Matematisk modell av genuttrycket i Escherichia coli under kolhydratsvält

Institutionen för fysik, kemi och biologi Examenarbete Matematisk modell av genuttrycket i Escherichia coli under kolhydratsvält Lisa Skoog Examensarbetet utfört vid IFM Biologi LITH-IFM-G-EX--/ SE Linköpings universitet Institutionen för fysik, kemi och biologi 8 8 Linköping

Avdelning, Institution Biologi, IFM Division, Department Biology, IFM Datum Date Språk Language x Svenska/Swedish Engelska/English Rapporttyp Report category Licentiatavhandling x Examensarbete C-uppsats D-uppsats Övrig rapport ISBN ISRN Serietitel och serienummer Title of series, numbering ISSN URL för elektronisk version LITH-IFM-G-Ex /-- SE Titel Title Matematisk modell av genuttrycket i Escherichia coli under kolhydratsvält Mathematical model of the gene expression in Escherichia coli during carbon starvation Författare Author Lisa Skoog Sammanfattning Abstract When bacteria encounter different types of stresses, for example carbon starvation, the gene expression changes to enhance the possibilities to survive. Three mathematical models have been constructed to simulate this process. The results have been compared to the results from two articles (Ropers et al,, Porreca et al, 8) and this project is based on these articles. No big changes or improvements have been made but suggestions how this could be done is presented. Nyckelord Keyword Carbon starvation, differential equations, mathematical model.

Innehåll Introduktion Tidigare arbeten. Ropers et al ()............................... Porreca et al (8).............................. Metoder Resultat. Differensekvation................................ Differentialekvation utan sinusfunktion.................... Differentialekvation med sinusfunktion................... Diskussion 9. Differensekvation............................... 9. Differentialekvation utan sinusfunktion................... 9. Differentialekvation med sinusfunktion................... 9. Slutsatser och utvecklingar.......................... Tack till A Appendix A. Kvalitativ cykel från Ropers......................... Referenser

Sammanfattning Då bakterier utsätts för stress så som kolhydratsvält ändras genuttrycket för att öka organismens chanser att överleva. Det finns inte tillräckligt mycket exerimentiell data om dessa förlopp så för att öka kunskaperna inom detta område kan matematiska modeller ställas upp. Tre matematiska modeller har gjorts som simulerar detta förlopp. De parametrar som ingår är koncentrationen av Crp, Cya, Fis, GyrAB, TopA och stabilt RNA (Rrn). Resultaten har jämförts med resultat från två artiklar (Ropers et al,, Porreca et al, 8) som utgör grunden för detta arbete. Inga direkta förbättringar har gjorts, dock finns förslag på hur detta skulle kunna göras. Nyckelord: Differentialekvationer, kolhydratsvält, matematisk modell Introduktion Bakterier som befinner sig i ett optimalt medium tillväxer exponentiellt. Ett sådant medium innehåller alla de näringsämnen bakterien behöver. Detta är dock sällan fallet och bakterien uttrycker olika proteiner för att möta det tillfälliga behovet i den miljö den befinner sig i. När bakterier utsätts för stress ändras genuttrycket så att endast de proteiner bakterien behöver uttrycks. Genuttrycket vid olika typer av stress är väl beskrivet men det är svårt att identifiera alla de involverade proteinerna och de exakta interaktionerna. Genom att bygga matematiska modeller av olika typer av stress kan interaktionerna undersökas och ledtrådar om vad som saknas i modellen kan fås. Denna information kan underlätta för fortsatta studier. Det finns flera olika typer av stress, däribland kolhydratsvält. Vid kolhydratsvält finns inte tillräckliga källor av kolhydrater i omgivningen vilket medför att bakterien avbryter sin tillväxt och går in i en vilofas kallad stationär fas. Under denna förändring ändras metabolismen från tillväxt till bevarande och ett stort antal gener som är involverade istresskyddaktiveras.dna-topologinändrasfrånatthanegativasupercoilstillattbli mer avslappnad vilket påverkar genuttrycket (Blake och Gralla, 98, Ropers et al, ). För att beskriva biologiska system finns det många olika typer av matematisk formalism som kan användas. Genom att beskriva systemet med linjära funktioner blir systemet enkelt att arbeta med, men de stämmer inte så väl överens med funktionen hos genetiska regulativa system (GRN). GRN är olinjära men beskrivs systemet med olinjära funktioner blir modellen svår att hantera. (Porreca et al, 8) Glass och Kauffman (9) har beskrivit en typ av differentialekvationer som är styckvis linjära. Dessa kan beskriva ett olinjärt system men är fortfarande linjära på mindre intervall vilket underlättar analys. (Porreca et al, 8) Syftet med detta arbete är att återskapa de modeller som tidigare skapats av Ropers et al () och Porreca et al (8).

Tidigare arbeten. Ropers et al () Ropers et al () har ställt upp en matematisk modell av genuttrycket i E. coli. Denna modell består av sex styckvis linjära differentialekvationer (PLDE) och 8 olikheter vilka begränsar de parametrar som ingår. Modellen är simulerad i programmet Genetic Network Analyzer (GNA) (de Jong et al, ). Denna modell inkluderar flera globala regulatorer, vilka reglerar uttrycket av ett stort antal gener, och simulerar hur uttrycket av dessa förändras vid kolhydratsvält. Modellen är uppbyggd av fyra funktionella moduler med olika funktioner som ingår i det nätverk som aktiveras vid kolhydratsvält och som tidigare endast studerats var för sig. Ett schema över interaktionerna ses i figur. Figur. Schema över interaktionerna mellan generna som ingår i modellen. (Ropers et al, ) Idenförstamoduleningårinsignaliformavsignalomkolhydratsvält.Systemetsom reglerar glukostransporten, fosfotransferassystemet (PTS), reagerar på avsaknaden av kolhydratkällor och sätter igång en kaskadreaktion av fosforyleringar. Den andra modulen inkluderar de tre generna crp, cya och fis. Dessa gener ger proteinerna camp receptor protein (CRP), adenylate cyklase enzyme (Cya) och Fis (DNA-binding protein fis). Fosforyleringarna PTS ger upphov till aktiverar Cya som då börjar producera cykliskt AMP (camp) av ATP. camp aktiverar CRP genom att binda till CRP-dimerer. camp CRP är en transkriptionsfaktor som reglerar flera geners uttryck. Dessa gener är antingen gener som är direkt involverade i svaret på avsaknad av kolhydratkälla eller gener som kodar för globala regulatorer. Fis och camp CRP represserar varandra. Den tredje modulen består av generna som kodar för proteinerna DNA gyrase subunit A (GyrA), DNA gyrase subunit B (GyrB), DNA topoisomeras (TopA) och Fis. Dessa proteiner reglerar mängden negativa supercoils på DNA. GyrA GyrB introducerar negativa supercoils i DNA genom en ATP-krävande process och TopA avlägsnar dem. Då negativa supercoils introduceras idnaaktiverasuttrycketavtopaochdåmängdennegativasupercoilsminskarökar

uttrycket av GyrA och GyrB. En ökning av negativa supercoils ökar också uttrycket av Fis som både represserar uttrycket av GyrA och GyrB och stimulerar uttrycket av TopA. Den fjärde modulen innehåller de gener som kodar för Fis och för stabilt RNA, det vill säga rrna och trna. Stabilt RNA krävs i stora mängder då celler tillväxer och delar sig eftersom stora mängder proteiner måste tillverkas för detta. Fis stimulerar uttrycket av stabilt RNA. Utsignalen i modellen är koncentrationen stabilt RNA. Det som är beskrivet ovan är förenklat på flera sätt, inte alla globala regulatorer involverade i den stationära fasen finns med och flera interaktioner består egentligen av fler steg som involverar ytterligare proteiner och metaboliter. Två globala regulatorer som utelämnats är RpoS och ppgpp vilka Ropers et al () föreslår att modellen kan utökas med. I den första modulen förenklas signaltransduktionen till endast en insignal som indikerar att den omgivande miljön är fattig på kolhydrater. Det är denna signal som aktiverar Cya. Proteinerna GyrA och GyrB har liknande reglering så de förenklas till en produkt, GyrAB. Den typ av differentialekvationer som används beskrevs ursprungligen av Glass och Kauffman (9) och de har flera egenskaper som är till fördel vid modellering av genreglering. De kräver inte numeriska värden då de tillståndsvariabler som används kan motsvara proteinkoncentrationer. PLDE är, liksom de interaktioner som studeras, inte linjära och egenskaperna PLDE har tillåter att systemets dynamik analyseras kvalitativt trots avsaknaden av kvantitativa data. Differentialekvationerna som används har formen ẋ = f i (x) g i (x)x i,x i, i n, där x =(x i,... x n ) är en vektor av proteinkoncentrationer. f i (x) representerar förändringen av synteshastigheten och g i (x)x i degraderingshastigheten. Det är på detta sätt tillståndsvariablerna är utformade. Funktionen som beskriver synteshastigheten är definierad enligt f i (x) = I L κ ilb il (x) där κ il är en positiv konstant för synteshastigheten och b il är en reglerande funktion som kan anta värdena (, ). Den reglerande funktionen b il beskriver logiskt den genetiska regleringen. Villkoren under vilka gener syntetiseras eller degraderas är s +,s : R {, } s +,xj >θ (x j,θ j )= j,,x j <θ j, och s (x j,θ j )= s + (x j,θj), där x j är något värde i vektorn x och θ j är ett konstant tröskelvärde för proteinkoncentration. De ekvationer Ropers et al () använt ses i figur.

Figur. Tillståndsekvationer och olikheter för kolhydratsvält.(ropers et al, ) Iställetförattanvändatidsstegochkoncentrationerpasserarproteinernamellan kvalitativa stadier med förutbestämda egenskaper. Dessa egenskaper är hur proteinerna förhåller sig till sina tröskelvärden och dessa kombineras olika i stadierna. Enligt denna modell når koncentrationerna en kvalitativ cykel, vilken de sedan följer (se figur i appendix). I slutet av den kvalitativa cykeln antar koncentrationerna värden

mellan följande tröskelvärden och dessa används här för att jämföra resultaten med. θ Crp <x Crp <θ Crp θ Cya <x Cya < max Cya θ Fis <x Fis <θ Fis <x GyrAB <θ GyrAB <x TopA <θ TopA <x rrn <θ rrn. Porreca et al (8) I artikeln Structural identification of piecewise-linear models of genetic regulatory networks beskriver Porreca et al (8) hur en metod utformats för att identifiera strukturen hos genetiska regulatoriska nätverk. Tidigare har en algoritm presenterats som identifierar de minsta möjliga kombinationerna av tröskelvärdeskoncentrationer av regulatorerna utifrån tidsseriedata (Drulhe et al, 8). Denna algoritm har utvecklats så den bättre passar brusig data som fås vid mätningar av genuttryck. Dessutom har nya algoritmer utvecklats som klassificerar datan till kvalitativa stadier. Genom att använda simulerad data från modellen för kolhydratsvält i E. coli som beskrivits av Ropers et al () har algoritmernas relevans kunnat utvärderats. Modellen har modifierats genom att två tröskelvärden har tagits bort, ett för CRP och ett för Cya. Vid simulering med modellen presenterad av Ropers fås koncentrationsutvecklingarna som ses i figur. Figur. Proteinkoncentrationer vid simulering utan kolhydratsvältsignal. (Porreca et al, 8)

Metoder Genom att utgå från artiklarna som beskrivits ovan har tre matematiska modeller skapats. En av modellerna är en förenklad differensekvation. Den har diskreta tidssteg och är olinjär och diskontinuerlig. De övriga två modellerna är olinjära differentialekvationer som är diskontinuerliga. De ekvationer som ställts upp av Ropers et al () har använts med samma modifieringar som Porreca et al (8). Det antas att θ Crp har samma värde som innan och θ Crp ersätts av θ Crp.Detsammagällerförθ Cya.Devärdensomanväntsärdesomsimulerats av Porreca et al (). Då x i = θ j använder Ropers et al () och Porreca et al (8) differentialinklusioner som avgör vart x i kommer fortsätta. I differensekvationen och i en differentialekvation har detta problem inte hanterats. I den andra differentialekvationen har problemet till viss del lösts med sinusfunktioner vilket gör ekvationen kontinuerlig i övergången mellan de olika tillväxthastigheterna och gör den mjukare. Dessa sinusfunktioner kan anpassas så de får olika bredd vilket gör att likheten med de tvära steg som övriga modeller beskrivna här innehåller kan anpassas. Detta ses i figur där en sinusfunktion och en stegfunktion ökar i värde från till. Stegfunktionen ändrar alltid värde direkt, medan sinusfunktionen gör en mjuk övergång. Genom att ändra bredden på sinusfunktionen ändras även hur snabbt sinusfunktionen går mellan sitt minsta och maximala värde. På så vis kan likheten med stegfunktionen justeras..8....... Figur. Jämförelse av sinusfunktion (röd) och stegfunktion (blå). Programmens invariabler är för differensekvationen en signal om kolhydratsvält och proteinkoncentrationer och för differentialekvationerna är invariablerna proteinkoncentrationer och uppgifter om under hur många tidssteg simuleringen ska utföras. De utvariabler som fås från differensekvationen är information om proteinkoncentrationerna i varje tidssteg, den totala förändringen för varje protein och en graf som visar koncentrationerna mot tiden. Av differentialekvationerna fås en graf med proteinkoncentrationerna mot tiden. Sinusfunktionernas totala bredd är % och % av det aktuella tröskelvärdet. Allt

arbete har utförts i MatLab 9b. I graferna ses koncentrationen av CRP i blått, Cya i grönt, Fis i rött, GyrAB i turkost, TopA i lila och stabilt RNA i gult. Resultat De resultat som presenteras är grafer generarade från de olika programmen och jämförelser med resultat från Ropers et al () och Porreca et al (8).. Differensekvation Ifigur seshurallaproteinkoncentrationerförändras.dådetärstoraskillnaderimagnitud mellan dem är det flera som inte syns. Därför presenteras proteinkoncentrationerna iegnagrafer.närproteinkoncentrationenäravliknandestorlekmedtröskelvärdenainkluderas dessa i grafen. 8 x 8 9 Figur. Alla koncentrationer, genererad av differensekvationsmodellen. I figur a ses hur koncentrationen CRP minskar, dock utan att passera sitt övre tröskelvärde. Koncentrationen Cya håller sig runt sitt övre tröskelvärde, vilket ses i figur b. Koncentrationen Fis är lägre än det lägsta tröskelvärdet när simuleringen börjar och minskar sedan simuleringen ut, vilket ses i figur c. I figur d ökar koncentrationen GyrAB. Vid simuleringens början är koncentrationen lägre än GyrABs lägsta tröskelvärde och koncentrationen ökar till strax under dess övre tröskelvärde. Koncentrationen TopA håller sig genom hela simuleringen under sitt undre tröskelvärde och minskar liksom Fis till låga koncentrationer, vilket ses i figur e. Koncentrationen stabilt RNA minskar under simuleringen och ligger hela tiden under sitt tröskelvärde, vilket ses i figur f.

x x... (a) CRP (b) Cya x 9 x..8......8..... (c) Fis (d) GyrAB x 9 9 x. 8.. (e) TopA (f) Rrn Figur. Simulering med kolhydratsvältsignal. Koncentrationer av a, CRP och tröskelvärden, b, Cya och tröskelvärden, c, Fis, d, GyrAB och tröskelvärden, e, TopA, f, Rrn och tröskelvärde. Vid simulering med insignal om kolhydratsvält når koncentrationerna värden mellan följande tröskelvärden. θ Crp <x Crp < max Crp x Cya θ Cya <x Fis <θ Fis θ GyrAB <x GyrAB <θ GyrAB <x TopA <θ TopA 8

<x rrn <θ rrn Vid simulering utan kolhydratsvältsignal genereras följande grafer. I figur ses alla proteiner och RNA. x 8 8 Figur. Alla koncentrationer utan kolhydratsvältsignal, genererad av differensekvationsmodellen. Under simuleringen utan kolhydratsvältsignal minskar koncentrationen CRP till strax under det övre tröskelvärdet, vilket ses i figur 8a. I figur 8b ökar koncentrationen Cya snabbt och håller sedan denna nivå. Denna koncentration är högre än Cyas övre tröskelvärde. I figur 8c ses hur koncentrationen Fis ökar till en nivå högre än sitt fjärde tröskelvärde och sedan pendlar över detta tröskelvärde simuleringen ut. På ett liknande sätt ändras koncentrationen GyrAB. I figur 8d ses hur koncentrationen GyrAB rör sig över sitt undre tröskelvärde. Koncentrationen TopA är lägre än sitt undre tröskelvärde och minskar under simuleringen, vilket ses i figur 8e. I figur 8f ökar koncentrationen stabilt RNA över sitt tröskelvärde. 9

x x (a) CRP (b) Cya x x.8.....8.... (c) Fis (d) GyrAB x 9 x..8.....8.... (e) TopA (f) Rrn Figur 8. Simulering utan kolhydratsvältsignal. Koncentrationer av ( 8a) CRP och tröskelvärden, ( 8b) Cya och tröskelvärden, ( 8c) Fis, ( 8d) GyrAB och tröskelvärden, ( 8e) TopA, ( 8f) Rrn och tröskelvärde.. Differentialekvation utan sinusfunktion Figur 9a och 9b visar de simulerade koncentrationerna med en modell av differentialekvationer utan sinusfunktioner. Figur 9a har genererats med kolhydratsvältsignal och figur 9b har genererats utan.

x x (a) Med insignal (b) Utan insignal Figur 9. Simulering med differentialekvation utan sinusfunktion. Figur ( 9a) med kolhydratsvältsignal och ( 9b) utan kolhydratsvältsignal. Ifigur seshurkoncentrationernaändrasundersimuleringvarochenförsigutan signal om kolhydratsvält. Koncentrationen CRP minskar till under det övre tröskelvärdet, koncentrationen Cya ökar, Fis ökar först för att sedan minska och slutar under dess fjärde tröskelvärde. Koncentrationen GyrAB ökar först, minskar till samma nivå som simuleringen börjar på och ökar totalt sett. Koncentrationen TopA minskar och koncentrationen stablit RNA ökar.

8 x. x.... (a) CRP (b) Cya x x 8 9 8 8 (c) Fis (d) GyrAB x 9 x..8.....8.... (e) TopA (f) Rrn Figur. Simulering utan kolhydratsvältsignal. Koncentrationer av ( a) CRP, ( b) Cya, ( c) Fis, ( d) GyrAB, ( e) TopA, ( f) Rrn. I figur ses hur koncentrationerna ändras under simulering med differentialakvationen utan sinusfunktion med signal om kolhydratsvält. Koncentrationen CRP minskar, koncentrationen Cya svänger kraftigt och slutar på ungefär samma värde som simuleringen började på. Koncentrationen Fis ökar till under det fjärde tröskelvärdet och koncentrationen GyrAB ökar under halva simuleringen och börjar sedan minska men ökar totalt sett. Koncentrationen TopA minskar något under halva simuleringen för att sedan öka snabbt och därefter minska och koncentrationen stabilt RNA ökar.

8 x x 9 (a) CRP (b) Cya x.8 x. 8...8... (c) Fis (d) GyrAB 8 x 8 x.8....8... (e) TopA (f) Rrn Figur. Simulering med kolhydratsvältsignal. Koncentrationer av ( a) CRP, ( b) Cya, ( c) Fis, ( d) GyrAB, ( e) TopA, ( f) Rrn. Vid simulering med insignal om kolhydratsvält når koncentrationerna värden mellan följande tröskelvärden. θ Crp <x Crp <θ Crp θ Cya <x Cya < max Cya θ Fis <x Fis <θ Fis θ GyrAB <x GyrAB <θ GyrAB <x TopA <θ TopA θ rrn <x rrn < max rrn

. Differentialekvation med sinusfunktion Figur visar de simulerade koncentrationerna med en modell av differentialekvationer med sinusfunktioner. Figur a har genererats med kolhydratsvältssignal och med ett totalt deltavärde av %, figur b har genererats med kolhydratsvältssignal och med ett totalt deltavärde av %, figur c har genererats utan signal om kolhydratsvält och med ett totalt deltavärde av % och figur d har genererats utan signal om kolhydratsvält och med ett totalt deltavärde av %. 8 x 8 x (a) Med insignal, totalt deltavärde %. (b) Med insignal, totalt deltavärde %. 8 x (c) Utan insignal, totalt deltavärde %. (d) Utan insignal, totalt deltavärde %. Figur. Simulering med differentialekvation med sinusfunktion. Figur ( a) och ( b) med kolhydratsvältsignal och ( c) och ( d)utan kolhydratsvältsignal. Figur ( a) och (c)haretttotaltdeltavärdepå%ochfigur(b)och(d)haretttotaltdeltavärde på %. Ifigur seshurkoncentrationernaändrasundersimuleringvarochenförsigutan signal om kolhydratsvält. Det totala deltavärdet under simuleringen är %. Koncentrationen CRP minskar till under det övre tröskelvärdet, koncentrationen Cya ökar, Fis ökar, minskar och ökar i tvära kast och slutar på en högre koncentration än simuleringen började på. Koncentrationen GyrAB ökar först, minskar till samma nivå som simuleringen började på, ökar och minskar därefter och ökar totalt sett. Koncentrationen TopA och stablit RNA minskar.

8 x. x.... (a) CRP (b) Cya x x 8 9 8 8 (c) Fis (d) GyrAB x 9 x..... (e) TopA (f) Rrn Figur. Simulering utan kolhydratsvältsignal, med sinusfunktion. Totalt deltavärde % av aktuellt tröskelvärde. Koncentrationer av ( a) CRP, ( b) Cya, ( c) Fis, ( d) GyrAB, ( e) TopA, ( f) Rrn. I figur ses hur koncentrationerna ändras under simulering med differentialakvationen med sinusfunktion med signal om kolhydratsvält. Det totala deltavärdet under simuleringen är %. Koncentrationen CRP minskar, koncentrationen Cya svänger kraftigt och slutar på ungefär samma värde som simuleringen började på. Koncentrationen Fis ökar till över det fjärde tröskelvärdet och koncentrationen GyrAB ökar under halva simuleringen och börjar sedan minska men ökar totalt sett. Koncentrationen TopA minskar något under halva simuleringen för att sedan öka snabbt och därefter minska och koncentrationen stabilt RNA minskar.

8 x x 9 (a) CRP (b) Cya x.8 x. 8...8... (c) Fis (d) GyrAB 8 x 8 x. (e) TopA. (f) Rrn Figur. Simulering med kolhydratsvältsignal, med sinusfunktion. Totalt deltavärde % av aktuellt tröskelvärde. Koncentrationer av ( a) CRP, ( b) Cya, ( c) Fis, ( d) GyrAB, ( e) TopA, ( f) Rrn. Vid simulering med insignal om kolhydratsvält når koncentrationerna värden mellan följande tröskelvärden. θ Crp <x Crp <θ Crp θ Cya <x Cya < max Cya θ Fis <x Fis <θ Fis <x GyrAB <θ GyrAB <x TopA <θ TopA <x rrn <θ rrn Ifigur seshurkoncentrationernaändrasundersimuleringvarochenförsigutan signal om kolhydratsvält. Det totala deltavärdet under simuleringen är %. Koncent-

rationen CRP minskar till under det övre tröskelvärdet, koncentrationen Cya ökar, Fis ökar, minskar och ökar i tvära kast och slutar på en högre koncentration än simuleringen började på. Koncentrationen GyrAB ökar först, minskar till samma nivå som simuleringen började på, ökar, minskar och ökar därefter och ökar totalt sett. Koncentrationen TopA minskar och koncentrationen stablit RNA ökar tvärt för att sedan börja minska till en högre nivå än den ursprungliga. 8 x. x.... (a) CRP (b) Cya x x 8 9 8 8 (c) Fis (d) GyrAB x 9........ (e) TopA (f) Rrn Figur. Simulering utan kolhydratsvältsignal, med sinusfunktion. Totalt deltavärde %avaktuellttröskelvärde.koncentrationerav(a)crp,(b)cya,(c)fis,(d) GyrAB, ( e) TopA, ( f) Rrn. I figur ses hur koncentrationerna ändras under simulering med differentialakvationen med sinusfunktion med signal om kolhydratsvält. Det totala deltavärdet under simuleringen är %. Koncentrationen CRP minskar, koncentrationen Cya svänger kraftigt och slutar på en högre nivå än den som simuleringen började på. Koncentrationen Fis varierar under hela simuleringen och ökar totalt till mellan det tredje och fjärde

tröskelvärdet och koncentrationen GyrAB ökar till över det övre tröskelvärdet. Både koncentrationen TopA och stabilt RNA minskar. 8 x x 9 (a) CRP (b) Cya 8 x x.8....8... (c) Fis (d) GyrAB x 9 x.... (e) TopA. (f) Rrn Figur. Simulering med kolhydratsvältsignal, med sinusfunktion. Totalt deltavärde % av aktuellt tröskelvärde. Koncentrationer av ( a) CRP, ( b) Cya, ( c) Fis, ( d) GyrAB, ( e) TopA, ( f) Rrn. Vid simulering med insignal om kolhydratsvält når koncentrationerna värden mellan följande tröskelvärden. θ Crp <x Crp <θ Crp θ Cya <x Cya < max Cya θ Fis <x Fis <θ Fis θ GyrAB <x GyrAB <θ GyrAB <x TopA <θ TopA <x rrn <θ rrn 8

Diskussion Alla resultat som erhållts jämförs med resultaten från Porreca et al (8) och Ropers et al (). Grafer genererade utan kolhydratsvältsignal jämförs med resultaten från Porreca et al (8) och värdena genererade med kolhydratsvältsignal jämförs med värden tagna i slutat av den kvalitativa cykeln från Ropers et al ().. Differensekvation När erhållna värden från differensekvationen jämförs med de från Ropers et al () ses att de inte är lika. De erhållna värdena för CRP och GyrAB ligger högre än de från Ropers et al (), TopA och Rrn håller samma nivå och Fis ligger på en lägre. Då värdet för Cya håller sig väldigt nära θcya är det svårt att klassificera det som över eller under. Dessa resultat stämmer inte helt överens men avviker heller inte mycket ifrån varandra. Graferna som genererats utan signal om kolhydratsvält är slående lika de som presenterats av Porreca et al (8). Alla slutliga koncentrationer stämmer överens och dessa utvecklas lika. Trots att detta är en väldigt enkel modell ger den resultat som liknar de resultat Ropers et al () och Porreca et al (8) fått. Koncentrationerna visar inte de kvalitativa cykler som nämns av Ropers et al (). Detta beror troligtvis på att modellen förlorar mycket känslighet på grund av de diskreta tidssteg som tas.. Differentialekvation utan sinusfunktion Vid jämförelse av den erhållna grafen i figur 9b och graferna presenterade av Porreca et al (8) ses få skillnader. En sådan är att koncentrationen stabilt RNA ökar på ett lite annat sätt. Värden erhållna med denna modell befinner sig i de flesta fall mellan samma tröskelvärden som i Ropers et al (). Koncentrationen av CRP och Cya är lägre än i Ropers et al () och övriga koncentrationer ligger på samma nivåer. I denna modell ökar koncentrationen stabilt RNA vilket även händer under den kvalitatvia cykeln i figur. Det skulle kunna tänkas att något liknande händer i denna modell. Denna modell anpassar tidsstegen till förändringen av koncentrationerna. Vid stora förändringar tas små steg och vid små tas stora steg. Detta borde göra modellen känsligare och därmed ge resultat mer lika de som presenterats av Ropers et al (). Det faktum att modellen är diskontinuerlig skulle kunna påverka resultatet eftersom den numeriska lösare som använts troligtvis inte klarar av detta lika bra som GNA.. Differentialekvation med sinusfunktion Då de erhållna graferna i figur och graferna presenterade av Porreca et al (8) jämförs ses en tydlig skillnad. Koncentrationen stabilt RNA ökar mycket kraftigt till en 9

koncentration som inte är realistisk för att sedan avta. De övriga parametrarna ändras som i Porreca et al (8). De värden som erhållits av modellen med sinusfunktioner och totalt deltavärde % vid simulering utan insignal om kolhydratsvält befinner sig i de flesta fall mellan samma tröskelvärden som i Ropers et al (). Koncentrationerna av Fis och GyrAB överstiger de i Ropers et al () och koncentrationerna av CRP, Cya, TopA och stabilt RNA håller samma nivåer. Liksom i differensekvationsmodellen minskar koncentrationen av stabilt RNA vid signal om kolhydratsvält. Detta skulle kunna tolkas som att mängden negativa supercoils är större i denna simulering än i Ropers et al (). Graferna genererade av differentialekvationen med sinusfunktion och totalt deltavärde % är i de flesta fall lika de grafer som genererats av Porreca et al (8). En stor skillnad är att koncentrationen stabilt RNA minskar konstant. Koncentrationerna Fis och GyrAB ändras inte på riktigt samma sätt i denna simulering. Koncentrationerna CRP, Cya och TopA ändras som i graferna av Porreca et al (8). Vid simulering med differentialekvationen med sinusfunktion och totalt deltavärde % och signal om kolhydratsvält fås resultat väldigt lika de i Ropers et al (). Koncentrationerna av Crp, Cya, GyrAB, TopA och stabilt RNA ligger mellan samma tröskelvärden som i Ropers et al () och koncentrationen Fis är mellan de två högsta tröskelvärdena iställetförmellandetvålägstaavtotaltfem. En orsak till att denna modell visar vissa konstiga resultat kan vara att den inte har sinusfunktioner mellan alla linjära delar, utan bara mellan några. Detta skulle kunna göra modellen ojämn genom att ändra dynamiken mellan regulatorerna. En stor skillnad kan dock ses när resultaten genererade med de olika deltavärdena jämförs. Genom att göra sinusfunktionerna mer lika stegfunktionerna (totalt deltavärde %) försvinner den stora ökningen av stabilt RNA. Troligtvis är % ett för stort deltavärde.. Slutsatser och utvecklingar Alla de modeller som beskrivits har fördelar och nackdelar. Ingen av dem är perfekt och de tycks hantera de olika förutsättningarna olika bra. Genom att fortsätta utveckla differentialekvationen med sinusfunktioner så hela modellen blir kontinuerlig och anpassa bredden på sinusfunktionerna borde en modell som bättre liknar den faktiska miljön i cellen kunna simuleras. Eftersom diffusion inte är omedelbar, det tar ett tag för koncentrationer att spridas i cellen, skulle mjukare övergångar troligtvis bättre illustrera de verkliga interaktionerna i cellen. Tack till Stort tack till Uno Wennergren, min handledare, som alltid tar sig tid och som tog sig an detta skumma projekt. Jag vill också tacka Marcus Wirebrand som lärt mig massor om MatLab och LaTeX.

A Appendix A. Kvalitativ cykel från Ropers Figur. Kvalitativ cykel för koncentrationer. (Ropers et al, )

Referenser Balke, V., Gralla, J., 98. Changes in the linking number of supercoiled DNA accompany growth transitions in Escherichia coli. Journal of Bacteriology 9,99. de Jong, H., Geiselmann, J., Hernandez, C., Page, M.,. Genetic Network Analyzer: qualitative simulation of genetic regulatory networks. Bioinformatics 9,. Drulhe S., Ferrari-Trecate G., de Jong H., 8. The switching threshold reconstruction problem for piecewise-affine models of genetic regulatory networks. IEEE Trans. Automat. Control,. Glass, L., Kauffman, S., 9. The logical analysis of continuous, non-linear biochemical control networks. Journal of Theoretical Biology. 9, 9. Porreca R., Drulhe S., de Jong H., Ferrrari-Trecate G., 8. Structural identification of piecewise-linear models of genetic regulatory networks. Journal of Computational Biology,, -8. Ropers D., de Jong H., Page M., Schneider D., Geiselmann J.,. Qualitative simulation of the carbon starvation response in Escherichia coli. Biosystems8,-.