TSIU6: Reglerteknik Föreläsning 2 Sammanfattning av kursen gustaf.hendeby@liu.se TSIU6 Föreläsning 2 / 56 Innehåll föreläsning 2:. Reglerproblemet 2. Modellbygge ˆ Fysikalisk modell ˆ Identifiering (t ex frekvensanalys) 3. Specifikationer ˆ Modellen ˆ Tidsplanet ˆ Frekvensplanet ˆ Känslighet ˆ Robusthet 4. Analys av lineära tidsinvarianta system ˆ Simulering ˆ Lineära differential ekvationer ˆ Stablitet 5. Syntes av regulatorer ˆ Kompensering (t ex PID- och lead-lagregulator) ˆ Tillståndsåterkoppling TSIU6 Föreläsning 2 3 / 56. Reglerproblemet: Ex design av farthållare Reglerproblemet
TSIU6 Föreläsning 2 4 / 56. Reglerproblemet TSIU6 Föreläsning 2 5 / 56. Design av farthållare Givet ett system S med en mätsignal y, bestäm dess styrsignal u, så att utsignalen y så nära som möjligt följer referenssignalen r, trots inverkan av störningar v och systemvariationer. u(t) Drivande/bromsande kraft genererad av motor och broms [N] y(t) Bilens hastighet [m/s] φ Vägbanans lutning [rad] m Bilens vikt [kg] α Luftmotståndskoefficient [Ns/m], luftmotstånd = αy(t) [N] TSIU6 Föreläsning 2 7 / 56 2. Modellbygge: Metoder Modellbygge Två huvudalternativ för modellering:. Använd kunskaper från fysik, ellära, biologi, etc och härled ekvationerna. Exempel farthållare: Newton mẏ(t) = u(t) αy(t) mg sin(φ) Modell: (m = 000 kg, α = 200 Ns/m, φ = 0) 000ẏ(t) + 200y(t) = u(t) 2. Använd experimentella mätningar av u och y, frekvensanalys. Exempel ögondynamik och lyftkran
8 / 56 2. Modellbygge: frekvensanalys 9 / 56 2. Modellbygge: frekvensanalys sinus in, sinus ut Ho gtalartest: En testsignal (en sinusformad spa nning) skickas till ho gtalaren. En mikrofon ma ter ljudet och registrerar fo rsta rkningen fra n spa nningsstyrka till ljudvolym. Typiska fenomen: Ma tsignalen (ljudet) har samma frekvens (skulle la ta va ldigt illa annars) men fo rsta rkningen beror pa frekvensen. 0 / 56 2. Grafisk framsta llning av frekvensfunktionen G(iω) = G(iω) ei arg G(iω) Bodediagram besta r av: Faskurva arg G(iω) G(s) = s+ 2. Modellbygge: ex frekvensanalys av o gondynamik Frekvensfunktionen kan skrivas som Amplitudkurva G(iω) O gat har en reglermekanism som ser till att lagom ljusma ngd kommer till na thinnan genom att pupillens storlek anpassas till det infallande ljuset. / 56
2 / 56 2. Modellbygge: ex bodediagram fo r o gondynamik 3 / 56 5 / 56 2. Modellbygge: ex frekvensanalys av lyftkran Experiment Genom att utfo ra en rad sinus in, sinus ut experiment kan vi skissa upp ett bodediagram fo r o gondynamiken. Vi har experimentellt tagit reda pa systemets dynamik genom att go ra ma tningar pa systemet. Insignal: Pa lagd kraft i uppha ngningen Utsignal: Lastens position i sidled 4 / 56 2. Modellbygge: ex frekvensanalys av lyftkran 2. Fo rsta ordningens system Bodediagram fo r G(s) = s+p Sva rt att modellera matematiskt (fra mst pga de flexibla kablarna) Ista llet har experiment med sinusformade insignaler genomfo rts, och gett ett bodediagram fo r systemet Lutningen ges i db-skalan av 20 db per 0 rad/s, eller 20 db per dekad. Dekad = 0-potens
5 / 56 2. Fo rsta ordningens system 6 / 56 2. Andra ordningens system Bodediagram fo r Bodediagram fo r + 2ζs + Den asymptotiska approximationen a r da lig na ra resonanstoppen. G(s) = s+p G(s) = s2 G(iω) : Amplitudkurva (belopskurva) log-log-skala (ofta i db) arg G(iω): Faskurva (argumentkurva) lin-log-skala 3. Specifikationer Skapar en la nk mellan kraven pa systemet (ofta fra n en kund) och va r matematik: Sva ngighet Specifikationer Snabbhet Statisk noggrannhet Specifikationer kan anges i: Tidsplanet (stegsvar) Frekvensplanet (bodediagram) Modellens egenskaper (poler) 8 / 56
TSIU6 Föreläsning 2 9 / 56 3. Specifikationer TSIU6 Föreläsning 2 20 / 56 3. Specifikationer i tidsplanet Stegsvar för en insignal med amplitud r y d Myf y f r 0.9y f e0r d Reglermål: z(t) = r(t) Z(s) = Specialfall G c (s) }{{} Slutna systemet R(s) + S(s) }{{} Känslighetsfuntionen V (s) Den modell vi tidigare (oftast) jobbat med får med: F r (s) = F y (s) = F (s) och n = 0 T (s) N(s) }{{} Komplementära känslighetsfunktionen 0.y f T r Ts ˆ Snabbhet (stigtid, T r ) ˆ Svängighet (översläng, M fy, lösningstid, T s ) ˆ Stationärt fel (felkoefficienter, e 0, e,... ) t TSIU6 Föreläsning 2 2 / 56 3. Specifikationer, polernas läge Kopplingen mellan poler och stegsvar:. Ökat avstånd från origo snabbare system 2. Polen närmast origo bestämmer mest (dominerande) 3. Komplexa poler svängigt system TSIU6 Föreläsning 2 22 / 56 3. Specifikationer, slutna systemet i frekvensplanet Y (s) = G c (s)r(s) = G o(s) + G o (s) R(s)
TSIU6 Föreläsning 2 23 / 56 3. Specifikationer, det öppna systemet TSIU6 Föreläsning 2 24 / 56 3. Specifikationer, samband mellan specifikationer arg G o ϕ m ω c Skärfrekvens, ω c : G(iω c ) = ω p A m Fasmarginal, ϕ m : ϕ m = arg G o (iω C ) ( 80 ) Amplitudmarginal, A m : A m = G o(iω p) Fas-skärfrekvens, ω p : arg G o (iω p ) = 80 G o ω [rad/s] 80 Poler Tidsplanet Frekvensplanet Stegsvar Bode G c(s) Bode G o(s) Snabbhet avstånd till stigtid, T r bandbredd, skärfrekvens, origo ω B ω c Svängighet vinkel mot översläng, resonanstopp, fasmarginal, reella axeln M, lösningstid, M p φ m Stationärt fel T s lim t e(t) statisk först, G c(0) statisk först, G o(0) TSIU6 Föreläsning 2 25 / 56 3. Specifiaktioner, känslighet mot störningar TSIU6 Föreläsning 2 26 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet mot modellfel Varför kan inte S(s) göras godtyckligt liten? G c = S = T = GF r + GF y + GF y GF y + GF y. Praktiska skäl: ˆ S(s) liten svarar mot att G(s)F y (s) är stor, vilket kräver en stor styrsignal. ˆ S(s) kan bara göras liten i det frekvensområde som har små mätstörningarm eftersom S(s) + T (s) = 2. Teoretiska skäl: ˆ Bodes integralsats S(iω) < för vissa frekvenser S(iω) > för andra frekvenser. ˆ Hur bra måste vår modell av det verkliga (sanna) systemet vara? ˆ Vad händer med stabiliteten?
TSIU6 Föreläsning 2 27 / 56 3. Specifiaktioner, robusthetskriteriet G c (iω) = T (iω) < G (iω) TSIU6 Föreläsning 2 28 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet: ex svävande kula (/3) Vi approximerar modellen för den svävande kulan med en dubbelintegrator (dvs ett enkelt kraft-massa system) mÿ(t) = u(t) Y (s) = ms 2 U(s) Vi känner inte kulans massa exakt utan har m = m + δ Den verkliga överföringsfunktionen kan efter lite omskrivningar skrivas som OBS Om α är liten (den försummade dynamiken har låg frekvens, dvs den är långsam) måste bandbredden vara låg. ( n + δ)s 2 = m ( δ ) + m + δ }{{} G TSIU6 Föreläsning 2 29 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet: ex svävande kula (2/3) Nominell modell med m = G(s) = s 2 Regulator baserad på nominell modell (PD med approximerad derivata) ( s ) F (s) = 2 + 2 0.s + Komplementära känslighetsfunktionen TSIU6 Föreläsning 2 30 / 56 3. Specifiaktioner, robusthet: ex svävande kula (3/3) Robusthetskriteriet Som störst.72 G c (iω) = T (iω) < G (iω) T (s) = G(s)F (s) + G(s)F (s) δ < + δ.72 0.46 < δ < 5.8
TSIU6 Föreläsning 2 32 / 56 4. Analys Analys ˆ Simulering (datorlektioner och labbar) ˆ Beskrivning av lineära differentialekvationer ˆ Överföringsfunktionen G(s) (poler och nollställen) ˆ Frekvensfunktionen G(iω) (bodediagram) ˆ Tillståndsbeskrivning (egenvärden) ˆ Stabilitet TSIU6 Föreläsning 2 33 / 56 4. Analys, stabilitet TSIU6 Föreläsning 2 34 / 56 4. Analys, stabilitet och bodediagram (/2) Tankeexperiment Definition (Insignal-utsignalstabilitet) Ett system sägs vara insignal-utsignalstabilt om en begränsad insignal ger upphov till en begränsad utsignal. ˆ Ett system är insignal-utsignalstabilt om alla systemets poler har strikt negativa realdelar. ˆ Ett system är insignal-utsignalstabilt om och endast om samtliga egenvärden till A har strikt negativ realdel. ˆ Det slutna systemet är insignal-utsignalstbilt om och endast om ϕ m > 0 och A m >. För frekvensen ω 0 gäller att: G o (iω 0 ) = arg G o (iω 0 ) = 80 Omkopplaren i läga A (stationärt tillstånd): y(t) = G o (iω 0 ) sin ( ω 0 t + arg G o (iω 0 ) ) = sin(ω 0 t π) = sin(ω 0 t)
TSIU6 Föreläsning 2 35 / 56 4. Analys, stabilitet och bodediagram (2/2) Tankeexperiment TSIU6 Föreläsning 2 36 / 56 4. Analys, stabilitet och bodediagram Självsvängning (stabilitetsgräns) G(iω 0 ) = 0 arg G(iω 0 ) = 80 ˆ I punkten B är signalen y(t) = sin(ω 0 t) ˆ Momentan förändring från A till B medför nu att systemet upprätthåller en sjävsvängning ˆ Två fall: Fall, G o (iω 0 ) < : Fall 2, G o (iω 0 ) > : Svängningens amplitud avtar. Svängningens amplitud ökar. Stabil Instabil TSIU6 Föreläsning 2 37 / 56 4. Analys, samband mellan specifikationer, forts Poler Tidsplanet Frekvensplanet Stegsvar Bode G c(s) Bode G o(s) Snabbhet avstånd till stigtid, T r bandbredd, skärfrekvens, origo ω B ω c Svängighet vinkel mot resonanstopp, reella axeln M p översläng, M, lösningstid, T s fasmarginal, φ m Stationärt fel lim t e(t) statisk först, G c(0) statisk först, G o(0) Stabilitet i VHP går mot φ m > 0, Re(s) < 0 ett ändligt A m > 0 (BIBO) värde Syntes
TSIU6 Föreläsning 2 39 / 56 5. Syntes ˆ Kompensering ˆ ˆ r PID-regulator + u + Σ F G + Σ Lead-lagregulator ˆ Tillståndsåterkoppling U(s) = ( K P + K ) I s + K Ds E(s) U(s) = K τ Ds + τ I s + βτ D s + τ I s + γ E(s) u(t) = Lx(t) + r(t) v y TSIU6 Föreläsning 2 40 / 56 5. Syntes, PID-regulator t u(t) = K P e(t) + K I e(τ) dτ }{{} t 0 Proportionell }{{} Integrerande + K D de(t) dt }{{} Deriverande e(t) = r(t) y(t) är reglerfelet. Laplacetransform för PID regulatorn ( U(s) = K P + K ) I s + K Ds E(s) Intuition för PID-regulator P -reglering betrakatar felet just nu (minskar reglerfelet) I -reglering minns även gamla fel (tar bort stationärt fel) D -reglering förutser vad som kommer att hända (stabiliserar) TSIU6 Föreläsning 2 4 / 56 5. Syntes, ex flygplan TSIU6 Föreläsning 2 42 / 56 5. Syntes, P-regulator, ex flygplan Vi vill ha en regulator som uppfyller: ˆ Snabbare: ω c,d = 5 rad/s ˆ Mer dämpad: minst ϕ m = 50 ˆ Stationära felet då insignalen är ett steg: max 5 % Vi vill ha ett snabbare system, dvs öka ω c G(s) G o (s) = F (s)g(s) = 3G(s) Ren förstärkningsökning ger en ökad bandbredd (snabbare system), men fasmarginalen minskar (ökad översläng, högre resonanstopp)
TSIU6 Föreläsning 2 43 / 56 5. Syntes, fasavancerande (lead-) länk TSIU6 Föreläsning 2 44 / 56 5. Syntes, maximal fasavancering F P D (s) = F lead (s) = K τ Ds + βτ D s +. Välj β så att den maximala fasökningen blir den önskade ϕ max = arctan β 2 β Dvs placera argumentkurvans topp på den önskade skärfrekvensen 2. Se till att den maximala fasökningen sker just vid den önskade skärfrekvensen τ D = ω c,d β TSIU6 Föreläsning 2 45 / 56 5. Syntes, ex flygplan, slutgiltig leadlänk TSIU6 Föreläsning 2 46 / 56 5. Syntes, ex. kretsförstärkningen för F lead G F lead = K τ Ds + βτ D s + =.05 0.58s + 0.2 0.58s + En leadlänk ger alltså: ˆ ˆ Ökad fas Ändrad förstärkning Detta är en PD-regulator. (D-delen har stabiliserande verkan!) Ser bra ut! Hur är det med det stationära felet?
47 / 56 5. Syntes, fasavancerande (lag-) la nk 48 / 56 50 / 56 5. Syntes, ex flygplan, slutgiltig lagla nk Flag (s) = τi s + FP I (s) = Flag (s) = τi s + γ τi s + 2s + = τi s + γ 2s + 0.. Va lj γ sa att la gfrekvensfo rsta rkningen blir den o nskade. 2. Va lj τi 5. Syntes, ex flygplan, slutlig lead-lagregulator 49 / 56 5. Syntes, ex flygplan, analys av regulator v F (s) = Flead(s) Flag (s) =.05 G(s) 0.58s + 2s + 0.2 0.58s + 2s + 0. r + Σ F u G + + Σ y Go (s) = F (s)g(s) Stegsvar fo r slutna systemet Bodediagram fo r slutna systemet
TSIU6 Föreläsning 2 5 / 56 5. Syntes, kretsformning, lead-lagkompenering. Räcker det med en P-regulator? 2. Inför en leadlänk (PD) för att få tillräcklig snabbhet och stabilitetsmarginal. Välj β så tillräcklig ϕ m fås (tänk på att laglänken tar fas) 2. Välj τ D så att fasökningen sker vid ω c 3. Välj K så att w c hamnar rätt 3. Om reglerfelet är för stort, inför en laglänk (PI). Välj γ så felkoefficienterna blir tillräckligt liten 2. Välj τ I så insvängningen mot stationäritet blir tillräckligt snabb 4. Rita bodediagram för det kompenserade systemet. Kontrollera att samtliga krav i frekvensplanet är uppfyllda. 5. Rita stegsvar och kontrollera att samtliga krav i tidsplanet är uppfyllda. TSIU6 Föreläsning 2 52 / 56 5. Syntes, tillståndsåterkoppling Styrlag: u(t) = Lx(t) + r(t) = Lx(t) + l 0 t(t) OBS! Det är inte ovanligt att man måste göra om sin syntes några gånger! Det är en iterativ process! TSIU6 Föreläsning 2 53 / 56 5. Syntes, tillståndsåterkoppling, val av regulatorn L Antag här att dim(a) = 2 och L = (l, l 2 ), och poler önskas i p och p 2.. Det önskade karakteristiska polynomet blir (s p )(s p 2 ) = s 2 + ( p p 2 )s + p p 2 = 0 () 2. Återkopplingens (A BL) karakteristiska polynom ges av: det ( si (A BL) ) = 0 3. Skriv på formen: Sammanfattning s 2 + f (l, l 2 )s + f 2 (l, l 2 ) = 0 (2) 4. Jämför () och (2), kvationssystemet blir: f (l, l 2 ) = (p + p 2 ) f 2 (l, l 2 ) = p p 2 5. Lös ut l och l 2. 6. Välj l 0 för att få rätt statisk förstärkning.
TSIU6 Föreläsning 2 55 / 56 Slutligen: Hur allt hänger ihop! TSIU6 Föreläsning 2 56 / 56 Tack och lycka till! Snabbhet Svängighet Stationärt fel Stabilitet i VHP Re(s) < 0 (BIBO) K K polplacering K F polplacering Poler Tidsplanet Frekvensplanet Regulatorer Stegsvar Bode G c(s) Bode G o(s) PID Lead-lag Tillståndsåterkoppling avstånd stigtid, T r bandbredd, skärfrekvens, till origo ω B ω c P vinkel mot översläng, resonanstopp, fasmarginal, reella axeln M, M p φ m D lead lösningstid, T s lim t e(t)statisk statisk K I F lag l 0 först, först, G c(0) G o(0) går mot ett ändligt värde φ m > 0, A m > 0 mindre K P, mindre K I, större K D F lead, K poler i VHP Reglerteknik är konsten att få saker att uppföra sig som man vill