Några feta resultat av Gauss och ett mindre fett som har hans namn

Relevanta dokument
Lösningar till udda övningsuppgifter

Manipulationer av algebraiska uttryck

MA2047 Algebra och diskret matematik

Finaltävling i Uppsala den 24 november 2018

TATM79: Föreläsning 3 Komplexa tal

Uppsalas Matematiska Cirkel. Geometriska konstruktioner

INDUKTION OCH DEDUKTION

Geometriska konstruktioner

Explorativ övning euklidisk geometri

Faktorisering av polynomuttryck har alltid utgjort en väsentlig del av algebran.

2 (6) k 0 2 (7) n 1 F k F n. k F k F n F k F n F n 1 2 (8)

Polynom över! Till varje polynom hör en funktion DEFINITION. Grafen till en polynomfunktion

Svar och lösningar. Kängurutävlingen 2009 Cadet för gymnasiet

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

2 Matematisk grammatik

Explorativ övning euklidisk geometri

10! = =

Explorativ övning 5 MATEMATISK INDUKTION

(A B) C = A C B C och (A B) C = A C B C. Bevis: (A B) C = A C B C : (A B) C = A C B C : B C (A B) C A C B C

Konstruktionen av en regelbunden 17-hörning

Övningshäfte 3: Polynom och polynomekvationer

Uppföljning av diagnostiskt prov Repetition av kursmoment i TNA001-Matematisk grundkurs.

Hela tal LCB 1999/2000

2. 1 L ä n g d, o m k r e t s o c h a r e a

Minstakvadratmetoden

Explorativ övning 11 GEOMETRI

Linjära ekvationssystem. Avsnitt 1. Vi ska lära oss en metod som på ett systematiskt sätt löser alla linjära ekvationssystem. Linjära ekvationssystem

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

Gausselimination fungerar alltid, till skillnad från mer speciella metoder.

Bonusmaterial till Lära och undervisa matematik från förskoleklass till åk 6. Ledning för att lösa problemen i Övningar för kapitel 5, sid

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

PLANGEOMETRI I provläxa med facit ht18

Euklides algoritm för polynom

POLYNOM OCH POLYNOMEKVATIONER

Algebrans fundamentalsats

Läsanvisningar till kapitel 4

M0043M Integralkalkyl och Linjär Algebra, H14, Linjär Algebra, Föreläsning 11

ALA-a Innehåll RÄKNEÖVNING VECKA 7. 1 Lite teori Kapitel Kapitel Kapitel Kapitel 14...

MATEMATISK INDUKTION. Syftet med denna övning är att introducera en av de viktigaste bevismetoderna i matematiken

Kurvanpassning. Kurvanpassning jfr lab. Kurvanpassning jfr lab

Vektorgeometri för gymnasister

Analys o Linjär algebra. Lektion 7.. p.1/65

Polynomekvationer (Algebraiska ekvationer)

MA2047 Algebra och diskret matematik

Rekursionsformler. Komplexa tal (repetition) Uppsala Universitet Matematiska institutionen Isac Hedén isac

Linjär algebra F1 Ekvationssystem och matriser

Resträkning och ekvationer

Mattestegens matematik

SKOLORNAS MATEMATIKTÄVLING Svenska Matematikersamfundet. Lösningsförslag till naltävlingen den 20 november 2004

Enklare matematiska uppgifter

Sats 2.1 (Kinesiska restsatsen) Låt n och m vara relativt prima heltal samt a och b två godtyckliga heltal. Då har ekvationssystemet

8.5 Minstakvadratmetoden

Matematik 5 Kap 2 Diskret matematik II

Undersökande arbetssätt i matematik 1 och 2

Del 1: Statistik, kombinatorik och sannolikhetslära.

1. Ekvationer 1.1. Ekvationer och lösningar. En linjär ekvation i n variabler x 1,..., x n är en ekvation på formen. 2x y + z = 3 x + 2y = 0

TATM79: Föreläsning 1 Notation, ekvationer, polynom och summor

Detta prov består av del 1 och 2. Här finns också facit och förslag till poängsättning

Högstadiets matematiktävling 2016/17 Finaltävling 21 januari 2017 Lösningsförslag

Referens :: Komplexa tal

Räknare får inte användas i den här delen. Skriv ner beräkningar eller motiveringar till varje uppgift, ifall ingenting annat uppges.

Komplexa tal: Begrepp och definitioner

Vectorer, spannet av vektorer, lösningsmängd av ett ekvationssystem.

Provet består av Del I, Del II, Del III samt en muntlig del och ger totalt 76 poäng varav 28 E-, 24 C- och 24 A-poäng.

Bagarmossens skolas kravnivåer beträffande tal och talens beteckningar som eleven ska ha uppnått efter:

Läsanvisning till Discrete matematics av Norman Biggs - 5B1118 Diskret matematik

LINJÄR ALGEBRA II LEKTION 6

Uppsala Universitet Instutionen för pedagogik, didaktik och utbildningsstudier Matematik 2, Ht 2014 Tilde Henriksson, Hannah Kling, Linn Kristell

Nationella strävansmål i matematik. Skolan skall i sin undervisning i matematik sträva efter att eleven

Gaussiska primtal. Christer Kiselman. Institut Mittag-Leffler & Uppsala universitet

Mätning och geometri

Explorativ övning Geometri

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

Geometri och statistik Blandade övningar. 1. Vid en undersökning av åldern hos 30 personer i ett sällskap erhölls följande data

1.1 MATLABs kommandon för matriser

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Tisdagen den 15 december, 2009

Exempel. Komplexkonjugerade rotpar

y º A B C sin 32 = 5.3 x = sin 32 x tan 32 = 5.3 y = tan 32

Enklare uppgifter, avsedda för skolstadiet

Aktivitetsbank. Matematikundervisning med digitala verktyg II, åk 7-9. Ulrihca Malmberg, Maria Johansson, Ulrica Dahlberg

Explorativ övning Geometri

Extramaterial till Matematik Y

Explorativ övning Geometri

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Thomas Erlandsson

Taluppfattning och problemlösning

Känguru 2013 Junior sida 1 / 8 (gymnasiet åk 1) i samarbete med Jan-Anders Salenius vid Brändö gymnasium

Vektorgeometri för gymnasister

Matematikboken Gamma. Facit till Bashäfte. Facit Matematikboken Gamma Bashäfte Författarna och Liber AB Får kopieras 1

Bisektionsalgoritmen. Kapitel Kvadratroten ur 2

1, 2, 3, 4, 5, 6,...

SF1661 Perspektiv på matematik Tentamen 20 oktober 2011 kl Svar och lösningsförslag

Institutionen för matematik och datavetenskap Karlstads universitet. GeoGebra. ett digitalt verktyg för framtidens matematikundervisning

HEM KURSER SKRIV UT HEM ÄMNE SKRIV UT

Moment Viktiga exempel Övningsuppgifter

Avd. Matematik VT z = 2 (1 + 3i) = 2 + 6i, z + w = (1 + 3i) + (1 + i) = i + i = 2 + 4i.

Parabeln och vad man kan ha den till

Moment 5.5 Övningsuppgifter I 5.60a. 5.60b, 5.60.c, 61

TATA42: Föreläsning 7 Differentialekvationer av första ordningen och integralekvationer

Kängurun Matematikens hopp

Induktion, mängder och bevis för Introduktionskursen på I

Transkript:

Några feta resultat av Gauss och ett mindre fett som har hans namn Spyken, Lund 2 september 2012

Gausselimination 1 Gausselimination är en central teknik som används för att på ett systematiskt sätt lösa linjära ekvationssystem.

Gausselimination 1 Gausselimination är en central teknik som används för att på ett systematiskt sätt lösa linjära ekvationssystem. 2 Metoden härrör inte från Gauss utan var känd för ett par tusen år sedan, åtminstone i Kina.

Gausselimination 1 Gausselimination är en central teknik som används för att på ett systematiskt sätt lösa linjära ekvationssystem. 2 Metoden härrör inte från Gauss utan var känd för ett par tusen år sedan, åtminstone i Kina. 3 Även om metoden är användbar, är den egentligen för sketen för att knytas till Gauss namn.

Gausselimination 1 Gausselimination är en central teknik som används för att på ett systematiskt sätt lösa linjära ekvationssystem. 2 Metoden härrör inte från Gauss utan var känd för ett par tusen år sedan, åtminstone i Kina. 3 Även om metoden är användbar, är den egentligen för sketen för att knytas till Gauss namn. 4 Följande resultat är det lite mer tryck i (och de kommer verkligen från Gauss)!

Algebrans fundamentalsats 1 Gauss visade i sin doktorsavhandling 1799 att varje polynom, med komplexa koefficienter, har minst ett nollställe bland de komplexa talen.

Algebrans fundamentalsats 1 Gauss visade i sin doktorsavhandling 1799 att varje polynom, med komplexa koefficienter, har minst ett nollställe bland de komplexa talen. 2 Med andra ord, givet ett polynom p(z) = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 där a i C finns w C sådant att p(w) = 0.

Algebrans fundamentalsats 1 Gauss visade i sin doktorsavhandling 1799 att varje polynom, med komplexa koefficienter, har minst ett nollställe bland de komplexa talen. 2 Med andra ord, givet ett polynom p(z) = a n z n + a n 1 z n 1 +... + a 1 z + a 0 där a i C finns w C sådant att p(w) = 0. 3 T.ex. har ekvationen z 34 + 3z 13 + 4z 4 5z 3 + z 3 = 0 minst en lösning. I själva verket har ekvationen 34 lösningar!

Konstruktion av regelbunden 17-hörning 1 De gamla grekerna gjorde sina geometriska konstruktioner med hjälp av passare och ograderad linjal. En sysselsättning var att konstruera regelbundna månghörningar.

Konstruktion av regelbunden 17-hörning 1 De gamla grekerna gjorde sina geometriska konstruktioner med hjälp av passare och ograderad linjal. En sysselsättning var att konstruera regelbundna månghörningar. 2 Grekerna kunde göra regelbunden 3-hörning (triangel), 4-hörning (kvadrat), 5-hörning (pentagon) men på t.ex. 7-hörningen och 11-hörningen gick de bet (man kan inse att de kritiska figurerna är primtalshörningar och fyrhörning).

Konstruktion av regelbunden 17-hörning 1 De gamla grekerna gjorde sina geometriska konstruktioner med hjälp av passare och ograderad linjal. En sysselsättning var att konstruera regelbundna månghörningar. 2 Grekerna kunde göra regelbunden 3-hörning (triangel), 4-hörning (kvadrat), 5-hörning (pentagon) men på t.ex. 7-hörningen och 11-hörningen gick de bet (man kan inse att de kritiska figurerna är primtalshörningar och fyrhörning). 3 Gauss redde ut precis vilka regelbundna månghörningar som kan konstrueras och i princip också och hur man gör. Det visade sig att 7- och 11-hörningarna är omöjliga medan man t.ex kan konstruera en 17-hörning (och en 257-hörning och en 65537-hörning).

Theorema Egregium 1 Theorema Egregium betyder det märkvärdiga teoremet, och namnet antyder dess betydelse. Påståendet, som Gauss visade, är ungefär:

Theorema Egregium 1 Theorema Egregium betyder det märkvärdiga teoremet, och namnet antyder dess betydelse. Påståendet, som Gauss visade, är ungefär: 2 Om man deformerar en yta så att avstånd och vinklar INTE förändras, så ändras inte heller (Gauss)krökningen.

Theorema Egregium 1 Theorema Egregium betyder det märkvärdiga teoremet, och namnet antyder dess betydelse. Påståendet, som Gauss visade, är ungefär: 2 Om man deformerar en yta så att avstånd och vinklar INTE förändras, så ändras inte heller (Gauss)krökningen. 3 En konsekvens av detta är att man omöjligen kan göra en korrekt plan karta av jordklotet (vinklar eller avstånd förstörs ).

Theorema Egregium 1 Theorema Egregium betyder det märkvärdiga teoremet, och namnet antyder dess betydelse. Påståendet, som Gauss visade, är ungefär: 2 Om man deformerar en yta så att avstånd och vinklar INTE förändras, så ändras inte heller (Gauss)krökningen. 3 En konsekvens av detta är att man omöjligen kan göra en korrekt plan karta av jordklotet (vinklar eller avstånd förstörs ). 4 En annan konsekvens är att man äter pizzaslicar som man gör!

Kvadratisk reciprocitet 1 Gauss ska ha kallat detta resultat för det gyllene teoremet och han publicerade flera bevis.

Kvadratisk reciprocitet 1 Gauss ska ha kallat detta resultat för det gyllene teoremet och han publicerade flera bevis. 2 Vi får nöja oss med ett exempel för att illustrera. Utgå från ett primtal p som ger resten 1 vid division med 4, säg p = 5, och låt q vara ett godtyckligt primtal, säg q = 41.

Kvadratisk reciprocitet 1 Gauss ska ha kallat detta resultat för det gyllene teoremet och han publicerade flera bevis. 2 Vi får nöja oss med ett exempel för att illustrera. Utgå från ett primtal p som ger resten 1 vid division med 4, säg p = 5, och låt q vara ett godtyckligt primtal, säg q = 41. 3 Finns det något kvadrattal n 2 sådant att n 2 5 är delbart med 41? Ja, precis om det finns ett kvadrattal m 2 sådant att m 2 41 är delbart med 5.

Kvadratisk reciprocitet 1 Gauss ska ha kallat detta resultat för det gyllene teoremet och han publicerade flera bevis. 2 Vi får nöja oss med ett exempel för att illustrera. Utgå från ett primtal p som ger resten 1 vid division med 4, säg p = 5, och låt q vara ett godtyckligt primtal, säg q = 41. 3 Finns det något kvadrattal n 2 sådant att n 2 5 är delbart med 41? Ja, precis om det finns ett kvadrattal m 2 sådant att m 2 41 är delbart med 5. 4 Eftersom m = 4 duger (4 2 41 = 25) så finns n. Kan ni se vilket tal n kan vara?

Carl Friedrich Gauss, 1777-1855