Lösningar del II Problem II.3 Kärnan 14 O sönderfaller under utsändning av en positiv elektron till en exciterad nivå i 14 N, vilken i sin tur sönderfaller till grundtillståndet under emission av ett γ kvantum med energin,31 MeV. β- 14O m e c= 1.0 MeV T β += 1.813 MeV 14N* Rekylkärnans energi försummas E γ =.31 MeV 14N Totalt: 5.417 MeV spektrums maximumenergi är 1,813 MeV. Beräkna massan för 14 O. Massan för 14 N är 14,003074 u. L II.3 β + sönderfall 5.147 MeV = 5.1478 931.4 u= 0. 00556 u 1
Massan för 14 O blir 14.003074 + 0.00556 = 14.008600u.
Problem II. 4 Beräkna Q-värdet för reaktionen d + 14 N 15 N + p då massorna i u ges av Kärna massa (u) M( H),01410 M( 14 N) 14,003074 M( 15 N) 15,000108 M( 1 H) 1,00785 L II. 4 Enligt definition är Q = ( m i m f ) c = T f T i Q = m i c m f c där mi och mf är kärnmassor. Eftersom det som regel är atommassan som anges gör vi följande approximation Q = ( m d + m 14 m 15 m p ) c = = ( m d + m e + m 14 + 7m e ( m 15 + 7m e ) ( m p + m e )) c = = ( M( H)+ M( 14 N) M( 15 N) M( 1 H) ) c + + B e ( H 14 )+ B e ( N 15 ) B e ( N 1 ) B e ( H ) M( H)+ M( 14 N) M( 15 N) M( 1 H) ( ) c OBS! Vi har adderat och subtraherat lika många elektroner. Approximationen består i att vi ej tagit hänsyn till skillnaden i elektronernas bindningsenergi. Vi får Q = 0.00943 u 8. 61 MeV 3
Problem II.5 Beräkna positronens maximala energi i följande reaktion 13 N 13 C + e + +ν. Reaktionen 13 C + p 13 N + n är endoterm med Q-värdet 3 MeV. m n =1,0086654 u, ( ) =1,00785 m 1 H L II.5 Q R = (Q vär det för kärnreaktionen) = ( ( ) + M () 1 H M ( 13 N) m n) c (( ) M ( 13 C) m e) c T β +,max = M 13 C Q β + = M 13 N T β +,max = Q β + = Q R (m n M( 1 H ) c m e c = 3, 00 0.00840 931,4 1,0 = 1,0 MeV 4
Problem II. 6 Med termiska neutroner kan följande reaktion ske 10 5 B + n 11 5B [ ] 3 7 Li +α Blandkärnan spaltas således upp i en α partikel och en Likärna. Li-kärnan blir exciterad med excitationsenergin 0,48 MeV. Hur stor kinetisk energi får α-partikeln? kärna Massa (u) m n 1, 008665 ( ) 4,00603 ( ) 7,016004 10 ( B ) 10,01939 M 4 He M 3 7 Li M 5 L II. 6 Q = (MB + mn - MLi - MHe) c =.791 MeV Q* =TLi + THe - TB - Tn =.31 MeV = Q - 0.48 MeV Här gäller TB = 0 och Tn 0. Rörelsemängdslagen ger således p Li = p He d.v.s. m Li T Li = m He T He Q * = 1 + m He T He m Li och T He = 7 Q = 1.47 MeV 11 5
Problem II. 7 En av de reaktioner som är möjliga då bor beskjuts med 11 1,600 MeV s deuteroner är Bd,α ( ) 9 Be. De alfapartiklar som går ut i 90 relativt den inkommande deutronstrålen studeras. Därvid erhålles bland annat en grupp alfapartiklar med energin 5,16 MeV. I vilket energitillstånd lämnas 9 Be kärnan av dessa alfapartiklar? Kärna massa (u) M( H),01410 M( 4 He) 4,00603 M( 9 Be) 9,01186 M( 11 B) 11,009305 L II. 7 Q-värdet för reaktionen är Q= (M( 11 B)+ M( H)- M( 9 Be)- M( 4 He))*c =8.0 MeV Konserveringslagarna ger T d + Q = T α + T Be + E * (1) i x led : p d = p Be cos() φ i y led : p α = p Be sin φ kvadrera och summera p d + pα = pbe () T Be = m d T d + m α T α () m Be m Be Kombinera (1) och () och lös ut E * E * = T d + Q T α m d T d m α T α m Be m Be E * =1,600 1 9 5,16 1+ 4 9 + 8,0 E * =1,4 7,53 + 8,0 =1,73 MeV 6
Problem II. 8 Deuteroner med energin 0,9 MeV får träffa ett tunt berylliumfolie placerat i vakuum, varvid följande direkta Kärna m n massa (u) 1,008665 reaktion inträffar M( H),01410 9 Be( d, n) 10 M( 9 Be) 9,01186 B. M( 10 B) 10,01939 a) Beräkna reaktionens Q-värde. b) Till vilken energi exciteras 10 B kärnan om den utgående neutronens energi är mycket låg? L II. 8 a) Q-värdet för reaktionen är Q= (M( 9 Be)+ M( H)- M( 10 B)- m n )*c =4,36 MeV b) Konserveringslagarna ger T d + Q = T n + T B + E *, T n = 0 (1) i x led : p d = p B i y led : p n = 0 kvadrera p d = pb T B = m d T d () m B Kombinera (1) och () och lös ut E * E * = T d + Q m d m B T d E * = 0,9 1 + 4,36 = 5,10 MeV 10 7
8
Problem II.9 11 Kärnan 4Be sönderfaller genom β 11 -emission till 5B. Beräkna rekylkärnans maximala kinetiska energi då Qβ = 11,5 MeV. L II.9 Rekylkärnans, elektronens och neutrinons rörelsemängd resp. kinetiska energi betecknas py, pe, pν, och TY, Te, Eν. För godtyckligt värde på pe är py störst då pe och pν är parallella. Vi har p Y = p e + p ν = E e m e c 4 c + E ν c = E e m e c 4 c + E 0 E e c där Ee, E0 och me är elektronens totala energi, maximala totala energi respektive elektronens vilomassa, d.v.s. E 0 = E e + E ν. dp Y = 1 de e c E e E e me c 4 1 > 0 Således har py och därmed TY maximum då Ee = E0. Vi får p Ymax = E e m e c 4 c Men Q β = Q = T β,ν=0 + T Y,ν=0 T β,ν=0 = E 0 m e c (1) Således p Ymax = m Y ( ) m e c 4 1 m Y c Q + m e c = Q Q + m e c ( ) m Y c 9
Q = 11.5 MeV m Y c = 11 931 MeV 10 4 MeV m e c = 0.511 MeV T Y,ν=0 = 11.5 ( 11.5 + 0.5 ) 10 4 = 7 10 3 MeV T β Q,ν=0 d.v.s. approximationen i (1) är rimlig. 10
Problem II. 10 Beräkna 1. antalet kollisioner som i medeltal behövs för att reducera neutronenergin från MeV till 0,05 ev,. bromsförmågan och 3. modereringsförhållandet i ämnena fluor (100% 19 F), magnesium (~80% 4 Mg) och vismut (100% 09 Bi) vid 0 C och 1,013 bar. Använd följande tvärsnittsvärde och antag att magnesium till 100% består av 4 Mg. Ämne σa σs 19 F 9 mb 5b 4 Mg 59 mb 6b 09 Bi 30 mb 9 b L II. 10 alltså ζ=ln T 0 = ln T 1 =...= ln T n 1 T 1 T T n n ζ=ln T 0 T n Antalet kollisioner ges av n t = 1 ζ ln T 0 = 18. ζ T n (1) och ζ av ζ=1 + ( A 1) A ln A 1 () A + 1 Bromsförmågan S och modereringsförhållandet M ges av respektive S =ζ Σ=ζ ρ N Av A σ s (3) 11
M =ζ σ s σ a (4) Med relationerna (1) - (4) och NA, A och ρ ur Tefyma erhålles A ζ nt ρ (kg/dm 3) S (cm -1) M Tefyma Tefyma F 19.0 0.10 180 0.00170.7. 10-5 57 Mg 4.3 0.080 30 1.74 0.01 8.1 Bi 09.0 0.0095 1900 9.80 0.004.8 1
Problem II. 11 Beräkna atomförhållandet 36 U/ 35 U för ett prov som från början består av rent 35 U och som sedan bestrålas under 10 dagar i ett neutronflöde av 1,00 10 14 termiska neutroner cm - sek -1. Det förutsättes att inget 36 U försvinner genom neutronabsorption. Tvärsnittet för fission av 35 U är 576 10-4 cm och för neutroninfångning 104 10-4 cm. De båda uranisotopernas halveringstider är långa. L II. 11 Φ = neutronflödet = 1.00. 10 14 cm - s -1 tb = bestrålningstiden = 10. 4. 3600 s σinf = infångninstvärsnittet = 104. 10-4 cm (per atom) σf = fissionstvärsnittet = 576. 10-4 cm (per atom) σtot = N5(t) = N6(t) = totala tvärsnittet = 680. 10-4 cm (per atom) antal 35 U-atomer vid tiden t antal 36 U-atomer vid tiden t Ändring i N5 (sönderfall försummas). dn 5 = ( σ f N 5 Φ +σ inf N 5 φ) dt N 5 ( t) = N 5 ( 0) e σ tot Φ t Ändringen i N6 (sönderfall försummas) dn 6 =σ inf N 5 φ dt =σ inf N 5 ( 0) e σ tot Φ t φ dt N 6 N 6 ( 0)= 0 enl. uppgift ()= t konst σ inf σ tot Φ N 5 ( 0) e σ tot Φ t Φ N 6 ()= t σ inf N σ 5 ( 0) 1 e σ tot Φ t tot ( ) N 6 N 5 () t () t = σ inf σ tot 1 e σ tot Φ t ( ) e σ tot Φ t = 104 ( ) 0.0588 1 e 680 e 0.0588 = 0.009 13
Problem II. 1 Vid fission av 35 U med termiska neutroner är det mest sannolika massförhållandet på fissionsfragmenten 1,45 och fragmentens sammanlagda kinetiska energi 168 MeV. Beräkna hastigheten för de två primära fragmenten före neutronemission. L II. 1 Energilagen ger m 1 v 1 + m v = T f (1) där Tf = fragmentens sammanlagda kinetiska energi = 168 MeV. Impulslagen ger m 1 v 1 = m v () () 1 m 1 1 + m 1 v m 1 = Tf v 1 = T f m 1 1 + m 1 m v 1 = c 1 + m 1 m T f m 1 c = c m 1 + m T f m 1 c m m 1 + m = 36u och m 1 m = 1.45 v 1 = c 36 931.4 168 1.45 = 0.97 10 7 m/s v = 1.41 10 7 m/s 14
Problem II. 13 En cyklotron används för att accelerera protoner. a) Skissa hur en cyklotron ser ut, förklara hur den fungerar och visa att den kinetiska energin ges av: T = (z e B) R / (m) b) Antag att radien på cyklotronen är 30 cm. Vilket är det minsta värde på B-fältet som gör det möjligt att producera neutroner med hjälp av reaktionen: p + 13 C -> 13 N + n; Q = 3.003 MeV L II. 13 a) *) Krane 15.. b) Använd uttrycket för tröskelenergi = = 3.003 = 3.34 å ä Insättning i ekvationen för cyklotronens energi ger = T=3.34 MeV m=931.4 MeV/c z=1 e=1.6 10-19 As = 3.34 931.4 ] 1 1.6 10 = 0.3 ] Svar: 0.86 T(esla) 3.34 931.4 10 = 0.86 0.3 15