Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Relevanta dokument
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Numeriska metoder för ODE: Teori

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

Tentamen i Beräkningsvetenskap I/KF, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Ordinära differentialekvationer,

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 2 juni 2014

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

Lösningsanvisningar till vissa av de icke obligatoriska workout-uppgifterna i Beräkningsvetenskap II

Ordinära differentialekvationer, del 1

Numeriska metoder för ODE: Teori

Numeriska metoder för ODE: Teori

Tentamen i: Beräkningsvetenskap I och KF

Sammanfattning (Nummedelen)

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN. ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 16 januari Bordsnummer:

Ordinära differentialekvationer,

Sammanfattninga av kursens block inför tentan

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Differentialekvationer. Repetition av FN5 (GNM kap 6.

Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo

Del I: Lösningsförslag till Numerisk analys,

FÖRSÄTTSBLAD TILL TENTAMEN

Teorifrågor. 6. Beräkna konditionstalet för en diagonalmatris med diagonalelementen 2/k, k = 1,2,...,20.

Tentamen del 1 SF1511, , kl , Numeriska metoder och grundläggande programmering

Akademin för utbildning, kultur och kommunikation MMA132 Numeriska Metoder Avdelningen för tillämpad matematik Datum: 13 jan 2014

Tentamen del 1 SF1546, , , Numeriska metoder, grundkurs

DN1212 Numeriska Metoder och Grundläggande Programmering DN1214 Numeriska Metoder för S Lördag , kl 9-12

LAB 3. INTERPOLATION. 1 Inledning. 2 Interpolation med polynom. 3 Splineinterpolation. 1.1 Innehåll. 3.1 Problembeskrivning

TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

(y 2 xy) dx + x 2 dy = 0 y(e) = e. = 2x + y y = 2x + 3y 2e 3t, = (x 2)(y 1) y = xy 4. = x 5 y 3 y = 2x y 3.

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

Denna föreläsning. DN1212 Numeriska metoder och grundläggande programmering FN Runge-Kuttas metoder. Repetition av FN6 (GNM kap 6.

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

file:///c:/users/engström/downloads/resultat.html

dy dx = ex 2y 2x e y.

UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Pepe Winkler tel

Lösningsförslag till tentamensskrivningen i Numerisk analys

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

Exempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport. Problemlösning. Anastasia Kruchinina. Uppsala Universitet. Januari 2016

TMA226 datorlaboration

TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3

Laboration 4. Numerisk behandling av integraler och begynnelsevärdesproblem

Tentamen, del 2 Lösningar DN1240 Numeriska metoder gk II F och CL

ELLER (fyll bara i om du saknar tentamenskod): Datum: 32 maj Bordsnummer: Kontrollera att du fått rätt tentamensuppgifter

KTH 2D1240 OPEN vt 06 p. 1 (5) J.Oppelstrup

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393)

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 20

TENTAMEN I GRUNDKURS I NUMERISKA METODER - DEL 2

TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

Introduktionsföreläsning

Omtentamen i DV & TDV

Introduktionsföreläsning. Outline. Beräkningsvetenskap I. Sara Zahedi Hanna Holmgren. Institutionen för Informationsteknologi, Uppsala Universitet

(2xy + 1) dx + (3x 2 + 2x y ) dy = 0.

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

Tentamen i matematik. f(x) = 1 + e x.

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I (1TD393) STS ES W K1

LAB 4. ORDINÄRA DIFFERENTIALEKVATIONER. 1 Inledning. 2 Eulers metod och Runge-Kuttas metod

Lösningsförslag Tentamen i Beräkningsvetenskap I, 5.0 hp,

Program: DATA, ELEKTRO

Lösningsförslag obs. preliminärt, reservation för fel

LABORATION cos (3x 2 ) dx I =

Beräkningsvetenskap introduktion. Beräkningsvetenskap I

Tentamen i matematik. f(x) = ln(ln(x)),

TENTAMEN Reglerteknik 3p, X3

TENTAMEN: DEL A Reglerteknik I 5hp

Fallstudie: numerisk integration Baserad på läroboken, Case Study 19.9

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

TENTAMEN: DEL B Reglerteknik I 5hp

TENTAMEN Reglerteknik I 5hp

v0.2, Högskolan i Skövde Tentamen i matematik

DN1212+DN1214+DN1215+DN1240+DN1241+DN1243 mfl Tentamen i Grundkurs i numeriska metoder Del 2 (av 2) Lördag , kl 9-12

TENTAMEN I LINJÄR ALGEBRA OCH NUMERISK ANALYS F1, TMA671

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

SF1669 Matematisk och numerisk analys II Bedömningskriterier till tentamen Torsdagen den 4 juni 2015

Komplettering: 9 poäng på tentamen ger rätt till komplettering (betyg Fx).

Lösningsförslag, preliminär version 0.1, 23 januari 2018

Laboration 6. Ordinära differentialekvationer och glesa system

Facit Tentamen i Beräkningsvetenskap I, STS ES W K1

Högskolan i Skövde (SK, JS) Svensk version Tentamen i matematik Lösningsförslag till del I

y = sin 2 (x y + 1) på formen µ(x, y) = (xy) k, där k Z. Bestäm den lösning till ekvationen som uppfyler begynnelsevillkoret y(1) = 1.

Lösningsanvisningar till de icke obligatoriska workoutuppgifterna

Teknisk beräkningsvetenskap I 5DV154

Laboration 3. Funktioner, vektorer, integraler och felskattning

Transkript:

Uppsala universitet Institutionen för informationsteknologi Beräkningsvetenskap Per Lötstedt, tel. 47 2986 Saleh Rezaeiravesh Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, 206-0-4 Skrivtid: 4 00 7 00 (OBS! Tre timmars skrivtid!) Hjälpmedel: Bifogat formelblad, miniräknare. Det är också tillåtet att använda Mathematics Handbook eller Physics Handbook. För fullt uppfyllda mål och kriterier på uppgifterna krävs fullständiga räkningar och utförliga resonemang samt motivering till alla svar. Skriv svaren på varje fråga på separata papper. Kursmål (förkortade), hur de täcks i uppgifterna och maximal poäng på varje mål och uppgift. Fråga nr Nyckelbegrepp Algoritmer Analys Argumentation Betyg a X G/U b X G/U c X G/U 2a X G/U 2b X G/U 2c X G/U 3a X G/U 3b X G/U 3c X G/U 4 poäng 5 poäng Betygskriterier: 3 st G på samtliga kursmål {Nyckelbegrepp, Algoritmer, Analys, Argumentation} (A-delen). 4 Som betyg 3 samt betyg 4 på uppgifterna i B-delen. 5 Som betyg 3 samt betyg 5 på uppgifterna i B-delen.

Del A. (a) Beräkna lösningen Ù vid Ø = 00 till differentialekvationen Ù ¼ = 34(Ù cos(ø)) sin(ø) Ø 0 Ù(0) = 0 med Heuns metod och tidssteget = 00. Ø 0 = 0 Ø = 00 Ù 0 = 0 Ù = Ù 0 + (Ø 0 Ù 0 ) = 0 + 00( 34(0 cos(0)) sin(0) = 034 Ù = Ù0 + 05((Ø 0 Ù 0 ) + (Ø Ù)) = 0 + 0005(( 34(0 cos(0)) sin(0)) +( 34(034 cos(00)) sin(00))) = 0282 (algoritm) (b) Den analytiska lösningen till ekvationen är Ù(Ø) = exp( 34Ø) + cos(ø) När Euler framåt används för att lösa den numeriskt med tidssteget = 007 så blir lösningen för de första tio tidsstegen 0 23800 095 36098 26684 59504 59998 04244 2387 89790 243092 Varför uppför sig lösningen på detta sätt och ange två möjliga lösningar på problemet. Lösningen är instabil. Ekvationen är styv. Använd ett kortare tidssteg med Euler framåt eller byt till Euler bakåt. (argumentation) (c) Felet i första steget med Euler framåt beräknas med hjälp av den analytiska lösningen för olika steglängder i tabellen. Förklara varför felen förändras så här. 0.000 0.0005 0.00 0.005 Ù 0.0034 0.07 0.0340 0.7 fel 577 0 6 44 0 4 572 0 4 0.037 Felet i Ù är ett lokalt fel som uppför sig som Ç( Ô+ ) med Ô = för en första ordningens metod som Euler framåt. (analys) 2

2. (a) Förklara skillnaden mellan en deterministisk och en stokastisk beräkningsmetod. En deterministisk beräkningsmetod ger alltid samma svar med samma indata (exempel trapetsmetoden för integralberäkning). En stokastisk beräkningsmetod använder slumptal och ger olika svar varje gång den används men ger en bra approximation till vårt problem om den upprepas många gånger (exempel Monte Carlo metod för integralberäkning). (nyckelbegrepp) (b) En generell integral kan skrivas Á = (Ü)Ü ¾ IR Formulera en Monte Carlo-metod för att beräkna integralen. Skriv en Matlabfunktion för att beräkna värdet på Á = Ü 4 sin(ü)ü med Monte Carlo-metoden. Input till funktionen är, och Ò (antal samples). Ò ( ) Á (Ü ) Ò = där Ü är Ò slumptal likformigt fördelade mellan och. Olika matlab-lösningar är möjliga, t ex, %>> variation << function [I]=mcInteg(a,b,n) fun=@(x) (x^4*sin(x)); I=0; for i=:n xj=a+(b-a)*rand(); I=I+fun(xj); end I=(b-a)*I/n; (algoritm) %>> variation 2 << function [I]=mcInteg(a,b,n) fun=@(x) (x.^4.*sin(x)); xj=a+(b-a)*rand(,n); I=(b-a)*sum(fun(xj))/n; (c) Värdet på integralen beräknad med 5000 Monte Carlo-slumptal blir 26.026. En noggrann beräkning med trapetsmetoden blir 26.03. Om vi vill ha ett relativt fel på 0 3 i Monte Carlo-beräkningen, hur många slumptal behöver vi då? 3

Relativa felet vid Monte Carlo integration är Ô Ç( Ò) eller Ô Ò. Här är = (2603 26026)26026 = 00038. Koefficienten antas vara konstant och blir Ô 5000 = 02656. För att åstadkomma 0 3 behöver vi Ò = (026560 3 ) 2 7 0 4 slumptal. (analys) 3. I ett laboratorieexperiment erhölls följande data Ý 50 68 92 0 32 Ù 5.80 6.20 7.20 7.60 8.00 (a) Vi vill uttrycka Ù som Ù = ln Ý + Använd minstakvadratmetoden för att beräkna och. Låt Þ = ln Ý och Ù = Þ +. Då får vi Ý 50 68 92 0 32 Þ = ln Ý 3.9 4.22 4.52 4.70 4.88 Ù 5.80 6.20 7.20 7.60 8.00 Normalekvationerna blir È 5 È= 2 5 = Þ È 5 = Þ È 5 = Þ2 È 5 = = Ù È 5 = Þ Ù Ekvationssystemet blir 5 2223 2223 9943 = 8480 37845 Lösningen är = 240, = 629. (algoritm) (b) Vi är intresserade av Ù vid Ý = 74. Ett alternativ är att använda minstakvadratapproximationen ovan. Ett annat alternativ är linjär interpolation i Ý. Ett tredje alternativ är linjär interpolation i ln Ý. Beräkna värdena på Ù med dessa tre metoder. Är värdena desamma? Vilket värde är förmodligen mest noggrant om felen i mätningarna är små? - Minstakvadratmetod: Ù(74) = 240 ln(74) + 629 = 662 4

- Lokal linjär interpolation i Ý: Ù(74) = 62 + 74 68 (72 92 68, - Lokal linjär interpolation i ln Ý: Þ = ln(74) = 430, Ù(74) = 62 + Värdena blir inte desamma. (argumentation) 62) = 645 430 422 (72 62) = 647 452 422 (c) Beskriv tre egenskaper hos splineapproximation. En splineapproximation interpolerar alla de givna punkterna, är kontinuerlig och har kontinuerlig första och andraderivata. Den har mindre oscillationer än en polynominterpolation genom alla punkterna om de är många och är mindre känslig för små ändringar i givna data. (nyckelbegrepp) Del B 4. En molekyl i en stokastisk modell skapas och sönderfaller enligt Benägenheten (propensiteten) att skapas i första reaktionen är = och att sönderfalla i den andra reaktionen är 2 där är antalet molekyler av och 2 = 05. Använd Gillespies algoritm för att simulera ett utfall (eller en trajektoria) från tiden Ø = 0 fram till Ø = 2. Vid Ø = 0 är = 2. Hur många molekyler finns det vid Ø = 2? I algoritmen behövs ett antal likformigt fördelade slumptal i intervallet [0 ]. Med rand i Matlab har följande sekvens genererats 0622 07943 032 05285 0656 06020 02630 0654 06892 07482 Första reaktionen sker vid Ø = 0 + log( ) = 09095. +(0)2 0622 Reaktionen är sönderfallet därför att () = = 05 07943 +(0)2 (2) =. Då blir (Ø ) =. Nästa reaktion sker vid Ø 2 = Ø + Ø = 09095 + log( ) = 6877. Reaktionen är skapandet därför att +(Ø)2 032 05285 () = = 06667. Då blir (Ø 2) = 2. Nästa reaktion sker vid +(Ø)2 Ø 3 = Ø 2 + Ø = 6877 + log( ) = 25868. Alltså är (2) = 2. +(Ø2)2 0656 5

5. En Runge-Kuttametod för att lösa en ODE Ý ¼ = (Ø Ý) definieras av Ý Ò+ = Ý Ò + (Ø Ò Ý Ò ) 2 Ý Ò+ = Ý Ò + (05(Ø Ò+ + Ø Ò ) 05( Ý Ò+ + Ý Ò )) (a) Bestäm metodens stabilitetsområde med (Ø Ý) = Ý. (b) Vilken blir begränsningen på för stabilitet om 0 och reell? (c) Bestäm noggrannhetsordningen för metoden. (a) Applicera metoden på ekvationen Ý ¼ = Ý. Då blir Ý Ò+ Ý Ò+ = Ý Ò + Ý Ò = ( + )Ý Ò Ý Ò+ = Ý Ò + 05( Ý Ò+ + Ý Ò ) = + Ý Ò + 05 2 2 Ý Ò = + + 05 2 2 Ý Ò Metoden är stabil om + + 05() 2 Området ligger i vänstra halvplanet precis som för Heuns metod. (b) Ekvationen + Õ + 05Õ 2 = har lösningen Õ = 0 2. När Õ ¾ [ 2 0] så är + Õ + 05Õ 2. Alltså är metoden stabil när ¾ [ 2 0]. (c) Trunkeringsfelet är = Ý(Ø +) Ý(Ø ) (05(Ø +Ø +) 05(Ý(Ø )+Ý(Ø )+(Ø Ý(Ø )))) Vi Taylorutvecklar runt Ø +2 = 05(Ø + Ø +). Låt Ý = Ý(Ø +2) Ý ¼ = Ý ¼ (Ø +2) Ý ¼¼ = Ý ¼¼ (Ø +2). Då får vi först och sedan Ý(Ø +2 2) = Ý 05Ý ¼ + 025 2 Ý ¼¼ + Ç( 3 ) Ý ¼ (Ø +2 2) = Ý ¼ 05Ý ¼¼ + Ç( 2 ) 05(Ý(Ø ) + Ý(Ø ) + (Ø Ý(Ø ))) = Ý 05Ý ¼ + 025 2 Ý ¼¼ + 05(Ý ¼ 05Ý ¼¼ ) + Ç( 3 ) = Ý 025 2 Ý ¼¼ + Ç( 3 ) 6

(05(Ø + Ø +) 05(Ý(Ø ) + Ý(Ø +))) = (Ø +2 Ý 025 2 Ý ¼¼ + Ç( 3 )) = (Ø +2 Ý) (0252 Ý ¼¼ + Ç( 3 )) = Ý ¼ (Ø Ý +2) + Ç( 2 ) Nu blir = Ý + 05Ý ¼ + 025 2 Ý ¼¼ + Ç( 3 ) Ý +05Ý ¼ 025 2 Ý ¼¼ + Ç( 3 ) Ý ¼ + Ç( 3 ) = Ç( 3 ) = Ç( Ô+ ) Metoden är av ordning Ô = 2. 7