Axiom för de reella talen

Axiom för de reella talen Sara Maad Sasane Matematikcentrum Lunds universitet 28 augusti 2017

1 Kroppsaxiomen (räknelagar) 2 Ordningsaxiomen 3 Axiomet om övre gräns

Kroppsaxiomen del 1 Axiom (Kroppsaxiomen) R är en mängd med två operationer, addition + och multiplikation som uppfyller + (K1) Associativitet För alla x, y, z R, x +(y +z) = (x +y)+z. (K2) Nolla För alla x R, x + 0 = 0+x = x. (K3) Negation/ För alla x R, existerar x R additiv invers sådant att x +( x) = 0 = x +x. (K4) Kommutativitet För alla x,y R, x +y = y +x.

Axiom (Kroppsaxiomen, forts.) Kroppsaxiomen del 2 (K5) Associativitet För alla x, y, z R, x (y z) = (x y) z. (K6) Etta 1 0 och för alla x R, x 1 = x = 1 x. (K7) (Multiplikativ) För alla x R\{0}, så existerar 1 invers x R sådant att x 1 x = 1 x x = 1. (K8) Kommutativitet För alla x, y R, x y = y x. { (K9) Distributivitet För alla x,y,z R, +, x (y +z) = x y +x z.

Härledningar av andra räknelagar Med hjälp av dessa kan man (med en hel del arbete) härleda alla de andra vanliga räknelagarna, d.v.s. de som står i Månsson Nordbeck, sid. 9-12 (addition, subtraktion, multiplikation, division). T.ex. gäller även (x +y) z (K8) = z (x +y) (K9) = z x +z y (K8) = x z +y z. Vi kommer inte att kräva att ni kan härleda dessa räknelagar från kroppsaxiomen. Det räcker att veta att det är möjligt. Ni behöver inte heller memorera axiomen.

Ordningsaxiomen Ordningsaxiomen gör så att vi kan jämföra reella tal med varandra, med relationerna <, >, och. Mängden P nedan representerar de positiva reella talen. Axiom (Ordningsaxiomen) Det finns en delmängd P av R sådan att (O1) Om x,y P så gäller x +y P och x y P. (O2) För alla x R gäller precis ett av följande alternativ: (i) x = 0, (ii) x P, (iii) x P.

Ordningsaxiomen, forts. Mängden P i ordningsaxiomen representerar som sagt de positiva talen. Nu kan vi definiera >, <, och enligt följande: Definition Vi säger att x > y om x y P, x < y om y x P, x y om x > y eller x = y, x y om x < y eller x = y.

Övre begränsning Axiomet om övre gräns är det axiom som skiljer R från Q. Lägg märke till att både kroppsaxiomen och ordningsaxiomen är uppfyllda för såväl R som Q. Vi behöver lite terminologi för att kunna formulera axiomet. Definition Låt A vara en delmängd av R. Ett tal M som uppfyller M x för alla x A sägs vara en övre begränsning till A. Om det finns ett sådant tal M så säger vi att A är uppåt begränsad. Lägg märke till att en övre begränsning i allmänhet inte är unik. T ex har mängden {1,2,3} många övre begränsningar (alla tal 3 duger).

Axiomet om övre gräns Axiom Varje icketom, uppåt begränsad delmängd av R har en minsta övre begränsning (som ligger i R). Exempel En minsta övre begränsning till {1,2,3} är 3. Exempel Låt A = {x R x 2 2}. Enligt Axiomet om övre gräns har A en minsta övre begränsning. Övertyga dig själv om att detta tal måste vara 2. Det går att använda detta exempel för att visa att axiomet om övre gräns inte är uppfyllt om R ersätts med Q.

Avslutning Avslutningsvis vill jag nämna att namnet Axiomet om övre gräns kommer från att ett annat namn för minsta övre begränsning är just övre gräns. Materialet fråna denna presentation kommer huvudsakligen från [1]. Axiomet om övre gräns presenteras även i [2]. Med axiomen i detta material har vi listat de egenskaper som vi vill att R ska ha. En annan fråga är om det existerar en mängd med alla de egenskaperna. Det visar sig att så är fallet, och att det går att konstruera R med hjälp av Q. En sådan konstruktion ges i [3], men det faller utanför ramarna för denna kurs.

References Amol Sasane, The how and why of one variable calculus. Wiley, 2015. Jonas Månsson och Patrik Nordbeck, Extramaterial till boken Endimensionell analys. http://studentlitteratur.se/endim Walter Rudin, Principles of mathematical analysis, McGraw Hill, 1976.