TMS136. Föreläsning 5

Relevanta dokument
TMS136. Föreläsning 5

TMS136. Föreläsning 4

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

TAMS79: Föreläsning 4 Flerdimensionella stokastiska variabler

Föreläsning 5, Matematisk statistik Π + E

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 4: Flerdim

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 08-12

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 5: Summor och väntevärden

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

(a) på hur många sätt kan man permutera ordet OSANNOLIK? (b) hur många unika 3-bokstavskombinationer kan man bilda av OSANNO-

Föreläsning 5, FMSF45 Summor och väntevärden

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH FLERDIMENSIONELLA STOKASTISKA STATISTIK VARIABLER. Tatjana Pavlenko. 8 september 2017

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH KONTINUERLIGA STOKASTISKA VARIABLER STATISTIK. Tatjana Pavlenko. 7 september 2016

6. Flerdimensionella stokastiska variabler

SF1911: Statistik för bioteknik

SF1920/SF1921 Sannolikhetsteori och statistik 6,0 hp Föreläsning 6 Väntevärden Korrelation och kovarians Stora talens lag. Jörgen Säve-Söderbergh

Föreläsning 1. Repetition av sannolikhetsteori. Patrik Zetterberg. 6 december 2012

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Stokastiska signaler. Mediesignaler

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Föreläsning 6, Matematisk statistik Π + E

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 6: Linjärkombinationer

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Exempel. Kontinuerliga stokastiska variabler. Integraler i stället för summor. Integraler i stället för summor

Kap 2. Sannolikhetsteorins grunder

Finansiell Statistik (GN, 7,5 hp,, HT 2008) Föreläsning 3

Grundläggande matematisk statistik

Grundläggande matematisk statistik

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT

Matematisk statistik för B, K, N, BME och Kemister

Föreläsning 4: Konfidensintervall (forts.)

Demonstration av laboration 2, SF1901

Tentamen i matematisk statistik (92MA31, STN2) kl 08 12

Föreläsning 5, Matematisk statistik 7.5hp för E Linjärkombinationer

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH MER ON VÄNTEVÄRDE OCH VARIANS. KOVARIANS OCH KORRELATION. STORA TALENS LAG. STATISTIK.

Föreläsning 7: Punktskattningar

Grundläggande matematisk statistik

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE302 Sannolikhet och statistik

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

TENTAMEN MÅNDAGEN DEN 22 OKTOBER 2012 KL a) Bestäm P(ingen av händelserna inträffar). b) Bestäm P(exakt två av händelserna inträffar).

Oberoende stokastiska variabler

Föreläsning 7: Punktskattningar

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

TMS136. Föreläsning 7

Väntevärde och varians

Kurssammanfattning MVE055

Föreläsning 7: Punktskattningar

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Formler och tabeller till kursen MSG830

TMS136. Föreläsning 13

Matematisk statistik KTH. Formelsamling i matematisk statistik

Matematisk statistik TMS063 Tentamen

Finansiell statistik, vt-05. Kontinuerliga s.v. variabler. Kontinuerliga s.v. F7 Kontinuerliga variabler

Statistiska metoder för säkerhetsanalys

TMS136. Föreläsning 10

1. För tiden mellan två besök gäller. V(X i ) = 1 λ 2 = 25. X i Exp (λ) E(X i ) = 1 λ = 5s λ = 1 5

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Envägs variansanalys (ANOVA) för test av olika väntevärde i flera grupper

Matematisk statistik TMS064/TMS063 Tentamen

Provmoment: Tentamen 6,5 hp Ladokkod: A144TG Tentamen ges för: TGMAI17h, Maskiningenjör - Produktutveckling. Tentamensdatum: 28 maj 2018 Tid: 9-13

Föreläsning 2, Matematisk statistik för M

0 om x < 0, F X (x) = x. 3 om 0 x 1, 1 om x > 1.

Föreläsning 6, FMSF45 Linjärkombinationer

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

MS-A0509 Grundkurs i sannolikhetskalkyl och statistik Sammanfattning, del I

Kapitel 5 Multivariata sannolikhetsfördelningar

FACIT: Tentamen L9MA30, LGMA30

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

2 x dx = [ x ] 1 = 1 ( 1 (1 0.9) ) 100 = /

STOCKHOLMS UNIVERSITET Statistiska institutionen Michael Carlson,

Matematisk statistik 9 hp Föreläsning 3: Transformation och simulering

LINKÖPINGS UNIVERSITET EXAM TAMS 27 / TEN 2

19.1 Funktioner av stokastiska variabler

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Lösningsförslag till tentamen DEL A

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

1. En kortlek består av 52 kort, med fyra färger och 13 valörer i varje färg.

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

Matematisk statistik KTH. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Tentamen i matematisk statistik (9MA241/9MA341, STN2) kl 14 18

Tentamen i Sannolikhetslära och statistik, TNK069, , kl 8 13.

Laboration 2: Sannolikhetsteori och simulering

Föreläsning 11: Mer om jämförelser och inferens

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Föreläsning 3, Matematisk statistik Π + E

TAMS79: Föreläsning 6. Normalfördelning

(x) = F X. och kvantiler

TMS136: Dataanalys och statistik Tentamen

Transkript:

TMS136 Föreläsning 5

Två eller flera stokastiska variabler I många situationer är det av intresse att betrakta fler än en s.v. åt gången Speciellt gör man det i statistik där man nästan alltid jobbar med stickprov Med ett stickprov menar vi här inte observerade data utan en uppsättning oberoende (definieras lite längre fram) och likafördelade s.v.

Till att börja med I vissa situationer är man intresserad av hur två s.v. beror av varandra Till exempel kan man vara intresserad av att prediktera ett aktiepris utifrån ett index

Två diskreta För två diskreta s.v. X och Y kan vi definiera en gemensam massfunktion (joint probability mass function) f XY (x, y) som är sådan att 1. f XY (x, y) 0 2. f XY (x, y) alla y alla x = 1 3. f XY x, y = P(X = x, Y = y)

Två kontinuerliga För två kontinuerliga s.v. X och Y kan vi definiera en gemensam täthetsfunktion (joint probability density function) f XY (x, y) som är sådan att 1. f XY (x, y) 0 2. f XY x, y dxdy=1 3. P X, Y B = f XY x, y dxdy B

Exempel Låt X vara tiden (i ms) tills din dator får kontakt med en viss server och Y vara tiden (i ms) (från dess du begärde kontakt med servern) tills servern släpper in dig. Det är klart att X < Y Baserat på historiska data har vi kommit fram till att f XY x, y = 6 10 6 exp ( 0.001x 0.002y) för x < y

Exempel fortsättning Observera att f XY x, y dxdy =6 10 6 exp 0.001x 0.002y dydx 0 x = 3 10 3 exp 0.003x dx = 1 0

Exempel fortsättning Vi har även att (kolla att integralerna stämmer ) P X < 1000, Y < 2000 1000 2000 =6 10 6 exp 0.001x 0.002y dydx 0 x 1000 = 3 10 3 exp 0.003x exp 4 0.001x dx 0 0.915

Marginaler Om man för en gemensam massfunktion summerar över den ena s.v. n:s möjliga värden får man (marginal)massfunktionen för den andra s.v. n och f X x = f XY (x, y) alla y f Y y = f XY (x, y) alla x

Marginaler Om man för en gemensam täthetsfunktion integrerar över den ena s.v. n:s värdemängd får man (marginal)tätheten för den andra s.v. n och f X x = f XY x, y dy f Y y = f XY x, y dx

Exempel fortsättning Om vi serverexemplet enbart är intresserade av P(Y > 2000) kan vi få denna ur (kom ihåg att Y > X) 2000 P Y > 2000 =6 10 6 exp 0.001x 0.002y dydx 0 2000 +6 10 6 exp ( 0.001x 0.002y) dydx 0.05 2000 x

Exempel fortsättning Vi kan också beräkna P(Y > 2000) ur marginaltätheten för Y Marginaltätheten fås ur (kom ihåg att X < Y) f Y y = f XY x, y dx y = 6 10 6 exp 0.001x 0.002y dx 0 = 6 10 3 exp ( 0.002y)(1 exp 0.001y )

Exempel fortsättning Vi har då att P Y > 2000 = 0.006 exp 0.002y 1 exp 0.001y dy 2000 0.05

Betingade fördelningar För diskreta s.v. X och Y kan vi definiera betingade massfunktioner enligt f X y x = P X = x Y = y = f XY(x, y) f Y (y) f Y x y = P Y = y X = x = f XY(x, y) f X (x)

Betingade fördelningar Det gäller att 1. f X y x 0 2. f X y x = 1 alla x Samma gäller så klart även för f Y x y

Betingade fördelningar För kontinuerliga s.v. X och Y kan vi definiera betingade täthetsfunktioner enligt f X y x f Y x y = f XY(x, y) f Y (y) = f XY(x, y) f X (x)

Det gäller att 1. f X y x 0 Betingade fördelningar 2. f X y x dx = 1 3. P Y B X = x = f X y x dx B Samma gäller så klart även för f Y x y

Exempel forts I serverexemplet har vi (kolla detta) f X x = 0.003exp ( 0.003x) Det följer (för x > 0 och x < y) att f Y x y = f XY(x, y) f X (x) = 0.002exp (0.002x 0.002y)

Exempel forts Till exempel kan vi beräkna P Y > 2000 X = 1500 = f Y 1500 y dy = 0.002e 3 e 0.002y dy 0.368 2000 2000

Betingat väntevärde/varians Man kan definiera betingat väntevärde enligt μ Y x = E Y x = alla y yf Y x y dy yf Y x y

Betingat väntevärde/varians Och betingad varians enligt σ 2 Y x = V Y x = alla y 2 y μ Y x fy x y dy y μ Y x 2 fy x y

Exempel forts. I serverexemplet kan vi till exempel beräkna (minns att Y > X och använd partiell integration) E Y X = 1500 = 0.002e 3 ye 0.002y dy = 2000 1500

Oberoende s.v. Vi säger att två s.v. X och Y om något (och därmed alla) av följande ekvivalenta samband gäller 1. f XY (x, y) = f X (x)f Y (y) 2. f X y (x) = f X (x) 3. f Y x (y) = f Y (y) 4. P X A, Y B = P X A P Y B

Exempel Antag att X och Y är längden respektive diametern för en viss typ av skruv Antag vidare att X och Y är oberoende, X är normalfördelad med väntevärde 10.5 mm och varians 0.0025 (mm)^2 och Y är normalfördelad med väntevärde 3.2 mm och varians 0.0036 (mm)^2 Beräkna P(10.4 < X < 10.6, 3.15 < Y < 3.25)

Exempel forts Vi har då att P(10.4 < X < 10.6, 3.15 < Y < 3.25) = P 10.4 < X < 10.6 P(3.15 < Y < 3.25) = P 10.4 10.5 0.05 < Z < 10.6 10.5 0.05 P 3.15 3.2 0.06 < Z < 3.25 3.2 0.06 P 2 < Z < 2 P( 0.83 < Z < 0.83) = 2Φ 2 1 2Φ(0.83 1) 0.57

Ett exempel till Låt X och Y vara längden respektive bredden för en rektangel Antag att X och Y är oberoende och båda likformigt fördelade på intervallet 0,1 Vad är sannolikheten att rektangelns area är mindre än 0.5?

Ett exempel till fortsättning Vi har att (se motiveringar på nästa slide) 1 P XY < 0.5 = P X < 0.5/Y Y = y 1dy 0 min 1,0.5/y = P X < 0.5/y 1dy = 1 1dxdy 0 = min 1,0.5/y dy 0 1 1 0 = 1dy + 0 0.5 1 0 1 0.5 0.5 y = 0.5 1 + ln2

Ett exempel till fortsättning Den första likheten följer av att betinga på värdet på Y som är likformigt fördelad på 0,1 och därför har tätheten 1 i det intervallet Den andra likheten följer av att X och Y är oberoende Den tredje likheten följer av att X inte kan bli större än 1 och att X har tätheten 1 i intervallet 0,1

Fler än två s.v. Man kan generalisera allt som gäller för två s.v. till att gälla flera s.v. Till exempel kan man definiera multivariata tätheter och massfunktioner analogt med det vi sett ovan Marginalerna (för en eller flera s.v.) fås genom att integrera/summera över den/de s.v. man vill ha bort

Fler än två s.v. Om mass-/täthetsfunktionen för X 1,, X p är f X1 X p x 1,, x p gäller att X 1,, X p är oberoende om och endast om f X1 X p x 1,, x p = f X1 x 1 f Xp x p för alla x 1,, x p

Exempel Täthetsfunktionen för X 1,, X p är μ 1 μ p e μ 1x 1 μ p x p Eftersom täthetsfunktionen kan skrivas μ 1 e μ 1x 1 μ p e μ px p är X 1,, X p oberoende