2. Mekaniska vågrörelser i en dimension Reflexion Även om alla vågrörelser kan beskrivas med begreppen och, för de flesta naturligt förekommande vågorna, de matematiska uttrycken introducerade i kapitel 1 så kan ju i praktiken de allra flesta material/media som en vågrörelse utbreder sig i inte betraktas som oändliga varför vi behöver titta på hur detta påverkar vår beskrivning av vågrörelsen. När en vågrörelse som utbreder sig i ett material når slutet på materialet/ gränsen mot ett annat material finns det några olika alternativ för vad som blir resultatet: Exempel I Om man börjar röra ena änden av en fjäder fram och tillbaka kommer en vågrörelse bestående av förtätningar och förtunningar av fjädervarv att utbreda sig längs fjädern, se Fig. 2.1 nedan, precis som i exemplen med atomerna i kristallen och luftens molekyler framför en högtalare. (a) (b) x x (c) x (d) x Fig. 2.1 Figuren visar den vågrörelse som utbreder sig genom en fjäder då ena änden dras fram och tillbaka. Den streckade röda linjen visar avståndet från varje enskild punkt på fjädern till samma punkt på fjädern då den är i jämviktsläget (då fjädern är i vila).
Från Fig. 2.1 kan man också se att vågrörelsen kan åskådliggöras som skillnaden mellan läget (x-koordinaten) för en viss punkt på fjädern då vågrörelsen utbreder sig genom fjädern och det läge samma punkt skulle ha då fjädern är i vila (se Fig. 2.1(a)). I Fig. 2.1 visas detta avstånd Δx som en streckad röd linje. När den vänstra fjäderänden rörs framåt kommer den att påverka den del av fjädern som finns precis till höger om änden med en kraft framåt så att denna del tvingas röra sig lite framåt, vilket lite senare i sin tur påverkar nästa lilla del med en kraft framåt, etc., så att vågen utbreder sig åt höger längs med fjädern. Säg nu att en puls skickas iväg längs fjädern genom att fjäderänden rörs framåt en liten bit och sedan tillbaka till samma läge som änden befann sig i innan. Pulsen kommer då att vandra iväg längs med fjädern och när den når andra änden kommer det att se ut som i Fig. 2.2 nedan. Fig. 2.2 Grön pil anger vågens utbredningsriktning Varje liten del av fjädern som börjar påverkas av en kraft framåt kommer dock att hålla emot med en liten kraft (fjäderkraften) eftersom det finns ett visst motstånd mot att trycka ihop fjädern (det kostar energi att trycka ihop en del av fjädern). När pulsen kommer fram till andra änden finns det däremot ingen fjäderdel, eller något annat, framför som kan hålla emot. Detta gör att den resulterande kraften åt höger på fjäderänden blir lite större än den varit på de tidigare fjäderdelarna. Därmed kommer också fjäderänden att röra sig lite längre framåt än de tidigare fjäderdelarna gjort. Men eftersom fjäderänden kommer att röra sig lite längre framåt än vad de tidigare fjädervarven gjort kommer också änden att dra lite extra i den fjäderdel som finns närmast innan änden, d.v.s. när fjäderänden gör ett litet större utslag då vågtoppen når fram dit kommer den att dra med sig delen närmast innan (bakom) änden en extra bit framåt, som
sedan drar med sig fjäderdelen närmast innan (bakom) den etc. Enligt Fig. 2.3 nedan fås då en våg som rör sig bakåt igen längs fjädern. Man säger att vågen reflekterats i änden. Fig. 2.3 Reflexion av en vågrörelse i en fri fjäderände Från Fig. 2.3 ses att fjäderdelarna också nu kommer att flytta sig lite framåt jämfört med viloläget (jämviktsläget), d.v.s. Δx > 0, när vågen (pulsen) rör sig bakåt längs med fjädern. Efter reflexionen kommer alltså vågrörelsen att se likadan ut som före, men med motsatt utbredningsriktning. Säg istället att den andra fjäderänden skulle vara fastsatt i en vägg, se Fig. 2.4, som inte kan röra sig. När vågrörelsen (pulsen) kommer fram till andra änden kommer inte änden att kunna förflytta sig åt höger längre. Vad händer då?
När vågen når fram till den ände som sitter fast i väggen kommer fjädern närmast väggen att tryckas ihop (eftersom fjäderänden inte kan röra sig fritt och väggen är för orörlig för att flytta på sig). Rörelseenergin som transporterats genom fjädern kan inte effektivt överföras till väggen så den kommer att kortvarigt lagras upp som lägesenergi (potentiell energi) just genom att fjädervarven kommer att vara mer hoptryckta än de är i vila. Men precis som när en vikt som hängts i en fjäder dras ut och sedan släpps kommer också den här fjädern att fjädra tillbaka så att fjädervarven nära väggen kommer att tryckas ut längre till vänster än i deras viloläge (jämviktsläge). Dessa fjäderdelar kommer i sin tur att påverka de delar av fjädern som finns precis till vänster om dem så att de också rör sig mot vänster. På så sätt fås en våg (puls) som rör sig åt vänster men där varje fjäderdel i sin tur rör sig först lite åt vänster och sedan tillbaka mot jämviktsläget igen (åt höger), i motsats till fallet då fjäderänden var fri. Efter reflexionen kommer alltså vågrörelsen att se omvänd ut jämfört med före (indikeras också av den streckade kurvan i Fig. 2.4 (d)). Motsvarande händer om fjädern dras ut lite istället för att tryckas ihop, med den skillnaden att det istället blir en
sträckning närmast väggen och att lägesenergi lagras upp i denna sträckning som gör att fjädervarven närmast väggen kommer att dras in närmare till väggen än i jämviktsläget (viloläget). Fjädervarven närmast till vänster kommer då i tur och ordning att röra sig åt höger (in mot väggen). I den infallande pulsen rörde sig fjäderdelarna först lite åt vänster och sedan åt höger när pulsen passerade, i den reflekterade pulsen rör sig delarna tvärtom; först lite åt höger sedan lite åt vänster. Transmission Säg nu att änden på det material som vågen rör sig genom inte är helt fri men inte heller sitter fast i något som inte kan röra sig utan är i kontakt med ett annat material som också kan röra sig (vars delar, molekyler, atomer etc. kan röra sig). Vågrörelsen kan då fortplanta sig över gränsen till och in i det nya materialet. Exempel II En transversell vågrörelse har satts igång i ena änden av och fortplantar sig genom ett rep. Den andra änden av repet sitter fast i ett annat rep som är tunnare och lättare per längdenhet än det första (se Fig. 2.5). Vågen utbreder sig på vanligt sätt genom det första repet tills den kommer fram till gränsen mot det nya repet. Precis som den fria änden på fjädern i exempel I åkte ut lite extra då ingen fjäderdel framför höll emot kommer nu den del av det första repet som befinner sig precis vid gränsen till det andra repet att åka upp lite extra eftersom det tunnare rep som änden sitter fast i är lättare och inte håller emot lika mycket som det tjockare, tyngre repets delar tidigare gjort. Samtidigt kommer givetvis den första delen av det lättare repet att också följa med i rörelsen så att vågen fortplantar sig in i det nya repet. Infallande våg (puls) Fig. 2.5 Reflexion mot tunnare material reflekterad våg (puls) transmitterad våg (puls)
Eftersom det tyngre repets ända nu åker upp lite extra kommer den att dra med sig den del av det tjockare repet som finns precis innan (bakom) änden lite grand uppåt. Och när denna del börjar röra sig uppåt, kommer den också att påverka den del som finns innan denna så att den en mycket kort stund senare också börjar röra sig uppåt, etc. En våg (puls) kommer alltså att utbreda sig bakåt i det tyngre repet, där repdelarna kommer att röra sig först lite uppåt och sedan nedåt igen, d.v.s. den reflekterade vågen (pulsen) är vänd åt samma håll som den våg som från början rörde sig framåt längs det tjockare repet. Om den ursprungliga vågen (pulsen) istället skulle utbreda sig i det lättare repet och komma fram till gränsen mot det tjockare repet (se Fig. 2.6) så skulle änden inte klara av att dra upp början på det tjocka repet lika högt som de tidigare repdelarna dragits upp. Eftersom yttersta änden på det tunna repet inte kan åka upp lika högt på slutet som tidigare kommer istället den delen av repet som finns precis innan änden att sträckas lite. Precis på samma sätt som när fjädern trycktes ihop mot väggen i exempel I kommer lite av rörelseenergin att tillfälligt lagras upp som lägesenergi i sträckningen. Men också precis som för fjädern så kommer lägesenergin att omvandlas till rörelseenergi igen genom att det finns en kraft i sträckningen som vill återföra denna lilla del av repet till dess normala längd (i vila). Eftersom den första delen av det tyngre repet inte lyfts högre kommer detta innebära att den lilla del som är precis innan änden på det tunnare repet kommer att dras neråt istället så att sträckningen minskar. Precis som med en vikt som hänger i en fjäder som dragits ut och sedan släppts kommer den fart repdelen vid änden har att göra att denna del av repet kommer att åka ner lite under jämviktsläget (läget repdelen har när repet är i vila). När denna del rör sig nedåt kommer den precis som tidigare att påverka den repdel som finns precis innan på repet så att denna också börjar röra sig nedåt, vilket i sin tur påverkar nästa del, etc. En våg (puls) fås nu som rör sig bakåt längs med det tunnare repet där varje repdel först rör sig lite neråt och sedan uppåt när vågen (pulsen) passerar. D.v.s. den reflekterade vågen kommer att vara omvänd jämfört med den infallande. Infallande våg (puls) Fig. 2.6 Reflexion mot tätare material sträckning reflekterad våg (puls) transmitterad våg (puls)
Den transmitterade vågen (pulsen) kommer naturligtvis alltid att vara vänd åt samma håll som den infallande eftersom de två materialen hänger ihop; om sista delen av det ena materialet (repet) rör sig uppåt måste också den första delen av det andra materialet (repet) röra sig uppåt, och motsvarande om den sista delen av första materialet rör sig neråt. En annan konsekvens av detta är att frekvensen för vågrörelsen inte ändras när vågen passerar gränsen till ett nytt material. Om den första delen av det andra materialet rör sig uppåt varje gång som den sista delen av det första materialet rör sig uppåt och motsvarande för när den sista delen av första materialet rör sig neråt, så måste ju den första delen av andra materialet röra sig upp och ner lika ofta som sista delen av det första, d.v.s. en punkt på det andra repet kommer att röra sig upp och ner lika många gånger på en sekund som en punkt på det första repet. Däremot är det inte sannolikt att utbredningshastigheten kommer att vara samma i de olika materialen (repen). Enligt sambandet v = f λ innebär det också att våglängden λ för vågrörelsen sannolikt kommer att vara olika (frekvensen alltid densamma) i de olika materialen. Sammanfattning om reflexion och transmission Resonemanget i ovanstående exempel kan sammanfattas i följande enkla minnesregler när det gäller reflexion och transmission: i) Vid reflexion mot tunnare material kommer den reflekterade vågen att vara rättvänd (vänd åt samma håll som den infallande) ii) iii) Vid reflexion mot tätare material kommer den reflekterade vågen att vara omvänd jämfört med den infallande Vid transmission kommer vågrörelsens frekvens inte att ändras när vågen passerar in i ett annat material
Superposition Precis som materialet en vågrörelse utbreder sig i oftast inte kan anses oändligt så behöver det ju inte alltid förekomma bara en vågrörelse i ett material samtidigt, så det är nödvändigt att titta på hur också detta påverkar beskrivningen av vågor. Om två, ev. olika, vågor (pulser) möts och börjar överlappa varandra i en punkt eller ett område, så kan man få fram den sammanlagda vågens utseende (d.v.s. hur de båda vågorna tillsammans påverkar det medium de rör sig i, i de punkter de överlappar varandra) genom att för varje tidpunkt och i alla punkter där de överlappar varandra addera de värden vågorna var för sig skulle ha i de punkterna. Detta kallas superpositionsprincipen: Superpositionsprincipen Om två eller flera vågor möts och överlappar varandra fås den resulterande vågen genom att för varje tidpunkt addera de enskilda vågornas värden i alla de punkter där de överlappar Exempel III I Fig. 2.7 nedan möts två pulser i samma medium (material) och börjar överlappa varandra. När de båda pulserna passerar varandra läggs deras enskilda värden ihop i varje punkt för att få det resulterande utseendet på pulsen (/vågen). I figuren nedan utgör heldragen linje den resulterande pulsen, medan streckade linjer anger hur varje enskild puls skulle se ut i det ögonblicket. y t = t 1 x y t = t 2 x
y t = t 3 x y t = t 4 x y t = t 5 x Fig. 2.7 Superposition Stående vågor I exemplet ovan möts två pulser, men samma sak gäller förstås för två eller flera vågor som möts i ett och samma material. För varje ögonblick och i varje punkt som de enskilda vågorna överlappar varandra fås den resulterande vågens utseende genom att lägga ihop de elongationer som de enskilda vågorna skulle haft i dessa punkter. Ett specialfall fås om vågorna som möts och överlappar varandra har samma frekvens (alltså samma våglängd) och ett specialfall av specialfallet om, som i Fig. 2.8 nedan, de har samma amplitud. I Fig. 2.8 kan man följa vad som händer när två vågor med samma frekvens (och i det här fallet alltså samma amplitud) möts i ett och samma material (eftersom vågorna utbreder sig i samma material följer då att de också har samma våglängd). I det endimensionella fallet kommer de två vågorna då att utbreda sig i motsatt riktning mot varandra (blå åt höger och röd åt vänster) så att de möts och börjar överlappa varandra i en viss punkt A (t = 0).
λ λ D B A C E t = 0 t = T/8 t = T/4 t = 3T/8 t = T/2 t = 5T/8 t = 3T/4 t = 7T/8 t = T t = 9T/8 λ/2 λ/2 D B A C E nod buk nod buk nod buk nod Fig. 2.8
När så en liten stund fått passera (säg en åttondel av periodtiden, t = T/8) har vågen från vänster (blå) rört sig framåt en viss sträcka åt höger medan vågen från höger (röd) rört sig framåt en lika lång sträcka (utbredningshastigheten är ju densamma) åt vänster. Enligt superpositionsprincipen ska nu de enskilda vågornas elongationer läggas ihop i varje punkt där de överlappar varandra för att få den resulterande vågens utseende. I Fig. 2.8 representeras den resulterande vågen av den gröna streckade linjen. Om så ytterligare en kort stund får passera hinner de båda vågorna röra sig lite mer framåt (blå lika långt åt höger som röd åt vänster) och efter den totala tiden t = T/4 fås att första vågtoppen från vågen som rör sig åt höger perfekt överlappar med första vågtoppen från vågen som rör sig åt vänster. I A får då den resulterande vågen en elongation (amplitud) som (i det här fallet) är dubbelt så stor som amplituden för de enskilda vågorna. I punkterna B och C där vågorna nu börjat överlappa varandra möts dock punkter på de enskilda vågorna som har elongationen 0, varför den resulterande vågen också har elongationen 0. Tiden får sedan löpa ytterligare T/8 och de båda vågorna röra sig lika lång sträcka framåt igen. I punkterna B och C kan man nu (t = 3T/8) se att de elongationer de båda enskilda vågorna skulle ha är lika stora men den ena positiv och den andra negativ. Den resulterande vågen får då elongationen noll (summan av de enskilda vågornas elongationer blir ju noll). Om sedan tiden får rulla på (och de båda vågorna till varje ny tidpunkt får röra sig lika lång sträcka framåt) så ses från Fig. 2.8 att elongationen för den resulterande vågen i A kommer att variera mellan dubbla amplituden (de enskilda vågornas amplitud) i positiv riktning och dubbla amplituden i negativ riktning, medan i punkterna B och C alltid sådana elongationer för de enskilda vågorna möts att den resulterande vågens elongation blir noll, eftersom ett positivt värde på den ena vågen alltid möter ett lika stort negativt värde från den andra vågen i dessa punkter (se Fig. 2.8). Detta kan också konstateras om man, som längst ner i Fig. 2.8, lägger de resulterande vågornas utseende på varandra i en figur. Från den sammanställningen kan man se hur den resulterande vågen ser ut över tid och kan då konstatera att det ser ut som att utbredningsmaterialets delar svänger upp och ner men att vågen inte förflyttar sig åt något håll (varken höger eller vänster), vilket också lett fram till benämningen stående vågor för fenomenet. Man kan också, när man fortsätter förfarandet, se att de elongationer som de två enskilda vågorna skulle ha haft summerar till noll för den resulterande vågen även i punkterna D och E. Och precis som för punkten A kommer det att finnas punkter mitt emellan B och D samt mitt emellan C och E där den resulterande vågens elongation varierar mellan 2A och -2A, där A står för amplituden hos de enskilda vågorna. Punkterna B, C, D och E, med noll elongation för den resulterande vågen, kallas för noder eller nodpunkter. Från Fig. 2.8 kan vidare konstateras att det mellan två intill varandra liggande noder ALLTID är en sträcka på en halv våglängd λ/2. De punkter (t.ex. A) där den resulterande vågens elongation är dubbelt så stor (positivt och negativt) som de enskilda vågornas amplituder kallas för bukar (eller svängningsbukar) och man kan också konstatera
att även mellan två intill varandra liggande bukar är det ALLTID en sträcka på en halv våglängd λ/2. Återigen har en beskrivning av ett vågfenomen gjorts under antagande att det material som vågorna rör sig genom i princip har oändlig utsträckning i båda riktningar. Vad händer nu om en vågrörelse alstras i ett material som har ett slut. I Fig. 2.9 visas situationen för det fall då en oändlig vågrörelse utbreder sig åt höger i ett material med oändlig utsträckning åt vänster men som till höger sitter fast i något orörligt (ett mycket tätare material). P Q t = 0 t = T/8 t = T/4 t = 3T/8 t = T/2 t = 5T/8 t = 3T/4 t = 7T/8 t = T t = 9T/8 λ/2 P Q B A C λ/2 buk nod buk nod buk nod Fig. 2.9
I Fig. 2.9 kan man följa vad som blir resultatet över tid när framkanten på vågen når fram till och börjar reflekteras i gränsen till det orörliga (mycket tätare) materialet. Den reflekterade delen av vågrörelsen utbreder sig åt vänster och kommer nu att möta den inkommande delen av vågen som rör sig åt höger. Eftersom de utbreder sig i samma material (samma utbredningshastighet) och vågen efter reflektion såklart har samma frekvens som innan reflektionen kommer nu alltså två vågor med samma våglängd (och teoretiskt samma amplitud) att mötas i ett och samma material och börja överlappa, d.v.s. samma situation som i Fig. 2.8 Antag att man börjar följa händelseförloppet precis då framkanten på vågen reflekteras. Eftersom det är en reflektion mot ett tätare material kommer vågen ju att reflekteras omvänd, så den första vågtoppen kommer att reflekteras som en vågdal. Både den inkommande och den reflekterade vågen rör sig sen framåt samma sträcka under samma tid (bara i motsatt riktning mot varandra), och man kan därigenom studera vad som händer efter en liten stund genom att, som i Fig. 2.9, flytta den inkommande och reflekterade vågen en ruta vardera framåt (i respektive utbredningsriktning), motsvarande en tid på en åttondel av periodtiden 1T/8. För att studera vad som händer vid senare tillfällen upprepas sedan proceduren (så att man kan se de enskilda vågornas utseenden efter t = 2T/8, 3T/8, 4T/8, etc.). Om enligt superpositionsprincipen den inkommande och den reflekterade vågens enskilda elongationer läggs ihop i varje punkt där de överlappar varandra fås för varje sådan tidpunkt den resulterande vågens utseende, de grönstreckade linjerna i Fig. 2.9. Precis som i Fig. 2.8 kan man se att det över tid bildas punkter, t.ex. B och C, där den resulterande vågen alltid har elongationen noll, och punkter, t.ex. A, där den resulterande vågen har en amplitud som är dubbelt så stor som den inkommande vågens amplitud. En stående våg bildas alltså med tiden, där vi kan notera att det precis som sig bör är ett avstånd motsvarande en halv våglängd mellan två intill varandra liggande noder och motsvarande för två intill varandra liggande bukar. I Fig. 2.10, på nästa sida, är motsvarande förlopp givet, men för situationen när materialet som vågen utbreder sig i är begränsat åt båda håll på så sätt att det i båda ändar sitter fast i något som inte kan röra på sig. För klarhetens och enkelhetens skull begränsas också vågens längd till att motsvara totalt 5 våglängder, d.v.s. dubbla materialets längd. På samma sätt som i Fig. 2.9 kommer den från början igångsatta vågrörelsen att utbreda sig åt höger och reflekteras i den första änden Q av materialet, varvid en stående våg bildas. En stund senare kommer dock den reflekterade delen av vågen att nå fram till den andra änden P och också genomgå en reflektion där. I Fig. 2.10 följs händelseförloppet från det att den i Q reflekterade vågen precis kommer fram till och börjar reflekteras även i den andra änden (i P). Eftersom den i P ursprungligen igångsatta vågen bara har en längd på dubbla materialets längd kommer inte något mer av vågrörelsen sändas ut från P när den i Q reflekterade vågen reflekteras i P. Man behöver därför bara ta hänsyn till de båda redan reflekterade delarna av vågen (den som reflekterats en gång i Q och är på väg mot P och den
som reflekterats en andra gång i P och är på väg mot Q, orange-färgad i Fig. 2.10), när man enligt superpositionsprincipen lägger ihop dem. P Q t = 0 t = 5T/2 t = 21T/8 t = 11T/4 t = 23T/8 t = 3T t = 25T/8 t = 13T/4 t = 27T/8 t = 7T/2 λ/2 P Q D E B A C λ/2 nod buk nod buk nod buk nod buk nod buk nod Fig. 2.10
Eftersom reflektionen även i P sker mot tätare material kommer den i P reflekterade vågen att vara omvänd mot den som kommer in mot P och den första vågdalen in mot P blir därmed en vågtopp efter reflektionen. Proceduren från Fig. 2.9 upprepas för det här fallet så att de enskilda vågorna flyttas fram en ruta i taget och deras elongationer i varje punkt och för varje tidpunkt summeras. Precis som i Fig. 2.9 kan man konstatera att det i vissa punkter (exempelvis D och E) bildas noder och däremellan bukar. Vidare kan man konstatera att om man i varje ögonblick lägger ihop de enskilda vågorna längs hela materialet kommer noderna att ligga jämnt utspridda med en halv våglängds avstånd mellan varandra, d.v.s. även när tiden löper på kommer noderna att ligga kvar i samma punkter över tiden. Den stående vågen kommer så att säga att bestå över tid. I de punkter i ändarna där materialet som vågorna utbreder sig i sitter fast kan man också se att det bildas nodpunkter, vilket väl känns logiskt och naturligt eftersom ju materialet inte kan röra sig upp och ner (eller fram och tillbaka) i dessa punkter. Man kan upprepa samma resonemang som för Fig. 2.10 med ett material som är lika långt, men inte sitter fast i någon av ändarna. Proceduren blir exakt densamma med den skillnaden att reflektionerna nu sker mot ett tunnare material så att vågen i ändarna reflekteras rättvänd. Förloppet ges i Fig. 2.11 och man kan se att resultatet i mångt och mycket liknar det för Fig. 2.10, med nodpunkter som ligger på en halv våglängds avstånd från varandra längs hela materialet och bukar däremellan. I det här fallet fås alltså också en bestående stående våg. Den enda skillnaden är nu att det istället för noder utbildas svängningsbukar i ändarna av materialet, där materialet är mer fritt att röra sig (upp och ner eller fram och tillbaka).
P Q t = 0 t = 5T/2 t = 21T/8 t = 11T/4 t = 23T/8 t = 3T t = 25T/8 t = 13T/4 t = 27T/8 t = 7T/2 λ/2 P Q C λ/2 buk nod buk nod buk nod buk nod buk nod buk Fig. 2.11
P Q t = 0 t = 5T/2 t = 21T/8 t = 11T/4 t = 23T/8 t = 3T t = 25T/8 t = 13T/4 t = 27T/8 t = 7T/2 P λ/2 Q D E B A C λ/2 buk nod buk nod nod buk nod buk nod Fig. 2.12 Vad händer då om det material som vågrörelsen utbreder sig i sitter fast i något orörligt i ena änden och är fritt rörligt i den andra, men i övrigt har samma egenskaper (samma längd etc.) som i Fig. 2.10 och 2.11? Precis som i Fig. 2.9 och 2.10 kommer vågrörelsen när den infaller mot punkten Q, där materialet sitter fast, att reflekteras omvänd och då den efter reflektionen möter vågen från P bilda en stående våg tillsammans med denna. En stund
senare kommer så den reflekterade vågen att nå fram till den andra änden (P) och där reflekteras igen, fast mot ett tunnare material. Den våg som nu reflekterats i P och rör sig mot Q kommer därför att vara vänd åt samma håll som den som innan reflexion infallit mot P. Om man låter tiden löpa och flyttar dessa båda sistnämnda vågor en ruta i taget och för varje ögonblick lägger ihop deras enskilda värden i de punkter där de överlappar varandra kan det konstateras att precis som i Fig. 2.11 en svängningsbuk bildas precis i änden (P) av materialet och att det sedan bildas noder i D och E. Allt så långt logiskt och högst rimligt. Om man fortsätter proceduren (gör gärna det) så kan man dock se att noderna inte längre hamnar i samma punkter som efter den första reflektionen (till höger i Fig. 2.12), d.v.s. det blir inte nodpunkt i B. Detta kan man också konstatera genom att lägga till nodpunkter till höger om E med en halv våglängds mellanrum. Alltså kommer den stående vågen från första reflexionen inte att bestå utan flytta på sig, och eftersom den flyttar sig i sidled så pratar man inte heller om någon stående våg. För situationen i Fig. 2.12 bildas alltså ingen stående våg. Man kan också fortsätta med att studera vad som händer om materialets längd ändras. I tidigare fall har materialet antingen haft oändlig utsträckning eller begränsats till att vara 2,5 våglängder långt. Säg att man istället ändrar materialets utsträckning till 2,25 våglängder men i övrigt låter det sitta fast i något orörligt i ena änden och lämnar det fritt att röra sig i andra änden, precis som i Fig. 2.12. Och så kan proceduren från Fig. 2.12 upprepas. Denna procedur lämnas dock som övning i Fig. 2.13. Man kan från Fig. 2.10 2.12, samt från övningen i Fig. 2.13, konstatera att den våg som reflekterats i båda ändar måste vara i fas med den ursprungliga vågen som utbreder sig åt höger och inte reflekterats någon gång för att det ska kunna bildas en stående våg. I Fig. 2.10 fås en stående våg eftersom den del av vågen som reflekteras för andra gången i P kommer i fas med den som ursprungligen skickades ut från P och likadant i Fig. 2.11. Däremot ser inte den i P reflekterade vågen likadan ut som den ursprungligen utskickade (den ligger i motfas) i Fig. 2.12. För en viss bestämd frekvens på vågrörelsen kan då en stående våg bara bildas för vissa längder (utsträckningar) L hos materialet vågen rör sig i (jmfr övning i Fig. 2.13). Omvänt gäller att för en viss specifik längd på materialet som vågen rör sig i kan det bara bildas stående vågor för vissa särskilda frekvenser. För ett material som är fastsatt i något orörligt (eller tätare material) i båda ändar eller är fritt att röra sig (sitter inte alls fast i något eller sitter fast i något tunnare ) i båda ändar gäller att följande samband mellan materialets längd L och vågrörelsens våglängd ska vara uppfyllt för att få en stående våg; L = n λ/2, n = 1, 2, 3, 4, För ett material som är fastsatt i något orörligt (eller tätare material) i ena änden och är fritt att röra sig (eller sitter fast i något tunnare material) i andra änden gäller att följande samband mellan materialets längd och vågrörelsens våglängd ska vara uppfyllt; L = n λ/2 + λ/4, n = 0, 1, 2, 3, Kontrollera gärna i Fig. 2.10 2.13.
P P Q t = 0 t = 5T/2 t = 21T/8 t = 11T/4 t = 23T/8 t = 3T t = 25T/8 t = 13T/4 t = 27T/8 t = 7T/2 P P Q C Fig. 2.13
I översikt kan fenomenet stående vågor sammanfattas i följande regler/minnesregler: 1. En stående våg består alltid minst av en nod och en buk 2. Noder bildas alltid där det material som vågorna rör sig i sitter fast i något tätare material 3. Bukar bildas alltid i de ändar/punkter där materialet sitter fast i något tunnare material eller kan röra sig fritt 4. Det är ALLTID en halv våglängds sträcka mellan två intill varandra liggande noder (och motsvarande för bukar) 5. För att en stående våg ska kunna uppstå i ett material som i båda ändar sitter fast i något tätare (orörligt) material eller där båda ändar kan röra sig fritt måste följande samband mellan materialets längd L och vågrörelsens våglängd vara uppfyllt; L = n λ/2, n = 1, 2, 3, 4, 6. Motsvarande samband som måste vara uppfyllt då materialet i ena änden är fäst i något tätare /orörligt och andra änden kan röra sig fritt är; L = n λ/2 + λ/4, n = 0, 1, 2, 3, Exempel IV: I Fig. 2.14 ges ett exempel på stående vågor som alstrats genom att en vågrörelse startats i en gitarrsträng och sedan reflekterats fram och tillbaka i de båda fastsatta ändpunkterna på strängen. Beroende på frekvensen kan flera olika stående vågor bildas, så länge de uppfyller kraven att det i ändarna ska bildas noder och att det är minst en svängningsbuk på strängen, att det är en halv våglängd mellan intill varandra liggande noder och att frekvens/våglängd är sådan att sambandet L = n λ/2 är uppfyllt. I Fig. 2.14 ges de stående vågorna för de två lägsta frekvenserna (längsta våglängderna) som uppfyller ovanstående och därmed kan ge upphov till stående vågor, där den stående våg som motsvarar lägst frekvens är streckad i figuren. Kontrollera själv att villkoren är uppfyllda.
λ/2 λ/2 λ/2 Noder bildas i ändarna där strängen sitter fast Fig. 2.14 I Fig. 2.14 i exempel IV ovan ges utseendet för de två stående vågor som motsvarar de två lägsta frekvenser (längsta våglängder) som kan ge upphov till stående vågor (för just den här längden av den här strängen). Den lägsta frekvensen som kan ge upphov till en stående våg (motsvarande den streckade stående vågen i Fig. 2.14) kallas för grundtonen (eller grundfrekvensen), medan den näst lägsta frekvensen som kan ge en stående våg kallas för 1:a övertonen. Nästa lite högre frekvens i ordningen som kan ge en stående våg kallas 2:a övertonen och nästa 3:e övertonen o.s.v. Stående vågor är ett fenomen som inte heller begränsas till gitarrsträngar, rep etc. utan kan uppstå i alla typer av material, ett exempel ges nedan med en vågrörelse som fortplantar sig i luften inuti ett rör. Exempel V: I Fig. 2.15 nedan ges utseendet för en möjlig stående våg som kan uppkomma när en vågrörelse alstras genom svängningar av luftens molekyler inuti ett rör som är öppet i båda ändar. I ändarna är luftens molekyler mindre begränsade att röra sig åt olika håll varför det där uppstår svängningsbukar. Om, som i Fig. 2.15 (b), röret täpps till i ena änden kommer molekylerna som är närmast tillslutningen inuti röret att begränsas ytterligare i sin rörelsefrihet och där kommer det då att bildas en nod. (a) (b) λ/4 λ/2 Vibrationer hos luftens molekyler i ett öppet/halvslutet rör λ/4 Svängningsbuk vid öppningen där luftens molekyler kan röra sig fritt Fig. 2.15 En nod bildas i änden där luftens molekyler inte kan röra sig fritt
Lektionsuppgifter 2.1 Två strängar som är olika tjocka förbinds så att de bildar en enda lång sträng. En våg utbreder sig längs strängen och passerar förbindelsepunkten mellan de två delsträngarna. Vad ändras när vågen passerar förbindelsepunkten? i) Frekvensen ii) iii) iv) Perioden Våglängden Utbredningshastigheten 2.2 Två pulser rör sig mot varandra med samma hastighet, 2 rutor/s, se figurer nedan. Rita hur pulserna och den resulterande pulsen kommer att se ut efter 1s, 2s respektive 3s, för både fall (a) och fall (b) nedan. (a) 3 2 1 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 (b) 3 2 1 0-1 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
2.3 Två vågor kan befinna sig på samma ställe vid samma tidpunkt. Det sammanlagda vågutslaget kan studeras med miniräknare med grafritande funktion (eller för hand på papper). Låt den ena vågen ha utslaget y 1 och den andra utslaget y 2 så att det sammanlagda utslaget blir y = y 1 + y 2. Ställ in miniräknaren på x min = 0, x max = 720, x scale = 45, y min = -2,5, y max = 2,5, y scale = 0,5 och angle = DEG och rita vågutslagen y 1, y 2 samt y 3 och kommentera resultaten i) då y 1 = sinx och y 2 = sinx ii) iii) iv) då y 1 = sinx och y 2 = sin(x+180) då y 1 = sinx och y 2 = sin0,5x då y 1 = sinx och y 2 = sin2x 2.4 Någon blåser i en i båda ändar öppen pipa varvid en ton med frekvensen 380 Hz fås, vilken utgör grundtonen (grundfrekvensen). Den ena öppningen täpps igen och proceduren upprepas. Vilken frekvens fås då för grundtonen? 2.5 En 34,0 cm lång fiolsträng har grundfrekvensen 380 Hz. i) Vilken är frekvensen för första övertonen? ii) iii) Vilken är frekvensen för andra övertonen? Hur stor är vågornas utbredningshastighet i strängen? Övningsuppgifter 2.6 Detta är en fortsättning på uppgift 2.3. Rita det sammanlagda vågutslaget y = y 1 + y 2 när y 1 = sin10x och y 2 = sin11x med hjälp av grafritande miniräknare (om du inte råkar ha någon, sno obemärkt grannens). Hur vill du beskriva det sammanlagda vågutslaget? 2.7 Avståndet mellan andra och sjätte noden i en stående våg är 45 cm. Hur stor är våglängden? 2.8 Vilken är grundtonen för en 80,0 cm lång gitarrsträng om våghastigheten i strängen är 520 m/s?
2.9 En öppen orgelpipa ger ifrån sig frekvenserna 375 Hz, 450 Hz och 525 Hz men inga frekvenser däremellan. Däremot kan eventuellt lägre eller högre frekvenser förekomma. Vilken är pipans grundton (grundfrekvens)?