Analys MN2 Uppsala universitet Matematiska institutionen Kursbeskrivning och läsanvisningar Julia Viro 2007-01-22 KURSBESKRIVNING Lärare: Julia Viro (julia@math.uu.se), föreläsningar och lektioner för grupp A Robin Stand (robin@cb.uu.se), lektioner för grupp B. Förkunskaper: Analys MN1. Kurslitteratur: (1) Robert A. Adams, Calculus: a complete course, sixth edition, Addison-Wesley (2) George F. Simmoms, Differential Equations with Applications and Historical Notes, second edition, McGraw-Hill Undervisning: 35 föreläsningar och 18 lektioner. Examination består av 5 miniprov under kursens gång och sluttentamen. Varje miniprov är 2 timmar långt och består av 4 problem. För att vara godkänt i ett miniprov krävs det att lösa korrekt alla 4 problem. För miniproven ordnas omskrivningar. Sluttentamen består av 9 problem. Godkänd resultat på minipriv nummer N registreras som 4 poäng för problem nummer N i sluttentamen (och detta problem får inte användas för poänggivning). För betygen G eller VG krävs det minst 18 respektive 28 poäng i sluttentamen. Detta innebär att den som har klarat alla 5 miniprov klarade kursen med 20 poäng (betyget G) utan att behöva skriva sluttentamen. För högre betyg är man välkommen till sluttentamen. Resultatet från miniproven tillgodoräknas bara vid första tentamenstillfället. Websida: www.math.uu.se/ julia/analysv7
2 Föreläsningsplan (preliminärt): föreläsning innehål avsnitt 1 2 Analytisk geometri i planet och rymden. Rummet R n 10.1 10.5 3 4 Kurvor och deras parametrisering. Krökning och torsion. Frenet-Serret s formler 5 6 Funktioner i flera variabler: gränsvärden, kontinuitet, partiella derivator 11.1, 11.3 11.5 12.1 12.4 7 8 Differentierbarhet, kedjeregeln. Högre ordningens derivator 12.5 12.6 9 Gradient och riktningsderivata 12.7 10 11 Funktionaldeterminant. Implicita funktioner. Taylorutveckling 12.8 12.9 12 14 Extremvärdesproblem: lokala, på kompakta områden, 13.1 13.3 med bivillkor 15 16 Dubbelintegraler 14.1 14.4 17 18 Trippelintegraler 14.5 14.7 19 20 Vektorfält. Kurvintegraler 15.1 15.4 21 22 Ytor och deras parametrisering. Ytintegraler 15.5 23 Flöde, divergens och rotation av vektorfält 15.6, 16.1 16.2 24 26 Integralsatser: Gauss, Stokes and Greens formler 16.3 16.5 27 28 Allmänt on differentialekvationer. Existens och entydighet. Första ordningens ekvationer 1 5, 7 11 29 30 Andra ordningens ekvationer 14 19, 22 23 31 Linjära system 54 56 32 Icke-linjära system. Fasporträtt och kritiska punkter 58 60 33 Stabilitet via linearisering och Lyapunovs metod 61 62 34 35 Förberedelser för tentamen
3 LÄSANVISNINGAR Dessa läsanvisningar är avsedda som en hjälp för självstudier och ersätter inte egna föreläsningsanteckningar. Här betonas de viktigaste momenten i kursen och anges exempel att studera samt problem att lösa. LEKTIONER 1 2 Läs Kapitel 10 i Adams att inhämta nödvändiga förkunskaper från linjär algebra och vektorgeometri. Geometri i planet, rymden och R n. I planet: ekvationer för rät linje, cirkel, ellips, hyperbel, parabel. I rymden: skalärprodukt, kryssprodukt, trippelprodukt; ekvationer för rät linje och plan. Determinanter av ordning 2 och 3, deras tolkning som area och volym. Andragradsytor i R 3 : ellipsoider, paraboloider, hyperboloider, cylindrar, koner. Avsnitt 10.5 är rekordhållare i återbesök studera det noga redan från början! Studera exempel 2 5 i 10.1 och 1 6 i 10.4. Skalär- och kryssprodukt: Exercises 10.3, nr. 2, 3, 15, 26. Plan och linjer i R 3 : Exercises 10.4, nr. 2, 4, 5, 8, 15, 17. Andragradsytor: Exercises 10.5, nr. 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 17, 18, 19. Geometrisk tolkning av ekvationer och olikheter: Exercises 10.1, nr. 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32. Det kanske känns lite för mycket övningar i den sista delen men här skaffar ni en rymdseendeförmåga nödvändig för hela kursen. LEKTION 3 En rymdkurva som banan för en rörlig partikel (avsnitt 11.1) och som vektorvärd funktion i en variabel (11.3). Studera exempel 1 3 i 11.1 och 1 5 i 11.3. Båglängd parametrisering (arc-length parametrization). Krökning, torsion och Frenet-ramen i båglängd parametrisering (11.4, exempel 1 3). Frenet Serret formler och fundamentalsats om rymdkurvor slutet av avnitt 11.4. Hur beräknas krökning och torsion i godtycklig parametrisering? läs 11.5 fram till och inklusive exempel 2. Kinematisk tolkning av kurvor: Exercises 11.1, nr. 2, 3, 7, 9. Parametrisering av kurvor: Exercises 11.3, nr. 5, 7, 13, 16. Krökning, torsion och Frenet-ramen: Exercises 11.5, nr. 1, 5, 7.
4 LEKTION 4 Funktioner av två variabler presenteras åskådligt som ytor i rymden (12.1, exempel 1, 2) eller med hjälp av nivåkurvor (läs vidare 12.1, exempel 3 6). Gränsvärde och kontinuitet för funktioner av flera variabler är en direkt generalisering av motsvarande begrepp för funktioner av en variabel. Läs hela 12.2. Partiella derivator läs 12.3 fram till och inklusive exempel 3. Helt nytt begrepp: differentierbarhet (läs 12.6 fram till definition 6) och dess geometriska betydelse (läs 12.3 om tangentplan med exempel 6, 7). Viktig: sambandet mellan differentierbarhet, existens av partiella derivator och kontinuitet (läs 12.6 from definition 6 tom sats 4). Grafer till funktioner i 2 variabler: Exercises 12.1, nr. 12, 14, 15, 19, 21, 24, 28, 33. Gränsvärde och kontinuitet: Exercises 12.2, nr. 1, 3, 4, 7, 9, 14. Partiella derivator, differentierbarhet: Exercises 12.3, nr. 2, 5, 9, 11, 14, 17, 23, 28, 37, 38. LEKTION 5 Kedjeregeln (12.5, exempel 2 7). Derivator av högre ordningen (12.4). Det är inte särskilt svårt här, men träna gärna handen i derivering! Gradientvektorn och riktningsderivator. Läs 12.7, studera exempel 1 3, 6 8. Observera geometrisk och fysikalisk betydelse av gradienten. Kedjeregeln: Exercises 12.5, nr. 2, 3, 4, 6, 9, 31. Derivator av högre ordningen: Exercises 12.4, nr. 1, 5, 7, 10, 15, 17. Gradient och riktningsderivata: Exercises 12.7, nr. 1, 7, 11, 17, 21, 26, 30. LEKTION 6 Funktioner från R n till R m. Jacobis matris och dess geometriska tolkning. Läs 12.6: Funktions from n-space to m-space. Polära (8.5), cylindriska (14.6) och sfäriska (14.6) koordinater. Bli goda vänner med dessa koordinater vi kommer att använda dom i multipelintegraler. Implicita funktioner. Implicita funktionssatsen. Läs 12.8. Taylorutvecklingar av funktioner i flera variabler. Läs 12.9. Jacobis matris: Exercises 12.6 nr. 2, 15. Cylindriska och sfäriska koordinater: Exercises 14.6 nr. 1, 5, 7, 9, 11, 13. Implicita funktioner: Exercises 12.8 nr. 1, 3, 5, 8, 13, 16, 23. Taylorutveckling: Exercises 12.9 nr. 7, 9, 15.
5 LEKTION 7 Extremvärdesproblem av tre typer: lokala undersökningar (att finna lokala maxima och minima), globala problem (att finna största/minsta värdet på kompakta område) och extremvärdesproblem med bivillkor. Läs 13.1 om lokala extrempunkter. Observera skillnaden mellan nödvändiga och tillräckliga villkor för extrempunkter. Adnraderivatanstest: Hesse s matris eller kvadratiska former. Extremvärdesproblem på kompakta område läs 13.2 (upp till linjär programmering). Repetera extremvärdesproblem för funktioner av en variabel, de ingår hit som delproblem. Extremvärdesproblem med bivillkor lösas med hjälp av olika metoder. Repetera från linjär algebra: hur avgör man att några stycken vektorer är linjärt beroende? Läs 13.3 om Lagrange-multiplikatorer. Gå genom alla exempel i 13.1 13.3. Extremvärdesproblem: Exercises 13.1 nr. 1, 3, 4, 5, 14, 17, 19, 25, 26 Exercises 13.2 nr. 1, 3, 4, 6, 9, 11 Exercises 13.3 nr. 1, 2, 4, 6, 8, 11, 12, 14, 18, 22. LEKTION 8 Dubbelintegraler definieras med hjälp av Riemann-summor (läs 14.1 upp till egenskaper hos dubbelintegraler) eller av sina egenskaper ((b), (e), (f), (h) i avsnitt 14.1) som kan tas upp som axiom. Dubbelintegral som arean (integrand är 1) och som volym (positiv integrand). Integrationsmetoder: iteration och variabelbyte. Kolla om symmetri i integrationsområde eller/och jämnhet av funktionen. Iteration läs 14.2 med alla exempel. Var noga med bestämning av integrationsgränserna. Variabelbyte läs 14.4. Studera exempel 1 3, 5 10. Repetera integrationstekniken för funktioner av en variabel. Utan flytande integrationsteknik riskerar man köra fast i multipelintegration. Dubbelintegraler: Exercises 14.1 nr. 14, 16, 18, 19. Exercises 14.2 nr. 11, 12, 21, 23. Exercises 14.4 nr. 1, 8, 12, 21, 32, 36.
6 LEKTION 9 Trippelintegraler läs 14.5 14.6 (alla exempel bör studeras). Iteration och variabelbyte som integrationsmetoder. Repetera cylindriska och sfäriska koordinater. Rita gärna figur över integrationsområdet. Fysikaliska tillämpningar av multipelintegraler läs 14.7 om masscentrum och tröghetsmoment. Trippelintegraler: Exercises 14.5 nr. 1, 5, 11, 14. Exercises 14.6 nr. 15, 17, 20, 25, 26, 29. LEKTION 10 Vektorfält som vektorvärd funktion och skalärfält som skalärvärd funktion. Fältlinjer. Läs 15.1 tom exempel 5. Konservativa fält är generalisering av primitiv funktion (antiderivata). Rotation av vektorfält. Nödvändigt villkor för konservativt fält: F är konservativt rotf = 0. Läs 15.2 tom exempel 5. Kurvintegraler av skalär- och vektorfält. Läs 15.3 och 15.4. Studera exempel 1 i 15.3, exempel 1 och 4 i 15.4. Viktig sats om oberoende av vägen är sats 1 i 15.4. Vektorfält: Exercises 15.1 nr. 3 Exercises 15.2 nr. 1, 3, 4, 9. Kurvintegraler: Exercises 15.3 nr. 2, 7 Exercises 15.4 nr. 1, 5, 7, 11. LEKTION 11 Ytor och deras parametrisering. Orientering av ytan. Ytans area. Läs 15.5 fram till The Attraction of a Spherical Shell. Ytintegraler av skalär- och vektorfält. Flödet av vektorfält genom ytan. Läs 15.6. Parametriseringsövningar Ytintegraler: Exercises 15.5 nr. 8, 13 Exercises 15.6 nr. 8, 11.
LEKTIONER 12 13 Ett samband mellan olika typer av integraler ges av integralsatser. Integralsatserna generaliserar analys fundamentalsats och har stor betydelse i tillämpningar. Divergenssatsen eller Gauss sats: läs 16.1 upp till exempel 3 och 16.4 med exempel 1, 2, 3, 5. Stokes sats: läs 16.1, Interpretation of the Curl och 16.5. Greens formel (= tvådimensionell Stokes formel): läs 16.3. De som studerar fysik ska läsa även 16.6. Divergenssats (Gauss sats): Exercises 16.4 nr. 2, 6, 7, 12. Stokes sats: Exercises 16.5 nr. 1, 5. Greens formel: Exercises 16.3 nr. 1, 5. LEKTIONER 14 15 Läs det allmänna om differentialekvationer i Simmons bok, 1 5. Studera alla exempel i 4 och 5. Några av dem känner ni till från kursen av endimensionell analys. Inte alla differentialekvationer går det att lösa explicit. Vi studerar den följande lösbara typer av första ordningens DE: separabla (exempel 3 på s.20), homogena ( 7), exakta ( 8), lösbara med integrerande faktor ( 9), linjära ( 10). Vissa DE av högre ordning kan reduceras till ordning 1, läs 11. Andra ordningens linjära ekvationer, läs 14 19. För mer effektiva metoder läs 23. Första ordningens DE: s. 75 nr. 2, 13, 19, 28. (Observera att samma ekvation kan lösas med olika metoder.) Andra ordningens DE: s.91 nr. 3 s.94 nr. 4, 9; s.97 nr. 1 a,b,d, 2 b s.103 nr. 1 c,e,h; s.106 nr. 3 a,b, 6 c. LEKTIONER 16 17 Linjära system av DE, läs 54 56. Icke-linjära autonoma system, fasporträtt, läs 58. Kritiska punkter och stabilitet, läs 59 62. Linjära system av DE: s.433 nr. 1 a,b,c,d,g. (Bestäm den allmänna lösningen, avgör om typ av kritisk punkt (0, 0). Är (0, 0) stabil/asymptotisk stabil? Skissera fasporträtt.) Icke-linjära autonoma system av DE: s. 479 nr. 5 a,b; s. 471 nr.3 a, 5. 7 Förberedelse för sluttentamen. LEKTION 18