A = (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T.. (3 p)

Relevanta dokument
3 1 = t 2 2 = ( 1) ( 2) 1 2 = A(t) = t 1 10 t

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 9 juni 2016

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. (1 p) (c) Bestäm avståndet mellan A och linjen l.

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Torsdag, 17 mars 2016

Preliminärt lösningsförslag

Lösningar till MVE021 Linjär algebra för I

A = x

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) Måndagen den 13 juni 2005

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A. t 2

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Preliminärt lösningsförslag

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Fredagen den 23 oktober, 2009 DEL A

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Styf. Exempeltenta med lösningar Programmen EI, IT, K, X Linjär algebra juni 2004

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag onsdag, 11 januari 2017

LÖSNINGAR LINJÄR ALGEBRA LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

MVE022 Urval av bevis (på svenska)

Preliminärt lösningsförslag

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng.

Lösningar till utvalda uppgifter i kapitel 8

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Chalmers tekniska högskola Datum: kl Telefonvakt: Linnea Hietala MVE480 Linjär algebra S

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till modelltentamen DEL A

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

. (2p) 2x + 2y + z = 4 y + 2z = 2 4x + 3y = 6

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen Lördagen den 5 juni, 2010 DEL A

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl 8 13 LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK. 1. Volymen med tecken ges av determinanten.

A = v 2 B = = (λ 1) 2 16 = λ 2 2λ 15 = (λ 5)(λ+3). E 5 = Span C =

Lösningsförslag till skrivningen i Vektorgeometri (MAA702) måndagen den 30 maj 2005

Vektorerna är parallella med planet omm de är vinkelräta mot planets normal, dvs mot

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 15 mars 2010 kl

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, den 15 mars 2012 kl

SF1624 Algebra och geometri

TMV142/186 Linjär algebra Z/TD

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

. b. x + 2 y 3 z = 1 3 x y + 2 z = a x 5 y + 8 z = 1 lösning?

Uppgifter, 2015 Tillämpad linjär algebra

1. (Dugga 1.1) (a) Bestäm v (3v 2u) om v = . (1p) and u =

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdag, 13 januari 2016

LYCKA TILL! kl 8 13

Frågorna 1 till 6 ska svaras med ett kryss för varje korrekt påstående. Varje uppgift ger 1 poäng. Använd bifogat formulär för dessa 6 frågor.

Detta cosinusvärde för vinklar i [0, π] motsvarar α = π 4.

SKRIVNING I VEKTORGEOMETRI

Crash Course Algebra och geometri. Ambjörn Karlsson c januari 2016

3. Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x + y = 1 x + 2y = 3 x + 3y = 4 x + 4y = 6

Preliminärt lösningsförslag

kvivalenta. Ange rangen för A samt en bas för kolonnrummet för A. och U =

29 november, 2016, Föreläsning 21. Ortonormala baser (ON-baser) Gram-Schmidt s ortogonaliseringsprocess

Övningar. MATEMATISKA INSTITUTIONEN STOCKHOLMS UNIVERSITET Avd. Matematik. Linjär algebra 2. Senast korrigerad:

Uppgifter, 2014 Tillämpad linjär algebra

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförslag till tentamen DEL A

Inför tentamen i Linjär algebra TNA002.

1. (a) Bestäm alla värden på c som gör att matrisen A(c) saknar invers: c 1

DEL I 15 poäng totalt inklusive bonus poäng.

1 Linjära ekvationssystem. 2 Vektorer

Övningar. c) Om någon vektor i R n kan skrivas som linjär kombination av v 1,..., v m på precis ett sätt så. m = n.

TMV166 Linjär Algebra för M. Tentamen

Linjär algebra på 2 45 minuter

1. (a) (1p) Undersök om de tre vektorerna nedan är linjärt oberoende i vektorrummet

x 2y + z = 1 (1) 2x + y 2z = 3 (2) x + 3y z = 4 (3)

ALA-c Innehåll. 1 Linearization and Stability Uppgift Uppgift Egenvärdesproblemet Uppgift

För ingenjörs- och distansstudenter Linjär Algebra ma014a ATM-Matematik Mikael Forsberg

SF1624 Algebra och geometri Lösningsförsag till modelltentamen

Egenvärden och egenvektorer. Linjär Algebra F15. Pelle

KTH, Matematik. Del I. (totalt 15 poäng, inklusive bonuspoäng). (1) Betrakta följande mängder i R 3 :

SF1624 Algebra och geometri

LÖSNINGAR TILL LINJÄR ALGEBRA kl LUNDS TEKNISKA HÖGSKOLA MATEMATIK

3x + y z = 0 4x + y 2z = 0 2x + y = Lös det överbestämda systemet nedan på bästa sätt i minsta kvadratmening. x = 1 x + y = 1 x + 2y = 2

Vektorgeometri för gymnasister

2x + y + 3z = 4 x + y = 1 x 2y z = 3

Facit/lösningsförslag

SF1624 Algebra och geometri

SF1624 Algebra och geometri Bedömningskriterier till tentamen Fredagen den 22 oktober, 2010

2 1 1 s s. M(s) = (b) Beräkna inversen för det minsta positiva heltalsvärdet på s som gör matrisen inverterbar.

Stöd inför omtentamen i Linjär algebra TNA002.

Lösningsforslag till tentamen i SF1624 den 22/ e x e y e z = 5e x 10e z = 5(1, 0, 2). 1 1 a a + 2 2a 4

Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 9 juni 2011 kl

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna

Lösning av tentamensskrivning på kursen Linjär algebra, SF1604, för CDATE, CTFYS och vissa CL, tisdagen den 20 maj 2014 kl

y z 3 = 0 z i )

1 som går genom punkten (1, 3) och är parallell med vektorn.

1. Bestäm volymen för den parallellepiped som ges av de tre vektorerna x 1 = (2, 3, 5), x 2 = (3, 1, 1) och x 3 = (1, 3, 0).

Linjär Algebra M/TD Läsvecka 1

SF1624 Algebra och geometri Tentamen Onsdagen 29 oktober, 2014

Tentamen i Linjär algebra (TATA31/TEN1) ,

DEL I. Matematiska Institutionen KTH. Lösning till tentamensskrivning på kursen Linjär algebra II, SF1604, den 17 april 2010 kl

2s + 3t + 5u = 1 5s + 3t + 2u = 1 3s 3u = 1

Chalmers tekniska högskola Datum: Våren MVE021 Linjär algebra I

4x az = 0 2ax + y = 0 ax + y + z = 0

SF1624 Algebra och geometri

Veckoblad 4, Linjär algebra IT, VT2010

Vi skalla främst utnyttja omskrivning av en matris för att löas ett system av differentialekvaioner. 2? Det är komplicerat att

ax + y + 4z = a x + y + (a 1)z = 1. 2x + 2y + az = 2 Ange dessutom samtliga lösningar då det finns oändligt många.

Transkript:

SF1624 Algebra och geometri Tentamen med lösningsförslag fredag, 21 oktober 216 1 Låt A = [ ] 4 2 7 8 3 1 (a) Bestäm alla lösningar till det homogena systemet Ax = [ ] T (3 p) (b) Bestäm alla lösningar till Ax = [ 5 3 ] T (3 p) Lösningsförslag a) Vi ställer upp systemets utvidgade matris och för den till trappstegsform: 4 2 7 4 2 7 8 3 1 R 2 2R 1 1 4 Vi ser att sista kolumnen visar att x 3 är en fri variabel och inför parametern t = x 3 som ger att x 2 = 4t och 4x 1 = 2x 2 7t, dvs x 1 = 1(2 4t 7t) = 1t 4 4 Alla lösningar ges alltså av x 1 = 1t, 4 x 2 = 4t, där t R x 3 = t b) På motsvarande sätt som i deluppgift a får vi här ( 4 2 7 5 4 2 7 5 8 3 1 3 R 2 2R 1 1 4 7 Inför vi även här t = x 3 som parameter får vi att x 2 = 7 + 4t och 4x 1 = 5 + 2x 2 7t, dvs x 1 = 1 (9 + t) Alla lösningar ges alltså av 4 x 1 = 9 + 1t, 4 4 x 2 = 7 + 4t, där t R x 3 = t 2 Låt V vara skärningen mellan de två hyperplan i R 4 som ges av { x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = x 1 x 2 x 3 x 4 = (a) Bestäm en bas för delrummet V (3 p) (b) Hitta ett ekvationssystem vars lösningar utgör delrummet W = V (3 p) Lösningsförslag (a) Skärningen mellan de två hyperplanen består av alla punkter (x 1, x 2, x 3, x 4 ) som tillhör båda planen, dvs uppfyller planens ekvationer { x1 + x 2 + x 3 + x 4 =, x 1 x 2 x 3 x 4 = )

3 Låt Detta är ett linjärt ekvationssystem som vi kan lösa med gausseliminering, 1 1 1 1 1 1 1 1 R 2 R 1 1 1 1 1 2 2 2 1 2 R 2 1 1 1 1 R 1 R 2 1 1 1 1 1 1 1 Från slutschemat ser vi att vi kan införa exempelvis s = x 3 och t = x 4 som parametrar och hela lösningsmängden kan då uttryckas som x 1 x 2 x 3 = s t s = s 1 1 + t 1 (s, t parametrar) x 4 t 1 Från detta kan vi avläsa att alla lösningar (vektorerna i V ) kan skrivas som linjärkombinationer av vektorerna u 1 = (, 1, 1, ) och u 2 = (, 1,, 1), dvs en bas för V är {(, 1, 1, ), (, 1,, 1)} (b) I deluppgift (a) konstaterade vi att vektorerna i delrummet V alla kan skrivas som linjärkombinationer av u 1 = (, 1, 1, ) och u 2 = (, 1,, 1), dvs su 1 + tu 2 där s och t är skalärer Om en vektor w är ortogonal mot u 1 och u 2, dvs w u 1 = w u 2 =, så är w även vinkelrät mot alla vektorer i V eftersom w (su 1 + tu 2 ) = s w u 1 + t w u 2 = s + t = Detta gör att delrummet W består av alla vektorer w = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) som uppfyller { w u1 = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (, 1, 1, ) = x 2 + x 3 =, där a är en reell parameter w u 2 = (x 1, x 2, x 3, x 4 ) (, 1,, 1) = x 2 + x 4 = A = 3 a 4 1, 2 5 (a) Bestäm egenvärdena till A och egenrum till varje egenvärde (3 p) (b) För vilka val av a är A diagonaliserbar? (2 p) (c) Bestäm för a = en inverterbar matris P och en diagonal matris D sådana att A = P DP 1 (1 p) Lösningsförslag (a) Egenvärdena får vi genom att lösa den karakteristiska ekvationen: (3 λ) a det(a λi) = (4 λ) 1 2 (5 λ) = (3 λ)(λ 2 9λ + 18) = (3 λ)(λ 3)(λ 6) =

Alltså har matrisen A två egenvärden, λ 1 = 6 och λ 2 = 3 (dubbelrot till ekvationen) Låt E λ beteckna egenrummet som hör till egenvärdet λ Egenrummet som hör till λ 1 = 6 dvs E 6 bestämmer vi genom att lösa (A 6I) u = dvs Detta ger systemet Härav 3 a 2 1 2 1 3x + ay = 2y + z = 2y z = x y z = 3x + ay = 2y + z = = Därmed x y z = t a 3 6 E λ1 = span( a 3 6 ) Egenrummet som hör till λ 2 = 3 dvs E 3 bestämmer vi genom att lösa (A 3I) u = dvs a 1 1 x y = 2 2 z Detta gör systemet Två fall: a och a = ay = y + z = 2y + 2z = z + y = ay = = Om a får vi y =, z = och x = t Härav x y = t 1 Därmed E λ2 = span( 1 ) z om a Notera att dim(e λ2 ) = 1 i det här fallet Om a = har vi systemet Därmed E λ2 = span( 1 z + y = = = Härav x = t, y = s och z = s dvs x y = t 1 + s 1 om a = z 1, 1 ) om a = Notera att dim(e λ2 ) = 2 i det här fallet 1 (b) En matrisen av typen n n är diagonaliserbar om och endast om k dim(e λ k ) = n I vårt fall är dim(e λ1 ) + dim(e λ2 ) = 3 endast om a = Enligt a-delen är matrisen diagonaliserbar endast om a =

(c) Matrisen P består av tre linjärt oberoende egenvektorer; D har på diagonalen motsvarande egenvärden Exempelvis P = 1 3 1 och D = 6 3 6 1 3 4 Låt A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 vara en 3 3-matris Skriv A ij för determinanten av den 2 2-delmatrisen där man har strukit rad i och kolonn j Visa att följande formel alltid gäller: a 33 det(a) = A 11 A 22 A 12 A 21 Lösningsförslag Utveckling av höger led ger A 11 A 22 A 12 A 21 = a 22 a 23 a 32 a 33 a 11 a 13 a 31 a 33 a 21 a 23 a 31 a 33 a 12 a 13 a 32 a 33 = (a 22 a 33 a 23 a 32 ) (a 11 a 33 a 13 a 31 ) (a 21 a 33 a 23 a 31 ) (a 12 a 33 a 13 a 32 ) = a 11 a 22 a 2 33 + a 13 a 23 a 31 a 32 a 11 a 23 a 32 a 33 a 13 a 22 a 31 a 33 a 12 a 21 a 2 33 a 13 a 23 a 31 a 32 + a 12 a 23 a 31 a 33 + a 13 a 21 a 32 a 33 = a 33 (a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 a 13 a 22 a 31 ) a 11 a 12 a 13 = a 33 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 Den sista likheten följer av definitionen av en 3 3 determinant 5 En reflektionen i R 3 är en linjär avbildning r u ( x) = x 2( u x) u, där u är en normalvektor av längd 1 till reflektionsplanet Låt x = 1 2 2 (6 p) (a) Bestäm en vektor u av längd 1 sådan att r u ( x) är en positiv multippel av e 1 = [ 1 ] T (4 p) (b) Visa att standardmatrisen till en reflektion alltid är en ortogonal matris (2 p) Lösningsförslag a) Eftersom reflektioner bevarar längder av vektorer så ser vi att den sökta reflektionen måste avbilda x på x e 1 = [ 3 ] T Vi inser geometriskt att reflektionen vi söker är reflektionen genom planet som halverar vinkeln mellan x och e 1 och har normalvektor x x e 1 :

Detta ger normalvektorn 1 2 3 = 2 2 2 2 Vi delar vektorn genom dess längd och får normalvektorn u = 1 1 3 1 1 Vi verifierar att vi har räknat rätt: r u ( 1 2 ) = 1 2 2 1 1 1 2 1 1 = 1 2 2 1 1 = 3 2 2 3 1 2 1 2 1 b) Vi kan skriva r u ( x) = I x 2( u)( u x) = I x 2( u u T ) x = (I 2 u u T ) x Därav ges standardmatrisen till r u som I 2 u u T, en symmetrisk matris Dessutom gäller för alla reflektioner f u (f u ( x)) = x Alltså har vi att MM T = MM = I, vilket innebär att M är ortogonal 6 En matris A kallas för skevsymmetrisk om A T = A Antag att A är en skevsymmetrisk n n-matris Bestäm alla vektorer v i R n så att (A v) v = (6 p) Lösningsförslag Om vi betraktar vektorn v som en kolumnvektor så kan skalärprodukterna (Av) v och v (Av) skrivas i matrisform som (Av) v = (Av) T v = v T A T v, v (Av) = v T Av, för alla vektorer v Använder vi att A är skevsymmetrisk, dvs A T = A, så har vi att (Av) v = v T A T v = v T ( A)v = v T Av = v (Av) = (Av) v där vi använt att skalärprodukten är kommutativ, dvs u v = v u, i den sista likheten Adderar vi (Av) v till båda led i sambandet (Av) v = (Av) v får vi att 2(Av) v = och detta visar att vi har att (Av) v = för alla vektorer v