stål-Betong, Statens Stålbyggnadsinstitutet. Stockholm SS-EN 1993-1-1. (005) Eurokod 3 Dimensionering av stålkonstruktioner, Del 1-1: Allmänna regler och regler för byggnader, SIS Förlag AB SS-EN 1999-1-1. (005) Eurokod 9 Dimensionering av aluminiumkonstruktioner, Del 1-1: Allmänna regler, SIS Förlag AB StBK-K. (1973). Knäckning, vippning och buckling, Kommentarer till Stålbyggnadsnorm 70, Statens Stålbyggnadskommité, 88

BILAGOR BILAGA A - Tvärsnitt som beaktas Balken har ett svetsat tvärsnitt enligt Figur A1. Figur A1 - Tvärsnitt Höjden på balken: h 1 850mm Svetsens dimension: a 5mm Flänsens tvärsnitt: b fl 560mm t fl 40mm Livets tvärsnitt: d liv 1mm h liv h 1 t fl 770mm Tvärsnittets area beräknas enligt: A 1 b fl t fl aa h liv d liv 4 5.409 10 4 mm Tvärsnittets tyngdpunkt i styv riktning: y tp.1 t fl b fl t fl h 1 b fl t fl h 1 d liv h liv d liv h liv b fl t fl b fl t fl t fl 45mm A

Tröghetsmomentet för styv riktning beräknas enligt: 3 b fl t fl I 1.y = 1 t fl b fl t fl h 1 y tp.1 3 b fl t fl 1 3 d liv h liv 1 d liv h liv h 1 y tp.1 t fl b fl t fl h 1 y tp.1 = 7.81110 9 mm 4 Tvärsnittets tyngdpunkt i styv riktning: y tp.1.z b fl t fl b fl b fl d liv h liv b fl t fl b fl t fl d liv h liv b fl t fl b fl 80mm Tröghetsmomentet för vek riktning beräknas enligt: 3 t fl b fl I 1.z 6 1.171 10 3 m mm Materialegenskaper f y 355MPa E stål 10GPa Enligt EN 1993-:006 fås följande faktorer: γ M0 1.0 γ M1 1.1 Välvstyvheten I w beräknas enligt StBK-K (1973). I 3 o tfl b fl 1 5.854 10 4 m 4 I u I o h o I u I u I o h 1 t fl t fl t fl 0.405 m B

h u h o I w I o h o I u h u 1.9 10 14 mm 6 Vridstyvheten I t beräknas enligt StBK-K (1973). I t 1.1 1 3 3 b 3 fl t fl h liv d liv.677 10 7 mm 4 C

Bilaga B - Härledning enligt Energimetoden Kontroll av en fritt upplagd balk/gaffellagrad som är belastad med en utbredd last, se Figur B1. Balken är i den första kontrollen ostagad. Figur B1 - Balk Det yttre arbete för en balk med utbredd last och vridningsförhindrar vid upplagen (ϕ=0), enligt StBK-K, (1973): L H y = Mx ()ϕ u dx 0 L 1 aq ϕ dx 0 Det inre arbetet är enligt StBK-K, (1973): L 1 H i = B x z ( u ) d 0 L 1 C x td ( ϕ ) d 0 L 1 C x w ( ϕ ) d 0 L 1 0 iϕ dx Där C id = C M()t x y Där termen L 1 Mx ( ) t x y d 0 utgör ett tillskott till den yttre lastens potential. Figur B - Tvärsnitt I och med att tvärsnittet är symmetriskt, se Figur A, gäller följande: C id = C Den sista termen 1 L 0 iϕ dx anger den elastiska energin som lagras i stag längs balkaxeln. Staget förhindrar elastiskt balkens vridning. D

Vippning inträffar när den potentiala förändringen är: H = H i H y = 0 Följande upplagsförhållanden gäller: Tabell B1 - Deformationskomposanter Tabell B och B3 beskriver aktuella upplagsförhållanden som är relevanta för härledning utifrån energimetoden. Tabell B - Förskjutning i vek riktning Tabell B3 - Vridning Momentet beräknas, för en fritt upplagd balk, enligt: qx ( L x) Mx ( ) = Där x är den axel som går längs med balken. Vinklarna kan skrivas som: ϕ( x) = ϕ 0 sin π L x ϕ( x) ϕ( x) π = L ϕ 0cos π L x π = ϕ 0 sin π L L x Andraderivatan, ϕ( x), beskriver ett moment vilket gör att dess riktning är utan intresse. Därav kommer andraderivatan ändras från - till +, vid insättning i fortsatt härledning. E

Utböjning enligt: ux ( ) = u 0 sin π L x ux ( ) = π L u 0cos π L x ux ( ) π = u 0 sin π L L x Andraderivatan, ux ( ), beskriver ett moment vilket gör att dess riktning är utan intresse. Därav kommer andraderivatan ändras från - till +, vid insättning i fortsatt härledning. L H y = 0 qx ( L x) ϕ 0 sin π L x π u L 0sin π L x dx L 1 aq ϕ 0 sin π L x 0 dx L H y = 0 qx ( L x) π ϕ 0 u 0 sin L π L x dx L 1 aq ϕ 0 sin π L x 0 dx q π L ϕ 0 u 0 H y = x( L x) sin L 0 π L x dx L aq ϕ 0 0 sin π L x dx För att underlätta integreringen benämns vinkeln enligt följande: φ = π L x x = L π φ dx = L π dφ Vilket ger följande villkor: om x = 0 φ = 0 x = L φ = π Följande uppdelning vid integrering görs: L I = x( L x) sin 0 π L x dx F

Sätt att I=I 1 +I, där: L I 1 = xl sin 0 π L x dx och L I x sin π = x L x d 0 Vilket ger: L x( L x) sin 0 π L x L dx = xl sin 0 π L x L dx x sin 0 π L x dx Där första termen beräknas med ny beteckning på vinkel enligt: L I 1 = xl sin 0 π L x π dx = 0 L φ π φl sin L ( φ) d = π L 3 π φsin ( φ) dφ π 0 Enligt Partiell integrering fås: L 3 π I 1 = φsin ( φ) dφ = π 0 L 3 I 1 = π π 0 1 8 1 8 L 3 π π π L 3 π L 3 = = 4π 4 sin( π) 8 cos( π) 0 0 sin( 0) cos( 0) 8 och andra termen: L I = x sin 0 L 3 I = π 3 L 3 I = π 3 π L x π dx = 0 L π φ sin ( φ) 1 4 4π3 3 π sin( π) 6πcos( π) 1 4 4π3 6π L π L 3 π dφ = φ sin φ dφ π 3 0 1 L 3 1 = π 3 6 π3 1 4 π = L 3 1 6 sin 0 4 4 03 3 0 ( ) 6 0cos( 0) 1 4π G

L 3 I = I 1 I L 3 1 1 = 4 6 4π L 3 1 1 = 1 4π = 0.109L 3 Den andra termen i H y fås av: L 0 sin π L x dx 0.5 L Därmed blir: qπ ϕ 0 u 0 H y = L 3 0.109 L aq ϕ 0 L = qπ ϕ 0 u 0 ( L0.109) aq ϕ 0 L 4 För det inre arbetet fås, av samma villkor för moment, vinkel och utböjning: L 1 π H i = B z u L 0 sin π L x 0 dx L 1 C π L ϕ 0 cos π L x 0 dx L 1 π C w ϕ L 0sin π L x 0 dx L 1 iϕ 0 sin π L x 0 dx H i = π 4 B z u L 4 0 L 0 sin π L x dx C π ϕ L 0 L 0 cos π L x dx π 4 C w ϕ L 4 0 L 0 sin π L x dx iϕ 0 L 0 sin π L x dx H

Där: L 0 L 0 sin π L x cos π L x dx 0.5 L dx 0.5 L H i = π 4 B z u L 4 0 1 L C π ϕ L 0 1 L π 4 C w ϕ L 4 0 1 iϕ 0 L 1 L B z π 4 u 0 H i = 4L 3 C π ϕ 0 4L C w π 4 ϕ 0 4L 3 iϕ 0 L 4 Det totala arbetet bli: H = H i H y H = B z π 4 u 0 4L 3 C π ϕ 0 4L C w π 4 ϕ 0 4L 3 iϕ 0 L 4 qπ ϕ 0 u 0 ( L0.109) aq ϕ 0 L 4 Deriveras med avseende på den initiala utböjningen: dh du 0 qπ ϕ 0 B z π 4 u 0 = ( L0.109) = 0 L 3 Deriveras med avseende på den initiala vinkelförändringen: dh C π ϕ0 C w π 4 ϕ 0 iϕ 0 L qπ u 0 aq ϕ 0 L = ( L0.109) dϕ 0 L L 3 = 0 Därmed blir u 0 : qϕ 0 L 4 0.109 u 0 = B z π I

Vilket sätts in i: dh C π ϕ0 C w π 4 ϕ 0 iϕ 0 L qπ u 0 aq ϕ 0 L = ( L0.109) dϕ 0 L L 3 = 0 Enligt: C π ϕ 0 L C w π 4 ϕ 0 L 3 iϕ 0 L qπ qϕ 0 L 4 0.109 ( L0.109) B z π aq ϕ 0 L = 0 1/ϕ 0, och B z multipliceras med ovanstående uttryck, vilket ger: C π B z L C w π 4 B z L 4 q L 4 0.109 C π B z aq B z L q q ab z L 4 0.109 ib z q L 4 0.109 C π B z L L 4 0.109 aq B z = 0 C w π 4 B z ib z = 0 L 4 C w π 4 B z L 4 L 4 0.109 ib z = 0 L 4 0.109 Genom ovanstående andragradsekvation används p-q formeln för att få fram den kritiska lasten. Principen för p-q-formeln redovisas nedan. x px q = 0 ger att x p p p 1 = q och x = Den kritiska lasten: q = q = ab z L 4 0.109 ab z L 4 0.109 ab z L 4 0.109 B z C π 0.109 L 6 p C π B z q L L 4 0.109 a B z 1 4L 0.109 C π C w π 4 B z L 4 L 4 0.109 C w π CL ib z L 4 0.109 il Cπ J

q = ab z L 4 0.109 B z C π 0.109L 3 a B z 1 4L 0.109 C π C w π CL il Cπ Maximala momentet för en fritt upplagd balk med en jämn utbredd last enligt: ql M cr = 8 Insättning av den kritiska lasten q, beräknat enligt ovan: M cr = M cr = L ab z L L 6 0.109 8 ab z L 4 0.109 1 8 B z C B z C π 0.109L 3 π 0.109L a B z 1 4L 0.109 C π a B z 1 4L 0.109 C π C w π CL C w π CL il Cπ il Cπ M cr = ab z L 4 0.109 1 80.109 B z C π L a B z 1 4L 0.109 C π C w π CL il Cπ Definerar C 1, C och C 3 enligt följande: 1 C 1 1.147 80.109 a C = 4L 0.109 C π C 3 = ab y L 4 0.109 Ovanstående parametrar sätts in i formeln för M cr. Då angreppspunkten ligger i centrum blir a=0. Därmed förenklas formeln till: π M cr C 1 B z C C w π = 1 L CL il Cπ K

I det fall då balken är ostagad gäller att i=0. Följande formel för M. cr gäller: π M cr = C 1 B z C 1 L C w π CL För att få fram den utbredda kritiska lasten används återigen formeln för maximalt moment på en fritt upllagd balk belastad med en utbredd last: M cr 8 q cr = L q cr L 8 = C 1 π B z C 1 L C w π CL π C q cr 8C 1 B z C w π = L 3 1 CL π q cr = 8C 1 B z C 1 L 3 C w π CL il Cπ il Cπ il Cπ Enligt härledning med energimetoden för en fritt upplagd balk då lastens angreppspunkt ligger i centrum och balken är ostagad, blir det kritiska momentet: π M cr = C 1 B z C 1 L C w π CL Där: B z = EI z C = GI t Vilket ger: M cr = C 1 EI z GI t π 1 L C w π CL = π EI z GI t C L 1 1 C w π CL π EI z GI t M cr = C L 1 1 C w π CL L

Bilaga C - Beräkning av M cr enligt ENV1993 Det kritiska momentet beräknas enligt ENV 1993 (005) som följande: 0.5 M cr C 1 π EI 1.z I w L G It = L I 1.z π EI 1.z Reduktionsfaktor för vippning, EN 1993-1-1(005) 1 χ LT = ϕ LT ϕ LT λ LT 1.0 ϕ LT = 0.5 1 α LT λ LT 0. λ LT Imperfektionsfaktorn α LT får utifrån aktuell vippningskurva. Vippningskurvan väljs utifrån tabell 6.4 EN 1993-1-1 (005). För svetsat tvärsnitt, med följande förhållande mellan tvärsnittets höjd och bredd: h 1 1.518 b fl Tabell C1 - Imperfektionsfaktor Vippningskurva a b c d Imperfektionsfaktorn α LT 0,1 0,34 0,49 0,76 h 1 α LT α LT.c if b fl h 1 α LT.d if b fl fås följande imperfektionsfaktor α LT 0.49 Slankhetsparametern λ LT beräknas EN 1993-1-1 (005): λ LT = Wf y M cr M

Där M cr är det kritiska elastiska vippningsmomentet som baseras på bruttotvärsnittet. M cr tar hänsyn till lastförhållanden, den verkliga momentfördelningen och eventuell sidostagning och beräknas enligt Bilaga F ENV 1993-1-1 (005). Bron antas fritt upplagd och k antas vara 1.0. M cr = C 1 π EI 1.z L 0.5 I w L G It I 1.z π EI 1.z Vid utbredd last längs hela bron fås, enligt tabell F.1., ENV 1993-1-1 (005): C 1.utbredd 1.13 Vid punktlast placerad i mitten av bron fås, enligt tabell F.1., ENV 1993-1-1 (005): C 1.punktlast 1.365 Vid två punktlaster placerade en L/4 in från vardera stöd fås, enligt tabell F.1., ENV 1993-1-1 (005): C 1.punktlast 1.046 Utan stagning kommer följande längd beaktas: l LT L c 10 m M cr.1.utb.ostagad C 1.utbredd π E stål I 1.z l LT I w I 1.z l LT G1 I t π E stål I 1.z 0.5 13.87MNm N

Bilaga D - Beräkning av M cr enlig EN 1999 M cr beräknas enligt EN 1999-1-1 (005): π EI z GI t M cr = μ cr L c Där faktorn μ cr beräknas enligt: C 1 μ cr = 1 κ k wt z C ζ g C 3 ζ j Där faktorerna C har följande värden: C 1 = 1.13 C = 0.459 C 3 = 0.55 C ζ g C 3 ζ j Standardvillkoren ger, att då balken är förhindrad att förskjutas i sidled med fri att rotera i horisontalplanet kan k z sättas till: k z 1 Standardvillkoren ger, att då balken är förhindrad att rotera kring den längsgående axeln, kan k w s till: k w 1 Den dimensionslösa vridparametern, κ wt beräknas enligt: κ wt = π k w L c C w C Övriga avstånd och parametrar enligt följande, med utgångspunkt från Figur D1: Figur D1 - Tvärsnitt O

Där z a är korrdinaten för lastangreppspunkten med avssende på tyngdpunkten, z s är koordinaten fö skjuvcentrum med avseende på tyngdpunkten och z g är koordinaten för lasnangreppspunkten med avseende på skjuvcentrum. I och med att tvärsnittet är symmetrisk fås: z s = 0 Lasten antas angripa i centrum av balken, därmed fås: z g = 0 Därmed blir den relativa koordinaten för lastangreppspunkten i förhållande till skjuvcentrum: ζ g = πz g k z L c B z C För ett symmetriskt tvärsnitt kan z j sättas till noll: z j = 0 Därmed blir: ζ j = πz j k z L c B z C Därmed blir det relativa kritiska momentet μ cr enligt: C 1 μ cr = 1 κ k wt z Vilket leder till att M cr är: π EI z GI t M cr = μ cr L c Det vill säga: C ζ g C 3 ζ j C ζ g C 3 ζ j M cr = C 1 π L c B z C 1 π C w L c C P

Bilaga E - Beräkning av M cr enligt StBK-K Enligt StBK-K. (1973) fås det kritiska momentet: B z C M kr = m 1 L κ π ( kl ) För en fritt upplagd balk kommer faktorn κ, enligt tabell 4:311a i StBK-K (1973) sättas till: κ = 1 vilket ger att: κ v 1 Faktorn m är beroende av balkens utformning, belastning och gränsvillkor. Utformningens inverkan beskrivs med parametern kl och β. kl beskriver balkens verkningssätt vid vridning med förhindrad tvärsnittsvälvning. För en balk som upptar vridande moment endast genom flänsböjning sätts kl=0. Då en balk har ett välvningsfritt tvärsnitt sätts kl=. Parametern β beskriver inverkan på osymmetri. För symmetriska tvärsnitt sätts β=0. kl = L C C w β = t y B y C w I figur 4:31 i StBK-K (1973) fås faktorn m genom att ta fram parametrarana γ och kl och därefter avläsa i diagrammet. β 0 Figur E1 - Tvärsnitt och teckenförklaring Q

a v beskriver avståndet mellan skjuvcentrum och lastens angreppspunkt. Då lasten angriper ovan balk fås följande: h 1 a v 0.45 m h t är avståndet mellan flänsarnas tyngdpunkter: t fl h t h 1 0.81 m γ a v 0.55 h t Enligt tidigare beräkningar fås: C.168 10 9 knmm C w. 4.033 10 10 m knmm Från diagram fås: C k L L c.319 C w. Vilket ger att: m 0 Den kritiska utbredda lasten fås: m v q kr B 3 z C v 1 L c κ v π k L 0.778 MN m Slutligen blir det kritiska momentet, då lastangreppspukten är ovan balk: q kr L c M kr 8 9.7MNm Ett alternativ är att beakta lasten då den angriper skjuvcentrum. Följande faktorer ändras: a v 0 γ a v 0 h t m v. 8 R

Därmed fås den kritiska utbredda lasten enligt: m v. q kr B 3 z C v 1 L c κ v π k L 1.089 MN m Det kritiska momentet då lasten antas angripa i skjvcentrum: q kr L c M kr 8 13.608MNm S

Bilaga F - Beräkning av M cr enligt LTBeam Det kritiska momentet beräknas även utifrån programmet LTBeam (01). Första steget i programmet är att definiera tvärsnittet, se Figur F1. Figur F1 - Tvärsnittsdata, LTBeam Därefter bestäms upplagsförhållanden för balken. Parametrarnas benämning förklaras i Figur F. Figur F Beskrivning av beteckning av upplagsförhållanden En fritt upplagd balk har upplagsförhållanden enligt Figur F3. Balken kommer vid stöden att vara hindrad från horisontell förflyttning och vridning. Därmed sätts u och θ till fixed. T

Figur F3 Upplagsförhållanden Det sista steget är att definiera lasten som påverkar tvärsnittet, enligt figur ( ). Balken påverkas av en jämnt utbredd last. Denna last sätts för tillfället till 10kN/m, då detta inte påverkar storleken på M cr. Så länge lasten är tillräckligt stor för att risk för vippning ska infinna sig, kommer M cr att vara av samma storlek. Figur F4 redovisar även moment- och tvärkraftsdiagram. Figur F4 Lastförhållanden Programmet beräknar därmed ut M cr utifrån aktuella förhållanden, se Figur F5 LTBeam (015) redovisar återigen balkens moment- och tvärkraftsdiagram. I Figur F5 redovisas även deformationskurvan. U

Figur F5 - Kritiskt moment Då lasten istället angriper ovan balk regleras värdena enligt Figur F6. Figur F6 Lasten angriper ovan balk V

Figur F7 visar resultatet för det kritiska momentet. Figur F7 Kritiskt moment med lastens angreppspunkt ovan balk X