Reglerteknik AK, Period 2, 213 Föreläsning 6 Jonas Mårtensson, kursansvarig
Senaste två föreläsningarna Frekvensbeskrivning, Bodediagram Stabilitetsmarginaler Specifikationer (tids-/frekvensplan, slutna/öppna systemet) Kompensering (Frekvensplanet, PD/PI, lead/lag)
Frekvensbeskrivning sin (ωω) G ii sin ωω + φ, φ = arg G(ii) G(s).5 Nyquist Diagram -1 -.5 -.1-2 -3 Imaginary Axis -.15 -.2 -.25-4 -5 -.3 -.35 -.4 Phase (deg) -45 -.45 -.2.2.4.6.8 1 Real Axis -9 1-2 1-1 1 1 1 1 2 1 3
Stabilitetsmarginaler Nyquistkriteriet, stabilt G o. Slutna systemet stabilt om 1 ligger till vänster om G ii, ω Nyquist Diagram 1.5 5-5 -1 Imaginary Axis -.5-15 -45-1 Phase (deg) -9-135 -18-1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 Real Axis -225-27 1-2 1-1 1
Skärfrekvens ω c : G iω c = 1 Fasmarginal φ m : arg G iω c + 18 o Fas-skärfrekvens ω p : arg G iω p + 18 o = Amplitudmarginal A m = 1/ G iω p Nyquist Diagram 1.5 5-5 -1 Imaginary Axis -.5-15 -45-1 Phase (deg) -9-135 -18-1.5-1 -.5.5 1 1.5 2 Real Axis -225-27 1-2 1-1 1
Specifikationer i tidsplanet r(t) e(t) Σ F(s) G(s) y(t) 1 Steg i referenssignalen, r t = 1 1.4 1.2 1 Step Response Stigtid T r : från 1% till 9% av slutvärdet Översläng M: i förhållande till slutvärdet Stationärt fel e o = lim e(t) t Amplitude.8.6.4.2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 Time (seconds)
Specifikationer i frekvensplanet Överföringsfunktion från r y 2 Önskemål: G c ii = 1, ω Statiskt fel: e o = 1 G c Resonanstopp: M p Bandbredd: ω B : G c iω B (-3dB) = G c() 2-2 -4-6 -8-1 1-1 1
Översättning till krav på GG Skärfrekvens: ω c ω B Fasmarginal: M p 1 φ m Statisk förstärkning G c 1 G o 5-5 System: G :.778 :.11-1 -9 Phase (deg) -135-18 1-2 1-1 1 1 1 1 2
Exempel - kompensering Minska överslängen = öka fasmarginalen Lägre stigtid = öka skärfrekvensen G s =.7, F s = 1 s(s + 1) 1.4 Step Response 5 Gm = Inf db (at Inf rad/s), Pm = 59 deg (at.6 rad/s) 1.2 1-5 Amplitude.8.6-1 -9.4.2 Phase (deg) -135 2 4 6 8 1 Time (seconds) -18 1-2 1-1 1 1 1 1 2
τ D s + 1 ββ D s + 1 PD/lead β = γ {,.1,.2,.3} T D = T I = 1 τ I s + 1 τ I s + γ PI/lag 6 6 5 4 3 2 Högfrekvensförstärkning 5 4 3 2 Lågfrekvensförstärkning 1 1 9 Phase (deg) 45 Phase (deg) -45 1-2 1-1 1 1 1 1 2 1 3 Fasförbättring -9 1-3 1-2 1-1 1 1 1 1 2 Fasförsämring
1.4 Exempel - kompensering Minska överslängen = öka fasmarginalen Lägre stigtid = öka skärfrekvensen Step Response 1 G s =.7, F s = 1 s(s + 1) F 2 s = 3 s + 1.1s + 1 Amplitude 1.2 1.8.6 5-5 -1-15 -9.4.2 Phase (deg) -135 2 4 6 8 1 Time (seconds) -18 1-2 1-1 1 1 1 1 2 1 3
Dagens föreläsning Tidsfördröjningar och icke-minfassystem (kap 5.5-5.6) Varför kan man inte reglera godtyckligt bra? (kap 6.2) Känslighetsfunktionen Begränsad styrsignal Komplementära känslighetsfunktionen Vad händer om modellen G(s) är dålig? (kap 6.3-6.4) Robusthet mot instabilitet Modellfel och reglerprestanda En mer generell reglerstruktur (kap 6.5) Mer frihetsgrader att forma regulatorn
Tidsfördröjningar e TT G(s) Amplitudkurvan oförändrad, Stor fasförsämring, svårt att reglera 12 Step Response 2 1 8-2 Amplitude 6-4 4 2 Phase (deg) -36-72 -18-144 2 4 6 8 1 12 Time (seconds) -18 1-2 1-1 1 1 1
Nollställen i HHP : ( s + a) vs. (s + a) Speglade nollställen samma amplitudkurva Lägre faskurva svårt att reglera Stegsvaret går åt fel håll initialt.6 Step Response.5.4.3.2-1 -2-3 Amplitude.1 -.1 -.2 -.3 -.4 2 4 6 8 1 12 14 Time (seconds) Phase (deg) -4 9-9 -18-27 1-2 1-1 1 1 1 1 2
Kan man reglera hur bra som helst? v(t) r(t) u(t) y(t) Σ F(s) G(s) Σ 1 Y = GG 1 + GG R + 1 1 + GG V = G cr + SS Mål med regleringen: Referensföljning, G c 1, ω Störningsundertryckning, S, ω Båda kraven uppfyllda om GG är tillräckligt stor för all ω!
Styrsignalens storlek U = F R V, GG stor U 1 (R V) 1+GG G Bra reglering kräver stort U där G är liten Det finns alltid fysikaliska begränsningar på u(t) G är oftast liten för höga frekvenser 6 4 Svårt att reglera bort högfrekventa störningar 2-2 -4-6 -8 1-2 1-1 1 1 1 1 2
Det finns alltid mätfel och mätbrus, n(t) v y: S = 1 1+GG = Känslighetsfunktionen n y: T = r(t) GG 1+GG Σ F(s) u(t) 1 G(s) = Komplementära känslighetsfunktionen S s + T s = 1 v(t) Σ y(t) Σ n(t) Dom kan inte vara små ( ) samtidigt!
Högfrekvent mätbrus Lågfrekventa störningar S s + T s = 1 5-5 -1-15 -2-25 -3-35 -4 1-1 1 1 1
Bodes integralsats, stabil G o och G c log S ii dd = 5-5 -1-15 -2.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
Modellfel G s är en modell som används för att hitta F(s), men det finns alltid fel i modellen. Modellen är en approximation av verkligheten. G o s = G s 1 + Δ G s Relativt modellfel: Δ G s Vad händer om vi använder F s på det sanna systemet? Är det fortfarande stabilt? Hur påverkas prestandan?
Robusthetskriteriet Givet F som stabiliserar modellen G, antag verkligt system G o med lika många poler i HHP som G och där både GG och G o F har fler poler än nollställen. Då stabiliserar F även G o om Δ G ii < 1 T ii ω
Modellfel Stora modellfel tolereras där T är liten S kan inte göras liten där man har stora modellfel 5-5 -1-15 -2-25 -3-35 -4 1-1 1 1 1