ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM KAL JONSSON Nyckelord och innehåll Distributionsteori Det är bra om du Inofficiella mål (M) vet att stödet av en funktion ϕ(x) definieras som supp(ϕ) = {x : ϕ(x) }, dvs (tillslutningen av) den mängd där funktionen ϕ är nollskild på. ϕ har kompakt stöd om supp(ϕ) är en kompakt mängd, eller med andra ord om ϕ(x) är identiskt lika med noll för tillräckligt stora värden på x, identiskt noll långt borta. (M2) vet att mängden E = C (), mängden av testfunktioner, innehåller alla oändligt deriverbara funktioner ϕ : C. (M3) vet att en funktion χ(x) kallas tempererad om den växer långsammare än något polynom, alltså det finns heltal n och konstant C > så att χ(x) C( + x ) n för alla x. () (M4) vet att mängden med multiplikatorfunktioner M innehåller alla oändligt deriverbara funktioner χ : C som är tempererade samt att godtycklig derivata χ (k), k, också är tempererad, dvs godtycklig derivata ska växa långsammare än något polynom. (M5) vet att mängden av testfunktioner med kompakt stöd D = C () innehåller alla funktioner ϕ E som har kompakt stöd. (M6) vet att Schwartzklassen S innehåller de funktioner ϕ: C som är oändligt deriverbara och som uppfyller att för alla n, k så finns en konstant C n,k sådan att, ( + x ) n ϕ (k) (x) godtyckligt polynom godtycklig derivata C n,k, x. (2) Intuitivt så betyder detta att godtycklig derivata av ϕ (parametern k) kan multipliceras med godtyckligt polynom (tänk på ( + x ) n som ett polynom i detta fall) och resultatet är ändå begränsat för alla x. Eller: funktionerna i Schwartzklassen går mot snabbare än (/polynom) för godtyckligt polynom då x. (M7) vet att konvergens av Schwartzfunktioner i S av en följd av funktioner {ϕ j } j= till en funktion ψ S definieras som att för alla heltal n, k så gäller max x ( + x )n ϕ (k) j (x) ψ (k) (x) då j, (3) vilket man kan tänka på som att godtycklig derivata ska konvergera likformigt mot gränsfunktionens motsvarande derivata (parametern k) även efter multiplikation med godtyckligt polynom (parametern n). (M8) vet att mängden av tempererade distributioner S är alla avbildningar f : S C från Schwartzklassen S till de komplexa talen C som uppfyller följande villkor (a) linearitet: f[c ϕ + c 2 ϕ 2 ] = c f[ϕ ] + c 2 f[ϕ 2 ]; Institutionen för matematik, KTH, SE- 44, Stockholm, Sweden E-mail address: karljo@kth.se. Date: december 28.
2 ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM (b) kontinuitet: om ϕ j ψ i S så medför detta f[ϕ j ] f[ψ] i C då j (antar konvergens av input, dvs konvergens av Schwartzfunktioner och vill då härleda konvergens av output, dvs konvergens av komplexa tal). (M9) vet att om g : C är en lokalt integrerbar funktion ( K g dx är ändligt för alla kompakta mängder K) som växer långsammare än något polynom (dvs en tempererad funktion) så definierar denna funktion g en tempererad distribution T g enligt formeln T g [ϕ] := g(x)ϕ(x) dx, (4) dvs många av våra vanliga funktioner definierar tempererade distributioner. (M) vet att alla tempererade distributioner är deriverbara och derivatan f av en distribution f S definieras enligt f [ϕ] := f[ϕ ]. Derivatan f är också en tempererad distribution, dvs f S. Detta betyder alltså att alla tempererade distributioner är oändligt deriverbara. (M) vet att en muliplikatorfunktion χ M och en distribution f S kan multipliceras och ge en ny distribution enligt följande definition (χf)[ϕ] := f[χϕ]. (5) (M2) kan använda produktregeln, om χ M och f S så gäller, precis som vi väntat oss, att (χf) = χ f + χf. (6) (M3) vet att Fouriertransformen ϕ av en Schwartzfunktion ϕ också är en Schwartzfunktion, dvs ϕ S om ϕ S. (M4) vet att man kan Fouriertransformera en tempererad distribution f S enligt formeln f[ϕ] = f[ ϕ], (7) vilket alltså betyder att alla tempererade distributioner kan Fouriertransformeras. (M5) vet följande exempel på tempererade distributioner δ a [ϕ] ϕ(a), (diracs delta distribution, modellera punktlast) (8) δ a[ϕ] δ[ϕ ] = ϕ (a), (derivata av δ-funktionen, modellera punktmoment) (9) H[ϕ] T g [ϕ] (P.V. )[ϕ] lim t ɛ + \[ ɛ,ɛ] ϕ(t) dt, (Heavisides funktion, derivatan av denna är δ a ) () g(t)ϕ(t) dt, (distribution inducerad från lokalt integrerbar och tempererad funktion g) () ϕ(t) dt. (2) t Obs! Detta är ett försök att bryta ned kursmålen i mindre och mer konkreta bitar. Målen ovan är inte officiella för kursen, utan ett förslag till hur man kan tänka.
ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM 3 Exempel och uppgifter (U) Vilka av följande funktioner tillhör Schwartzklassen S? Vilka tillhör M? Vilka tillhör D? Vilka tillhör E?: e x2, (3) e x 5, (4) sin(x 2 ), (5) x n (n positivt heltal), (6) /( + x 2 ). (7) Första är med i alla klasser förutom D. Andra är inte med i någon av klasserna ty ej oändligt deriverbar. Tredje, fjärde och femte är med i E och M men ej övriga. Derivator av sin(x 2 ) kommer att vara 2x cos(x 2 ) sedan 2 cos(x 2 ) 4x 2 sin(x 2 ), sedan 4x sin(x 2 ) 8x sin(x 2 ) 8x 3 cos(x 2 ) (tror jag), men mönstret är p(x) cos(x 2 ) + q(x) sin(x 2 ), där p och q är polynom, dvs dessa derivator växer långsammare än något polynom. Alltså sin(x 2 ) M. Extra diskussion Funktionen e x2 är med i E men ej i övriga. Låt oss definiera g(x) = e /x för x > och g(x) = för x. Denna funktion är C, men har inte kompakt stöd. Vi skapar en funktion med kompakt stöd från denna. Ta nu och skjut g åt vänster ett steg, g(x + ). Gör en ny variant flippa denna funktion, g( x), och skjut sedan åt höger ett steg, g( (x )) = g( x + ). Definiera nu h(x) = g(x + )g( x + ). Denna funktion får följande utseende: { exp( h(x) = x+ ) exp x = exp( ) x (, ) x 2 (8) annars. Detta är en funktion i D, dvs oändligt deriverbar med kompakt stöd, supp(h) = [, ]. (U2) Vilka av följande funktioner kan tolkas som tempererade distributioner i S?: e 2x, (9) e 2x, (2) e 2x H(x), (2) e 2x H(x), (22) e sin(x), (23) (x 2 ) 3. (24) De tre sista definierar tempererade distributioner, via formeln (kalla en sådan funktion för g(x)), T g [ϕ] g(x)ϕ(x) dx. (25) I (U4) nedan visar vi att sådan konstruktion av tempererade distributioner är ok. Notera att dessa funktioner g ej behöver vara C, de behöver inte ens vara kontinuerliga, det räcker med att dem är lokalt integrerbara (vilket innebär att integralen K g(x) dx finns för varje sluten och begränsad mängd K) och växer långsammare än något polynom då x, dvs lokalt integrerbara samt tempererade. Alla funktioner ovan är lokalt integrerbara. Är funktionen /x lokalt integrerbar? (svar: nej). De tre översta exemplena växer för snabbt åt något av hållen x eller x. Notera att sista exemplet är en funktion som växer mot obegränsat då x ±, men definierar ändå en tempererad distribution (ty den växer långsammare än något polynom).
4 ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM (U3) Argumentera för att D S M E betraktat som mängder. Detta borde vara klart. Alla funktioner i D och dess derivator avtar snabbare än /polynom för alla polynom, (eftersom de funktionerna faktiskt blir identiskt lika med långt bort), alltså D S. Alla funktioner i S avtar ju mot (väldigt snabbt) då x, alltså växer de faktiskt långsammare än något polynom, alltså S M. Och M E per definition. (U4) Vilka av följande avbildningar är linjära? Vilka är kontinuerliga från S till C? Vilka definierar tempererade distributioner? (a) f [ϕ] = (2x2 + 3)ϕ (x) dx, (b) f 2 [ϕ] = ex ϕ(x) dx, (c) f 3 [ϕ] = (ϕ()) 2. Den första är uppenbart linjär, f [a ϕ +a 2 ϕ 2 ] = a f [ϕ ]+a 2 f [ϕ 2 ]. För att undersöka kontinuitet så antar vi att vi har en följd av Schwartzfunktioner ϕ j som konvergerar till ψ i S, alltså vi antar att vi har givet en följd av funktioner ϕ j sådana att för varje n och k så gäller att max x ( + x )n ϕ (k) j (x) ψ (k) (x) då j. (26) Märk här att antagandet är starkt, vi antar att vissa gränsvärden blir då j för varje n och k. Detta är alltså något som vi antar och inte som vi behöver visa eller nödvändigtvis använda oss av. Vi vill ju nu visa att f [ϕ j (x)] f [ψ(x)] då j, dvs att vi har konvergens av output om input konvergerar. Vi betraktar nu absolutbeloppet av skillnaden: f [ϕ j (x)] f [ψ(x)] och visar att detta går mot då j. Följande omskrivning och synsätt kan vara bra i fall (a) ovan: f [ϕ j ] f [ψ] () (2) = (3) max x ( 2x2 + 3 ( + x ) något polynom (typ) 2x 2 + 3 ( + x ) ( + x ) ϕ ϕ } {{ } tal som går mot då j 2x 2 + 3 ϕ j (x) ψ (x) dx (27) j (x) ψ (x) dx (28) j (x) ψ (x) ) ( + x ). (29) } {{ } ändligt tal Klart, eller om du försöker förklara för någon varför alla numrerade relationer ovan håller så är vi klara. Detta visar alltså att f definierar en tempererad distribution. Varken f 2 eller f 3 definierar tempererade distributioner. För f 3 så gäller inte linjaritet. För f 2 så är vi inte ens garanterade att f 2 [ϕ] är ett ändligt tal för alla val av ϕ. Det visar sig dock att f 2 är en distribution (vilket är ett vidare begrepp jämfört med vad en tempererad distribution är: dvs om vi tar ϕ D istället för ϕ S så ser vi att f 3 en distribution, tänk så här: klassen av funktioner D är mindre (mer speciell) än klassen S, detta innebär att testfunktioner på denna klass kommer att vara fler). (U5) Visa att x 2 δ = 6δ. (a) Hur definieras δ-distributionen, vad är δ[ϕ]? (b) Hur definieras derivatan av en distribution? Vad är δ [ϕ]? (c) Hur definieras multiplikation av en tempererad funktion och en distribution? Vad är (x 2)δ[ϕ]? (Svar: = 2δ[ϕ], varför?) (d) Förklara och fyll i kedjan x 2 δ [ϕ] (4) = δ [x 2 ϕ] (5) = δ [2xϕ + x 2 ϕ ] =... (6) = 6ϕ () (7) = 6δ [ϕ]. (3)
ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM 5 (U6) Bevisa följande formel, där f M, f(x)δ (x a) = f(a)δ (x a) f (a)δ(x a). (3) (U7) Hitta ett enklare uttryck för χ(t)δ a (t), χ(t)δ a(t) samt χ(t)δ a(t) där χ är en C 2 -funktion. (Vi definierar δ a [ϕ] = ϕ(a)) Formeltrollande, bara använda definitionerna. Kom ihåg att sätta en testfunktion ϕ efter och sedan använda räknereglerna. Vi gör första och sista så kan du göra den mittersta själv. alltså χδ a [ϕ] = δ a [χϕ] = χ(a)ϕ(a) = χ(a)δ a [ϕ], (32) χ(t)δ a (t) = χ(a)δ a (t). (33) alltså χδ a[ϕ] = δ a[χϕ] = δ a[χ ϕ + χϕ ] = δ a [χ ϕ + 2χ ϕ + χϕ ] = (34) χ (a)ϕ(a) + 2χ (a)ϕ (a) + χ(a)ϕ (a) = χ (a)δ a [ϕ] 2χ (a)δ a[ϕ] + χ(a)δ a[ϕ] (35) χ(t)δ a(t) = χ (a)δ a (t) 2χ (a)δ a(t) + χ(a)δ a(t). (36) (U8) Visa att om ϕ S så är även ϕ S. Är det även sant att en antiderivata av en testfunktion i Schwartzklassen S också ligger i S? (U9) Finn första och andraderivatan av f(t) = t. Vi har att t kan skrivas som t vi nu och använder att H (t) = δ(t). Vi får ( H(t)) på till vänster om t = +t H(t) = 2tH(t) t. Detta deriverar på då t > f (t) = 2H(t) + 2tδ(t) = 2H(t), (37) f (t) = 2δ(t) (38) där vi använt räkneregeln att g(t)δ(t a) = g(a)δ(t a), vilken bevisades ovan i (U7). (U) Finn första och andraderivatan av f(t) = t 2 samt g(t) = e t, g 2 (t) = t e t samt h(t) = sin(t). ita graferna. Tipset är att skriva om mha Heavisidefunktionen och använda att dess derivata är lika med δ. Den första funktionen har grunden t 2, denna är positiv på intervallet (, ) och icke-positiv på (, ] och [, ). Vi kan skriva den med hjälp av Heavisidefunktioner som f(t) = ( H(t + ))(t 2 ) + (H(t + ) H(t ))( t 2 ) + H(t + )(t 2 ) = (39) med derivatan t 2 2H(t + )(t 2 ) + 2H(t )(t 2 ). (4) f (t) = 2t 2δ(t + )(t 2 ) 4tH(t + ) + 2δ(t )(t 2 ) + 4tH(t ) = (4) 2t 4tH(t + ) + 4tH(t ) (42)
6 ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM där vi använt räkneregeln att δ(t a)f(t) = δ(t a)f(a). Vi deriverar igen och använder samma räkneregel som innan och får f (t) = 2 4H(t + ) 4tδ(t + ) + 4H(t ) + 4tδ(t ) (43) = 2 4H(t + ) + 4δ(t + ) + 4H(t ) + 4δ(t ). (44) Vi räknade på övningen och det uppstod lite förvirring från min sida. Beräkningen här ovan är korrekt. Samt så tror jag att bilderna vi ritade blev korrekta. Derivatan ska vara funktionen 2t på intervallen (, ) och (, ) samt funktionen 2t på (, ). Förstaderivatan är en funktion i vanlig mening, möjligtivs odefinierad i punkterna och där vi inte har någon klassisk derivata definierad. Andraderivatan är inte en funktion i vanlig mening, utan en distribution. Den är 2 på vänstra och högra intervallet och -2 på intervallet i mitten. I punkten t = finns en dirac-puls placerad med styrkan 4. Likaså i punkten t =. (U) Finn första och andraderivatan av f(t) = t 3 t. ita graferna. (a) Använd Heaviside funktionen och skriv om som: f(t) = t(t + )(t )(2H(t ) 2H(t) + 2H(t + ) ). (b) f (t) = (3t 2 )(2H(t ) 2H(t) + 2H(t + ) ). (c) f (t) = 6t(2H(t ) 2H(t) + 2H(t + ) ) + 4δ(t ) + 2δ(t) + 4δ(t + ). (U2) Lös ekvationerna y + 2ty = δ(t a) samt y y = th(t + ) samt y + 3y + 2y = th(t) + δ (t). (U3) Finn en tempererad distribution f som löser integralekvationen e u f(t u) du = H(t), < t <, t. (45) Använd att Fouriertransformen av H(t) kan skrivas som πδ(ω)+/iω. Vidare så kan vi se uttrycket ovan som faltningen mellan g(t) = H(t)e t och f. Fouriertransformen av g är /(+iω). Eftersom en Fouriertransform av en faltning är samma sak som produkten av de ingående funktionerna så får vi att, efter Fouriertransformering av ekvationen ovan, vilket är ekvivalent med + iω f(ω) = πδ(ω) + iω. (46) f(ω) = π( + iω)δ(ω) + + iω. (47) samma sak som (enligt räkneregel för δ-distributionen, f(ω)δ(ω) = f()δ(ω)), f(ω) = πδ(ω) + + iω. (48) Vi ser att en bit av detta, efter inverstransform, ger H(t). Vidare så gäller att Fouriertransformen av δ-distributionen är konstanten. Alltså svaret är f(t) = δ(t) + H(t). Vi sätter in detta i
ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM 7 ekvationen ovan och ser om det stämmer; e u f(t u) du = = = e t + e u δ(t u) du + = t e u (δ(t u) + H(t u)) du (49) e u δ(u t) du + e u H(t u) du (5) t e u du (5) e u du = e t (e t + ) =. (52) för t >. Och om t < så ser vi på andra raden ovan att t u alltid kommer att vara negativt och därmed δ(t u) = och H(t u) = vilket gör att uttrycket = om t <. Alltså uttrycket = H(t). (U4) Beräkna följande integraler: (t 2 + 3t)(δ(t) δ(t + 2)) dt= 2 (53) e 2t δ (t) dt= 2 (54) (U5) Visa att distributionsderivatan av ln x är P.V.(/x) där P.V.(/x) definieras genom formeln ϕ(x) P.V.(/x)[ϕ] = lim dx. (55) ɛ \[ɛ, ɛ] x Till att börja med, definierar ln x en tempererad distribution? Vad vi menar är om uttrycket T [ϕ] = ln x ϕ(x) dx (56) är en tempererad distribution? Om vi får ett uttryck på detta sätt så vill vi först veta om uttrycket är väldefinierat, dvs om ϕ är en Schwarz-funktion är då T [ϕ] ett komplext tal? Det skulle kunna vara så att T [ϕ] vore eftersom ln x har en singularitet då x =. Vidare är även integrationsintervallet oändligt, vilket potentiellt också skulle kunna bidra till att uttrycket inte är väldefinerat. För att studera dessa två fenomen på ett separat sätt så kan vi splitta integralen på olika delar och undersöka uttrycken var och en för sig. ( ) T [ϕ] = ln x ϕ(x) dx = + + ln x ϕ(x) dx. (57) Vi analyserar sista uttrycket först, ln x ϕ(x) dx. (58) Är detta ett ändligt tal? Vi vet ju att ln x då t, så om det ska vara ett ändligt tal så måste ϕ hjälpa till för att få svansintegralen att konvergera. Men eftersom ϕ är en Schwarzfunktion så vet vi att den avtar snabbare än ett över godtyckligt polynom (dvs ϕ(x) C n /( + x ) n ) för alla n). Säg att vi väljer polynomet som tredje graden ( + x ) 3, då finns en positiv konstant C 3 så att ϕ(x) C 3 /( + x ) 3. (59)
8 ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM för alla x. Vi får nu att ln x ϕ(x) dx ln x ϕ(x) dx ln x = C 3 ( + x ) ln x + x C 3 ln x dx ( + x ) 3 (6) dx ( + x ) 2 (6) Men vi vet att den kontinuerliga funktionen går mot då x samt inte har några singulariteter på (, ), då måste denna funktion vara begränsad på (, ) av någon konstant B (ett annat sätt att säga detta på är att ln x är tempererad på (, )), vi får ln x ϕ(x) dx BC 3 ( + x ) 2 dx = BC 3[ ( + x) ] =.5BC 3. (62) Detta visar att tredje integralen är väldefinierad. Första integralen på (, ) behandlas på samma sätt. Kvar är integralen på intervallet (, ). Vi tittar på integralen på intervallet (, ), denna har utseendet ϕ(x) ln x dx, (63) ln(x) har en singularitet då x = vilket skulle kunna innebära att integralen blir oändlig. Vi gör följande skattningar ϕ(x) ln x dx ϕ(x) ln x dx C ln x dx = C[x ln x x] = C. (64) Detta visar att integralen är absolut-integrerbar och därmed så finns själva integralen. Vi kan göra på samma sätt med integralen mellan (, ). Allt detta visar att T [ϕ] är ett väldefinierat komplext tal för godtyckligt ϕ i Schwarzklassen. Nu över till representationen av distributionsderivatan. Enligt definition så finns alltid distributionsderivatan och denna definieras genom relationen T [ϕ] = T [ϕ ]. Så enligt definitionen så har vi alltså att T [ϕ] = ln x ϕ (x) dx. (65) Vi vill visa att denna formeln även kan skrivas som formeln för P.V.(/x). Vi skriver om integralen ovan som T [ϕ] = ln x ϕ (x) dx = lim ln x ϕ (x) dx (66) ɛ + \[ ɛ,ɛ] och betraktar för fixerat ɛ och använder partiell integration ln x ϕ (x) dx (67) ɛ \[ ɛ,ɛ] = ln x ϕ (x) dx + ɛ = [ln x ϕ (x)] ɛ + [ln x ϕ (x)] ɛ + = (ϕ ( ɛ) ϕ (ɛ)) ln ɛ + ln x ϕ (x) dxx (68) \[ ɛ,ɛ] \[ ɛ,ɛ] x ϕ (x) dx (69) x ϕ (x) dx (7) Vi ser att vi är klara om vi kan bevisa att (ϕ ( ɛ) ϕ (ɛ)) ln ɛ då ɛ. Men detta gäller! Eftersom... försök komma på ett argument här som gäller. Observera att det är viktigt att i formel för uttrycket för P.V.(/x) att det är ett symmetriskt uttryck kring orgio, i termer av ɛ. Var används detta i beviset? (7)
ÖVN 4 - DIFFTANS - DEL2 - SF683 HTTP://KALJODIFFTANS.WODPESS.COM 9 (U6) Visa att distributionsderivatan P.V.(/x) kan uttryckas genom formeln P.V.(/x) ϕ(x) ϕ() [ϕ] = lim ɛ \[ɛ, ɛ] x 2 dx. (72) Borde gå att göra på liknande sätt som uppgiften ovan.