6 SAMPLADE SYSTEM 6. Sampling av signaler När man använder en dator som regulator, kan man endast behandla signaler i diskreta tidpunkter. T.ex. mäts systemets utsignal i tidpunkter med visst mellanrum, samplingsintervallet. För att den samplade signalen skall ge en korrekt beskrivning av den verkliga signalen är det viktigt att samplingsintervallet väljs i relation till hur snabba variationerna är i den signal man studerar. Det undre gränsvärdet för samplingsfrekvensen ges av samplingsteoremet, vilket utsäger att man måste sampla med minst 2 gånger den högsta frekvens som den samplade signalen innehåller. Det problem som kan uppstå om samplingen ej görs på rätt sätt kallas aliaseffekten, d.v.s. signalen uppträder "under falskt namn". Detta fenomen leder till s.k. vikningsdistorsion och diskuteras på sid. 39-320 i läroboken. I följande framställning förutsätts att samplingsteoremets villkor är uppfyllda. 6.2 Datorstyrning av tidskontinuerliga system Vi skall här studera hur man kan ta fram en tidsdiskret beskrivning av ett datorstyrt tidskontinuerligt system. Detta beskrivs på sid. 30-307 i läroboken. Vi utgår från ett tidskontinuerligt system Y( s) G( s) U ( s) (6.) där G(s) är systemets överföringsfunktion. Insignalen u(t) antas vara styckvis konstant över samplingsintervallet u( t) u( kt) kt t < (k+ )T k 0,, 2,... (6.2) Utsignalen mäts endast i diskreta tidpunkter y( kt) k 0,, 2,... (6.3) Efter z-transformering fås där den tidsdiskreta överföringsfunktionen ges av Y( z) H( z) U ( z) (6.4) st e H( z) Z L (6.5) G( s) s t kt För att beräkna den tidsdiskreta överföringsfunktionen H(z) för ett samplat tidskontinuerligt system med styckvis konstant insignal används kommandot hsamp(g,t) där g är överföringsfunktionen för det tidskontinuerliga systemet och T betecknar samplingsintervallet. h är en matris med tre rader, där den första raden innehåller nollor förutom det sista elementet, vilket är samplingsintervallet. Andra och tredje raden innehåller koefficienterna i täljaren resp. nämnaren i överföringsfunktionen. 20
Den omvända operationen kan göras med kommandot Uppgift 6.4: Mata in systemet ginvsamp(h) G( s) s 2 + s + (6.6) och beräkna den tidsdiskreta överföringsfunktionen, då systemet samplas med samplingsintervallet T 0.5. Ange både överföringsfunktionen och differensekvationen för sambandet mellan in- och utsignal i samplingstidpunkterna. Tidsdiskret överföringsfunktion:... Differensekvation:... 6.3 Stegsvar På samma sätt som för tidskontinuerliga system kan vi beräkna och rita stegsvar för tidsdiskreta system. Stegsvaret beräknas med kommandot ystepsim(h,time) Argumentet time anger som tidigare simuleringens längd, och då det utelämnas sätts det till 0. Resultatet av simuleringen kan sedan, också som tidigare, studeras med kommandot simplot(y) Uppgift 6.5: Simulera och rita upp stegsvaren för det tidskontinuerliga resp. det tidsdiskreta systemet i Uppgift 6.4. Jämför deras utseenden; vad skiljer resp. förenar dem? 6.4 Poler och nollställen Ett systems egenskaper bestäms i stor utsträckning av dess poler och nollställen, så även för tidsdiskreta system. Polerna och nollställena till ett tidsdiskret system ges av rötterna till nämnaren resp. täljaren i överföringsfunktionen H(z). Sambandet mellan polerna hos ett tidskontinuerligt system och polerna hos dess samplade motsvarighet behandlas i läroboken på sid. 307-33. Om polerna till det kontinuerliga systemet betecknas p i, 2 i,... n (6.7) 2
så ges det samplade systemets poler av där T är samplingsintervallet. p T q e i i, 2,... n (6.8) i Det finns inte några enkla samband mellan nollställena hos det samplade och det kontinuerliga systemet. Ett fenomen som kan noteras är att ett kontinuerligt system utan nollställen får nollställen då det samplas. Ett systems poler och nollställen kan beräknas och presenteras med kommandot poze(h) Uppgift 6.6: Studera poler och nollställen för G(s) och H(z) i Uppgift 6.4. Kontrollera om sambandet 6.8 stämmer. Exponentialfunktionen heter i MATLAB exp och beteckningen i kan definieras med kommandot isqrt(-) G(s) poler:... H(z) poler:...nollställen:... Stämmer sambandet 6.8?... 6.5 Frekvenssvar Ett systems egenskaper kan studeras genom att rita upp systemets frekvenssvar i ett Bode- eller Nyquistdiagram. Frekvenssvaret beräknas liksom i det kontinuerliga fallet med kommandot hffreq(h) Frekvenssvaret ritas in i ett Bodediagram med kommandot och i ett Nyquistdiagram med kommandot bodplot(hf) nyqplot(hf) På grund av samplingen kommer frekvensfunktionerna för det kontinuerliga resp. det samplade systemet att skilja sig åt, och skillnaden ökar för ökande frekvens. Ju kortare samplingsintervallet väljs, desto mindre blir dock skillnaden för en given frekvens. Samplade frekvensfunktioner behandlas i läroboken på sid. 320-324. Uppgift 6.7: Beräkna och rita Bodediagrammen för G(s) och H(z) från Uppgift 6.4, och jämför amplitud- och faskurvor. Pröva också att sampla G(s) med kortare samplingsintervall, och studera Bodediagrammet för detta fall. Kommentera: 22
7 DIGITAL REGLERING 7. Approximation av tidskontinuerliga regulatorer Approximationer av tidskontinuerliga regulatorer bygger på att man approximerar derivator i regulatorn med differensapproximationer, och vi skall titta på två olika alternativ. Euler-approximationen bygger på att man approximerar derivatan av en funktion enligt u&( kt) [ ] u(kt) - u(kt - T) T (7.) Denna approximation åstadkomms genom att sätta s ( z ) T (7.2) i överföringsfunktionen för den tidskontinuerliga regulatorn. En PID-regulator approximerad på detta sätt erhålls med kommandot fpideuler(t,kp,ki,kd) där T anger samplingsintervallet och kp, ki och kd är PID-regulatorns parametrar. En noggrannare differensapproximation fås med Tustins regel, enligt vilken man sätter 2( z ) s T( + z ) PID-regulatorn approximerad på detta sätt erhålls med kommandot (7.3) fpidtusti(t,kp,ki,kd) När man approximerar en kontinuerlig regulator, kommer valet av samplingsintervall att ha stor inverkan på det återkopplade systemets egenskaper. Vi skall här illustrera detta med hjälp av ett enkelt exempel, och vi skall studera problemet på två sätt. 7.2 Stegsvar för det återkopplade systemet Ett sätt att undersöka sambandet mellan stabilitet och samplingsintervall är att simulera reglersystemets stegsvar med olika kombinationer av samplingsintervall och förstärkningar. En sådan simulering kan liksom i det kontinuerliga fallet utföras med kommandot yrstep(g,f,time) där g är överföringsfunktionen för det tidskontinuerliga systemet, f är den tidsdiskreta regulatorn och time anger simuleringens längd. 23
Exempel 7.: De första fem sekunderna av stegsvaret för det återkopplade systemet, då systemet g styrs med en samplande P-regulator med förstärkningen 2 och samplingsintervallet 0.5 s beräknas med kommandot yrstep(g,pideuler(.5,2),5) Resultatet av simuleringen kan sedan studeras med kommandot Uppgift 7.: Mata in systemet simplot(y) G( s) s + (7.4) och simulera det återkopplade systemet då G(s) styrs med en samplande P- regulator. Använd samplingsintervallen T resp. T 0.5. Testa några olika värden på kp och bestäm hur stort kp kan väljas innan det återkopplade systemet blir instabilt. Kommentera resultatet. T kp max... T 0.5 kp max... 7.3 Rotort Ett alternativt sätt att kontrollera stabilitetsegenskaperna är att studera det återkopplade systemets poler med rotortmetod (jämför avsnitt 4.2). Då ett system med överföringsfunktionen H( z) B( z) A( z) (7.5) styrs med en P-regulator, ges det återkopplade systemets poler av karakteristiska ekvationen A(z)+K B(z) 0 (7.6) Med kommandot hrrl(h) beräknas lösningarna till denna ekvation, d.v.s. systemets poler, för 0 K 0. Resultatet plottas med kommandot rlplot(hr) 24
Uppgift 7.2: Beräkna den samplade beskrivningen av systemet G(s) i Uppgift 7. för samma samplingsintervall som där. Beräkna och rita rötternas lägen, och bestäm för vilka K som det återkopplade systemet är stabilt. Jämför med resultatet i Uppgift 7.. Hur är överensstämmelsen? 7.4 Polplacerande regulatorer Alternativet till att approximera tidskontinuerliga regulatorer är att utgå från den tidsdiskreta beskrivningen H(z) av det system som skall styras. Det finns många metoder för regulatorberäkning, och vi skall här studera s.k. polplacerande regulatorer. Denna metod presenteras på sid. 344-377 i läroboken. Vi utgår från beskrivningen (jfr. fig.0.9 i läroboken, V(z) 0 och alla polynom uttryckta i z - ) där Y(z) H( z) U(z) (7.7) H( z) B( z) A( z) (7.8) Regulatorn beskrivs av U(z) F ( z) R(z) F ( z) Y( z) r y (7.9) i vilket F ( z) r Kr T( z) C( z) D( z) och Fy ( z) (7.0) C( z) där polynomen T(z), C(z) och D(z) uttrycks på realiserbar form som 2 nt T(z) + t z + t z +... + t z (7.) 2 nt 2 nc C(z) + c z + c z +... + c z (7.2) 2 2 nd D(z) d + d z + d z +... + d z (7.3) 0 2 nc nd Denna regulator ger det återkopplade systemet Y( z) R( z) Kr T( z) B( z) A( z) C( z) + B( z) D( z) (7.4) Polplaceringsmetoden bygger på att man väljer var man vill placera det återkopplade systemets poler. Med lämpliga val av poler och samplingsintervall kan man ge det återkopplade systemet önskade egenskaper i form av stigtid, översläng, etc. 25
Regulatorpolynomen C(z), D(z) och T(z) bestäms enligt följande: ) Välj två polynom P(z) och T'(z) som skall ge systemet de önskade egenskaperna. Polynomet P(z) kommer att vara nämnaren i det slutna systemets överföringsfunktion, d.v.s. valet av P(z) bestämmer det återkopplade systemets poler. T'(z) kan användas för att påverka t.ex noggrannhet eller snabbhet. 2) Beräkna polynomen C(z) och D(z) ur polynomekvationen P(z) A( z) C(z) + B( z) D( z) (7.5) och välj T(z) T ( z) (7.6) Förstärkningen K r väljs normalt så att lågfrekvensförstärkningen, vilket leder till att det kvarstående felet p.g.a. stegvisa börvärdesändringar elimineras. 3) Regulatorn enligt (7.9) ger nu det återkopplade systemet Y( z) R( z) Kr T ( z) B( z) (7.7) P( z) En polplacerande regulator av detta slag kan beräknas med kommandot [fr,fy]poleplace(h,pc,po) där h är den tidsdiskreta överföringsfunktionen för det system man vill styra, pc och po är radvektorer som innehåller koefficienterna i polynomen P(z) och T'(z). Utdata från rutinen, fr och fy, är de två överföringsfunktionerna F r (z) och F y (z), där K r är beräknad så att lågfrekvensförstärkningen. Exempel 7.2: Antag att det system vi vill styra har överföringsfunktionen g, och att den tidsdiskreta beskrivningen för något samplingsintervall ges av h. Vidare antar vi att vi vill ha P(z) z 2 6. + 0. 64z (7.8) vilket betyder att det återkopplade systemet får två poler i 0.8. Dessutom väljer vi för enkelhets skull T (z) (7.9) En regulator som ger detta återkopplade system beräknas med kommandot [fr,fy]poleplace(h,[ -.6.64],) Det tidskontinuerliga systemet g, styrt av regulatorn fr och fy, kan sedan simuleras med kommandot yrstep(g,fr,fy) 26
Uppgift 7.3: Mata in det tidskontinuerliga systemet G( s) s( s + ) (7.20) och beräkna den tidsdiskreta överföringsfunktionen för samplingsintervallet T resp. T 0.5. När ett system styrs med en polplacerande regulator, kommer snabbheten hos det återkopplade systemet att bero dels på vilken polplacering man gjort, och dels på vilket samplingsintervall man använder. Vi skall nu illustrera att en viss önskad stigtid kan uppnås på flera olika sätt. Antag att vi vill erhålla en stigtid på ca 2 s för det återkopplade systemet. Stigtiden 2 s kan t.ex. erhållas för ett andra ordningens kontinuerligt system med två poler i -.7. (Kontrollera gärna detta!) I diskret tid motsvarar detta två poler i 0.8 för T, resp. två poler i 0.43 för T0.5. Detta ger för T P(z) z 2 0. 37 + 0. 033z (7.2) och för T 0.5 P(z) z 2 0. 85 + 08. z (7.22) Uppgift 7.4: Beräkna en polplacerande regulator för stigtiden 2 s och simulera det återkopplade systemet för de två samplingsintervallen T resp. T 0.5. Vilken stigtid T s, insvängningstid T δ och maximal styrsignalamplitud U max erhålls i de två fallen? T : T s... T d... U max... T 0.5: T s...... T d... U max...... För ett givet samplingsintervall får man snabbast möjliga system genom att placera det slutna systemets samtliga poler i origo, s.k. dead-beatreglering. (Denna typ av regulator kan dock i många fall ge stabilitetsproblem.) Samtliga poler i origo får man om man väljer P(z) (7.23) Uppgift 7.5: Beräkna en dead-beatregulator, och simulera det återkopplade systemet för de två samplingsintervallen T resp. T 0.5. Notera stigtiden, insvängningstiden och det maximala värdet på styrsignalen i de två fallen. Jämför med Uppgift 7.4 och kommentera skillnadena! T : T s... T d... U max... T 0.5: T s...... T d... U max............ 27
Om man vill studera stabilitetsmarginalerna för en polplacerande regulator, kan man studera Bodediagrammet för H(z)F y (z) och notera fas- och amplitudmarginal. Överföringsfunktionen för två seriekopplade system kan beräknas med kommandot hser(h,h2) och därefter kan frekvensfunktionen beräknas med hffreq(h) Exempel 7.3: Frekvensfunktionen för det öppna kompenserade systemet, då systemet h återkopplas med fy beräknas med kommandot hffreq(ser(h,fy)) Uppgift 7.6: Beräkna frekvensfunktionen och rita Bodediagrammet för H(z)F y (z), dels för systemet med stigtiden 2 s, dels för systemet med dead-beatregulatorn. Utför detta för de två samplingsintervallen T resp. T 0.5. Läs av fas- och amplitudmarginal samt överkorsningsfrekvens. Jämför och kommentera de fyra olika fallen! OBS! Håll ordning på vilka regulatorer och system som hör ihop. Systemet med stigtid 2 s: T : j m...... A m... w c... T 0.5: j m...... A m... w c... Dead-beatsystemet: T : j m...... A m... w c... T 0.5: j m...... A m... w c... Kommentarer: 28