Matematiska uttrycksformer och representationer

I-M Gustafsson, M Jakobsson, I Nilsson, M Zippert m fl Matematiska uttrycksformer och representationer I denna artikel ger författarna exempel på hur IKT kan användas för att arbeta med både matematiska uttrycksformer och representationer. Ofta skiljer vi inte på uttrycksformer och representationer, utan de får stå för samma sak. För tydlighetens skull diskuteras de dock här var för sig. Artikeln innehåller även exempel på tillämpningar hämtade från gymnasiet. Representationer Matematiska begrepp kan representeras på olika sätt som kan skilja sig mycket åt och ha olika funktion. Ofta delar vi in representationer i fem kategorier: fysisk, bildlig eller grafisk, verbal, numerisk och symbolisk. Vilken eller vilka representationer som är att föredra beror på vad den skall användas till och också hur långt eleven har kommit i sin matematiska utveckling. För att få en djupare förståelse av matematiska begrepp måste vi erövra olika representationer och även kunna göra översättningar mellan dem. Här har det talade språket en viktig funktion. Oftast använder vi det talade språket för att stegvis bygga upp representationer från konkreta och vardagsnära till mera abstrakta. Samtidigt används språket för att utforska, kontrastera och se sambanden mellan olika representationer. Den som har tillgång till flera olika representationer för att beskriva samma matematiska begrepp har en rikare och mera funktionell begreppskunskap. Att kunna växla mellan olika representationer är också något som många menar starkt bidrar till problemlösningsförmågan. De två begreppen uttrycksformer och representationer är centrala i de nya ämnesplanerna för både grundskolan och gymnasieskolan. I skolverkets beskrivning av ämnet matematik och dess syfte sägs det att: Undervisningen ska innehålla varierande arbetsformer och arbetssätt, där undersökande aktiviteter utgör en del. När så är lämpligt ska undervisningen ske i relevant praxisnära miljö. Undervisningen ska ge eleverna möjlighet att kommunicera med olika uttrycksformer.... I undervisningen ska eleverna dessutom ges möjlighet att utveckla sin förmåga att använda digital teknik, digitala medier och även andra verktyg som kan förekomma inom karaktärsämnena. (Skolverket 2011) Matematiska representationer står omtalat i betygskriterierna för alla kurserna. För betyget A är formuleringen: Eleverna kan med säkerhet visa innebörden av centrala begrepp i handling samt utförligt beskriva innebörden av dem med flera andra representationer. Dessutom växlar eleven med säkerhet mellan dessa olika representationer. (Skolverket 2011) 36 Nämnaren nr 3 2011

Ett exempel får illustrera representationer där vi skall ge mening åt begreppet linjär funktion eller proportionalitet på flera olika sätt. Fysisk representation Vi tar fram en förpackning havregryn och läser hur mycket vatten och havre vi be höver beroende på hur många portioner vi skall koka. Vi kan då mäta upp korrekt mängd vatten och havre även i ett fall som inte står angivet på förpackningen. Verbal representation Vi kan säga att en linjär funktion är en funktion som går igenom origo och som är sådan att vi kan få y-värdet för vilken punkt x som helst genom att ta y-värdet för x =1 och multiplicera med vårt aktuella x. Numerisk representation Vi ger ett exempel i form av tre värdetabeller och observerar mönstret. Speciellt ser vi att vi enkelt kan beräkna värdet för vilket x som helst bara vi känner värdet för x =1. x y -3-6 -2-4 -1-2 0 0 1 2 2 4 3 6 x y -3-1,5-2 -1,0-1 -0,5 0 0,0 1 0,5 2 1,0 3 1,5 x y -3 4,5-2 3,0-1 1,5 0 0,0 1-1,5 2-3,0 3-4,5 Bildlig representation Vi ger exempel på linjära funktioner i en graf och ser att de är linjer som är räta och går genom origo. Nämnaren nr 3 2011 37

Symbolisk representation En linjär funktion eller en funktion där y är proportionell mot x ges av uttrycket y = kx där k kallas proportionalitetskonstanten. Alternativt kan vi säga att en linjär funktion f(x) är en funktion som uppfyller f (ax 1 + bx 2 ) = a f(x 1 ) + b f(x 2 ) för alla värden på x 1 och x 2 där a och b är godtyckliga konstanter. Det senare sättet att beskriva en linjär funktion är mera abstrakt och fokuserar på egenskaper. Uttrycksformer Uttrycksformer hör samman med i vilka former och med vilka medier representationer uttrycks. Detta begrepp är därmed tätare kopplat till hur matematik kommuniceras, vilket också poängteras i texten om matematikämnets syfte. Den fysiska representationen kan ta sig olika uttryck. Vi kan använda konkreta föremål som klossar eller pinnar, eller dramatiseringar och kroppsuttryck. I exemplet ovan kan vi visa en video där någon mäter upp havre och vatten för att koka olika stora portioner. Representationen är då ett mellanting mellan fysisk och bildlig. Om vi går över till den numeriska representationen så kan vi bland annat skriva tabeller på tavlan eller i skrivboken, visa dem på overhead eller i ett kalkylblad med hjälp av dator och projektor. Val av media ger olika möjligheter. Den verbala representationen kan förmedlas som ett vanligt samtal men också i en videofilm, där man samtidigt får tillgång till den bildliga representationen. Bildlig representation kan uttryckas med hjälp av en graf på ett papper, med grafritande räknare, på interaktiv skrivtavla och så vidare. Också för symboliska representationer finns en mängd olika möjligheter. Vi kan skriva och manipulera på tavlan, i boken, eller på datorskärmen via ett datoralgebrasystem. Representationer och uttrycksformer går naturligt in i varandra och det är i många fall enklare att tänka på dem som ett begrepp med både innehåll och form. Oavsett vilket synsätt vi har så är representationer och uttrycksformer till för att vi skall få möjligheter att tänka på, använda och kommunicera matematiska begrepp på olika sätt. Ett begrepp förstås bättre och blir mer användbart då vi kan se det från skilda håll. Nya medier öppnar för nya uttrycksformer I läroböcker använder man olika representationer för att ringa in ett specifikt matematiskt begrepp. För att klargöra hur de olika representationerna hänger samman utnyttjar man i böckerna övervägande det skrivna ordet som uttrycksform. På samma sätt är eleverna ofta hänvisade till att skriva ner hur de ser länken mellan två olika representationer för samma begrepp. Med tanke på de begränsningar som det skrivna ordet har i detta sammanhang alla som skriver matematik vet hur besvärligt det är och vet att vi inte alltid lyckas förklara det vi vill är det en stor fördel att muntligt kunna förklara vad vi avser. I en direkt undervisningssituation är språket hela tiden tillgängligt som förmedlare och lärare och elever kan föra ett direkt samtal när de arbetar med olika representationer. Med hjälp av nya medie- och uttrycksformer, och då speciellt video och ljud, kan vi komma bort från begränsningarna med traditionellt skrivna förklaringar. Skolans pågående digitalisering underlättar detta. I så kallade en-till-en-projekt utrustas varje elev med en egen bärbar dator, och när skolorna har trådlösa nätverk har eleverna alltid tillgång till internet. 38 Nämnaren nr 3 2011

Samtidigt ser vi en nästan explosionsartad utveckling inom det som kallas nya medier som innehåller oanade möjligheter. Vem som helst kan idag skapa videofilmer med inspelat ljud, en uttrycksform som starkt appellerar till ungdomar, och lägga ut dessa på YouTube eller på en hemsida. Med skärminspelningsprogram kan vi registrera vad som händer på skärmen när vi arbetar med ett datorprogram och samtidigt tala in ljud med en muntlig förklaring. Med tillgång till olika medie- och uttrycksformer uppkommer behovet att kunna arbeta parallellt med skriven text, foto, videofilmer, arbetsblad till datorprogram och internetlänkar. Också här går utvecklingen framåt och med program som Microsoft Onenote, kan de olika medieformerna bli tillgängliga i ett och samma dokument. I avsnitten nedan skall vi ge konkreta exempel på hur nya medier kan användas i matematikundervisningen. Olika representationer med matematikprogramvara Det finns mängder av bra matematikprogram, men de två som på senare tid har väckt mest uppmärksamhet är Geogebra och TI-Nspire. Dessa är så kallade dynamiska geometriprogram som knyter samman flera olika representationer. I figur 1 visas hur det kan se ut när man arbetar med TI-Nspire i samband med att begreppet tangent skall introduceras. Genom att dra i punkten A kan vi grafiskt illustrera vad som händer med sekanten när punkten A närmar sig B. Tangenten motsvarar gränsläget av sekanten då A går mot B. Derivatan fås som riktningskoefficienten av tangenten. Förutom den grafiska representationen finns både en algebraisk och en numerisk. Representationerna är dynamiskt kopplade så när vi gör en ändring av en av dem så ändrar sig även de andra. Med hjälp av dynamiska program kan lärare och elever tillsammans arbeta aktivt med de olika representationerna i en undervisningssekvens. Via språket kommer vi åt meningen av t ex y och x, vad de representerar, deras numeriska värden och anknytning till sekanten och dess ekvation. Figur 1: Med TI-Nspire och Geogebra kan man arbeta med olika representationer samtidigt: grafisk, algebraisk och numerisk. Det går även bra att lägga in bilder och göra animeringar. Det sistnämnda ger kompletterande möjligheter att ringa in och representera begrepp. Nämnaren nr 3 2011 39

Tillgång till en interaktiv skrivtavla eller en så kallad Tablet-PC ger ytterligare möjligheter, där representationerna i Geogebra eller TI-Nspire kan kompletteras med lärarens eller elevernas skrivna eller numeriska representationer, se figur 2. Materialet kan enkelt sparas i elektronisk form och göras tillgängligt via skolans lärplattform. Teknologi och programvara ger alltså stora möjligheter att arbeta med olika representationer och uttrycksformer, men dessa möjligheter måste aktivt realiseras av läraren i dialog med eleverna. Figur 2: Tablet-PC och interaktiv skrivtavla. Med hjälp av dessa kan handskrivna anteckningar och kommentarer till arbete med ett matematikprogram sparas elektroniskt och göras tillgängliga för eleverna. Skärminspelningar och Onenote Gratis och lättanvända skärminspelningsprogram, dvs program som registrerar och sparar vad som sker på skärmen då man t ex arbetar med ett matematikprogram samtidigt som man spelar in muntliga förklaringar och kommentarer, ger nya möjligheter. Vi tar ett exempel: Läraren förbereder en konstruktion i ett matematikprogram som involverar olika representationer. Arbetet med konstruktionen, tillsammans med kommentarer och förklaringar, som binder samman olika representationer, spelas in med ett skärminspelningsprogram. Den inspelade filmen görs tillgänglig via skolans lärplattform eller läggs ut på YouTube. Eleverna har nu alltid, hemma såväl som i skolan, tillgång till det talade språket när de arbetar med matematik. Skrivna instruktioner och förklaringar har kompletterats med flera andra uttrycksformer i en datorbaserad miljö. Skärminspelningar, skriven text, uppgifter med dynamiska geometriprogram eller vanliga uppgifter kan till exempel samlas i Onenote. Genom det samlade materialet får eleverna en större möjlighet att utforska uttrycksformer än tidigare, då matematikboken var den dominerande källan till kunskap. Vi anser att detta har en mycket stor potential och vi har bara sett början på en snabb utveckling, där olika medieformer används för att belysa och binda samman skilda aspekter av arbetet med matematiska begrepp. Det kan vara värt att notera att många av våra elever redan nu använder digitala resurser i form av skärminspelningar med ljud eller video som ligger tillgängliga på olika internetsidor. De går också ut på olika chattsidor och får hjälp av kamrater och andra intresserade. Att gruppen ungdomar som utnyttjar nya medier i utbildningssyfte, i många fall även via sina mobiler, är starkt ökande stärker uppfattningen om värdet av detta arbetssätt. 40 Nämnaren nr 3 2011

Exempel från gymnasiet Nedan finns tre konkreta exempel på hur TI-Nspire CAS, onenote-filer, geogebra-konstruktioner, videofilmer och andra digitala medier kan användas för att arbeta med olika representationer. Materialet har tagits fram inom ramen för projektet Matematik för den digitala generationen och finns att ladda ner från NCM:s webbplats för IKT, på adress ikt.ncm.gu.se/node/174 Optimeringsproblem med TI-Nspire CAS TI-Nspire CAS är ett dynamiskt datorprogram som kan knyta samman flera olika representationer. För att illustrera arbetet med programmet utgår vi från följande problem: En öppen ask är gjord av ett 8 cm x 10 cm stort pappersark där man har klippt ut kvadrater från hörnen med sidan x och sedan böjt upp sidorna. Vilken höjd x ger maximal volym av lådan och hur stor blir volymen? I anslutning till detta problem har jag gjort ett arbetsblad och gett till eleverna. Arbetsbladet visas i figur 3. De geometriska figurerna i arbetsbladet ger en bild av problemet. Om eleverna drar i den rödmarkerade punkten ändras sidan x och samtidigt kan de se i grafen och i kalkylbladet hur sidornas och volymens storlek ändras. I grafen kan maximipunkten bestämmas och i kalkylbladet kan det största värdet avläsas. Eleverna kan också i programmet göra en beräkning av den maximala volymen med hjälp av derivata. På detta sätt har eleverna arbetat med flera olika representationer på ett undersökande sätt. Jag brukar koppla TI-Nspire till en interaktiv skrivtavla och diskutera problemen med klassen. Arbetet på skrivtavlan sparas i elektronisk form och görs tillgängligt för eleverna. De kan när som helst gå tillbaka till problemet och se vad vi gjorde och hur vi resonerade. Figur 3: Ett optimeringsproblem givet som ett arbetsblad i TI-Nspire. Genom att dra i den rödmarkerade punkten i fönstret uppe till vänster ändras sidan x och därmed lådans volym. Olika representationer är kopplade och samtidigt som värdet på x ändrar sig kan man följa värdet på volymen både i grafen och i kalkylbladet. Ing-Mari Gustafsson Nämnaren nr 3 2011 41

Derivatan som funktion med Tablet-PC, Onenote och Geogebra Jag planerade en lektion med syftet att ge eleverna förståelse för att derivatan är en funktion, att den kan ritas som en graf och hur utseendet på derivatans graf och den ursprungliga funktionens graf är kopplade. Innan lektionen hade vi tagit upp begreppet derivata, deriveringsregler och tangentens lutning. Vid denna lektion använde jag mig av en tablet-pc, programmen Onenote och Geogebra. Dessa gör att jag kan kombinera gammal tavelteknik med inklippta bilder från Geogebra och färdiga geogebrakonstruktioner. På PC-skärmen skriver jag med tabletpennan och visar det som växer fram med hjälp av en projektor. I programmet Onenote är det enkelt att klippa in bilder och spara filer, till exempel geogebrafiler, som man vill ska vara tillgängliga på samma ställe som genomgången. För att få en uppfattning om hur slutresultatet kan se ut och för att kunna följa idén med lektionen finns onenote-sidan tillgänglig på adressen på föregående sida. Del av onenote-sidan kan också ses i figur 4. Jag utgick från exemplet f(x) = x 2 + 2. Funktionen ritades upp med hjälp av Geo gebra och bilden klipptes in i Onenote. För olika värden på x diskuterade vi och markerade lutningen i den inklippta bilden, se figur 4. Exakta värden på lutningen fick vi fram med hjälp av en geogebrakonstruktion där en tangent och dess lutning finns med. Denna konstruktion och kopplingen mellan derivata och tangent hade vi även arbetat med under tidigare lektioner så därför kunde detta göras relativt fort. De värden på x som vi diskuterat och tillhörande värden på lutningen k samlades i en värdetabell. De ritades även in som punkter i grafen. Eleverna kunde nu se hur en förstagradsfunktion växte fram. Värdena på lutningen jämfördes också med de värden man fick om man deriverade funktionen och beräknade uttryckets värde. Eleverna kunde också se att det deriverade uttrycket var just en förstagradsfunktion. Det jag nu låtit växa fram är vad geogebrakonstruktionen i figur 4 kan åstadkomma om man använder möjligheten att visa derivatan som graf. När man drar i punkten på funktionen växer derivatans graf fram med hjälp av funktionen spår. Detta gjordes så att eleverna kunde se det och sen klipptes en bild av det färdiga resultatet in, som helt motsvarar den första bilden som jag till stora delar ritat själv (se åter figur 4). Jag hade kunnat visa konstruktionen direkt, men jag tror att förståelsen då lätt drunknat i tekniken. Genom att först rita för hand tror jag att eleverna hänger med bättre. Styrkan med geogebrakonstruktionen är att jag i nästa steg enkelt kunde göra om samma sak för en annan funktion, t ex kan man i konstruktionen ändra grad på funktionen med hjälp av glidare. Efter det första exemplet hade jag nu en allmän diskussion med eleverna om kopplingen mellan funktionen och derivatans graf. Sedan gjorde jag snabbt ett nytt exempel med en tredjegradsfunktion. Tid behövde här inte läggas på att rita, utan vi kunde fokusera på att se kopplingen mellan de två graferna. Onenote gjorde det också enkelt att klippa in bilden och rita i den eller skriva kompletterande text. En annan fördel med geogebrakonstruktionen är att eleverna kan få arbeta vidare med den på egen hand och titta på fler exempel. Onenote ger mig alltså möjligheter att klippa in bilder och rita i dem men även möjlighet att spara andra filer på sidan. I detta fall lade jag in geogebrafilen samt en pdf-fil som innehåller ett derivatapussel, som eleverna arbetade med på lektionen. Ser jag till att eleverna får tillgång till min onenote-sida så har de även de andra filerna. Jag behöver inte lägga ut tre olika filer och eleverna har allt samlat. Arbetssätt och material har jag utarbetat tillsammans med min kollega Joakim Ryning. Malin Zippert 42 Nämnaren nr 3 2011

Figur 4: Del av Onenote-sida. Överst syns en graf inklippt från Geogebra med markeringar gjorda i Onenote. Nederst en inklippt bild från en geogebrakonstruktion som ritar derivatans graf. Konstruktionen finns också som klickbar ikon högst upp till höger på sidan så att eleverna kan använda den. Nämnaren nr 3 2011 43

Inledning till rotationskroppar volymen av ett päron Päronlaborationen är ett exempel på en IKT-laboration i MaE-kursen. Den genomförde vi som en inledning på kapitlet som handlar om rotationskroppar. Eleverna fick räkna ut volymen av ett päron på tre olika sätt: 1. Genom att använda en mätcylinder och sänka ner päronet i vatten. 2 Genom att skiva ett päron och mäta radie och tjocklek, samt summera volymen av päronskivorna. 3. Genom att räkna ut volymen med integralen för en funktion som de har bestämt genom regression. I laborationen använde eleverna Geogebras kalkylblad för att föra in värden på päronskivornas radie och tjocklek. Med hjälp av kalkylbladet kunde de också räkna ut och summera skivornas volym för att få päronets totala volym. I programmet finns även möjlighet att plotta mätvärdena för radien som funktion av päronets kumulerade tjocklek, dvs att få en bild av päronets kontur. Genom att använda kommandona för regression skulle eleverna anpassa ett polynom f(x) till konturen och med hjälp av den inbyggda CAS-funktionaliteten skulle de sedan beräkna volymen genom formeln V = b a πf(x) 2 dx. Figur 5: Arbete med olika representationer i Geogebra: numerisk, grafisk och symbolisk. Eleverna kunde sedan jämföra värdena på päronets volym som de fick med hjälp av de tre metoderna. Till höger i figur 5 ses kalkylbladet där eleverna matade in värdena på päronskivornas tjocklek och radie och där de sedan gjorde beräkningar av total volym. I mitten visas grafiskt hur päronets radie beror på den kumulerade tjockleken. I figuren har även ett tredjegradspolynom f(x) anpassats. Uppe till vänster syns Geogebras CAS-verktyg där volymintegralen ovan har beräknats genom att ge kommandot Nintegral[f(x)^2*pi,0,12] och där 0 och 12 är gränserna för päronets utsträckning och f(x) är det anpassade tredjegradspolynomet som beskriver päronets kontur. 44 Nämnaren nr 3 2011

Laborationsinstruktionen eleverna fick finns att ladda ner från ncm.gu.se. För att ge en bättre uppfattning av laborationen har jag spelat in en video som också finns att ladda ner. Videon som beskriver laborationen gjordes med hjälp av Screen-o-matic, ett gratisprogram från internet, och redigerades med Windows Live Moviemaker som också är gratis. Det finns många instruktionsfilmer på YouTube som visar hur man jobbar med programmet t ex youtu.be/ Sdte6mxMZzg. Att spela in film är användbart både som instruktion och som repetition, men också som inlämning av muntlig redovisning från eleven i något projekt. Då filmen redigerades gjordes en ljudinspelning med programmet Audacity som även det är gratis. Päronlabben är i alla avseenden en mycket rik laboration, där många representationer knyts samman. Volymen av päronet representeras fysiskt genom mätning med mätglas. Volymen representeras numeriskt via mätvärdena i kalkylbladet. Via funktionsanpassningen till päronets kontur får vi tillgång till en funktion f(x) och en symbolisk representation av integralen som ger rotationsvolymen. Där finns goda möjligheter att diskutera och kontrastera de olika representationerna. För elevernas redovisningar kan man be dem filma delar av utförandet där de förklarar vad de gör och hur de tänker, vilket tillför ytterligare en dimension. Ingela Nilsson Avslutande kommentarer De nya ämnesplanerna pekar på vikten, inte bara av att arbeta med olika representationer, utan även av att utnyttja och ta vara på de möjligheter och nya uttrycksformer digital teknik och digitala medier erbjuder. Det är därför angeläget att Skolverket kommer med stöd för bedömning av arbete med digitala medier. Frågor om vad det är som skall bedömas vid arbete med digitala medier och hur det skall bedömas, måste exemplifieras och göras tydligt både för lärare och elever. För att ta till vara de möjligheter som digitala medier erbjuder behövs goda exempel och att lärarna jobbar tillsammans inom kollegiet, men också delar med sig av sina erfarenheter till andra lärare. Det sistnämnda är inte så svårt i dagens medievärld. litteratur Utbildningsdepartementet (2010). Förordning om ämnesplaner för de gymnasiegemensamma ämnena. Stockholm: Utbildningsdepartementet. Bergsten, C., Häggström, J. & Lindberg, L. (1997). Algebra för alla (Nämnaren Tema 3). NCM, Göteborgs universitet. Bergsten, C. (2006). Vad är en parabel? Nämnaren 1, s 45 48. Björklund, L. (2003). Att fånga elevers kunnande. Nämnaren 4, s 25 29. Emanuelsson, G. (1995). Måltavlan: Språk, symboler och uttrycksformer. Nämnaren 2, s 2 3. Hagland, K. (2007). Rita en bild. Nämnaren 3, s 27 31. Jönsson, P., Larsnäs, M. & Lingefjärd, T. (2009). Matematik med mobiltelefoner. Nämnaren 4, s 1 10. Kilborn, W. (2007). Kommunikationens betydelse. Nämnaren 1, s 3 7. Lingefjärd, T. (2008). Geogebra: Samspelet mellan algebra och geometri. Nämnaren 4, s 28 31. Lingefjärd, T. (2009). Geogebra: Del 2. Nämnaren 1, s 35 38. Lingefjärd, T. (2009). Geogebra i gymnasieskolan. Nämnaren 2, s 45 50. Lingefjärd, T. (2009). Geogebra: Samspel mellan algebra, geometri, statistik och talteori, Nämnaren 4, s 39 42. Lingefjärd, T. (2010). Avancerad matematik med Geogebra. Nämnaren på nätet. Tillgänglig 2011-09-01 på ncm.gu.se/media/namnaren/npn/arkiv_xtra/10_2/geogebra_5.pdf Nämnaren nr 3 2011 45