Kapitel 1 Vektorer Vektorbegreppet 1.1 Låt u=(4,0, 1,3) och v=(2,1,4, 2). Beräkna vektorn 2u 3v. 1.2 Rita ut vektorerna u=(3,1) och v=( 2,2) i samma koordinatsystem. Illustrera additionerna/subtraktionerna u+v, u v och u+ 1 2v geometriskt. Vad blir koordinaterna för dessa vektorer? 1.3 Vektorerna u,v,w i R 2 illustreras i figuren till höger. Rita ut vektorerna a) 2u+3v b) u v w c) u+2v+w. v u Egenskaper hos vektorer w T 1.4 Avgör vilka av nedanstående vektorer ir 3 som är parallella: u=( 2,4,2), v=(2,0, 2), w= (1, 2, 1). 1.5 För vilket, eller vilka, tal a gäller det att vektorerna u och v är parallella, om a) u=( 2,a+1, 4), v=(a, 1,2) b) u=(1,0,a), v=(2,a+1,4) c) u=(a,1,2), v=(0,0,0). T 1.6 Avgör om vektorn w = ( 7, 7) är en linjärkombination av u = (1, 2), v = (3, 1). 1.7 Avgör om vektorn w=(3, 5) är en linjärkombination av u=(1, 3),v=( 2,6). Vilka vektorer w går att skriva som en linjärkombination av u,v i detta fall? 1.8 Studera figuren i uppgift 1.3. Är w en linjärkombination av u och v? T 1.9 Bestäm längderna av vektorerna u = (3, 1) och v = (2, 2, 1). 1
2 T 1.10 Normera vektorerna i uppgift 1.9. Skalärprodukt T 1.11 TL 1.12 T 1.13 T 1.14 T 1.15 Låt u = (1, 2, 2) och v = (1, 0, 3). Beräkna skalärprodukterna a) u v b) u u c) v v. Beräkna även u och v. Jämför dessa längder med resultaten i b) och c). För vektorerna u,v ir 2 gäller det att u =3, v =2, och att vinkeln θ mellan vektorerna är π/3. Beräkna skalärprodukten (2u+v) (u 2v). För vektorerna u,v ir 2 gäller det att u =3, v =2, och att vinkeln θ mellan vektorerna är π/3. Bestäm längden av vektorn u+v. Låt u=(1,2, 1) och v=(1, 1,2). a) Beräkna skalärprodukten u v. b) Beräkna längderna u och v. c) Beräkna vinkeln θ mellan u och v. Bestäm talet a så att vektorerna u = (1, a, 2) och v = (4a, 1, 3) blir ortogonala. T 1.16 Låt u=(2,3) och e= 1 5 (2,1). a) Kontrollera att e är en enhetsvektor. b) Beräkna den ortogonala projektionen u av vektorn u på vektorn e. Illustrera ditt resultat i ett koordinatsystem för planet. c) Bestäm den vektor u som är ortogonal mot u, och uppfyller att u=u +u. Illustrera additionen i din figur. T 1.17 Låt u=(1,2,3) och v=(1,2, 2). a) Beräkna den ortogonala projektionen u av vektorn u på vektorn v. b) Komposantuppdela vektorn u som en summa av två ortogonala vektorer där den ena är parallell med vektorn v. Vektorprodukt T 1.18 Beräkna vektorprodukten u v av u=(1, 2,3) och v=(4,2, 1). Verifiera med skalärprodukt att u v är ortogonal mot både u och v. 1.19 Låt u=(1,2,3) och v=(1,1,2). a) Ange samtliga vektorer som är ortogonala mot både u och v.
Vektorer 3 b) Ange samtliga vektorer av längd 1 som är ortogonala mot både u och v. L 1.20 Låt u,v,w vara vektorer ir 3. Förenkla följande uttryck så långt som möjligt: (u+v) ((u+w) v ). 1.21 Utgående från figuren, avgör om vektorerna a) u,v,w b) w,v,u c) w,u,v är positivt eller negativt orienterade. w u v
4 Tips Kapitel 1 1.4 Se Exempel 1.1 på sidan 9 i läroboken. 1.6 Jämför uppställningen i Exempel 1.2 på sidan 11 i läroboken. Lös sedan det ekvationssystem du får genom att, från en av ekvationerna, uttrycka en av de obekanta i den andra. Sätt sedan in detta uttryck i den återstående ekvationen. 1.9 Se Exempel 1.4 på sidan 14 i läroboken. 1.10 Se Exempel 1.5 på sidan 14 i läroboken. 1.11 Se Definition 1.3 på sidan 17 i läroboken. 1.12 Utnyttja räknelagarna för skalärprodukt, samt den geometriska tolkningen (1.19) på sidan 19 i läroboken. 1.13 Utnyttja sambandet u+v 2 = (u+v) (u+v), och beräkna skalärprodukten på motsvarande sätt som i uppgift 1.12. 1.14 c) Se Exempel 1.7 på sidan 19 i läroboken. 1.15 För definitionen av att två vektorer är ortogonala, se Definition 1.4 på sidan 20. 1.16 För a) och b), jämför Exempel 1.8 på sidan 21 i läroboken. För c), jämför Anmärkning 1.3 på sidan 22. 1.17 a) Observera att v ej är en enhetsvektor. Denna behöver därför först normeras. Jämför Exempel 1.9 på sidan 22 i läroboken. 1.18 Se Exempel 1.11 på sidan 25 i läroboken.
Vektorer 5 Svar Kapitel 1 1.1 (2, 3, 14, 12) 1.2 u+v=(1,3), u v=(5, 1) och u+ 1 2 v=( 4,0) v=( 2,2) u+v=(1,3) v u=(3,1) u u v u v=(5, 1) u+ 1 2 v=( 4,0) 1 2 v u 1.3 a) 2u+3v b) c) u v w u+2v+w= 0 1.4 Vektorerna u och w är parallella; det gäller att u= 2w (alternativt w= 1 2 u). 1.5 a) a = 1 b) inga a c) alla a 1.6 Vektorn w är en linjärkombination av u,v eftersom w= 2u 3v. 1.7 Vektorn w är ej en linjärkombination av u, v. Notera att vektorerna u, v i denna uppgift är parallella (det gäller att v = 2u). Det är då enbart vektorer w parallella med u och v, dvs. vektorer på formen w= t(1, 3), t R, som kan fås som en linjärkombination.
6 1.8 Ja, eftersom det gäller att w = u 2v. 1.9 u = 10, v =3 1.10 1 10 (3, 1) respektive 1 3 (2,2, 1) 1.11 a) 5 b) 9 c) 10 Längderna ges av 3 respektive 10. Notera sambandet u u= u 2. 1.12 1 1.13 19 1.14 a) 3 b) 6 för båda vektorerna c) 2π/3 1.15 a= 2 1.16 a) e = 1 5 2 2 +1 2 = 1 b) u = 7 5 (2,1) u c) u = u u = 4 5 ( 1,2) u u e 1.17 a) u = 1 9 (1,2, 2) b) u=u +u, där u = 1 9 (1,2, 2) och u = 5 9 (2,4,5) 1.18 u v=( 4,13,10) 1.19 a) t(1,1, 1), t R b) ± 1 3 (1,1, 1) 1.20 u (w v) 1.21 a) positivt orienterade b) negativt orienterade c) positivt orienterade
Vektorer 7 Lösningar Kapitel 1 1.12 Vi utnyttjar räknelagarna för skalärprodukt, samt den geometriska tolkningen (1.19) på sidan 19 i läroboken, och får (2u+v) (u 2v)=2(u u) 4(u v)+v u 2(v v) = }{{} =u v = 2(u u) 3(u v) 2(v v)=2 u 2 3 u v cosθ 2 v 2 = = 2 3 2 3 3 2 cos π 3 2 2 2 = 1. }{{} =1/2 Notera hur det för skalärprodukt gäller att parenteser kan multipliceras ihop på samma sätt som för reella tal. 1.20 Vi använder lärobokens räknelagar för vektorprodukt och skalärprodukt. Räknelag (1.25) på sidan 26 följt av (1.17) på sidan 17 ger att (u+v) ((u+w) v ) = (u+v) (u v+w v)= = (u+v) (u v)+(u+v) (w v)= = u (u v) +v (u v) +u (w v)+v (w v) = u (w v). }{{}}{{}}{{} =0 =0 =0 Notera de markerade skalärprodukterna som blir noll. Vi vet ju att exempelvis vektorprodukten u v är ortogonal mot både u och v, och således gäller det att u (u v)=0.
Kapitel 2 Vektorer som geometriska objekt T 2.1 T 2.2 Punkter och vektorer Låt O, P och Q vara punkter i planet (eller rummet). Uttryck vektorn PQ som en linjärkombination av vektorerna OP och OQ. Bestäm vektorn PQ, samt beräkna längden PQ, i fallet då a) P : (1,2), Q : (3, 1) b) P : ( 1,0, 2), Q : (2,1, 1). T 2.3 a) Låt P och Q vara punkter i planet (eller rummet), och antag att M är mittpunkten av linjestycket PQ. Visa att det, för varje punkt O, då gäller att OM = 1 2 ( OP+ OQ). Detta samband brukar kallas för mittpunktsformeln. b) Bestäm koordinaterna för mittpunkten av linjestycket mellan punkterna P : ( 1,3,0) och Q : ( 1,1,6). 2.4 a) Låt punkterna P, Q och R vara hörnen i en triangel i planet (eller rummet), och låt P 1 vara mittpunkten av linjestycket QR. Beteckna vidare med M den punkt på linjestycket PP 1 som ligger dubbelt så långt från P som från P 1. Visa att det, för varje punkt O, då gäller att OM = 1 3 ( OP+ OQ+ OR). Punkten M kallas tyngdpunkten för triangeln PQR, och sambandet ovan för tyngdpunktsformeln. b) Bestäm tyngdpunkten för den triangel i rummet som har hörn i P : (1, 6, 2), Q : ( 1,1,2) och R : (0,2,2). T 2.5 Bestäm samtliga sidlängder och vinklar för den triangel i rummet som har hörn i punkterna P : (3,3, 3), Q : (5,5, 4), och R : (1,4, 5). Linjer och plan T 2.6 Ange en ekvation på parameterform för den linje i planet som går genom punkterna P : (2, 1) och Q : (5, 4). Ligger punkten R : (1, 8/3) på denna linje? 8
Vektorer som geometriska objekt 9 T 2.7 Ange en ekvation på parameterform för den linje i rummet som a) går genom punkterna P : (1, 2,3) och Q : (3,2, 1) b) går genom origo och är parallell med linjen x= 1 2t y= 5, t R z= 4+ t c) ges av z-axeln. T 2.8 T 2.9 Ange en ekvation på parameterform för det plan i rummet som går genom punkterna P : (1, 1,2), Q : (2, 3,2) och R : (4,0,1). Ange en ekvation på parameterform för det plan i rummet som a) går genom punkterna P : (1,2,0) och Q : (2,3, 1), och är parallellt med linjen x= 2t y=1 t, t R z = 3+2t b) går genom origo och är parallellt med planet x=2+ s 2t y=5+ s+ t, s,t R z=1 s+3t c) ges av yz-planet. T 2.10 T 2.11 Ange en ekvation på normalform för den linje i planet som går genom punkten P : (2, 1) och har normalvektorn n = (3, 2). Ange en normalvektor till linjen x 3y+5 = 0. Avgör om vektorn u = (1,2) är parallell med denna linje. T 2.12 a) Bestäm en ekvation på parameterform för den linje i planet som på normalform ges av 2x + 3y 1 = 0. Ange även en riktningsvektor för linjen. b) Ange en ekvation på normalform för den linje i planet som på parameterform ges av (x, y)=( 1+5t,3+t), t R. Ange även en normalvektor för linjen. T 2.13 Låt π vara det plan i rummet som går genom punkten P : (3, 1,0) och har normalvektorn n = (4, 1, 2). a) Ange en ekvation på normalform för π.
10 b) Ligger punkten Q : (1, 2, 3) i π? Är vektorn u = (1, 2, 3) parallell med π? c) Ange en ekvation på parameterform för π. T 2.14 Ange en ekvation på normalform för det plan i rummet som a) går genom punkterna P : (1, 1,2), Q : (1,0,4) och R : (0, 1,3) b) ges av yz-planet. Projektion och spegling T 2.15 T 2.16 T 2.17 T 2.18 Låt l vara linjen 2x y=0, samt låt P : ( 1,6) och u=(3,2). Bestäm den sneda projektionen av punkten P på linjen l, i riktningen u. Låt l vara linjen 2x y=0, samt låt P : ( 1,1). a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P på linjen l. b) Bestäm speglingen av punkten P i linjen l. Låt π vara planet 2x y+ z= 0, samt låt P : (1,0, 1). a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P på planet π. b) Bestäm speglingen av punkten P i planet π. Bestäm avståndet a) mellan punkten P och linjen l i uppgift 2.16 b) punkten punkten P och planet π i uppgift 2.17. 2.19 Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P : (23, 43, 11) på yz-planet. T 2.20 Bestäm den ortogonala projektionen av punkten P : (3, 1, 1) på linjen (x, y, z) = t(1,2, 2). Area och volym T 2.21 T 2.22 Bestäm arean av det parallellogram i rummet som spänns upp av vektorerna u=(1,2,0) och v=( 1,3,2). Bestäm arean av a) triangeln i rummet med hörn i P : ( 1,2,3), Q : (1,1,0) och R : (1,1,2) b) triangeln i planet med hörn i origo, P : ( 1,1) och Q : (2,3). T 2.23 Bestäm volymen av den parallellepiped som spänns upp av u = ( 1,1,2), v = (1,1,1) och w=(2, 3,0). Är u,v,w positivt eller negativt orienterade?
Vektorer som geometriska objekt 11 Tips Kapitel 2 2.1 Utgå från sambandet OQ= OP+ PQ (se figuren). P OP PQ O OQ Q 2.2 Utnyttja principen slutpunkt minus startpunkt ; se Exempel 2.2 på sidan 36 i läroboken. 2.3 b) Använd mittpunktsformeln i a). Om punkten O i a)-uppgiften betecknar origo, så är vektorerna OP, OQ ortsvektorer för P och Q. Dessa har därför samma koordinater som P och Q, dvs. det gäller att OP = ( 1,3,0) och OQ= ( 1,1,6). 2.5 Jämför Exempel 2.3 på sidan 37 i läroboken. 2.6 Se Exempel 2.4 och 2.5 på sidan 39 i läroboken. 2.7 a) Se Exempel 2.6 på sidan 40 i läroboken. c) Se läroboken sidan 41. 2.8 Se Exempel 2.7 på sidan 42 i läroboken. 2.9 c) Se läroboken sidan 43. 2.10 Se Exempel 2.9 på sidan 44 i läroboken. 2.11 Se Exempel 2.10 på sidan 45 i läroboken. 2.12 a) Se Exempel 2.11 på sidan 46 i läroboken. b) Se Anmärkning 2.4 på sidan 46 i läroboken. 2.13 a) Se Exempel 2.12 på sidan 47 i läroboken. c) Se Exempel 2.14 på sidan 48 i läroboken. 2.14 a) Se Exempel 2.15 på sidan 49 i läroboken. b) Jämför med hur man tar framför ekvationen på normalform för en koordinataxel i planet (sidan 46 i läroboken). 2.15 Se Exempel 2.16 på sidan 50 i läroboken. 2.16 Se Exempel 2.17 och 2.19 på sidan 51 respektive 53 i läroboken.
12 2.17 Se Exempel 2.20 på sidan 54 i läroboken. 2.18 Jämför Exempel 2.21 på sidan 55 i läroboken. 2.20 Använd metoden med skalärprodukt. Jämför Exempel 2.18 på sidan 52 i läroboken. 2.21 Se Sats 2.1 på sidan 56 i läroboken. 2.22 a) Se Exempel 2.22 på sidan 56 i läroboken. b) Studera konstruktionen i läroboken på sidan 57. 2.23 Se Sats 2.3 och Anmärkning 2.7 på sidan 59 i läroboken.
Vektorer som geometriska objekt 13 Svar Kapitel 2 2.1 PQ= OQ OP 2.2 a) PQ= (2, 3), PQ = 13 b) PQ= (3,1,1), PQ = 11 2.3 b) Mittpunkten ges av M : ( 1, 2, 3). 2.4 b) Tyngdpunkten ges av M : (0, 3, 2). 2.5 sidlängderna 3, 3 och 3 2 samt vinklarna π 4, π 4 och π 2 2.6 En ekvation på parameterform är { x= 2+3t y= 1+5t, t R, alternativt (x, y)=(2+3t, 1+5t), t R. Ja, R ligger på linjen (med t= 1/3). 2.7 a) En ekvation på parameterform är x= 1+ t y= 2+2t, t R, z= 3 2t alternativt (x, y, z)=(1+ t, 2+2t,3 2t), t R. b) (x, y, z)=( 2t,0,t), t R c) (x, y, z)=(0,0,t), t R 2.8 En ekvation på parameterform är x= 1+ s+3t y= 1 2s+ t, s,t R, z= 2 t alternativt (x, y, z)=(1+ s+3t, 1 2s+ t,2 t), s,t R. 2.9 a) (x, y, z)=(1+ s+2t,2+ s t, s+2t), s,t R b) (x, y, z)=(s 2t,s+ t, s+3t), s,t R c) (x, y, z)=(0,s,t), s,t R 2.10 3(x 2) 2(y+1)=0 3x 2y 8=0
14 2.11 En normalvektor ges av n=(1, 3). Vektorn u är ej parallell med linjen, eftersom n u= 5 0. 2.12 a) (x, y)= ( 1 2 3 2 t,t), t R; en riktningsvektor läses av till u= ( 3 2,1) b) x 5y+16=0; en normalvektor läses av till n=(1, 5) 2.13 a) 4x+ y 2z 11=0 b) nej respektive ja c) (x, y, z)=(s,11 4s+2t,t), s,t R 2.14 a) x 2y+ z 5=0 b) x=0 2.15 (5, 10) 2.16 a) 2.17 a) 1 5 (1,2) b) 1 5 (7, 1) 1 6 (4,1, 7) b) 1 3 (1,1, 4) 2.18 a) 3 5 b) 1 6 2.19 (0, 43, 11) 2.20 1 9 (1,2, 2) 2.21 3 5 2.22 a) 5 b) 5/2 2.23 11; negativt orienterade
Kapitel 3 Linjära ekvationssystem Gausselimination T 3.1 Lös följande linjära ekvationssystem, samt ge en geometrisk tolkning av resultaten. { 2x+ y= 3 4x+2y= 2, { 3x 6y= 1 x+2y= 1, { 3x 6y= 3 x+2y= 1. T 3.2 Lös ekvationssystemet x+ y = 2 2x+ 3y+ z = 3. x + 2z = 4 3.3 Lös ekvationssystemet 2x 4y+2z= 2 4x 2z= 2. x y+ z= 3 3.4 Lös ekvationssystemet x+ 2y z=0 2x + 4z=0. 3x+ 2y 5z=0 3.5 Lös ekvationssystemet x+2y z= 2 2x + 4z= 1. 3x+2y 5z= 9 Under- och överbestämda system 3.6 Bestäm skärningen mellan planen x 2y+ z= 2 och 3x+2y+ z= 2. 15
16 3.7 Lös ekvationssystemet samt tolka ditt resultat geometriskt. { 2x+4y+ 8z= 3 3x 6y 12z= 2, 3.8 Lös ekvationssystemet x 1 2x 2 + x 3 3x 4 + x 5 = 0 2x 1 2x 2 5x 4 + 4x 5 = 3 2x 1 2x 3 3x 4 + 4x 5 = 5 Anga även en uppsättning pivåvariabler samt en uppsättning fria variabler. 3.9 Har linjerna x 2y=3, 3x y= 1 och 2x+ y=1 någon gemensam skärningspunkt? 3.10 Bestäm talet a så att linjerna x 2y=3, 3x y= 1 och 2x+ay=1 får en gemensam skärningspunkt. En närmare till på eliminationsprocessen. T 3.11 Använd resultatet i Uppgift 3.2 för att direkt bestämma antalet lösningar till ekvationssystemet x+ y = 12 2x+3y+ z= 13. x + 2z= 14 T 3.12 Använd resultatet i Uppgift 3.3 för att direkt skriva upp lösningen till ekvationssystemet 2x 4y+2z=0 4x 2z=0. x y+ z=0 T 3.13 Ekvationssystemet x+2y z= 1 2x + 4z= 2 3x+2y 5z= 1 har en lösning (x, y, z)=(7, 1,4). Använd resultatet i Uppgift 3.4 för att direkt skriva upp den fullständiga lösningen.
Linjära ekvationssystem 17 Tips Kapitel 3 3.1 Studera Exempel 3.1, 3.2 och 3.3. 3.2 Studera Exempel 3.4 i boken. 3.11 Använd Sats 3.3. 3.12 Använd Sats 3.3 i kombination med Följdsats 3.1. 3.13 Använd Sats 3.6.
18 Svar Kapitel 3 3.1 (x, y)=( 1, 1), Lösning saknas, (x, y)=( 1+2t,t) I samtliga tre system kan vi se ekvationerna som ekvationer för två linjer i planet. I det första fallet skär linjerna varandra i en punkt, i det andra är de parallella och skär inte varandra, medan de i det sista fallet är samma linje. 3.2 (x, y, z)=(2,0, 1). 3.3 (x, y, z)=( 4,2,9). 3.4 (x, y, z)=( 4t,t, 2t), t R. 3.5 Lösning saknas. 3.6 Skärningen blir linjen (x, y, z)=( 2, 2,0)+ t(1,1,1), t R. 3.7 Lösning saknas. Ekvationerna svarar mot två plan som är parallella och saknar skärning. 3.8 (x 1,x 2,x 3,x 4,x 5 )=( 1, 2,0,1,0)+ s(1, 2,0,2,1)+ t(1,1,1,0,0), s,t R. Pivåvariabler (exempelvis) x 1,x 2,x 4, fria variabler x 3,x 5. 3.9 Nej. 3.10 a= 3 2 3.11 Det finns en lösning. 3.12 (x, y, z)=(0,0,0). 3.13 (x, y, z)=(7 4t, 1+ t,4 2t).
Kapitel 4 Matriser Definition och räkneoperationer 4.1 Betrakta matriserna A= ( ) ( ) ( ) 2 1 5 4 3 2 4, B=, C=, D= 0 3 2 1 1 0 5 Beräkna, i de fall det är definierat, 2 1 4 3, E= 1 3 A+B, 2B 3A, C A, CD, DC, AC, CA, DE. ( ) 3. 2 4.2 För matrisen D i Uppgift 4.1 gäller det att 1 0 DM 1 = 5 4 och M 2 D= ( 1 0 ). 8 10 Vilken typ har matriserna M 1 och M 2? 4.3 a) Går det att bestämma talet a så att matriserna kommuterar? A= ( ) 2 a 0 2 och B= ( ) 1 2 1 0 b) Samma fråga för matriserna A= ( ) 2 a 1 2 och B= ( ) 1 2. 1 0 4.4 Antag att A och B är två symmetriska matriser av samma typ. Visa att även summan A+B är symmetrisk. Är produkten AB symmetrisk? 19
20 Matriser och linjära ekvationssystem 4.5 Skriv ekvationssystemet 2x 4y+2z= 2 4x 2z= 2. x y+ z= 3 på matrisform. Invers matris T 4.6 Beräkna, i de fall de existerar, inverserna till matriserna ( ) ( ) 1 2 1 2 A= och B=. 2 3 2 4 T 4.7 Beräkna, i de fall de existerar, inverserna till matriserna 1 1 0 2 4 2 1 1 0 A= 2 3 1, B= 4 0 2 och C= 2 3 2 1 0 2 1 1 1 1 0 2 4.8 Använd resultat i Uppgift 4.7 (matris B) för att lösa ekvationssystemet 2x 4y+2z= 2 4x 2z= 2. x y+ z= 3 T 4.9 Använd resultatet i Uppgift 4.7 (matris A) för att direkt avgöra antalet lösningar till ekvationssystemet x+ y = 2 2x+ 3y+ z = 3. x + 2z = 4 T 4.10 Använd resultatet i Uppgift 4.7 (matris C) för att direkt avgöra antalet lösningar till ekvationssystemet x+ y = 0 2x+3y+2z=0. x + 2z=0
Matriser 21 T 4.11 Lös matrisekvationen där A= AX BX=C, ( ) ( ) 2 1 1 2, B= 1 3 1 3 och C= ( ) 1 0. 3 2 4.12 Lös matrisekvationen där A= ( ) 2 3 1 2 (XA+I) T = B, och B= ( ) 1 2. 3 4 4.13 Vilka av följande matriser är ortogonala? A= ( ) ( ) 1 2, B= 1 1 2, C= 1 2 1 5 2 1 5 ( 3 ) 4 4 3 4.14 Visa att matrisen 1 6 3 3 0 1 1 2 2 2 2 är ortogonal. 4.15 Finns det något tal a sådant att matrisen 1 3 blir ortogonal? Bestäm isåfall detta. 2 2 1 2 1 a 1 2 2 T 4.16 Antag att matrisen A är ortogonal. Visa att även A T och A 1 är ortogonala, samt, om B är ortogonal och av samma typ som A, att produkten AB är ortogonal.
22 Tips Kapitel 4 4.4 Använd räknelagarna för transponatet. 4.6 Studera Exempel 4.6 och Exempel 4.7 i boken 4.7 Studera Exempel 4.8 i boken. 4.9 Använd Sats 4.6. 4.10 Använd Sats 4.6 i kombination med Följdsats 3.1. 4.11 Studera Exempel 4.9 i boken. Bryt först ut X ur vänsterledet. 4.16 Använd Sats 4.7 i kombination med Sats 4.4.
Matriser 23 Svar Kapitel 4 4.1 ( ) 7 3, 2 2 5 4 3 9 8 1, 0 2 11 ( ) 4 11, ej definierat, 4 11 ( ) 5 4 3, ej definierat, 3 0 15 ( ) 18 21, 7 16 8 18. 9 4.2 Matrisen M 1 har typ 2 2 och M 2 har typ 1 3. 4.3 a) Ja, sätt a = 0. b) Går inte. 4.4 Produkten AB är i allmänhet inte symmetrisk. 4.5 2 4 2 x 2 Ax=y med A= 4 0 2, x= y, y= 2 1 1 1 z 3 4.6 A 1 = ( ) 3 2, B är ej inverterbar. 2 1 4.7 6 2 1 1 1 4 A 1 = 5 2 1, B 1 = 1 1 0 2 2, C är ej inverterbar. 3 1 1 2 1 8 4.8 (x, y, z)=( 4,2,9) 4.9 Det finns en lösning. 4.10 Det finns oändligt många lösningar. 4.11 X= 1 2 ( ) 3 2. 5 2
24 4.12 X= ( ) 3 6. 1 0 4.13 Endast matrisen B. 4.15 Ja, a=2.
Kapitel 5 Några centrala begrepp inom linjär algebra Linjärt beroende/oberoende 5.1 Låt u = (2,1, 1) och v = (1,2,0). Avgör för var och en av vektorerna w nedan huruvida w är en linjärkombination av u,v: a) w= ( 1,4,2) b) w=(1,3, 1). 5.2 Avgör, för vektorerna u=( 1,3,2), v=(3,0,1) och w=(2, 6, 4), vilka av dem som är en linjärkombintion av de övriga två. 5.3 Avgör om följande mängder av vektorer är linjärt beroende eller linjärt oberoende: a) ( 1,3,2), (2, 6, 4) b) (1,2,3), ( 2,1,4) c) (2, 4,1), ( 4,0, 1), (2, 2,1) d) (1,2, 1), (1,3,0), (0,2,2) Koppling till linjära ekvationssystem T 5.4 T 5.5 Använd resultatet i Uppgift 5.3 a) och b) för att direkt avgöra huruvida följande ekvationssystem har entydig lösning: x+ 2y=0 x 2y=0 a) 3x 6y=0 b) 2x+ y=0 2x 4y=0 3x+4y=0 Avgör, utan att utföra några beräkningar, om vektorerna (1,3,0, 2), ( 3,5,1, 5), (2, 6,8,0), (4, 1,4,3) och (0,7, 3,1) är linjärt oberoende. T 5.6 Avgör, utan att utföra några beräkningar, om vektorerna (1,3,0, 2,4), ( 3,5,1, 5,3), (2, 6,8,0,2) och (4, 1,4,3,1) spänner uppr 5. T 5.7 Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) för att direkt avgöra om de tre vektorerna u=(2, 4,1), v=( 4,0, 1) och w=(2, 2,1) utgör en bas förr 3. 25
26 T 5.8 T 5.9 Använd resultatet i Uppgift 5.3 d) för att direkt avgöra om de tre vektorerna u=(1,2, 1), v=(1,3,0) och w=(0,2,2) spänner uppr 3. Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) för att direkt avgöra om ekvationsystemet 2x 4y+2z= 8 4x 2z= 3 x y+ z= 17 är lösbart. T 5.10 Använd resultatet i Uppgift 5.3 d) för att direkt bestämma antalet lösningar till ekvationsystemet x+ y = 0 2x+3y+2z=0. x + 2z=0 T 5.11 Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) och d) för att direkt avgöra om matriserna 2 4 2 1 1 0 A= 4 0 2 och B= 2 3 2 1 1 1 1 0 2 är inverterbara. 5.12 Bestäm alla värden på talet a sådana att vektorerna u=( 1,2,3), v=(1, 4, 1) och w=( 2,0,a) utgör en bas förr 3. Rang och nolldimension av en matris 5.13 Ekvationssystemet 2 4 2 x 2 Ax=y med A= 4 0 2, x= y, y= 2 1 1 1 z 3 har lösningen x=( 4,2,9). Använd denna information för att skiva vektorn y som en linjärkombination av kolonnerna i matrisen A. T 5.14 Bestäm rang och nolldimension av matrisen 1 0 2 A= 1 1 1. 1 2 4 Bestäm även baser för kolonnrummet och nollrummet.
Några centrala begrepp inom linjär algebra 27 5.15 Bestäm rang och nolldimension av matrisen 1 2 1 0 1 A= 0 0 1 1 1 1 2 0 2 2. 0 0 1 2 5 Bestäm även baser för kolonnrummet och nollrummet. 5.16 Använd resultatet i Uppgift 5.3 c) för att direkt bestämma rangen av 2 4 2 A= 4 0 2. 1 1 1 T 5.17 Använd resultatet i Uppgift 5.3 d) för att bestämma rangen av 1 1 0 A= 2 3 2. 1 0 2
28 Tips Kapitel 5 5.4 Använd Sats 5.6. 5.5 Använd Hjälpsats 5.1. 5.6 Använd återigen Hjälpsats 5.1. 5.7 Använd Sats 5.10, alternativt Sats 5.11. 5.8 Använd Sats 5.10, alternativt Sats 5.11. 5.9 Använd Sats 5.11. 5.10 Använd Sats 5.11 i kombination med Följdsats 3.1. 5.11 Använd Sats 5.11. 5.14 Studera Exempel 5.10 i boken. 5.17 Du ser nog lätt att ranga 1.
Några centrala begrepp inom linjär algebra 29 Svar Kapitel 5 5.1 a) ja, w = 2u + 3v b) nej 5.2 Vektorn u är en linjärkombination av v och w, vektorn w är en linjärkombination av u och v, men v är inte en linjärkombination av u och w. 5.3 a) linjärt beroende b) linjärt oberoende c) linjärt oberoende d) linjärt beroende 5.4 a) Systemet har inte entydig lösning, utan oändligt många lösningar. b) Systemet har entydig lösning, den triviala lösningen. 5.5 Nej, vi har här 5 vektorer ir 4. 5.6 Nej, vi har här endast 4 vektorer ir 5. 5.7 De utgör en bas förr 3. 5.8 De spänner inte uppr 3. 5.9 Ja, systemet är lösbart, och har entydig lösning. 5.10 Systemet har oändligt många lösningar. 5.11 Matrisen A är inverterbar, men matrisen B är inte inverterbar. 5.12 De utgör en bas för alla a 10. 5.13 y=(2, 2,3)= 4(2, 4,1)+2( 4,0, 1)+9(2, 2,1). 5.14 Det gäller att ranga=2 och nolldima=1. En bas för kolonnrummet utgörs av (exempelvis) (1,1, 1) och (0,1,2), och en bas för nollrummet av ( 2,1,1). 5.15 Det gäller att ranga=3 och nolldima=2. En bas för kolonnrummet är (exempelvis) (1,0, 1,0), ( 1, 1,0,1), (0,1,2,2), och en bas för nollrummet är (exempelvis) ( 2,0, 1, 2,1), (2,1,0,0,0). 5.16 ranga=3. 5.17 ranga=2.
Kapitel 6 Determinanter Determinanter av 2 2- och 3 3-matriser 6.1 Beräkna i a) arean, samt i b) och c) volymen, som vektorerna spänner upp. Ange även hur vektorerna är orienterade. a) (1,2), (2,3) b) (1,0,2), ( 2,1,3), ( 1, 2,0) c) (2,1, 1), (1,3,0), ( 3,1,2) 6.2 Beräkna determinanterna av matriserna ( ) ( ) 2 4 2 1 1 0 1 2 1 3 A=, B=, C= 4 0 2 och D= 2 3 2. 2 3 2 6 1 1 1 1 0 2 T 6.3 T 6.4 T 6.5 Använd resultatet i Uppgift 6.2 (matris C) för att direkt avgöra om vektorerna u=(2, 4,1), v=( 4,0, 1) och w=(2, 2,1) utgör en bas förr 3. Använd resultatet i Uppgift 6.2 (matris D) för att direkt avgöra om ekvationssystemet x+ y = 1 2x+3y+2z=2. x + 2z=3 har entydig lösning. Bestäm alla tal a sådana att matrisen 1 a 2 A= 2 1 0 1 3 2 är inverterbar. T 6.6 Bestäm för varje reellt tal a antalet lösningar till följande ekvationssystem: 2x+ y+az = 0 2x+3y+az = 4. ax+ y+ 2z= 2a Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många lösningar. 30
Determinanter 31 T 6.7 Lös, för varje reellt tal a, ekvationssystemet ax+ y+2az = 0 x ay+ z=0. x+ay+ 2z=0 Determinantens egenskaper T 6.8 Använd resultatet i Uppgift 6.2 (matris C) för att beräkna determinanten av matrisen 2 4 2 A= 1 4 3 0 2. 1 1 1 6.9 Antag att A och B är två n n-matriser med deta = 2 respektive detb = 3. Beräkna, om det går, detab, det(a+b), deta 1 B, detab T, samt deta k för varje positivt heltal k. Cramers regel T 6.10 Lös ekvationssystemet i Uppgift 6.6 för de värden på talet a där det finns entydig lösning. Utveckling efter rad eller kolonn 6.11 Beräkna med hjälp av utveckling, dels efter den första raden och dels efter den andra kolonnen, determinanten av matrisen 2 4 2 A= 4 0 2. 1 1 1 T 6.12 Beräkna med hjälp av adjunkten inverserna till matriserna ( ) 1 2 A= 2 3 2 4 2 och B= 4 0 2. 1 1 1
32 Större determinanter T 6.13 Beräkna determinanten av matrisen 1 0 2 1 A= 2 1 3 0 1 0 4 2 0 2 1 1 T 6.14 Beräkna determinanten av matrisen 1 2 1 1 0 2 1 4 1 1 0 2 0 5 1 0 2 1 A=. 2 0 4 3 3 4 3 1 2 3 4 4 1 7 1 3 1 3
Determinanter 33 Tips Kapitel 6 6.3 Använd Sats 6.2, samt diskussionen om orientering efter Definition 6.2. 6.4 Använd Sats 6.2. 6.5 Använd Sats 6.2. 6.6 Studera Exempel 6.4 i boken. 6.7 Här behöver du också använda Följdsats 3.1. 6.8 Jämför Anmärkning 6.5. 6.10 Studera Exempel 6.8 i boken. 6.12 Använd Sats 6.8. 6.13 Studera Exempel 6.14. 6.14 Nu använder du rimligtvis att determinanten inte ändras då man till en kolonn (rad) lägger till en multipel av en annan kolonn (rad); jämför med Exempel 6.16.
34 Svar Kapitel 6 6.1 a) De spänner upp arean 1, och är negativt orienterade. b) De spänner upp volymen 16, och är positivt orienterade. c) De spänner inte upp någon volym. Således ligger de alla tre i samma plan, och någon orientering är inte definierad. 6.2 Det gäller att deta = 1, detb = 0, detc = 4 och detd = 0. 6.3 De utgör en bas förr 3. 6.4 Systemet har inte entydig lösning. 6.5 Matrisen A är inverterbar för alla a 4. 6.6 Då a ±2 har systemet en lösning, då a=2 ingen lösning och då a= 2 oändligt många lösningar (x, y, z)=(t 1,2,t), t R. 6.7 Då a=1 är lösningarna (x, y, z)= t(3,1, 2), t R, och då a= 1 är lösningarna (x, y, z)= t( 3,1,2), t R. Övriga värden på a ger lösningen (x, y, z)=(0,0,0). 6.8 deta= ( ) 1 3 3 ( 4)= 4 27. 6.9 detab= 6, det(a+b) vet vi ej, deta 1 B= 3 2, detabt = 6, deta k = ( 2) k. 6.10 För a ±2 har systemet lösningen (x, y, z)= 1 a 2 4 ( 2a2 2a+4, 2a 2 8, 2a+4). 6.11 deta = 4. ( ) 1 1 4 3 2 6.12 A 1 =, B 1 = 1 1 0 2 2 1 2. 2 1 8 6.13 deta = 5. 6.14 deta = 10.
Kapitel 7 Linjära avbildningar Linjära avbildningar T 7.1 Vilka av nedanstående avbildningar kan uttyckas som ett linjärt ekvationssystem y=ax, där A är en matris? Vad blir matrisen A i dessa fall? F 1 (x 1,x 2 )=(x 1 +4x 2, 2x 1 +3x 2 ), F 2 (x 1,x 2 )=(x 1 + x 2, x 1 x 2 ), F 3 (x 1,x 2,x 3 )=cos(x 1 + x 2 + x 3 ), F 4 (x 1,x 2,x 3 )=(2x 1 x 2 + x 3, x 1 + x 3, x 1 3x 2 ), F 5 (x 1,x 2 )=(x 1 + x 2, x 1 x 2, 0, x 1 ). TL 7.2 Avbildningen F av typr 3 R 3 definieras av F(u)=u (1, 2,2), u R 3. Använd definitionen för att visa att F är linjär. T 7.3 För den linjära avbildningen F :R 3 R 3 gäller det att F(u 1 )=(1,0,1), F(u 2 )=(0,2,1), F(u 3 )=(1, 1,1), för några vektorer u 1,u 2,u 3 ir 3. Beräkna F(u 1 +3u 2 u 3 ). T 7.4 Avgör för var och en av nedanstående avbildningar om denna är linjär: a) F(u)=3u, u R 2 b) F(u)= u u, u R 2 c) F(u)=(1,2) u, u R 2 d) F(u)=u+(1,2), u R 2. Avbildningsmatris T 7.5 Låt l vara linjen 2x y=0, samt låt u=(3,2). a) Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning F :R 2 R 2 som svarar mot sned projektion på av planets punkter på linjen l, i riktningen u. b) Beräkna F( 1, 6). 35
36 T 7.6 För den linjära avbildningen F :R 3 R 3 gäller det att F(e 1 )=(1, 2,1), F(e 2 )=(0,3,3), F(e 3 )=(2, 2,3), där e 1,e 2,e 3 betecknar standardbasen ir 3. Vad blir avbildningsmatrisen för F? T 7.7 Bestäm, om möjligt, matrisen för den linjära avbildningen F :R 3 R 3, om det är känt att a) F(1,0,1)=(3,0,1), F( 1,1,0)=( 1, 1,3), F(0,1,2)=(1, 1,1) b) F( 1, 1,2)=(0,2,1), F(1,2,1)=(1, 1,2), F(1,4,7)=(3,1,8). L 7.8 För den linjära avbildningen F i uppgift 7.7b), är det utifrån den givna informationen möjligt att bestämma bilden a) F(0,1,3)? b) F(0,1,2)? Geometriska exempel T 7.9 T 7.10 T 7.11 T 7.12 Låt l vara linjen 2x y = 0. Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning av typr 2 R 2 som svarar mot a) ortogonal projektion på l b) spegling i l. Låt π vara planet 2x y+ z = 0. Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning av typr 3 R 3 som svarar mot a) ortogonal projektion på π b) spegling i π. Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som svarar mot rotation i planet, 2π/3 radianer i positiv riktning (moturs). Bestäm avbildningsmatrisen för den linjära avbildning som svarar mot rotation i rummet kring x-axeln, 2π/3 radianer i positiv riktning (sett från spetsen av x-axeln).
Linjära avbildningar 37 Tips Kapitel 7 7.1 Se sidan 189 i läroboken. 7.2 Jämför Exempel 7.1 på sidan 190 i läroboken. Utnyttja räknelagarna för vektorprodukt. 7.3 Se formel (7.9) på sidan 194 i läroboken. 7.4 För var och en av avbildningarna, antingen försök att visa att denna är linjär med hjälp av definitionen av linjär avbildning (Definition 7.1 alternativt 7.2 i läroboken), eller försök att använda ett argument liknande dem i lärobokens Exempel 7.3 och 7.4 för att visa att denna inte är linjär. 7.5 Använd metoden i lärobokens Exempel 7.5 på sidan 195, alternativt metoden i Exempel 7.6 på sidan 199. 7.6 Utnyttja Sats 7.2 på sidan 199 i läroboken. 7.7 Se Exempel 7.8 och 7.9 på sidorna 202 203 i läroboken. 7.9 Se Exempel 7.14 på sidan 209 respektive Exempel 7.15 på sidan 211 i läroboken. I stället för metoden i dessa exempel går det också bra att utnyttja Sats 7.2 på sidan 199. 7.10 Se Exempel 7.16 respektive 7.17 på sidorna 212 213 i läroboken. I stället för metoden i dessa exempel går det också bra att beräkna var en allmän vektor/punkt (x 1,x 2,x 3 ) avbildas. 7.11 Se Exempel 7.18 på sidan 214 i läroboken. 7.12 Se Exempel 7.19 på sidan 215 i läroboken.
38 Svar Kapitel 7 7.1 Avbildningarna F 1, F 4 och F 5 kan uttryckas på denna form. Matriserna är A 1 = ( ) 1 4, A 2 3 4 = 1 1 2 1 1 1 0 1 respektive A 5 = 1 1. 1 3 0 0 0 1 0 Dessa tre avbildningar är exempel på linjära avbildningar; matriserna ovan är deras avbildningsmatriser. 7.2 Se lösningen. 7.3 (0,7,3) 7.4 a) linjär b) ej linjär c) linjär d) ej linjär 7.5 a) A= 1 4 ( 2 ) 3 4 6 b) (5,10) (Denna deluppgift svarar precis mot uppgift 2.15 på sidan 10.) 1 0 2 7.6 A= 2 3 2 1 3 3 4 3 1 7.7 a) A= 0 1 0 4 7 3 b) Matrisen går ej att ta fram, eftersom vi endast har information om två linjärt oberoende vektorer i definitionsmängden R 3 (de tre givna vektorerna i definitionsmängden är linjärt beroende). 7.8 a) ja, F(0,1,3)=(1,1,3) b) nej 7.9 a) A= 1 5 ( ) 1 2 2 4 b) B= 1 5 ( ) 3 4 4 3 2 2 2 1 2 2 7.10 a) A= 1 2 5 1 6 b) B= 1 2 2 1 3 2 1 5 2 1 2
7.11 A= 1 2 Linjära avbildningar 39 ( ) 1 3 3 1 2 0 0 7.12 A= 1 0 1 3 2 0 3 1
40 Lösningar Kapitel 7 7.2 Egenskaperna i) och ii) i Definition 7.1 för linjär avbildning (se sidan 190 i läroboken) följer av räknelagarna för vektorprodukt. Det gäller att i) F(u+v)=(u+v) (1, 2,2)= = u (1, 2,2)+v (1, 2,2)= F(u)+F(v), u,v R 3, ii) F(λu)=(λu) (1, 2,2)= = λ ( u (1, 2,2) ) = λf(u), λ R. Alternativt visar man det ekvivalenta villkoret i ) i Definition 7.2. 7.8 a) I uppgift 7.7b) såg vi att informationen om F inte var tillräcklig för att bestämma avbildningsmatrisen, då de tre invektorerna u 1 = ( 1, 1,2), u 2 = (1,2,1), u 3 = (1,4,7) var linjärt beroende. Däremot kan vi plocka ut två linjärt oberoende vektorer bland dessa, t.ex. u 1 = ( 1, 1,2), u 2 = (1,2,1). Vi undersöker nu om vår vektor (0,1,3) är en linjärkombination av dessa: (0,1,3)=λ 1 ( 1, 1,2)+λ 2 (1,2,1) λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 + 2λ 2 = 1 2λ 1 + λ 2 = 3 { λ1 = 1 λ 2 = 1. Vi ser alltså att det gäller att (0,1,3)=( 1, 1,2)+(1,2,1), och linjäriteten av F ger oss då att F(0,1,3)=F ( ( 1, 1,2)+(1,2,1) ) = = F( 1, 1,2)+F(1,2,1)=(0,2,1)+(1, 1,2)= (1,1,3). I detta fall gick det alltså att bestämma bilden. b) Enligt a) hänger det hela på om vektorn (0,1,2) går att uttrycka som en linjärkombination av (t.ex.) u 1 = ( 1, 1,2), u 2 = (1,2,1). Vi får systemet (0,1,3)=λ 1 ( 1, 1,2)+λ 2 (1,2,1) λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 + 2λ 2 = 1 2λ 1 + λ 2 = 2 λ 1 + λ 2 = 0 λ 2 = 1, 3λ 2 = 2 vilket saknar lösning, vilket innebär att F(0, 1, 2) ej går att beräkna utifrån den givna informationen.
Kapitel 8 Egenskaper hos linjära avbildningar Värdemängd T 8.1 T 8.2 Bestäm värdemängden för den linjära avbildning som har avbildningsmatris 1 0 2 ( ) 1 1 a) 1 1 1 1 3 b) c) 2 1. 1 2 1 2 4 1 3 Ange, utan att utföra några beräkningar, värdemängden för den linjära avbildning som svarar mot a) spegling i linjen 2x y=0 b) ortogonal projektion på planet 2x y + z = 0 c) rotation i planet, 2π/3 radianer i positiv riktning. T 8.3 Studera avbildningarna i uppgift 8.2. Ange, utan att utföra några beräkningar, a) rangen för matrisen för var och en av dessa avbildningar b) nollrummet samt nolldimensionen för matrisen för var och en av dessa avbildningar. Sammansättning av linjära avbildningar T 8.4 T 8.5 Bestäm matrisen för den linjära avbildning av typr 2 R 2 som svarar mot a) spegling i linjen 2x y = 0, åtföljd av rotation i planet 2π/3 radianer i positiv riktning b) rotation i planet 2π/3 radianer i positiv riktning, åtföljd av spegling i linjen 2x y=0. Blir matriserna i a) och b) lika? (Notera att du redan har beräknat matriserna för de ingående avbildningarna ovan i uppgift 7.9b) och 7.11a).) Låt F och G vara linjära avbildningar med avbildningsmatris 1 0 1 0 1 A= 1 1 respektive B = 1 1 2. 3 1 0 1 3 Avgör vilka av nedanstående sammansättningar som är väldefinierade: 41
42 a) G F b) F G. Bestäm i de fall då sammansättningen är väldefinierad vilken typ,r m R n, den sammansatta avbildningen får, samt bestäm avbildningsmatrisen för sammansättningen. Invers avbildning T 8.6 Vi återgår till avbildningarna i uppgift 8.1. Avgör om den linjära avbildning som har avbildningsmatris 1 0 2 ( ) 1 1 a) 1 1 1 1 3 b) c) 2 1 1 2 1 2 4 1 3 är injektiv. Tänk på att du eventuellt kan återanvända delar av dina lösningar av uppgift 8.1. T 8.7 T 8.8 Vi återgår till avbildningarna i uppgift 8.2. Avgör, utan att utföra några beräkningar, om den linjära avbildning som svarar mot a) spegling i linjen 2x y=0 b) ortogonal projektion på planet 2x y + z = 0 c) rotation i planet, 2π/3 radianer i positiv riktning är injektiv. Vi återgår ännu en gång till avbildningarna i uppgift 8.1. Använd resultaten i denna uppgift för att direkt avgöra om den linjära avbildning som har avbildningsmatris a) 1 0 2 1 1 1 b) 1 2 4 ( 1 ) 3 1 2 c) 1 1 2 1 1 3 är surjektiv. 8.9 Vi återgår ännu en gång till avbildningarna i uppgift 8.2. Använd resultaten i denna uppgift för att direkt avgöra om den linjära avbildning som svarar mot a) spegling i linjen 2x y=0 b) ortogonal projektion på planet 2x y + z = 0 c) rotation i planet, 2π/3 radianer i positiv riktning är surjektiv.
Egenskaper hos linjära avbildningar 43 T 8.10 Vi återgår en sista gång till avbildningarna i uppgift 8.1. Kombinera dina resultat av uppgift 8.6 och 8.8 för att avgöra om den linjära avbildning som har avbildningsmatris a) 1 0 2 1 1 1 b) 1 2 4 ( 1 ) 3 1 2 c) 1 1 2 1 1 3 är bijektiv. Bestäm avbildningsmatrisen för den inversa avbildningen i förekommande fall. 8.11 Vi återgår en sista gång till avbildningarna i uppgift 8.2. Kombinera dina resultat av uppgift 8.7 och 8.9 för att avgöra om den linjära avbildning som svarar mot a) spegling i linjen 2x y=0 b) ortogonal projektion på planet 2x y + z = 0 c) rotation i planet, 2π/3 radianer i positiv riktning är bijektiv. Bestäm avbildningsmatrisen för den inversa avbildningen i förekommande fall. Notera att du i uppgift 7.9b), 7.10a) respektive 7.11a) redan har beräknat matriserna för avbildningarna ovan. Övriga egenskaper hos linjära avbildningar T 8.12 Låt F och G vara linjära avbildningar med avbildningsmatris A= 1 5 ( ) 3 4 4 3 2 1 2 respektive B = 2 2 1. 1 2 2 Avgör om avbildningarna är isometriska. T 8.13 Vektorerna u,v ir 2 spänner upp ett parallellogram i planet (se figuren) med area 3. Låt F :R 2 R 2 vara den linjära avbildning som ges av matrisen A= ( ) 3 5. 2 1 v u Bestäm arean av det parallellogram som spänns upp av vektorerna F(u), F(v). Förutsatt att u, v är positivt orienterade, vad går att säga om orienteringen av F(u),F(v)?
44 T 8.14 Vektorerna u,v,w ir 3 spänner upp en parallellepiped i planet (med volym skild från noll). Låt F :R 3 R 3 vara den linjära avbildning som ges av matrisen a 1 0 A= 1 1 a. 0 2 1 Bestäm de värden på konstanten a för vilka vektorerna F(u), F(v), F(w) spänner upp en parallellepiped med volym noll.
Egenskaper hos linjära avbildningar 45 Tips Kapitel 8 8.1 Se Exempel 8.1 på sidan 218 i läroboken. 8.2 Se Exempel 8.2 på sidan 219 i läroboken. 8.3 a) Använd sambandet på sidan 220 i läroboken. (Det går givetvis också att räkna fram rangen utifrån matriserna med metoden i Kapitel 5.4; se Sats 5.14. Matriserna för avbildningarna i uppgiften har du tidigare tagit fram i uppgift 7.9b), 7.10a) respektive 7.11a).) b) För nollrummet, tänk på den geometriska tolkningen. Vilka vektorer avbildas på 0? Nolldimensionen anger sedan dimensionen av nollrummet. Alternativt kan man få fram nolldimensionen genom att utnyttja dimensionssatsen, Sats 5.15, på sidan 139 i läroboken. Hur många kolonner n har avbildningsmatrisen i respektive fall? 8.4 Se Exempel 8.4 på sidan 221 i läroboken. 8.5 Se Exempel 8.5 på sidan 223 i läroboken. 8.6 Se Exempel 8.6 på sidan 225 i läroboken. 8.7 Tänk på den geometriska tolkningen. Jämför Exempel 8.7 på sidan 226 i läroboken. (Om du löste uppgift 8.3b) kanske du kan utnyttja resultatet där för att avgöra injektiviteten?) 8.8 För definitionen av att en avbildning är surjektiv, se läroboken sidan 226. 8.10 För avbildningsmatrisen, använd Sats 8.2 på sidan 229 i läroboken. (Jämför även Exempel 8.8 på samma sida.) 8.12 Använd Sats 8.4 på sidan 233 i läroboken. 8.13 Se Sats 8.6 på sidan 239 i läroboken. 8.14 Se Sats 8.6 på sidan 239 i läroboken.
46 Svar Kapitel 8 8.1 a) de (y 1, y 2, y 3 ) ir 3 som uppfyller att 3y 1 2y 2 + y 3 = 0 b) helar 2 c) de (y 1, y 2, y 3 ) ir 3 som uppfyller att 5y 1 4y 2 +3y 3 = 0 8.2 a) helar 2 b) de (y 1, y 2, y 3 ) ir 3 som uppfyller att 2y 1 y 2 + y 3 = 0, dvs. själva planet c) helar 2 8.3 a) Rangen, som svarar mot dimensionen av värdemängden, blir 2 i samtliga fall. b) Nollrummet i 8.2a) och c) blir enbart nollvektorn; nolldimensionen är då 0. I b) ges nollrummet av vektorerna (y 1, y 2, y 3 )= t(2, 1,1), t R, dvs. en linje ortogonal mot planet 2x y+ z= 0. Nolldimensionen är här lika med 1. 8.4 a) 1 10 ( ) 3 4 3 4 3 3 4 3 3 3+4 3 Matriserna är som synes olika. b) 1 10 2 1 8.5 a) BA = 8 1 ; G F är av typr 2 R 3. 10 2 b) ej definierad 8.6 a) ej injektiv b) injektiv c) injektiv 8.7 a) injektiv b) ej injektiv c) injektiv 8.8 a) ej surjektiv b) surjektiv c) ej surjektiv 8.9 a) surjektiv b) ej surjektiv c) surjektiv 8.10 a) ej bijektiv b) bijektiv c) ej bijektiv Inversen i b) får matrisen ( ) 2 3 1 1. 8.11 a) bijektiv b) ej bijektiv c) bijektiv Inversen i a) och c) får matrisen 1 ( 3 4 ) 5 4 3 respektive 1 2 ( ) 3+4 3 4+3 3 4+3 3 3 4 3 ( 1 3 3 1 ). Notera att inversen till speglingen blir lika med speglingen själv, och att inversen till rotationen blir rotation 2π/3 radianer i negativ riktning.
Egenskaper hos linjära avbildningar 47 8.12 F är isometrisk, G är ej isometrisk. Notera att F är spegling i linjen 2x y=0, en för oss välbekant avbildning; vid spegling i en linje bevaras ju längder och vinklar. Matrisen B är inte ortogonal; visserligen är kolonnerna ortogonala, men dessa är inte normerade. 8.13 Arean blir 21, och F(u),F(v) är negativt orienterade. 8.14 a= 1 och a=1/2
Kapitel 9 Bas- och koordinatbyte Byte av bas och koordinater T 9.1 Låt e 1,e 2 vara en bas förr 2, och antag att vi inför en ny bas ê 1,ê 2 enligt ê 1 = (3, 1), ê 2 = (2,1) med avseende på den ursprungliga basen e 1,e 2. a) Verifiera att ê 1,ê 2 utgör en bas förr 2. b) Ange matrissambandet för hur de nya basvektorerna ê 1,ê 2 uttrycks i de ursprungliga basvektorerna e 1,e 2. Givet en allmän vektor x=(x 1,x 2 ) i den ursprungliga basen e 1,e 2, låt ˆx=( ˆx 1, ˆx 2 ) beteckna koordinaterna för x i den nya basen ê 1,ê 2. c) Ange matrissambandet för hur de ursprungliga koordinaterna x uttrycks i de nya koordinaterna ˆx. Vad blir koordinatbytesmatrisen? Vad går det att säga om kolonnerna till denna matris? d) Använd sambandet i c) för att bestämma koordinaterna x för den vektor som i den nya basen har koordinaterna ˆx=(1, 2). e) Ange matrissambandet för hur de nya koordinaterna ˆx uttrycks i de ursprungliga koordinaterna x. f) Använd sambandet i e) för att bestämma de nya koordinaterna ˆx för vektorn x=( 6,7). Ortonormerat basbyte T 9.2 Låt e 1,e 2,e 3 vara en bas förr 3, och antag att vi inför en ny ortonormerad bas ê 1,ê 2,ê 3 enligt ê 1 = 1 3 (2,2, 1), ê 2= 1 3 (1, 2, 2), ê 3= 1 3 ( 2,1, 2) med avseende på den ursprungliga basen e 1,e 2,e 3. a) Verifiera att ê 1,ê 2,ê 3 utgör en ortonormerad bas förr 3. Givet en allmän vektor x = (x 1,x 2,x 3 ) i den ursprungliga basen e 1,e 2,e 3, låt ˆx=( ˆx 1, ˆx 2, ˆx 3 ) beteckna koordinaterna för x i den nya basen ê 1,ê 2,ê 3. b) Ange matrissambandet för hur de nya koordinaterna ˆx uttrycks i de ursprungliga koordinaterna x. c) Använd sambandet i b) för att bestämma de nya koordinaterna ˆx för vektorn x=(1,2,3). 48
Bas- och koordinatbyte 49 TL 9.3 Planet π ges av ekvationen 2x+2y z = 0 med avseende på en given bas e 1,e 2,e 3. a) Bestäm en positivt orienterad ortonormerad bas ê 1,ê 2,ê 3 sådan att vektorerna ê 1 och ê 2 är parallella med π. b) Vi byter nu bas till ê 1,ê 2,ê 3. Vad blir ekvationen för π i denna nya bas? Koordinatbyte för linjära avbildningar T 9.4 Antag att den linjära avbildningen F :R 2 R 2 har avbildningsmatris A= 1 5 ( 4 ) 18 3 1 i en given bas e 1,e 2, och att vi utför basbytet i uppgift 9.1, dvs. vi inför de nya basvektorerna ê 1 = (3, 1), ê 2 = (2,1) med avseende på den ursprungliga basen e 1,e 2. Bestäm avbildningsmatrisen  med avseende på den nya basen ê 1,ê 2. T 9.5 Låt F vara den linjära avbildning som svarar mot spegling i linjen l : 2x y = 0. a) Bestäm avbildningsmatrisen för F. (Har du löst uppgift 7.9b) på sidan 36 så har du redan svaret.) b) Bestäm en ortonormerad bas ê 1,ê 2 förr 2 sådan att ê 1 är parallell med l och ê 2 är ortogonal mot l. c) Bestäm avbildningsmatrisen för F med avseende på basen ê 1,ê 2. T 9.6 Bestäm avbildningsmatrisen A för den linjära avbildning som svarar mot rotation vinkeln π/2 radianer kring linjen (x, y, z) = t( 2,2, 1), t R. Rotationen sker i positiv riktning sett från spetsen av vektorn ( 2,2, 1).
50 Tips Kapitel 9 9.1 Se Exempel 9.2 på sidan 248 i läroboken. 9.2 Se Exempel 9.3 på sidan 250 i läroboken. 9.3 a) Börja med att ta fram vektorn ê 3, som måste vara en normalvektor till planet. Det återstår sedan att hitta två ortogonala normerade vektorer ê 1,ê 2 parallella med planet. Börja med att försöka konstruera en av dessa två; den sista kan du sedan ta fram med hjälp av en lämplig vektorprodukt. Var noggrann med ordningsföljden i vektorprodukten så att den slutliga orienteringen blir korrekt. b) Ta fram en normalvektor till planet π uttryckt i den nya basen ê 1,ê 2,ê 3. 9.4 Se Exempel 9.4 på sidan 254 i läroboken. 9.5 Jämför Exempel 9.5 på sidan 255 i läroboken. 9.6 Utför först ett lämpligt basbyte, t.ex. till en positivt orienterad ortonormerad bas ê 1,ê 2,ê 3, där ê 3 = 1 3 ( 2,2, 1). (Detta basbyte utförde du faktiskt i uppgift 9.3; återanvänd gärna dina beräkningar därifrån.) I denna bas är det mycket lättare att ta fram avbildningsmatrisen (se Exempel 7.19 på sidan 215 i läroboken), som vi betecknar Â. Slutligen kan man beräkna avbildningsmatrisen A i den ursprungliga basen genom att utgå från sambandet i Sats 9.3 på sidan 254.
Bas- och koordinatbyte 51 Svar Kapitel 9 9.1 a) Det är inte svårt att se att de två vektorerna ê 1, ê 2 ej är parallella, och därmed utgör en bas förr 2. b) ) ( )( ) (ê1 3 1 e1 = ê 2 2 1 e 2 }{{}}{{}}{{} Ê S T E c) Det gäller att ( x1 x 2 }{{} x ) ( ) 3 2 = 1 1 }{{} S ( ) ˆx1. ˆx 2 }{{} ˆx Matrisen S är den s.k. koordinatbytesmatrisen, vars kolonner är koordinaterna för de nya basvektorerna ê 1,ê 2. d) x=( 1, 3) e) ( ) ( )( ) ˆx1 = 1 1 2 x1 ˆx 5 2 1 3 x 2 }{{}}{{}}{{} ˆx S 1 x f) ˆx=( 4,3) 9.2 a) Eftersom varje ortonormerad mängd av tre vektorer i R 3 också är en bas för R 3 (se Exempel 5.8 på sidan 131 i läroboken) räcker det att visa att ê 1,ê 2,ê 3 utgör en ortonormerad mängd. Det är lätt att kontrollera att så är fallet; det gäller att ê 1 ê 2 = ê 1 ê 3 = ê 2 ê 3 = 0 och ê 1 ê 1 = ê 2 ê 2 = ê 3 ê 3 = 1. b) ˆx 1 ˆx 2 ˆx 3 }{{} ˆx 2 2 1 x 1 1 2 2 x 2 } 2 1 {{ 2 x 3 }}{{} S 1 =S T x = 1 3 c) ˆx=(1, 3, 2) 9.3 a) exempelvis ê 1 = 1 (1,1,0), ê 2 = 1 2 3 (1, 1, 4) och ê 3= 1 2 3 ( 2,2, 1) b) ẑ=0 ( ) 2 0 9.4 Â= 0 1 (en diagonalmatris!)
52 9.5 a) ( ) A= 1 3 4 5 4 3 c) ( ) 1 0 Â= 0 1 b) t.ex. ê 1 = 1 5 (1,2), ê 2 = 1 5 (2, 1) 4 1 8 9.6 A= 1 7 4 4 9 4 8 1
Bas- och koordinatbyte 53 Lösningar Kapitel 9 9.3 a) Eftersom ê 1 och ê 2 skall vara parallella med planet 2x+2y z= 0 inser vi att ê 3 blir ortogonal mot detta plan. En avläsning av planets ekvation ger att detta (exempelvis) har normalvektorn ( 2, 2, 1), och efter normering kan vi därför direkt sätta ê 3 = 1 3 ( 2,2, 1). Vi plockar sedan ut en valfri vektor parallell med planet; genom prövning ser vi att exempelvis (1,1,0) är ortogonal mot ê 3, och således även är parallell med planet. Normering av denna vektor ger oss vektorn ê 1 = 1 2 (1,1,0). Vi tar slutligen fram en vektor ortogonal mot både ê 1 och ê 3 genom att beräkna vektorprodukten, och väljer att multiplicera vektorerna i ordningen ê 3 ê 1 = 1 3 2 (1, 1, 4). Denna produkt, med ordningen ovan, kommer faktiskt direkt ê 3 ê att ge oss vektorn ê 1 2 : Eftersom π ê 3 ê 1 enligt Sats 2.1 på sidan 56 ges av arean som spänns ê 1 upp av ê 3 och ê 1, vilken i detta fall är lika med 1 (arean av en kvadrat med sida 1), följer det att ê 3 ê 1 = 1; vektorprodukten blir i detta fall därför automatiskt normerad. Vidare är, eftersom det handlar om en vektorprodukt, vektorerna ê 3,ê 1,ê 3 ê 1, i den ordningen, positivt orienterade, och genom att rita en figur inser vi då att även den omkastade ordningen ê 1,ê 3 ê 1,ê 3 får samma orientering. Vektorprodukten får således precis de egenskaper vi vill åt för ê 2, och vi sätter ê 2 = 1 3 (1, 1, 4). 2 Sammanfattningsvis gäller det alltså att exempelvis ê 1 = 1 2 (1,1,0), ê 2 = 1 3 2 (1, 1, 4), ê 3= 1 3 ( 2,2, 1), är en bas med de sökta egenskaperna. (Observera att det finns flera, t.o.m. oändligt många, korrekta svar till denna uppgift. Bl.a. har vi ju ett mycket fritt val av vektorer parallella med planet.) ê 3
54 b) Planet π har exempelvis normalvektorn n = ê 3 = 1 3 ( 2,2, 1), och denna normalvektor uttryckt i den nya basen blir ˆn=(0,0,1). Eftersom planet innehåller origo ges dess ekvation efter basbytet således av 0 ˆx+0 ŷ+1 ẑ= 0, dvs. ẑ= 0. I den nya basen blir alltså π ett koordinatplan, närmare bestämt ˆxŷ-planet! Alternativ: Om man inte upptäcker den korta lösningen ovan kan man också ta fram ekvationen via matriser: Med valet av bas i a) utför vi alltså basbytet ê 1 ê 2 ê 3 }{{} Ê = 1 2 1 2 0 1 3 2 2 3 1 3 2 4 3 2 2 3 1 3 } {{ } S T vilket leder till koordinatsambandet 1 1 x 2 3 2 y = 1 1 2 3 2 z }{{} 0 4 x 3 2 2 3 2 3 1 3 } {{ } S e 1 e 2 e 3. }{{} E ˆx ŷ. ẑ }{{} ˆx Vi skriver nu om planets ekvation 2x+ 2y z=0 med hjälp av detta sista koordinatsamband: 2 ( 1 2 ˆx+ 1 3 2 ŷ 2 3 ẑ) +2 ( 1 2 ˆx 1 3 2 ŷ+ 2 3 ẑ) ( 4 3 2 ŷ 1 3 ẑ) = 0 ẑ= 0.
Kapitel 10 Egenvektorer och egenvärden Definition T 10.1 Låt F :R 2 R 2 vara den linjära avbildningen med avbildningsmatris ( ) 8 4 A=. 3 5 Vilken eller vilka av vektorerna u 1 = (1,1), u 2 = (1, 3), u 3 = (4, 1), u 4 = (0,0), är egenvektorer till F? Vad blir egenvärdet i respektive fall? TL 10.2 Den linjära avbildningen F :R 3 R 3 med avbildningsmatris a 5 5 A= 1 3 a 2 1 5 3 har egenvektorn u = (1,1, 1). Bestäm värdet på konstanten a. Vad blir egenvärdet? T 10.3 Vektorerna u och v i figuren är egenvektorer med egenvärdena 1/2 respektive 2 till en linjär avbildning F :R 2 R 2. a) Rita ut vektorerna F(u) och F(v). b) Rita ut vektorn F(u+v). Är u+v en egenvektor till F? v u T 10.4 Använd ett geometriskt resonemang (dvs. räkna inte) för att bestämma alla egenvektorer och egenvärden till den linjära avbildning som svarar mot a) ortogonal projektion på linjen 2x y=0 b) spegling i planet 2x y+ z= 0 c) rotation π radianer i planet d) rotation i rummet π/3 radianer kring z-axeln. 55
56 T 10.5 T 10.6 T 10.7 Beräkning av egenvärden och egenvektorer Beräkna samtliga egenvärden och egenvektorer till matrisen a) ( ) 1 3 4 2 b) ( ) 2 0 1 2 c) 1 5 ( ) 3 4 4 3 Beräkna samtliga egenvärden och egenvektorer till matrisen 0 3 3 2 2 2 a) 1 2 1 1 b) 2 5 1 3. 1 5 4 2 1 5 Bestäm samtliga egenvärden till matrisen 1 5 11 3 0 2 3 6 0 0 3 7. 0 0 0 4 d) ( 1 1 3 2 ). 3 1 T 10.8 Använd de beräknade egenvektorerna och egenvärdena till matriserna i uppgift 10.5c) och 10.6b) för att, till var och en av dessa matriser, göra en geometrisk tolkning av motsvarande linjära avbildning.
Egenvektorer och egenvärden 57 Tips Kapitel 10 10.1 Utnyttja Definition 10.2 av egenvektor på sidan 258 i läroboken. Se även Exempel 10.1 på samma sida. 10.2 Utnyttja Definition 10.2 av egenvektor på sidan 258 i läroboken. 10.3 b) Notera att F är en linjär avbildning. Vad gäller då för F(u+v)? Blir F(u+v) parallell med u+v? 10.4 Jämför resonemangen i Exempel 10.2 10.4 på sidorna 259 261 i läroboken. Rita figur i varje enskilt fall! 10.5 Se Exempel 10.5 på sidan 263 i läroboken. I c) och d) använder man lämpligen metoden i Exempel 10.6 för att undvika faktorn framför matrisen. 10.6 Se Exempel 10.6 på sidan 264 i läroboken. 10.7 För determinantberäkningen, jämför Exempel 6.17 på sidan 176 i läroboken. 10.8 Jämför Exempel 10.7 på sidan 266 i läroboken. Problemet är i princip det omvända till det i uppgift 10.4, så det kan vara bra att först tänka igenom dina lösningar av 10.4.