För projektet Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsprojekt (OAT+) med Dnr HK /AL50

SLUTRAPPORT: För proetet Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet (OAT+) med Dnr HK 06-50/AL50 Johanna Törnquist Krasemann Bleinge Tenisa Högsola 2009--07

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Förord Detta proetarbete har i huvudsa utförts av proetledare Dr. Johanna Törnquist Krasemann med stöd av Prof. Paul Davidsson, Dr. Jan A. Persson och Prof. Håan Grahn på Bleinge Tenisa Högsola. Proetet har huvudsaligen finansierats av Banveret under 2007-2009 och vi vill passa på att taca vår proetsponsor Börn Wahlström och vår ontatperson Thomas Franzén för möligheten att fortsätta bedriva vår forsning inom detta område. Vi vill även rita ett varmt tac till personer som indiret deltagit i proetet och bidragit med tid, information och data och då framför allt Banverspersonal från STEG/STRATEGproetet såsom Jörgen Hwargård och Karl-Einar Jonsson samt Malin Forsgren och Martin Aronsson från SICS och DDTP-proetet. Ett stort tac även till Mats Lindqvist, Triona, och Göran Esérs, Banveret, för att ni möliggorde och ledde samarbetet med den gemensamma demonstrationen av onceptet DDTP-STEG-OAT inför ITSVK2009 i Stocholm. ii

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Sammanfattning Denna rapport avser summera forsningsativiteter och -resultat från proetet Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet (även benämnt OAT+) som bedrivits under tiden 2007-09-0 till 2009-0-3 och som huvudsaligen finansierats av Banveret. OAT+ är en fortsättning på proetet Omplanering Av Tåglägen (OAT) och syftet med dessa proet är att utreda och sapa möligheter för att stöda den operativa omplanering av tågtrafien vid störningar eller andra förändringar som gör att den ursprungliga tågplanen behöver modifieras. I OAT studerade och utveclade vi i huvudsa optimeringsbaserade modeller och metoder för den operativa omplaneringen. Vi utförde en eperimentell studie av hur olia typer av störningar sprider sig samt hur de an lösas med hälp av de utveclade metoderna. I merparten av scenarierna erhöll vi en lösning (dvs. ett förslag på en reviderad tidtabell) inom ett fåtal seunder medan i mer omplicerade fall tog det längre tid att hitta en optimal lösning om en sådan överhuvudtaget unde hittas. Målet är doc att en metod för operativ omplanering snabbt an tillhandahålla en giltig, lämplig lösning även i de mest tidsritisa och mycet omplicerade situationerna. Arbetet i OAT+ har därför delvis syftat till att utvecla en optimeringsalgoritm - som omplement till att tillämpa optimeringsmuvara såsom CPLEX - för att säerställa att vi dels alltid hittar en giltig lösning, dels att vi hittar en tillräcligt god lösning inom relativt ort tid (inom 30 seunder) och oberoe av vilen typ av störningssituation som uppträder. Den algoritm som utveclats är en s Greedy heuristi. Vidare såg vi i OAT att det sanas en fullständig besrivning av hur tågen och infrastruturen interagerar operativt som är mer detalerad än de ritliner för tidtabellsplanering som återges i föresrifter såsom TF60. I ett omplaneringssede an marginaler vara vitiga och vissa tågvägar an vara mer tidsonsumerande än andra och bör tas hänsyn till. Proetet har i huvudsa fouserat på att studera vila restritioner och fatorer i tågföringen som bör modelleras, vilen data som rävs samt i vilen utsträcning den finns tillgänglig. Därför har vi valt att studera hur dessa delar av infrastruturen an modelleras i mer detal och inom OAT+ har vi fouserat på att studera vila förutsättningar och restritioner som gäller för den delen av det svensa ärnvägsnätet som STEG-proetet fouserar på. Inom OAT+ har vi även gort en eperimentell studie av hur olia typer av störningar sprider sig samt hur de an lösas med hälp av de utveclade optimeringsmetoderna. Vi har tillämpat vår Greedy-algoritm på tre olia typer av störningsategorier: Kategori innebär att ett tåg anländer trafidistritet med en viss försening eller att det får en temporär försening på ett segment inom distritet. Kategori 2 innebär att ett tåg har en mer ronis försening såsom nedsatt accelerationsförmåga vilet resulterar i öade traverseringstider. iii

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Kategori 3 syftar på ett infrastruturfel som ger upphov till eempelvis en hastighetsnedsättning på en viss linesträca och som resulterar till att samliga tåg som passerar får öade traverseringstider. Vi har använt tidtabellsdata från Trainplan och simulerat att störningarna inträffar i rusningstrafi på eftermiddagen den 23 april 2009. Vi har omplanerat trafien inom en tidshorisont på 90 minuter med utgångspunt från då resp. störning inträffat samt vi har tillåtit en maimal beräningstid på 30 s. En besrivning av resp. scenario finns i Tabell 2 samt i Bilaga 2. Scenario -0 tillhör ategori medan -5 tillhör ategori 2 och 6-20 tillhör ategori 3. För att utvärdera algoritmens prestanda har vi även löst ett urval av scenarierna med motsvarande optimeringsmodell och tillämpat CPLEX 8.0 (med en maimal beräningstid på 24 h). Vid en utvärdering av algoritmens prestanda och ämförelse med CPLEX an vi först och främst se att CPLEX i merparten av fallen inte har unnat generera en tillåten lösning trots tillåten sötid på 24 h. Vid en ämförelse med de lösningar som CPLEX genererat i de fall där ett optimum unnat fastställas ser vi att CPLEX och algoritmen finner olia lösningar även om målfuntionsvärdena är snarlia. CPLEX terar att försena flertalet tåg innan de når sin slutdestination men ser till att de har en så liten slutlig försening som möligt (dvs. i line med målfuntionen). Algoritmens nuvarande söstrategi, som har ett mer ortsitigt perspetiv, undvier istället att försena ytterligare tåg såvida det inte verligen medför en vinst. Vilen lösning som är den bästa från ett pratist perspetiv är svårt att säga generellt men det visar att det även finns fördelar med denna mer ortsitiga söstrategi. Det visar även hur omplicerat det an vara att formulera en målfuntion som tar hänsyn till flera olia aspeter. När det gäller algoritmens prestanda m a p de olia ategorierna an vi se att för ategori och 2 så presterar algoritmen förhållandevis bra. För ategori 3, däremot, har det varit svårt att finna bra ämförelsevärden men det till trots ser vi att algoritmen har svårt att hitta tillräcligt bra lösningar, se eempelvis scenario 8. Det indierar återigen att en lösningsmetod an behöva anpassa sin söstrategi och målfuntion beroe på vissa egensaper hos störningssituationen. iv

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Innehållsförtecning Inledning... 2 Bagrund... 3 Syfte och omfattning... 2 4 Modeller och metoder för planering av ärnvägstrafi... 4 5 Proetets modeller och algoritmer... 7 5. Terminologi... 8 5.2 Modellering av ärnvägstrafi på linesträcor... 8 5.3 Modellering av ärnvägstrafi på stationer... 9 5.4 Metodutvecling en Greedy -algoritm... 22 5.5 Simuleringseperiment och utvärdering av algoritmen... 26 5.6 Resultat och analys... 27 6 Fortsatt arbete... 30 7 Referenser... 3 8 Bilaga. Optimeringsmodell... 33 9 Bilaga 2. Tidtabell... 34 0 Bilaga 3. Proetuppfölning (intern)... 35 0. Avstämning av tidsplan... 35 0.2 Personalförändringar... 35 0.3 Proetativiteter... 35 0.4 Avrapportering och publicering... 35 0.5 Kostnadsuppfölning... 36 v

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Inledning Proetet OAT+ (Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet) har pågått under tiden 2007-09-0--2009-0-3 och detta doument ämnar summera proetresultaten. Proetet har en hemsida www.bth.se/te/oatplus där relevanta publia doument finns tillgängliga. Rapporten ommer att inleda med en presentation av bagrunden till proetet samt dess syfte och omfattning. I Kapitel 4 föler en ortfattad analys och utvärdering av relaterad forsning medan Kapitel 5 ger en övergripande besrivning av proetarbetet och dessa resultat för att omplettera de vetensapliga publiationer som berör proetet. Kapitel 6 disuterar proetresultaten och fortsatt arbete. 2 Bagrund Ett attrativt och hållbart ärnvägssystem sa hålla hög säerhet, vara milövänligt, ha god tillgänglighet och erbuda pålitliga transporttänster som håller tillräcligt hög tidsprecision. Samtidigt sa banapaciteten utnyttas i möligaste mån på ett ostnadseffetivt sätt. Detta räver en ontinuerlig balans mellan att sapa ett högt banutnyttande och att bibehålla en tillräcligt hög robusthet, dvs. liten änslighet för störningar. Många orsaer till störningar an förebyggas och flertalet studier av detta har gorts, men oförutsedda händelser som sapar störningar är ofrånomliga och onsevenserna sa då unna approimeras, minimeras samt ommuniceras till användarna. Den information som ligger till grund för en onsevensanalys och revidering av tågplan efter en störning finns doc inte alltid trafiledaren tillhands och med nuvarande förutsättningar finns heller inte alltid en mölighet att använda tillgänglig information. Vidare finns det inga onreta sätt för trafiledaren att bedöma valiteten på omplaneringen, dvs. vad innebär omplaneringen för individuella tåg lisom för trafisystemet på ortare resp. längre sit. För att unna uppnå de strategisa, trafipolitisa och användarspecifia mål som satts upp, måste de unna omsättas till pratisa, enla, operativa ritliner och unna mätas i tillräclig utsträcning. Den huvudsaliga ritline, att rättidiga tåg har företräde, som tillämpas idag är logis i den mening att den begränsar en störnings spridning genom att isolera den till ett fåtal tåg. Den är även enel att tillämpa i de ritisa situationer som ofta uppstår, vilet är nödvändigt. Principen är doc inte effetiv i alla situationen, vilet trafiledaren ofta inser och frångår den för att styra trafien på ett bättre sätt. Frågan varstår doc vad bättre innebär i vare situation och hur trafiledaren an mäta effeterna av sin trafistyrning på ett obetivt sätt som ser till helheten men även hindrar att individuella trafiutövare ontinuerligt drabbas. Inom proetet OAT (Omplanering Av Tåglägen) som initierades mars 2005 och avslutades mars 2007, har vi utveclat och utvärderat metoder som syftar till att stöda den operativa hanteringen av störningar. Dessa metoder är baserade på optimeringstenier och syftar till att tillhandahålla förslag på hur tidtabellen för tågtrafien bör revideras (dvs. de sapar en omplanerad tidtabell) utifrån de mål och ritliner som trafistyrningen föler för att minimera onsevenserna av störningarna. Vi har studerat vila fatorer som påverar flödet av trafien och sett att det finns vitig information som inte alltid används i processen, t.e. tågens verliga egensaper såsom längd, vit, bromstal, och trafiutövarnas preferenser och ritisa lägen. Detta beror på att informationen inte alltid ommuniceras och/eller inte är hanterbar. Det rävs således en mer omfattande analys för att definiera vilen information som bör ligga till grund för beslutsfattandet och hur den sa bli tillgänglig och hanterbar. Det innefattar även att trafiutövaren bör ommunicera sina mål

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 och preferenser och i gengäld i god tid få tillgång till information om sina atuella (eventuellt preliminära) omplanerade tåglägen. Inom OAT har vi även gort en eperimentell studie av hur olia typer av störningar sprider sig samt hur de an lösas med hälp av de utveclade optimeringsmetoderna. I merparten av scenarierna fås en lösning (dvs. ett förslag på en reviderad tidtabell) inom ett fåtal seunder medan i mer omplicerade fall tar det längre tid att hitta en optimal lösning. Målet är doc att metoderna snabbt an tillhandahålla en giltig, lämplig lösning även i de mest tidsritisa och mycet omplicerade situationerna. Metoderna bör därför vidareutveclas till en sådan anytime-algoritm. Metoderna bör även eftersträva att trafiflödet styrs utifrån ett systemperspetiv och oberoe av organisationsstrutur, så att tåg inte omprioriteras på grund av distritsgränserna. Infrastruturen och förutsättningarna är olia mellan distriten, men synsätt och mål bör onvergera och vara liartade för Sveriges distrit och driftledningscentraler. Ritliner för trafistyrningen an vara delvis baserade på respetive trafiutövares auta behov av prioritering och tågläge men att en trafiutövare är mer tolerant än en annan beror på att den har större marginaler och mer fleibilitet i sitt logistisystem, och denna fleibilitet är, precis som förseningen, förenad med en ostnad. Eempelvis är godstransporterna ofta mer toleranta för förseningar (dvs. de har sina tidsfönster snarare än fierade tidpunter för anomst) men till en intern ostnad medan passagerartrafien an ha snäva omloppsplaner utan samma tolerans för att maimera sin vinst. En analys av vilen leveransprecision och andra villor som gäller för olia tilldelade tåglägen an rävas för att inte sapa ogenomförbara ritliner utan är opplade till de produter som Banveret erbuder sina under. I proetet DDTP som drivs av SICS och som syftar till att utvecla en ny princip för tilldelning av tåglägen där det centrala är de leveransåtaganden som BV och resp. operator enas om. Dessa leverensåtaganden anger sedan i operativ drift i större utsträcning än idag vilen betydelse olia förändringar av tåglägen har (dvs. om BV an förändra ett tågläge utan att det påverar leveransåtagandet). De modeller vi tar fram i proetet ommer därför att beata dessa i den utsträcning som är möligt. Vi har även inom OAT gort preliminära eperiment för att utvärdera några olia målfuntioner för omplaneringen (dvs. om antalet försenade tåg sa minimeras, den acumulerade störningen sa minimeras eller om förseningsostnaderna sa minimeras) och olia mått på omplaneringens effeter. Vad vi unde se var eempelvis att fous på minimering av den totala acumulerade störningsmängden (i minuter) an leda till att fler tåg försenas. I pratien är doc målen och hänsynstaganden vid trafistyrningen mer svårdefinierade och omplea, men behöver unna definieras och delvis spegla de trafipolitisa mål som finns och de leveransåtaganden som de olia atörerna har. 3 Syfte och omfattning Detta proet är en fortsättning på proetet OAT (Omplanering Av Tåglägen) som syftar till att vidareutvecla de modeller och metoder som sapats inom OAT för att stöda omplaneringen av tidtabellen vid störningar och andra förändringar i ärnvägstrafien. Dessa metoder har visat goda möligheter att snabbt unna föreslå en reviderad tidtabell som effetivt minimerar onsevenserna när störningar i trafien har sett och där 2

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 onsevenserna av störningarna och den reviderade tidtabellen an mätas utifrån olia lämplighetsmått (ostnad, antal försenade tåg, total försening, etc.). Metoderna sa även vidareutveclas med målet att unna generera tillräcligt bra lösningar (dvs. reviderade tidtabeller) inom ort tid även i situationer som vi inom OAT identifierat som typist omplea och svårlösta. Det vill säga, vi vill sapa en anytime-algoritm som an garantera en tillåten, tillräcligt bra lösning inom en viss tid men som även fortsätter att söa efter den optimala lösningen om tid finns. För att summera: I proetet OAT har vi huvudsaligen studerat och utveclat metoder för omplanering av tåglägen vid störningar, men under proetets gång sett att det rävs ytterligare analyser av vissa aspeter för att unna sapa pratist gångbara metoder och principer för effetiv tågföring. Detta fortsättningsproet, OAT+, syftar därför till att behandla dessa aspeter samt förbättra utveclade metoder. Fortsättningsproetet fouserar på att: Studera vilen information som bör ligga till grund för beslutsfattandet i trafistyrningsprocessen samt i vilen utsträcning denna information är eller an göras tillgänglig och användbar. Definiera och utvärdera vila långsitiga och ortsitiga mått på en reviderad tidtabells effeter som an användas för att utvärdera och bedöma lösningens (dvs. tidtabellens) lämplighet och ämföra den med alternativa lösningar. Studera hur robusthet an definieras, mätas och appliceras vid omplaneringen för att undvia att sapa lösningar som är störningsänsliga och infleibla. Studera vilen effet olia prioriteringsmodeller an få i operativ drift och hur modellerna an och bör återopplas till de leveransvillor som gäller för såväl operatörer som för Banveret. Utvecla och utvärdera en anytime-algoritm som tillräcligt snabbt tillhandahåller lämpliga och giltiga lösningar men som samtidigt eftersträvar att hitta en optimal lösning. Proetet har fölt nedanståe arbets- och tidsplan. Ativitet Startdatum Slutdatum Fas. Uppstart av proet. 2007-09-0 2007-0-3 Fas 2a. Förberedelse inför simuleringsstudie: Del. 2007-0-3 2008-0-3 Fas 2b. Utförande av simuleringar: Del 2008-0-3 2008-05-3 Fas 2c. Analys av resultat ifrån Fas2b. 2008-03-3 2008-07-3 Fas 3. Kvalitetsmått och eperimentell analys 2008-0-3 2008-0-3 Fas 4. Metodutvecling och utvärdering. 2008-07-3 2009-0-3 Fas 5. Simuleringsstudie: Del 2. 2008--0 2009-09-30 Fas 6. Summering, presentation/demonstration och proetavslut. 2009-06-30 2009-0-3 Tabell. Tidsplan. 3

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 4 Modeller och metoder för planering av ärnvägstrafi Forsningsintresset för metoder för planering av ärnvägstrafi- och transporter har öat marant de senaste åren. Även om problematien på ett övergripande plan är densamma världen över, dvs. att resurser såsom spårapacitet sa alloeras till en mängd operatörer och dess fordon, så siler sig förutsättningarna åt på flera sätt. Vad som doc siler svens ärnvägstrafi från den internationella är att avregleringen är längre framsriden i Sverige än inom övriga EU vilet gett effeter som ett mer splittrat transportsystem med fler operatörer som sa samsas om apaciteten och vars trafi sa styras av en neutral part (BVs driftledning). Vi har ocså en mer heterogen trafi där tåg med olia apacitet (godståg, intercitytåg, snabbtåg och peltåg) använder samma spår samtidigt under allt längre perioder av dygnet. Många tågoncept inom EU är periodisa (dvs. cylisa med t e styva tidtabeller) och mer isolerade ifrån annan tågtrafi samt drivs av en och samma organisation, vilet gör att dessa länder i nuläget inte behöver hantera denna ytterligare ompleitet som svens trafi har. Vidare är det svensa ärnvägsnätet anpassat för trafi i båda ritningar medan europeisa system till stor del bedriver enelritad trafi på sina dubbelspår. Sillnader som dessa medför att det föreommer en mängd olia sätt att besriva problemet på. I detta sammanhang är ofta en sådan problembesrivning en matematis modell som anger vila restritioner (dvs. villor) som gäller för problemet och vilen typ av lösningen som eftersös (t e att maimera antalet tåg som örs) och som då uttrycs av en målfuntion. För att lösa problemet väler man sedan en metod. Det finns en mängd olia typer av metoder. I många fall är metoderna doc anpassade för att vara så effetiva som möligt för den specifia variant av problemet som är i fous. I Cordeau et. al. (998) samt (Törnquist, 2005) finns en mer omfattande besrivning av olia modeller och metoder för tilldelning av ärnvägsapacitet. Mer nyligen har Zhou and Zhong (2007) presenterat en branch-and-bound algoritm för enelspårstrafi medan D Ariano et. al. (2007, 2009) besriver en iterativ algoritm baserad på förutsättningarna i det nederländsa ärnvägsnätet. Generellt sett så innehåller modeller för operativ omplanering av tågtrafi få detaler och man särsiler sällan på vilen tågväg ett tåg tar genom en station utan i bästa fall definierar man bara en mängd parallella spår varpå tåget väler en. Dessa tågvägar är då inte i onflit med varandra vare sig vid in- eller utfart. I pratien är det doc annorlunda och i en störningssituation an det vara vitigt att åsådliggöra vissa tågvägar i mer detal och de marginaler som finns. Ett eempel är då ett X2000, som enligt plan sa öra på ner-spåret genom Strångsö via spår 3, se Figur 5, utan uppehåll men tvingas istället gå in via spår 2 för en oplanerad förbigång av ett annat tåg som uppehåller sig på spår 3. X2000 måste då bromsa in för att öra genom en väel och förlorar märbart med tid något som då an behöva besrivas av en motsvarande matematis modell som då unde ha beränat effeten av spårvalen för de båda tågen på stationen och istället gort det omvända. När vi vill sapa en modell över ärnvägsnätet så måste vi alltså väla lämplig detalnivå, dvs. vila egensaper hos tågen och trafisystemet samt fysisa delar vi sa besriva och inludera i våra beräningar. Radte (2008) siler på olia detalnivåer i de infrastruturmodeller som används för ärnvägstrafiplanering, där maromodeller har en grövre representation med mindre detaler medan miromodeller innehåller mer detaler om hur infrastruturen är uppbyggd och dess restritioner. Maromodeller använder ofta en 4

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 aggregerad besrivning av vissa resurser där eempelvis en station an betratas som en mängd parallella spår av begränsad eller oändlig apacitet. I en miromodell an istället samma station ses som ett omplet nätver av flera olia spårdelar som binds samman av signaler och välar. Vilen nivå som är lämplig beror givetvis på syftet med modellen och i vilet avsee resultaten sa användas. Desto mer detalerad en modell är, desto mer data och beräningar rävs och för ett problem som sa lösas i real-tid an det vara för tidsrävande att samla och bearbeta en stor mängd data. Dessutom ger en mer detalerad modell potentiellt upphov till en större mängd alternativa lösningar att utvärdera. Desto mindre och enlare en modell är, desto lättare blir det att validera och verifiera den (dvs. att ontrollera om den är och beter sig orret och ger rimliga resultat) och egensaper som inte påverar resultatet (nämnvärt) bör därför inte inluderas eplicit i modellen. Liaså gäller då indata som rävs för att representera vissa egensaper inte finns att tillgå eller är av för dålig valitet utan dessa måste då hanteras på annat sätt. Det an därför vara effetivare att approimera vissa egensaper så länge approimationerna ger tillräcligt tillförlitliga resultat. Kartläggning som gorts inom proetet och som till viss del presenteras i (Törnquist, 2005), visar att de flesta modeller för operativ omplanering av ärnvägstrafi är maromodeller som inte inluderar signaler eller välar eller anger hur tåg färdas genom stationerna. I vissa fall, an det doc vara nödvändigt att använda en miromodell för t e högtrafierade områden ring storstäder och centrala nav i nätveret medan för andra mer glestrafierade trafiområden an det vara tillräcligt med en grov modell. I proetet DisKon (Disposition und Konflitmanagement) som är ett samarbete mellan de tre tysa universiteten; RWTH Aachen, TU Dresden och Göttingens universitet, samt Deutsche Bahn AG. Proetet utveclar en metod för att hantera den tysa problematien ring operativ trafiledning med fous på att minimera effeten av brustna anslutningar. Metoden använder två olia detalnivåer i sin modell av trafien och infrastruturen men inte beroe på att man anser det finnas behov av olia detalnivåer i samma modell utan man delar upp problemet i två nivåer. Man löser alltså problemet först grovt med en optimeringsmodell på maronivå och när den lösningen är fastställd, dvs. vissa variabler i problemet är fierade, så löser man problemet på en mer detalerad nivå med en miromodell. För mer information om problematien med fous på anslutningar, se eempelvis (Schöbel, 2009). I proetet OAT+ har det, genom disussioner med deltagare från STEG/STRATEGproetet, blivit uppenbart att det rävs olia detalnivåer för det svensa ärnvägsnätet beroe på vilen del av nätet som betratas. I den del som proetet fouserat på, se Figur 3, har det visat sig finnas flera stationer för vila det rävs en eplicit besrivning av vilen tågväg som används och hur olia tågvägar är i onflit i flera avseen. Vi har fölatligen vidareutveclat och anpassat villoren för dessa stationer i vår matematisa modell men problemet är doc att det inte finns tillräcligt med data för att tillämpa vidareutveclingen i nuläget, vilet disuteras vidare senare i rapporten. Det eisterar doc redan matematisa modeller som Banveret tillämpar (eempelvis i TrainPlan och Banverets gångtidsberäningsvertyg) som besriver hur man för svens tågtrafi planerar tågvägar och tågs relationer till varandra. De modeller som finns i Trainplan är Muvara som utveclats av Vossloh System-Techni Yor Limited. 5

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 doc utveclade för tidtabellsplaneringen på en gansa grov nivå och tillhandahåller en relativt förenlad och aggregerad representation av tågtrafien som inluderar olia typer av marginaler, buffert mm för att sapa robusta tidtabeller och anger inte de verliga restritionerna eller tar hänsyn till vad som ser in till, inne på och ut från stationerna. De modeller som å andra sidan finns i gångtidsberäningsvertyget innehåller en mycet detalerad besrivning av hur ett tåg med en viss örprofil rör sig genom på banan men detta vertyg är mycet beräningsintensivt och inte anpassat för operativ drift. Oavsett hur infrastruturen är uppdelad i ensilda resurser för vila man tilldelar tågen slots, dvs. tåglägen, så behöver de tidsomponenter som ingår i en slot besrivas. I Figur nedan ges UICs besrivning av en slot för ett bloc på en linesträca, se Figur 5 i (UIC 2004) för en vidare besrivning. Figur. Illustration av tidsomponenterna i en tågslot enligt UICs besrivning. Källa: Figur 5 i (UIC, 2004). Om representationen som ges i Figur sulle tillämpas för operativ omplanering av tågtrafi och eplicit uttryca ett tågläge (dvs. occupation time) som summan av de su tidsomponenterna a) time for route formation, b) time for visual distance, c) time for approach, d) ourney time,e) time for clearing samt f) time for route release så sulle en stor mängd beräningar rävas enom för att beräna occupation time om tåget inte föler sin initiala tågplan eftersom tidsomponent b)-e) är beroe av tågets inommande och utgåe hastighet. Mängden variationer är således oändlig och svår att hantera. Ett alternativ är att disretisera och approimera de olia möliga scenarierna till en mindre, mer hanterbar mängd. I den datastrutur som Banveret använder för att besriva trafien i en fastställd tidtabell (dvs. den tidtabellsdata som finns i Trainplan) så används inte den eplicita besrivning som ges i Figur ovan. I stället använder man fyra olia scenarier för att beräna 6

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 alternativa värden på ourney time där tåget har antingen full fart in till linesträcan/ blocet eller från stillaståe start på blocet resp. att tåget lämnar blocet med full fart ut eller som stillaståe. Stillaståe representeras med värdet 0 och full fart in/ut med värdet. Ett tågs minsta möliga ourney time för ett visst bloc ser då tåget har full fart in och full fart ut från blocet, vilet representeras av. Från stillaståe till stillaståe anges då som 0 0. Dessutom tillommer för vare av de fyra scenarierna ett värde på approach resp. clearance time. Dessa fyra alternativa scenarier allas timings loads, TLD. Oberoe av TLD tillommer fyra olia ompensationsvärden; engineering allowance, pathing allowance, performance allowance samt adustment. Utöver approach resp. clearance time som beror på resp. TLD (dvs. tågets örprofil) så tillommer ett statist värde på blocets approach resp. clearance time (s networ lin approach och clearance time). Körtider mm för tåglägen anges doc ast på detta sätt för linesträcor (ativiteten benämns då i Trainplan som Train movement, TMV) medan tider för ativitet inne på stationssträcorna (Train stop, TSP) inte finns representerade alls utan anges som 0 seunder. Undantaget gäller då tåget har ett planerat s ommersiellt uppehåll då tiden som anges är den tid som rävs för att genomföra en viss ativitet såsom trafiutbyten (släppa av och på passagerare), sammanfoga/oppla från tågset, byta lo mm snarare än tiden det tar för tåget att färdas en viss tågväg genom stationen. Tågens två olia ativitetstyper, TSP samt TMV, har en starttid och en sluttid, och om tiden däremellan är större än den tid som beränas för att traversera blocet/genomföra stationsativiteter som planerat, så blir resterande tid en buffert som an användas för att hämta in en eventuell försening. Notera doc att ett tåg inte an lämna en station tidigare än en eventuell annonserad avgångstid för påstigande passagerare. Ett tåg an alltså ha tid inplanerad på en station för eempelvis ett s.. tidtabellstenist möte/förbigång men om mötet/förbigången inte an genomföras som planerat så behöver tågen inte göra något uppehåll på stationen. Trainplan innehåller även information om relationer mellan tåg som har en gemensam ativitet såsom passagerarutbyten och en sådan relation benämns Train association, TAS. Vad som ser inne på stationer och bangårdar behandlas doc i mer detal vid viss tidtabellsläggning, se eempelvis (Billionet, 2003), (Carey, 994), (Carey och Carville, 2003) samt (Kroon et.al., 997). 5 Proetets modeller och algoritmer I ett omplaneringssede an marginaler vara vitiga och vissa tågvägar an vara mer tidsonsumerande än andra och bör tas hänsyn till. Därför har vi valt att studera hur dessa delar av infrastruturen an modelleras i mer detal och inom OAT+ har vi fouserat på att studera vila förutsättningar och restritioner som gäller för den delen av det svensa ärnvägsnätet som STEG-proetet fouserar på, se Figur 3. Vi har tagit del av material från STEG-proetet och disuterat med proetdeltagare och trafiledare i Norröping. Vi har även tagit del av doumentation gällande Trainplan samt försrifter för tidtabellsplanering (främst TF60). Utifrån det har vi vidareutveclat optimeringsmodellen som besrivs i slutrapporten för OAT-proetet, www.bth.se/te/oat. Merparten av de parametervärden som rävs för att tillämpa modellen sanas doc (det finns ingen omplett indata hos Banveret ännu, något som även påpeas i materialet från STEG-proetet). Som disuterats tidigare i rapporten är det inte säert att alla de villor som tillommit är 7

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 nödvändiga att eplicit inludera men eftersom det i nuläget sanas information för att utvärdera detta så har vi valt att inte inludera alla vid utveclingen och tillämpningen av vår lösningsmetod (dvs. vår any-time algoritm) utan ast de mest väsentliga. 5. Terminologi Vi har använt en terminologi och nätversmodell där ett segment är en sträca från en punt till en annan och an vara en station (anges som station section i Figur 2) lisom en sträca mellan två stationer (anges som line section). Vad som arateriserar ett segment är att det består av ett eller flera parallella spår (anges som trac). Vare spår an vara uppdelat i ett eller flera blocsträcor Ett tågs traverseringstid på ett segment allas event. När ett tåg lämnar ett segment (dvs. avslutar den event) så påbörar tåget omedelbart ett annat segment (dvs. påbörar en annan event). Trac Trac Trac Trac 2 Trac 3 Bloc a Bloc b Bloc c Bloc d Trac Trac 2 Trac 2 Trac 2 Station section A Line section I Line section II Station section B Figur 2. Vår nätversmodell. 5.2 Modellering av ärnvägstrafi på linesträcor Utöver de villor som besrivits i OATs slutrapport så har vi två tillägg gällande restritioner för trafi på linesträcorna. Dessa tillägg beror på Banverets datastruturer för den tidtabellsdata som finns i Trainplan och som vi huvudsaligen bruat under proetet. När ett tåg har två diret efterfölande TMV måste tåget använda samma spår på båda linesträcorna. Detta blir atuellt för enelspårsträcorna Tystaberg-Sösa, Ålberga- Kolmården samt dubbelspårsträcan Åby-Norröping och beror på att linesträcan är indelad i två blocsträcor utan väel emellan och anges som ensilda resurser i Trainplan. Det rävs doc bara villor då det ser på dubbelspår: i T, & ( + ) K,, ˆ B, L,( + ) L ˆ, t P : = TMV & ( + ) = TMV & p = p ˆ & p > q t q +, t i = 5. På sträcan Katrineholm-Strångsö-Simonstorp-Åby finns det även mer än en blocsträca per linesträca men de anges inte som separata resurser i Trainplan och måste då hanteras lite annorlunda än alla andra linesträcor. För dessa finns därför en s headway angiven för tåg i samma ritning (i TF60 används en headway på tre minuter). För vila situationer 8

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 som villoren GV9-GV2 i OATs slutrapport då gäller måste revideras och inte inludera de där headway-villoren sa tillämpas (se villor 8.0 och 8. i Bilaga ). Parametern dir anger ritningen för tåget i det läget och nrb anger antalet blocsträcor som segmentet innehåller. H är parametern som anger hur stort värde på headway som är atuellt. ˆ ˆ Hγ M γ ) B,, ˆ L : < ˆ & dir = dirˆ & nrb > 5.2 ( Hγ M γ ) B,, ˆ L : < ˆ & dir = dirˆ & nrb > 5.3 ( Hλ M λ ) B,, ˆ L : < ˆ & dir = dirˆ & nrb > 5.4 ˆ ( Hλ M λ ) B,, ˆ L : < ˆ & dir = dirˆ & nrb > 5.5 ˆ ( 5.3 Modellering av ärnvägstrafi på stationer Den enelspåriga delsträcan Åby-Järna samt den dubbelspåriga delsträcan Norröping- Katrineholm ingår i STEG-proetet och på dessa två delsträcor finns i huvudsa fem olia typer av stationer, se nedan. Figur 3. Del av det svensa ärnvägsnätet som modelleras el. svartmarerade delar och Norröpings station. Tågrörelserna genom dessa typer av stationer och de restritioner som finns för att separera tågen behöver därför modelleras på olia sätt. Vi ommer nedan att gå igenom och föreslå en matematis modell över de fem stationstyper och de anges med stigande ompleitet. Vi har huvudsaligen utgått ifrån doument från STEG-proetet (doumentet 2 anges fortsättningsvis som STEG-rapporten) samt haft ontat med framför allt Jörgen Hwargård, 2 Förstudierapport BT 0506 2005 5 ifrån STEG, Jörgen Hwargård. 9

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Banveret, för att få mer information om stationernas begränsningar och hur de används i tågtrafien. Vi utgår ifrån eisterande modeller som vi har utveclat inom OAT(+) (www.bth.se/te/oatplus) och förfinat dessa för att inludera en öad detalnivå för vissa stationer. I STEG-rapporten presenteras relationer mellan olia tågvägar för en station i en matris. Vi har valt att använda en linande representation men modifierat den för att eplicit unna se vila spår som nyttas och hur dessa regleras av våra matematisa villor i olia situationer. Fölande villor för resp. station är tillägg till redan definierade grundläggande villor, se Bilaga, för att inludera vissa detaler i högre grad än tidigare som an ha en märbar effet i vissa omplaneringsscenarier. För vissa stationer är det nödvändigt att separera infarter och även utfarter. Vi introducerar därför de binära variablerna in ˆ och out ˆ. in ˆ syftar till att separera två tågs infart till angiven station och där tåg inommer först medför att in ˆ =. out ˆ fungerar på samma sätt fast syftar till att separera utfarter. För enelhetens sull använder vi i denna besrivning även två parametrar för att avgöra vilet håll tåget för event ommer ifrån ( dir ) samt åt vilet håll det sa ( dir ). Parametern används ofta för att representera tid för clearance av blocsträcor och tågvägar i onflit för segment i olia situationer men i pratien an det rävas en parameter för samtidiga infarter och en annan för samtidig infart/utfart och beroe på vila spår som används men vi har inte särsilt dessa här då värdena inte är ända ännu. Notera även att det finns andra relationer som ocså behöver separeras än de som uttrycligen besrivs men de täcs då redan av andra villor för t e närliggande linesträcor.. ESIK/ESIL - Enelspårsstation som tillåter samtidig infart in out Kon 42 2 34 32 Gtå 2 33 3 4 22 Åby Figur 4. Getå station 3. Inga ytterligare villor utöver de som nämns i Bilaga rävs för att separera tågrörelser genom en ESIK/ESIL-station förutsatt att längden på stationsspåren är tillräcligt långa för respetive tåg. Om spåren är för orta för t e vissa godståg hanteras detta genom att man infogar en längre clear time för tåget som ompenserar att spåret används delvis simultant som ytterligare spår vid in- och utfart. 3 Ecel filen Testdata tågvägar mm MK, STEG. 0

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 2. Enelspårsstation som e tillåter samtidig infart eller samtidig infart/utfart N 4 35 Ns Ssa 42 2 34 32 36 5 6 33 7 3 4 22 Ebg Figur 5. Nyöping station 2. Eempel på en sådan station är Nyöping och som alltså inte tillåter samtidig infart eller samtidig infart/utfart medan samtidiga utfarter (åt olia håll naturligtvis) är tillåtet. Eftersom villor som hanterar enelspårsdriften in till och ut från Nyöping redan besrivits i tidigare doument inom OAT så är det ast villor för att separera samtidigt infart/utfart för tåg åt samma håll samt samtidiga infarter ifrån olia håll (förutsatt att gällande release times är snarlia, annars måste vissa ytterligare villor som för Åby nedan inluderas). Separerar samtidig infart från olia håll: ˆ in in in K( in ), ˆ L, = N : < ˆ, dir dir 5.6 * ˆ ( in K ) * in, ˆ L, = N : < ˆ, dir dir 5.7 Separerar samtidig infart/utfart när tågen ommer ifrån/sa åt samma håll: out in ˆ * ( γ K ) γ, L, = N : < dir dir ˆ ˆ ( ) * λ Kλ in ˆ in ˆ ˆ ˆ, 5.8, ˆ L, = N : < ˆ, dir dir 5.9 λ + in, ˆ L, = N : < ˆ 5.0 γ in, ˆ L, = N : < ˆ 5. ˆ ˆ out in ˆ 3. Strångsö (Stö) De specialrestritioner som råder på Stö beror dels på att det sanas en fysis län mellan vissa spår in på/ut från Stö som vi an se i figuren nedan, dels är vissa tågvägar i onflit såsom 2-3 6-4. De villor som behövs för att modellera dessa restritioner är:

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Stö K N U 2 3 72 62 5 2 42 32 63 3 4 52 6 7 22 N Smt U 34 Figur 6. Strångsö station 4. Fysisa begränsningar gällande otillåtna tågvägar (U-spår anges som spår, och N-spår som spår 2 ): q, ( + ) K, i T, L : Stö 5.2 + q +,3 i = q, ( + ) K, i T,( + ) L : Stö 5.3 + q +,3 i = För samtliga tåg gäller att deras infarter måste separeras i tid såvida inget av tågen anländer spår 3 på Stö: * in K( in ) K( q + q ), ˆ L, = Stö : < ˆ 5.4 ˆ 3 ˆ3 ( in ) K * in K( q + q ), ˆ L, = Stö : < ˆ 5.5 ˆ 3 ˆ3 Utfarter åt samma håll måste separeras i tid såvida inget av tågen ommer ifrån spår 3 på Stö: ˆ * out K( out ) K( q + q ˆ 3 ( out ) K * out K( q + q 3 ˆ3 ˆ3 ) ), ˆ L, = Stö : < ˆ, dir = dir 5.6 out out out ˆ, ˆ L, = Stö : < ˆ, dir = dir 5.7 out ˆ Infart/Utfart för tåg åt samma håll måste separeras i tid såvida inget av tågen ommer ifrån spår 3 på Stö eller att det senare avgåe tåget ommer ifrån spår 2: out in ˆ * ( γ ˆ ) Kγ ˆ K( q3 + q 2 + q ), ˆ L ˆ3, = Stö : < ˆ, dir dir ˆ 5.8 out in ( λ ) Kλ K( q + q + q ), ˆ L, = Stö : < ˆ, dir dir 5.9 ˆ * ˆ3 ˆ2 3 Infart/Utfart för tåg åt olia håll måste separeras i tid såvida inget av tågen använder spår 3 på Stö: out in * ( γ ) Kγ K( q + q ), ˆ L, = Stö : < ˆ, dir = dir 5.20 ˆ 3 ˆ3 ˆ * ( λ ˆ ) Kλ ˆ K( q + q3) ˆ3, ˆ L, = Stö : < ˆ, dir = dir 5.2 out ˆ in ˆ ˆ 4 Ecel filen Testdata tågvägar mm MK, STEG. 2

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 λ + in, ˆ L, = Stö : < ˆ 5.22 λ + out, ˆ L, = Stö : < ˆ 5.23 γ in, ˆ L, = Stö : < ˆ 5.24 ˆ ˆ γ out, ˆ L, = Stö : < ˆ 5.25 ˆ ˆ 4. Simonstorp Smt N Stö U 2 72 5 42 62 32 2 3 4 52 6 7 22 N Åby U Figur 7. Simonstorp station 5. 34 bv-s Fysisa begränsningar gällande otillåtna tågvägar (U-spår anges som spår, och N-spår som spår 2 ). Vi hänvisar till spåret bv-s som spår 3.: q, ( + ) K, i T, L : Smt 5.26 + q +,2 i = q, ( + ) K, i T,( + ) L : Smt 5.27 + q +,2 i = q 3 = 0, ( + ) Ki, i T, L,( + ) L : = Smt, ˆ ˆ = Smt Åby 5.28 q 0, ( + ) K, i T, L,( + ) L : = Smt Åby, ˆ ˆ Smt 5.29 +,3 = i = Om tåg B sa förbigå tåg A där tåg A ommer in på N-spåret till spår 2 och tåg B ommer in på U- spåret och båda sa ut på N-spåret fast i omvänd ordning så är tåg A:s infart i onflit med tåg B:s utfart pga. för ort syddsavstånd 6. io ˆ är binär och avgör huruvida villor som syftar till att separera ett tågs infart till Smt från ett annat tågs utfart sa vara ativt (=) eller inte (=0): q + q + + io, ( + ) K, i T,, ˆ L : = Smt, < ˆ 5.30,2 q ˆ + q + io ˆ ˆ +,2 ˆ i ˆ,( ˆ + ) K, i T,, ˆ L : = Smt, < ˆ 5.3 i out out ( γ ) Kγ K( io ), ˆ L, = Smt : < ˆ, dir = dir 5.32 * * ( λ ˆ ) Kλ ˆ K( io ˆ ), ˆ L, = Smt : < ˆ, dir = dir 5.33 out ˆ out ˆ 5 Ecel filen Testdata tågvägar mm MK, STEG. 6 Se s. 2 i STEG rapporten. 3

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 5. Åby Åby utgör en förgrening/sammanslutning av de båda delsträcorna och fortsättningen på Södra stambanan söder ut mot Norröping (Nr) och vidare ner mot Malmö. Gtå N 74 2 72 23 62 Åby 3 Bra 35 3 4 52 N 33 Smt U 42 5 32 34 2 6 22 7 U Nr Figur 8a. Åby station/trafiplats 7. Smt N U 72 42 74 2 5 Gtå 23 4 32 62 Åby 2 2 34 2 4 3 3 4 Figur 8b. Modell av Åby station. Den strecade gröna linen visar att tåg ifrån/till Getå an nå spår 2/4 medan tåg ommande ifrån Smt på N-spåret bara an nå spår 4 den vägen och spår 2 bara via U-spåret, dvs. den heldragna gröna linen. Vi har valt att representera spår 2 på Åby och dess utfartsvägar mot Simonstorp (Smt) genom att ha två olia resurser (som naturligtvis doc e an användas simultant). Sälet till detta är att utfarten från Åby spår 2 till U och N-spåret mot Smt och dess villor för tågvägar är omplicerade. Det finns en mängd parvisa relationer mellan tågvägar som är tillåtna i sig men som e an eistera tillsammans med andra par och att uttryca vila parvisa relationer som e an sameistera blir onödigt omplet. Istället väler vi att (i vår modell) dela upp spår 2 i två olia resurser där det modifierade spår 2 (SP2) utgörs av den gröna linen som förbinder spår 2 på Åby med U-spåret mot Smt och vidare upp mot N- spåret via den vänstra linen. Det fitiva nya spåret 4 (SP4) löper sedan parallellt med SP2 fram tills den övre förbindelselinen med N-spåret mot Smt börar. Då får man en eplicit alloering av tågväg ut från det verliga spår 2 eftersom SP4 bara förbinder N-spåret och är 33 6 35 Bra 52 22 7 N U Nr 7 Ecel filen Testdata tågvägar mm MK, STEG. 4

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 i onflit med tågvägen ifrån/till Getå. SP2 är således strit i onflit med tågväg ut ifrån spår mot Smt. Tidigare hade vi eempelvis tre parvis tillåtna tågvägsrelationerna: A. 23-3--34-72 (i pratien via den vänstra förbindelsen med N-spåret men det specificeras inte) B. 23-3--32-42 (via spår ) C. 32-42--34-72 (i pratien via den högra förbindelsen med N-spåret, annars orsande tågväg, men det specificeras inte) Däremot an inte 23-3, 32-42 och 34-72 eistera samtidigt då den senare i pratien/implicit måste väla en fysis väg som antingen orsar den första eller andra men vilen väg som väls anges inte eplicit och an därför inte hanteras av den matematisa modell vi använder som bygger på parvisa relationer mellan tåg. Med den nya modellen av Åby an vi doc alloera eplicit utfartsväg och då tillämpa vår matematisa representation även på Åby station. Resultatet blir då fölande för eemplet ovan: A. 23-3--34-72 (via SP2 eller SP4, men SP4 i onflit med infart från Getå) B. 23-3--32-42 (via SP) C. 32-42 (via SP)--34-72 (via SP4 eller SP2, men SP2 i onflit med utfart från SP) Vi ser då att ast en av A)-C) an eistera åt gången om vi samtidigt specificerar de begränsningar som gäller. Vi ompletterar våra villor i vår MILP-modell (Mied- Integer Linear Program) och anger att; SP2 och SP4 an inte nyttas samtidigt: q t + q + q + q + t ˆ ˆ( t+ 2) ( t+ 2) λ + γ, ˆ L, t = 2, = Åby : < ˆ 5.34 vissa spårförbindelser inte är fysist möliga: Då, ( + ) K, i T, L,( + ) L : i ˆ q 3 + q +, = Åby, ˆ = SmtÅby 5.35 q 4 + q +, = Åby, ˆ = SmtÅby 5.36 q +,3 + q, = SmtÅby, ˆ = Åby 5.37 q +,4 + q, = SmtÅby, ˆ = Åby 5.38 q 0 = ÅbyGetå, ˆ = Åby 5.39 +, = q 0 = Åby, ˆ = ÅbyGetå 5.40, = För Åby och segmentet mellan Åby och Smt finns alltså två förbudna par; (3,) samt (4,), dvs. från spår 3 och 4 på Åby an man e nå U-spåret mot Smt. För förbindelser mellan Getå och Åby (dvs. ĵ=åbygetå) gäller (,) men eftersom segmentet ast har ett spår (och således ingen variabel q (+)t ) så blir villoret för t={} istället q = 0. t 5

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Vi har valt att även här benämna U-spår och N-spår på segment mellan stationer som spår resp. spår 2. Vila tågvägar ut från/in på station som är i onflit och måste separeras i tid (t e ut från/in mot SP och SP2 mot Smt är i onflit lisom ut från/in mot SP3 och SP4) måste specificeras för stationen som helhet inl. spår 4. Vi har, i lihet med STEG, valt att använda matriser för att illustrera vila onfliter som finns mellan olia tågvägar och som inte regleras av tidigare villor utan som måste definieras. Vi har ett antal olia relationer beroe på var tågen ommer ifrån och sa till och huruvida de separeras (vice versa mellan A och B listas e här men måste givetvis även formuleras och specificeras). Vi beatar dessa utifrån om tågen har samma eller olia ritning. Helmöra (larröda och svarta) fält i matrisen innebär att motsvarande relationer är förbudna av olia säl och hanteras av redan eisterande villor. Suggade fält med angivna tågvägar är onfliter medan vita fält med angivna tågvägar är tillåtna relationer. Vi har ett antal variabler för tågrörelserna genom Åby; in ˆ är binär och avgör huruvida ett villor som syftar till att separera två tågs infart till Åby sa vara ativt (=) eller inte (=0). io ˆ är binär och avgör huruvida ett villor som syftar till att separera ett tågs infart till Åby från ett annat tågs utfart sa vara ativt (=) eller inte (=0). out ˆ är binär och avgör huruvida ett villor som syftar till att separera två tågs utfart till Åby sa vara ativt (=) eller inte (=0). ˆ är binär och avgör om tåget associerat med event sa anomma Åby före tåget associerat med (=) eller vice versa (=0). Betydelsen av variabelns värde är irrelevant då in ˆ = 0. Den sa inte förvälas med och. y ˆ är binär och avgör om tåget associerat med sa avgå från Åby före tåget associerat med (=) eller vice versa (=0). Betydelsen av variabelns värde är irrelevant då out ˆ = 0. λ och γ syftar, precis som tidigare, till att separera tågen och vid värdet ommer det ˆ ˆ ena tåget både anomma och lämna stationen innan nästa tåg anommer. Vi använder ovannämnda variabler i villoren för onflihanteringen vid infarter och utfarter. Vila värden variablerna sedan ommer att anta beror på resp. relationen mellan tågen och anges därför specifit för vare typ av infarts-/utfartsrelation. Alla relationer behöver inte samtliga variabler, men dessa fall besrivs inte eplicit utan det är underförstått för de relationer där resp. villor inte är atuella, t e som för utfarter åt olia håll behöver tågvägarna inte hanteras mer än om det finns diret onfliter och då hanteras detta av redan definierade villor och variabler. 6

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Då, ˆ L : = Åby & < ˆ gäller att : ˆ ˆ ˆ K ) K( in ) 5.4 ˆ ( ) K K( in ) 5.42 ˆ ( ( γ ) Kγ K( io ) 5.43 ( λ ) Kλ K( io ) 5.44 y K y ) K( out ) 5.45 ˆ ( y ) Ky K( out ) 5.46 ˆ ˆ ( γ 5.47 γ 5.48 ˆ y ˆ λ 5.49 ˆ + ˆ λ + y 5.50 in, io ˆ, out ˆ ( λ ˆ + γ ˆ ) 5.5 Tåg i och î med infart från Nr Från spår 2 2 2 Till spår 2 3 2232 5234 2232 5262 2 5232 2234 5232 2262 2234 5232 2232 5262 2 2 5234 2232 5234 2262 2262 5232 2262 5234 3 2 5262 2232 5262 2234 Tabell 2. Båda tågen har infart från höger (Nr). Om något av tågen ommer från spår 2 (N-spåret) in på spår 3 så är tågvägarna inte i onflit men om ingen använder spår 3 eller någon använder spår 3 ommande från spår så måste rörelserna separeras i tid. Se villor nedan. I tabellen har vi sammanfogat spår 2 och 4 eftersom det inte påverar villoret. Då ) & K,( ˆ ) & ˆ K, i & iˆ T,( ) & ( ˆ ) L, & ˆ ˆ L : < ( i i ( q + in = NrÅby, = Åby 5.52 q 3) + ( q ) ˆ3 3 q( ) + 3 + in = NrÅby, = Åby 5.53 q ˆ + q + in ( ˆ ) = NrÅby, = Åby 5.54 ˆ 7

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Tåg i och î med infart från Smt/Getå Från spår 2 2 Getå 2 Getå 2 Getå Till spår 2 4 3 56 233 56 2333 56 233 56 2333 56 23 56 233 2 26 533 26 2333 26 2333 26 233 GTÅ 533 26 533 23 533 233 2 2 233 56 233 233 GTÅ 2333 56 2333 26 2333 23 2 4 233 56 233 233 GTÅ 2333 56 2333 26 2333 23 2 3 23 56 23 533 23 2333 23 2333 GTÅ 233 56 233 26 233 533 233 233 233 233 Tabell 3. Båda tågen har infart från vänster (Smt eller Getå). Om ett tåg använder spår 3 och det andra spår eller 2 på stationen så är tågvägarna inte i onflit, men om ingen använder spår 3 eller någon använder spår 3 och den andra spår 4 (eller ommer ifrån Getå) så måste rörelserna separeras i tid. Se villor nedan. Då ) & K,( ˆ ) & ˆ K, i & iˆ T,( ) L,( ˆ ) L, & ˆ ˆ L : < ( i i 2 ( q + in, 2 = SmtÅby / GetåÅby, = Åby 5.55 3) + ( q ) ˆ3 q3 + q + in ˆ4, 2 = SmtÅby / GetåÅby, = Åby 5.56 q ˆ + q 4 + in 3, 2 = SmtÅby / GetåÅby, = Åby 5.57 q3 in ˆ = SmtÅby, 2 = GetåÅby, = Åby 5.58 q ˆ in ˆ 2 = SmtÅby, = GetåÅby, = Åby 5.59 3 ˆ Tåg i och î med utfart mot Nr Från spår 2 3 Till spår 2 2 2 2 3 67 334 67 34 2 64 337 64 37 337 64 337 34 2 334 67 334 37 37 64 37 334 2 34 67 34 337 Tabell 4. Båda tågen har utfart mot höger (Nr). Om något av tågen ommer från spår 3 och ut på spår 2 (Nspåret) så är tågvägarna inte i onflit men om ingen använder spår 3 eller någon använder spår 3 för att öra ut på spår så måste rörelserna separeras i tid. Se villor nedan. I tabellen har vi sammanfogat spår 2 och 4 eftersom det inte påverar villoret. Då & ( + ) Ki, ˆ & ( ˆ + ) K, i & iˆ T, & ˆ L,( ) & ( ˆ ) L : ˆ iˆ + + < ( q + out = Åby, = ÅbyNr 5.60 3) + ( q ) ˆ3 q3 + q( + ) + out = Åby, = ÅbyNr 5.6 q q ˆ + out ˆ = Åby, = ÅbyNr 5.62 3 ( + ) 8

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Tåg i och î med utfart mot Smt/Getå Från spår 2 4 3 2 4 3 Till spår 2 2 GTÅ 2 GTÅ 2 GTÅ 3242 3472 3242 3474 3242 3472 3242 3474 3242 6272 3242 6274 2 3272 3442 3272 3474 3272 3474 3272 6274 GTÅ 3442 3272 3442 6272 3442 6274 2 3472 3242 3472 6274 GTÅ 3474 3242 3474 3272 3474 6272 2 3472 3242 3472 6274 GTÅ 3474 3242 3474 3272 3474 6272 2 6272 3242 6272 3442 6272 3474 6272 3474 GTÅ 6274 3242 6274 3272 6274 3442 6274 3472 6274 3472 Tabell 5. Båda tågen har utfart mot vänster (Smt eller Getå). Om båda tågen använder något av spåren och 2 (men inget sa mot Getå) samtidigt eller av spåren 3 och 4 samtidigt så måste rörelserna separeras i tid. Om ett av tågen sa mot Getå medan andra tåget sa mot spår 2 via spår 2, så sa tågen ocså separeras. Se villor nedan. Då ( + ) K, ˆ & ( ˆ + ) K, i & iˆ T, & ˆ L,( + ) L,( ˆ + ) L : ˆ gäller att: & i iˆ 2 < q3 + q + q 4 + q + out ˆ3 ˆ4 = Åby,, 2 = ÅbySmt / ÅbyGetå 5.63 q + q + q 2 + q + out ˆ ˆ2 = Åby,, 2 = ÅbySmt 5.64 q3 out ˆ = Åby, = ÅbySmt, 2 = ÅbyGetå 5.65 q ˆ out ˆ = Åby, 2 = ÅbySmt, = ÅbyGetå 5.66 3 Tåg i infart från Smt/Getå och tåg î med utfart mot Nr Från spår 2 4 3 Till spår 2 2 2 2 56 337 56 334 56 337 56 334 56 37 56 34 2 26 337 26 334 26 337 26 334 26 37 26 34 GTÅ 533 67 533 64 533 37 533 34 2 2 233 67 233 64 233 37 233 34 GTÅ 2333 67 2333 64 2333 37 2333 34 2 4 233 67 233 64 233 37 233 34 GTÅ 2333 67 2333 64 2333 37 2333 34 2 3 23 67 23 64 23 337 23 334 23 337 23 334 GTÅ 233 67 233 64 233 337 233 334 233 337 233 334 Tabell 6. Tåg associerad med event med infart från Smt/Getå och från höger (Nr). Om inget av tågen använder spår 3 eller om tåg använder spår 3 samtidigt som tåg sa ut på spår 2, så måste tågvägarna separeras i tid. Se villor nedan. Då ) & K, ˆ & ( ˆ + ) K, i & iˆ T, & ˆ L,( ) L ( ˆ + ) L : ˆ gäller att: ( i iˆ, < ( q + q + io = GetåÅby / SmtÅby, = Åby, = ÅbyNr 5.67 3) ( ) ˆ3 q 3 + q + io ( ˆ + )2 = GetåÅby / SmtÅby, = Åby, = ÅbyNr 5.68 9

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Det omvända förhållandet sa på linande sätt även modelleras, dvs. om tåg î har infart från Smt/Getå och tåg i har utfart mot Nr. Tåg i med utfart mot Smt/Getå och tåg î infart från Nr Från spår 2 2 2 2 Till spår 2 4 3 3242 2234 3242 5234 3242 2234 3242 5234 3242 2262 3242 5262 2 3272 2234 3272 5234 3272 2234 3272 5234 3272 2262 3272 5262 GTÅ 3442 2232 3442 5232 3442 2262 3442 5262 2 2 3472 2232 3472 5232 3472 2262 3472 5262 GTÅ 3474 2232 3474 5232 3474 2262 3474 5262 4 2 3472 2232 3472 5232 3472 2262 3472 5262 GTÅ 3474 2232 3474 5232 3474 2262 3474 5262 3 2 6272 2232 6272 5232 6272 2234 6272 5234 6272 2234 6272 5234 GTÅ 6274 2232 6274 5232 6274 2234 6274 5234 6274 2234 6274 5234 Tabell 7. Tågen är i onflit om tåg i sa mot Getå samtidigt som tåg î använder spår 3 eller då tåg i använder spår 2 i ritning mot Smt samtidigt som tåg î använder spår. Då ( ˆ ) & ˆ K,( + ) & K, i & iˆ T, & ˆ L,( ˆ ) L & ( + ) L,: ˆ : i ˆ i < q 2 + q + io ˆ = NrÅby, = Åby, = ÅbySmt / ÅbyGetå 5.69 q io, = NrÅby, = Åby, = ÅbyGetå 5.70 ˆ 3 Det omvända förhållandet sa på linande sätt även modelleras. Tåg i med infart från Smt/Getå och tåg î infart från Nr Från spår 2 2 2 2 Till spår 2 4 3 56 2234 56 5234 56 2234 56 5234 56 2262 56 5262 2 26 2234 26 5234 26 2234 26 5234 26 2262 26 5262 GTÅ 533 2232 533 5232 533 2262 533 5262 2 2 233 2232 233 5232 233 2262 233 5262 GTÅ 2333 2232 2333 5232 2333 2262 2333 5262 2 4 233 2232 233 5232 233 2262 233 5262 GTÅ 2333 2232 2333 5232 2333 2262 2333 5262 2 3 23 2232 23 5232 23 2234 23 5234 23 2234 23 5234 GTÅ 233 2232 233 5232 233 2234 233 5234 233 2234 233 5234 Tabell 8. Tågen har infart från olia håll, dvs. från vänster (Smt eller Getå) eller från höger (Nr). Om inget av tågen använder spår 3, eller om tåg î e använder spår 3 ommande ifrån spår 2 samt då tåg î använder spår 3 och tåg i ommer från Getå så måste infarterna separeras i tid. Se villor nedan. 20

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Då ) & K,( ˆ ) & ˆ K, i & iˆ T,( ) L,( ˆ ) L, & ˆ ˆ L : < ( i i 2 ˆ ( q + q + in = SmtÅby / GetåÅby, 2 = NrÅby, = Åby 5.7 3) ( ) ˆ3 ( q + in 3 ˆ ) + q 3 ( ˆ )2 = SmtÅby / GetåÅby, 2 = NrÅby, = Åby 5.72 q ˆ in = GetåÅby, 2 = NrÅby, = Åby 5.73 Det omvända förhållandet sa på linande sätt även modelleras. Tåg i infart från Smt/Getå och tåg î med utfart mot Smt/Getå Från spår 2 4 3 Till spår 2 2 Getå 2 GTÅ 2 GTÅ 56 3472 56 3474 56 3472 56 3474 56 5262 56 6274 2 26 3442 26 3474 26 3474 26 6274 GTÅ 533 3272 533 5262 533 6274 2 2 233 3242 233 6274 GTÅ 2333 3242 2333 3272 2333 5262 2 4 233 3242 233 6274 GTÅ 2333 3242 2333 3272 2333 5262 2 3 23 3242 23 3442 23 3474 23 3474 GTÅ 233 3242 233 3272 233 3442 233 3472 233 3472 Tabell 9. Då ( ) & K,( ˆ + ) & ˆ K, i & iˆ T, & ˆ L,( ) L & ( ˆ + ) L,: ˆ : gäller att: i iˆ < q ˆ + q + q 3 + q 4 + io 3 ˆ4 = SmtÅby / GetåÅby, = Åby, = ÅbySmt / ÅbyGetå 5.74 q ˆ + q + q + q 2 + io ˆ2 = SmtÅby, = Åby, = ÅbySmt 5.75 q3 io ˆ = SmtÅby, = Åby, = ÅbyGetå 5.76 q ˆ io ˆ = GetåÅby, = Åby, = ÅbySmt 5.77 3 Det omvända förhållandet sa på linande sätt även modelleras. Tåg i infart från Nr och tåg î med utfart mot Nr Från spår 2 3 Till spår 2 2 2 2232 334 2232 34 2 5232 337 5232 37 2234 64 2234 34 2 2 5234 67 5234 37 2262 64 2262 334 3 2 5262 676 5262 337 Tabell 0. Samma restritioner som för samtidiga utfarter mot Nr gäller här, dvs. om något av tågen använder spår 3 och in/ut från spår 2 (N-spåret) så är tågvägarna inte i onflit men om ingen använder spår 3 eller någon använder spår 3 från/till spår så måste rörelserna separeras i tid. Se villor nedan. I tabellen har vi sammanfogat spår 2 och 4 eftersom det inte påverar villoren. 2

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Då ( ) & K,( ˆ + ) & ˆ K, i & iˆ T, & ˆ L,( ) L & ( ˆ + ) L,: ˆ : gäller att: i iˆ < ( q + q + io = NrÅby, = Åby, = ÅbyNr 5.78 q 3) ( ) ˆ3 3 q( ) + 3 + io = NrÅby, = Åby, = ÅbyNr 5.79 q ˆ + q + io ( ˆ + ) = NrÅby, = Åby, = ÅbyNr 5.80 Det omvända förhållandet sa på linande sätt även modelleras. Tåg i utfart mot Smt/Getå och tåg î med utfart mot Nr Från spår 2 4 3 2 4 3 Till spår 2 2 2 2 3242 337 3242 334 3242 337 3242 334 3242 37 3242 34 2 3272 337 3272 334 3272 337 3272 334 3272 37 3272 34 GTÅ 3442 67 3442 64 3442 37 3442 34 2 3472 67 3472 64 3474 37 3474 34 GTÅ 2 3472 67 3472 64 3474 37 3474 34 GTÅ 3474 67 3474 64 3474 37 3474 34 2 6272 67 6272 64 6272 337 6272 334 6272 337 6272 334 GTÅ 6274 67 6274 64 6274 337 6274 334 6274 337 6274 334 Tabell. Samtidiga utfarter åt olia håll är tillåtna för Åby. Samtidiga utfarter åt olia håll (mot Smt/Getå resp. Nr) är tillåtna och behöver e separeras. Villoren har modellerats i AMPL, använts i beräningar med CPLEX och validerats både visuellt och numerist. Vila värden på Δ som är atuella i pratien är olart men i STEGrapporten nämns 90 seunder som är ett standardvärde för den s.. stoppanmälanstiden 8. I samma rapport anges det doc att i vissa relationer an värdet vara större eller mindre men de eata värdena har vi ingen unsap om i nuläget och det finns inte heller ännu artlagt och doumenterat hos BV vad vi vet. 5.4 Metodutvecling en Greedy -algoritm En s greedy algoritm är en sorts heuristi. Det centrala för heuristier är att de tillämpar (Reeves, 995): a technique which sees good (i.e. near-optimal) solutions at a reasonable 8 Steg rapporten s. 26. 22

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 computational cost without being able to guarantee either feasibility or optimality, or even in many cases state how close to optimality a particular feasible solution is. Poängen är alltså att hitta en tillräcligt god lösning på relativt ort tid doc till beostnad av att algoritmen an missa den optimala lösningen. Vissa heuristier, såsom Greedy loalsöning (eng. Greedy local search, se (Pardalos and Rese, 2002) för mer information) an för vissa problem ha svårt att utföra en tillräcligt bra och omfattande söning och fastna i s loala optimum och inte ommer vidare. En meta-heuristi, vilen är en strategi som guidar andra heuristier genom att tillämpa olia typer av regler och rutiner för att undvia detta problem (Glover and Laguna, 997), an därför vara mer effetiv. Eempel på meta-heuristier är Tabu Search och Simulated Annealing, där den sistnämnda tillämpar slumpmässighet och accepterar vissa tillfälliga försämringar av lösningen för att undvia att fasta i loala optimum. Som besrivits tidigare så är syftet med att utvecla en optimeringsalgoritm som omplement till att tillämpa muvara såsom CPLEX, att säerställa att vi dels alltid hittar en giltig lösning, dels att vi hittar en tillräcligt god lösning inom relativt ort tid (inom 30 seunder) och oberoe av vilen typ av störningssituation som uppträder. Algoritmen tar hänsyn till de restritioner som motsvarar de som specificeras av villor 5.-5.5, 5.2,5.3, 5.26-5.29, 5.35-5.40 samt villoren i Bilaga. För samtliga linesträcor har vi antagit Δ = 0 s och för stationssträcor Δ = 30 s. Värdet på H är tre minuter. Algoritmen söer iterativt efter nästa event att eevera utav den mängd events som utgörs av nästommande event i resp. tågs tidtabell. Det vill säga, finns det n tåg som har events som e ännu är eeverade är det n events som undersös i vare steg för att väla den som är bäst lämpad att eeveras näst i det steget. De events som eeveras bygger upp ett träd där vare eeverad event är en nod och där den första noden, roten, är den första eventen som eeverats. Den sista eventen, lövet, är den som eeverats senast. Hela trädet sparas inte utan ast den bästa lösningen samt den ativa gren i trädet som söningen utgår ifrån. Vare nod har ett värde som är en ostnadsestimering (en nedre gräns) av den lösning som finns i den ativa grenen ovan noden. Värdet på noder efter nod i är därmed alltså lia eller större. Algoritmen har tre olia faser. Fas är en startfas (pre-processing phase), medan i fas 2 utförs en dupgåe söning (depth-first search) för att snabbt hitta en giltig och förhoppningsvis tillräcligt bra lösning, dvs. sapa den första ompletta grenen i trädet. I fas 3 använder algoritmen den tid som återstår (av de 30 s i detta fall) för att gå tillbaa till noder med ett lägre ostnadsvärde än det för den bästa funna lösningen i trädets första gren och epandera grenen på bästa sätt för att hitta en bättre lösning än den första. I fas eeveras först de events som är ativa när störningen inträffar och starttiden för dem samt alloerat spår blir som planerat. Den första e eeverade eventen i vare tågs ronologist sorterade eventlista läggs i en andidatlista sorterad efter mavärdet av ) den tidigaste möliga starttiden och 2) dess planerade starttid. Kandidaten med den tidigaste starttiden utvärderas först. 23

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Först ontrollerar algoritmen om det finns något ledig spår för eventen och om inte så fortsätter den istället att utvärdera nästa event i andidatlistan. Om tillgängligt spår finns utförs en deadloc-analys samt en analys av om det föreligger intresseonflit gällande tillgång till spår på ust det segmentet. Om intresseonflit finns mellan två eller fler events (dvs. tåg) som är planerade för det segmentet (dessa events måste doc inte finnas i andidatlistan) upptäcs, beränas ostnaden för de olia onflitalternativen. Det vill säga, om tåg A är under utvärdering för att få ett spår alloerat före tåg B och om detta potentiellt sulle försena tåg B, så beränas en nettominimiostnadsöning (net minimum epected cost increase) som tar hänsyn till atuell försening och relevanta bufferttider. Om värdet är positivt, indierar det att på ort sit sulle tåg B drabbas mer än vad tåg A sulle vinna på att få tillgång till ett spår först och fölatligen att det sulle vara mest ostnadseffetivt att prioritera tåg B. Vilen eventuell ytterligare merförsening valet sulle unna innebära för ett trede tåg ingår doc inte i analysen. När den bästa eventen i andidatlistan har identifierats så eeveras den (dvs. den blir ativerad) och alloeras en starttid och ett spår i line med gällande restritioner. Eventuell föregåe event för det berörda tåget avslutas fölatligen när den nya ativeras och den resurs som var alloerad frigörs. En nod som representerar att den nyativerade eventen alloerats ett visst spår bygger på trädet och nodens förälder (dvs. dess parent node) lagrar i sitt minne vila diret underliggande noder (dvs. child nodes) den har haft. En ostnadsestimering för den nya e ännu ompletta lösningen beränas genom att den samtliga tågs minsta möliga försening summeras. Se Figur 9a-c för en illustration av algoritmens arbetsprocess. E C A B Trac Trac 2 Section Section 3 Section 2 Section 4 Section 5 D F Steg. Placera alla nästommande events i en sorterad andidatlista, utvärdera vilen av dessa som bör eeveras först. Steg 2. Eevera vald event och gör en ostnadsestimering av planen så långt. Gå till Steg & uppdatera andidatlistan. Figur 9a. Kandidatlista Tid A C B5 D5 E F5 Eventlistor för tåg A-F. A A2 A3 A4 A5 C C2 C3 C4 C5 E E2 E3 E4 E5 B5 B4 B3 B2 B D5 D4 D3 D2 D F5 F4 F3 F2 F Tid 24

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 E C A Trac B D F Trac 2 Section Section 3 Section 2 Section 4 Section 5 B,S5,T? C2 C A,S,T Kostnadsestimering C <= C2 Kandidatlista A2 C B4 D5 E F5 Eventlistor för tåg A-F. A A2 A3 A4 A5 C C2 C3 C4 C5 E E2 E3 E4 E5 B5 B4 B3 B2 B D5 D4 D3 D2 D Tid F5 F4 F3 F2 F Tid Figur 9b. F E Section Section 3 Section 2 Section 4 Section 5 A,S,T C B,S5,T C2 Bästa (och a) lösning hittills C* = C 30. Figur 9c. C29C30 C29 C3 Baca alla beslut tills C i < C* B,S4,T Epandera noden C 3 om bättre än C* (dvs. C 3 < C* ), annars gå tillbaa till nod C 2 och ta ett annat beslut. Leta efter en bättre lösning än C* så länge det finns tid var. När samtliga events har eeverats (och avslutats) och lagts till som noder i trädet har en första omplett och giltig lösning hittats och den sista nodens värde är den verliga ostnaden för lösningen. Kostnaden an vara angiven på valfritt sätt men vi har valt att i dessa scenarier summera samtliga tågs försening till dess slutdestination inom angivet trafiområde och tidshorisont (dvs. den sista eventen i eventlistan). 25

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Algoritmen använder sedan resterande beräningstid för att epandera trädet och söa vidare efter en bättre lösning. Undantaget är (dvs. då söningen avbryts) om värdet på rotnoden är detsamma som den funna ompletta lösningens värde. Att värdena är lia innebär att det inte finns någon bättre lösning eftersom principen om att alla noder under en nod i är lia bra eller sämre gäller. När algoritmen går upp i trädet (s bac-tracing) för att för första gången väla en lämplig nod att epandera vidare från så väls en nod vars värde är lägre än gällande övre gräns (dvs. upper bound). Den övre gränsen är då ostnadsvärdet för den hittills bästa funna ompletta lösningen. Algoritmen fortsätter att epandera den ativa grenen tills den hittar en ny omplett bättre lösning (som då sparas) eller en intermediär nod som har ett värde som är större eller lia med den övre gränsen. När bac-tracing ser på nytt så väls återigen en nod med ett värde som är lägre eller samma som den övre gränsen. För att undvia att samma nod väls åter och åter igen så får vare nod inte fölas av en annan nod (dvs. en viss event alloerad ett visst spår) mer än en gång. Algoritmen har implementerats i Java där en vetor med fördefinierad storle har använts för att lagra den ativa grenen av söträdet. En andra vetor används för att spara den bästa funna ompletta lösningen (dvs. motsvarande gren) 5.5 Simuleringseperiment och utvärdering av algoritmen I disussion med Banveret har vi fouserat på trafien i området för Norröpings distrit (se Figur 0) doc med en mer detalerad modell av den sträca som anges i Figur 3. Alla spår tillåter trafi i båda ritningar och sträcan Katrineholm-Åby-Mölby är dubbelspårig medan övriga liner är enelspåriga. Stationerna har mellan två och 4 spår med undantag från Norsholm (Nh) som bara har ett. Linesträcorna mellan Katrineholm och Åby innehåller su onseutiva blocsträcor vardera medan sträcan mellan Åby och Norröping innehåller två onseutiva linesträcor precis som sträcorna Ålberga- Kolmården samt Linöping-Linghem. För stationerna Åby, Simonstorp samt Strångsö är ast tillåtna tågvägarna inluderade medan för övriga stationer där modellen inte innehåller denna information så antar vi att alla tågvägar in till och ut från stationerna är tillåtna. Vi har tillämpat algoritmen på tre olia typer av störningsategorier: Kategori innebär att ett tåg anländer trafidistritet med en viss försening eller att det får en temporär försening på ett segment inom distritet. Kategori 2 innebär att ett tåg har en mer ronis försening såsom nedsatt accelerationsförmåga vilet resulterar i öade traverseringstider. Kategori 3 syftar på ett infrastruturfel som ger upphov till eempelvis en hastighetsnedsättning på en viss linesträca och som resulterar till att samliga tåg som passerar får öade traverseringstider. Vi har använt tidtabellsdata från Trainplan men först alibrerat tidtabellsdatan för att göra den onflitfri och sedan simulerat att störningarna inträffar i rusningstrafi på eftermiddagen den 23 april 2009. Vi har omplanerat trafien inom en tidshorisont på 90 minuter med utgångspunt från då resp. störning inträffat samt vi har tillåtit en maimal 26

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 beräningstid på 30 s. En besrivning av resp. scenario finns i Tabell 2 nedan samt i Bilaga 2. Scenario -0 tillhör ategori medan -5 tillhör ategori 2 och 6-20 tillhör ategori 3. För att utvärdera algoritmens prestanda har vi även löst ett urval av scenarierna med den optimeringsmodell som består av villor 5.-5.5, 5.2,5.3, 5.26-5.29, 5.35-5.40 samt villoren i Bilaga och tillämpat CPLEX 8.0 (med en maimal beräningstid på 24 h). För samtliga linesträcor har vi antagit Δ = 0 s och för stationssträcor Δ = 30 s. Värdet på H är tre minuter. Figur 0. Nätveret som använts i simuleringsstudien. 5.6 Resultat och analys Algoritmen finner i samtliga scenarier snabbt en första och även en andra giltig lösning men är sedan inte så effetiv i att hitta förbättringar. Eftersom det är enormt tidsrävande att lösa scenarierna till optimalitet och ibland även inte möligt att hitta en tillåten lösning med CPLEX så har vi ännu inte lycats göra en utvärdering för samtliga scenarier. I Tabell 2 nedan ges en överblic av scenarierna och utfallet. I olumn 4 presenteras ostnadsvärdet för de lösningar som algoritmen hittar inom 30 s och det högsta värdet är således för den första funna ompletta lösningen. I den sätte olumnen anges först den bästa tillåtna lösning som CPLEX hittat (anges inget värde har CPLEX inte lycats hitta en heltalslösning inom 24 h). Det andra värdet anger mavärdet av de undre gränsvärden som CPLEX resp. algoritmen har hittat. Om CPLEX hittat en optimal lösning så är det optimala värdet detsamma som det undre gränsvärdet. I den femte olumnen beränas den största möliga sillnaden mellan ett optimalt värde och den bästa lösningen som algoritmen hittat. Dessa värden ger doc mycet litet information i de fall där CPLEX har hittat en lösning 27

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 med ett stort gap (dvs. det är stor sillnad mellan dess undre gräns och bästa lösningsvärde) eller inte unnat hitta en giltig lösning alls. Vid en utvärdering av algoritmens prestanda och ämförelse med CPLEX an vi först och främst se att CPLEX i merparten av fallen inte har unnat generera en tillåten lösning trots tillåten sötid på 24 h. Vid en ämförelse med de lösningar som CPLEX genererat i de fall där ett optimum unnat fastställas ser vi att CPLEX och algoritmen finner olia lösningar även om målfuntionsvärdena är snarlia. CPLEX terar att försena flertalet tåg innan de når sin slutdestination men ser till att de har en så liten slutlig försening som möligt (dvs. i line med målfuntionen). Algoritmens nuvarande söstrategi, som har ett mer ortsitigt perspetiv, undvier istället att försena ytterligare tåg såvida det inte verligen medför en vinst. Vilen lösning som är den bästa från ett pratist perspetiv är svårt att säga generellt men det visar att det även finns fördelar med denna mer ortsitiga söstrategi. Det visar även hur omplicerat det an vara att formulera en målfuntion som tar hänsyn till flera olia aspeter. När det gäller algoritmens prestanda m a p de olia ategorierna an vi se att för ategori och 2 så presterar algoritmen förhållandevis bra. För ategori 3, däremot, har det varit svårt att finna bra ämförelsevärden men det till trots ser vi att algoritmen har svårt att hitta tillräcligt bra lösningar, se eempelvis scenario 8. Det indierar återigen att en lösningsmetod an behöva anpassa sin söstrategi och målfuntion beroe på vissa egensaper hos störningssituationen. 28

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Nr 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 8 9 20 Scenario Tåg 538 (norrgåe X2000), försenat 2 min Linöping-Linghem. Tåg 538 (norrgåe X2000), försenat 6 min Linöping-Linghem. Tåg 238 (södergåe intercity), försenat 2 min Katrineholm- Strångsö Tåg 238 (södergåe intercity), försenat 6 min Katrineholm-Strångsö Tåg 80866 (norrgåe intercitytåg), försenat 2 min Linöping-Linghem. Tåg 80866 (norrgåe intercitytåg), försenat 6 min Linöping-Linghem. Tåg 8764 (norrgåe intercitytåg), försenat 2 min Mölby-Mantorp. Tåg 8764 (norrgåe intercitytåg), försenat 6 min Mölby-Mantorp. Tåg 539 (södergåe X2000), försenat 2 min Katrineholm- Strångsö Tåg 539 (södergåe X2000), försenat 6 min Katrineholm-Strångsö Tåg 538 (norrgåe X2000) med ronis hastighetsnedsättning som medför 50% öade örtider på alla linesetioner med start Linöping- Tåg 238 (södergåe intercity) med ronis hastighetsnedsättning som medför 50% öade örtider på alla linesetioner med start Katrineholm- Tåg 80866 (norrgåe intercity) med ronis hastighetsnedsättning som medför 50% öade örtider på alla linesetioner med start Linöping- Tåg 8764 (norrgåe intercity) med ronis hastighetsnedsättning som medför 50% öade örtider på alla linesetioner med start Mölby- Tåg 539 (södergåe X2000) med ronis hastighetsnedsättning som medför 50% öade örtider på alla linesetioner med start Katrineholm- Hastighetsnedsättning för alla tåg mellan Strångsö och Simonstorp (alla tåg får en örtid på 27 min, mf. 5-0 min planerad örtid) med start för det södergåe godståget 43533. Hastighetsnedsättning för alla tåg mellan Åby och Simonstorp (alla tåg får en örtid på 20 min) med start för tåg 238. Hastighetsnedsättning för alla tåg mellan Åby och Norröping (alla tåg får en örtid på 8 min) med start för tåg 238. Hastighetsnedsättning för alla tåg mellan Mölby och Mantorp (alla tåg får en örtid på 20 min) med start för tåg 8764. Hastighetsnedsättning för alla tåg mellan Linöping och Linghem (alla tåg får en örtid på 5 min) med start för tåg 538. # tåg/events/binära variabler Funna lösningar (s) Madiff (min) Best solution (s)/lb(s) 48/560/7304 489,75 9,8 -/586 48/560/7304 75,437 3,5 -/226 48/558/7245 50,78 3,5 -/570 48/558/7245 790,42 3,5 -/20 49/575/752 04, 930 0,3 -/35 49/575/752 68, 53 0,9 0/0 50/567/7534 568, 499 0,2 -/486 50/567/7534 276, 207,4 -/26 50/570/7490 869, 800 5,7 -/458 50/570/7490 338, 269 2,9 -/98 48/560/7304 547,233 3,5 -/022 48/558/7245 049, 680 3,5 -/469 49/575/752 2329,2245 5,3 248/930 50/567/7534 67,455 6,6 2,5/062 50/570/7490 728,659,0 598,5/598,5 46/508/5999 3850 0,0 -/3850 5/570/7646 7786,7767,7765,7746 8,9 -/690 49/565/7364 5457,525 42,2 4756/2594 50/567/7534 28883 38, -/9795 48/560/7304 23609,22967,22954 265,9 -/6999 Tabell 2. Simuleringsresultat. Tidshorisonten är 90 minuter för samtliga scenarier och algoritmen har haft en ma tillåten beräningstid på 30 s. Den sista olumnen anger den bästa tillåtna lösning som vi unnat finna med CPLEX 8.0 och en maimal beräningstid på 24h. LB avser lower bound och anger den undre gräns för vilet lösningsvärde resp. scenario an ha utan att förtäla huruvida det finns en tillåten lösning med detta värde eller bättre än ett som algoritmen eller CPLEX hittat. 29

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 6 Fortsatt arbete Som vi har sett finns det viss förbättringspotential gällande lösningsmetoden generellt sett men framför allt gällande dess applicerbarhet vid hantering av störningar av ategori 3. En vidareutvecling av metoden sulle primärt syfta till att få söalgoritmen mer effetiv så att den dels blir snabbare vid epansionen av trädet (dvs. att den an undersöa fler noder per tidsenhet vilet an uppnås genom förbättringar av oden samt genom att parallellisera söprocessen med hälp av multi-core processorer), dels att dess söstrategi förbättras och att den oftare väler rätt noder att epandera. Att i större utsträcning undersöa sillnaderna mellan de lösningar CPLEX producerar med de från algoritmen sulle unna ge ytterligare värdefull information om vila avvägningar som bör göras i det ortsitiga perspetivet för att uppnå samma lösningar som CPLEX genererar. Att använda multi-core processorer, se (Emer 2007), för att snabba upp söningen innebär att flera grenar i trädet sulle unna epanderas parallellt. Det är många fatorer och restritioner som påverar hur trafien flyter och hur tågen påverar varandra och därmed även hur tågtrafien vid en störning an omplaneras på ett optimalt sätt. Huruvida dessa fatorer och restritioner eplicit sa modelleras och vilet inflytande de har och tillåts ha är en vitig frågeställning. I nuläget finns dessvärre inte data tillgängligt för att utvärdera detta men inom proetet STEG/STRATEG finns planer på att göra en noggrann artläggning och besrivning av en del av nätet. Slutligen så ser vi att det finns ett behov av att i större utsträcning än tidigare unna omsätta forsningsresultaten från OAT och OAT+ och utvärdera dem i samveran med Banveret i en mer pratis ontet. Som en del av fortsättningsproetet OAT+ och inför ITS Världsongressen 2009 har ett samarbete med två andra forsningsproet finansierade av BV (DDTP som drivs av SICS och STEG/STRATEG som drivs av BV i samveran med Uppsala Universitet) sett på initiativ av BV. Samarbetet har syftat till att påvisa nyttan och effeten av ett oncept som ombinerar dessa tre proet. DDTP syftar till att utvecla en ny princip för tilldelning av tåglägen där det centrala är de leveransåtaganden som BV och resp. operator enas om. Dessa leverensåtaganden anger sedan i operativ drift i större utsträcning än idag vilen betydelse olia förändringar av tåglägen har (dvs. om BV an förändra ett tågläge utan att det påverar leveransåtagandet). För att unna använda denna information i operativ drift vid en omplanering och därmed öa handlingsfriheten behöver doc trafiledaren beräningsmässigt stöd baserade på den typen av metoder som utveclats inom OAT+. I STEG/STRATEG-proetet har man även sett behovet av sådant beräningsstöd och har utveclat ett digitalt gränssnitt för trafistyrningen som visar en interativ tidtabellsgraf för trafiledaren. Detta gränssnitt sanar doc matematisa modeller och algoritmer för att identifiera vissa typer av onfliter i grafen och ge förslag på hur de an lösas på ett optimalt sätt. Vi önsar därför i ett fortsatt arbete intensifiera samarbetet med framför allt proetet ring utveclingen och implementeringen av STEGgrafen och utvärdera hur våra utveclade metoder sulle unna fungera i en pratis ontet och hur lämpliga omplaneringsförslagen bedöms vara. 30

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 7 Referenser Banveret (Tågtrafiledningen), Föresrift TF60, 2000-08-4. Banveret, Appi till STEG-proetets rapport BT 0506 2005--5, 2005. Billionnet, A., Using integer programming to solve the train-platforming problem, Transportation Science, Vol. 37, No. 2, pp. 23 222, 2003. Carey, M. Eting a Train Pathing Model From One-Way to Two-Way Trac, Transportation Research B 28, pp.395-400, 994. Carey, M., Carville, S., Scheduling and Platforming Trains at Busy Comple Stations, Transportation Research A 37, pp.95-224, 2003. Cordeau, J-F., Toth, P., Vigo, D., A survey of optimization models for train routing and scheduling, Transportation Science, Vol. 32, No. 4, INFORMS, 998, p. 380-404. D Ariano, A., Pacciarelli, P., Pranzo, M., A branch and bound algorithm for scheduling trains on a railway networ, European Journal of Operational Research, Vol. 32, No. 2, Elsevier Science Ltd, 2007, p. 643 657. D Ariano, Pranzo, M., An advanced real-time train dispatching system for minimizing the propagation of delays in a dispatching area under severe disturbances, Networ Spatial Economy 9, p. 63-84, 2009. Eman, J., Slutrapport för proetet Beslutstöd för Operativ Omplanering, SICS, Mars 2008. Emer, J.,Hill, M., Patt, Y., Yi, J., Chiou, D., Sag, R., Single-threaded vs. multithreaded: Where should we focus? IEEE Micro, 27(6):4 24, Nov/Dec 2007. Glover, F., Laguna, M., Tabu Search. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Netherlands, 997. Jacobs, J., Rescheduling, in: Hansen and Pachl (Eds.): Railway Timetable & Traffic. Analysis, Modelling, Simulation, Hamburg: Eurailpress, 2008. Kroon, L., Huisman, D., Maróti, G., Optimization models for railway timetabling, in: Hansen and Pachl (Eds.): Railway Timetable & Traffic. Analysis, Modelling, Simulation, Hamburg: Eurailpress, 2008. Kroon, L., Romein, E., Zwaneveld, P., Routing trains through railway stations: compleity issues, European Journal of Operational Research, No. 98, pp. 485-498, 997. 3

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 Pardalos, P.M., Rese, G.C., Handboo of applied optimization, Oford University Press, N.Y, USA, 2002. Reeves, C.R. (ed.). Modern heuristic techniques for combinatorial problems, McGraw-Hill, London, UK, 995. Radte, A. Infrastructure modelling, in: Hansen and Pachl (Eds.): Railway Timetable & Traffic. Analysis, Modelling, Simulation, Hamburg: Eurailpress, 2008. Schöbel, A, Capacity constraints in delay management, Public Transport, SpringerLin, 2009. Törnquist, J., Computer-based decision support for railway traffic scheduling and dispatching: A review of models and algorithms, Proceedings of ATMOS2005, Palma de Mallorca, Spain, October 2005, Published within the Dagstuhl Research Online Publication Server (DROPS) http://drops.dagstuhl.de/portals/atmos/, 2005. Törnquist, J., Persson, J.A., N-traced railway traffic re-scheduling during disturbances, Transportation Research Part B, Vol. 4, No. 3, Elsevier Science Ltd, 2007, p. 342-362. Törnquist, J., Railway traffic disturbance management: An eperimental analysis of disturbance compleity, management obectives and limitations in planning horizon, Transportation Research Part A, Vol. 4, No. 3, Elsevier Science Ltd, 2007, p. 249-266. Törnquist,J., Slutrapport för proetet Omplanering Av Tåglägen (OAT), 2007. www.bth.se/te/oat. UIC International Union of Railways, UIC leaflet 406 Capacity, France, 2004. Zhou, X., Zhong, M., Single-trac train timetabling with guaranteed optimality: Branchand-bound algorithms with enhanced lower bounds, Transportation Research Part B, Vol. 4, No. 3, Elsevier Science Ltd, 2007, p. 320-342. 32

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 8 Bilaga. Optimeringsmodell Målfuntion Minimera i T ni z 8. Tågrestritioner = + i T Ki : ni + d E, 8.2 8.3 initial b E : h = 8.4 static static = b E : b > 0 8.5 static static = e E : e > 0 8.6 Tenisa infrastruturella restritioner q t = B, L 8.7 t P staic t * q t = r B, L : r = ( dvs. då b > 0 8.8 t P trac q ˆ γ fied + q t t λ + ˆ B,, ˆ L : < ˆ, t P 8.9 Δ γ M γ ) B,, ˆ L : < ˆ & ( dir dirˆ nrb = ) 8.0 ( Δ λ M λ ) B,, ˆ L : < ˆ & ( dir dirˆ nrb = ) 8. ˆ ( λ γ B,, ˆ L : < ˆ 8.2 ˆ + ˆ, 0 E 8.3 γ λ {0,} B,, ˆ L : < ˆ 8.4 ˆ, ˆ q t {0,} B L, t P, 8.5 33

Johanna Törnquist Krasemann Omplanering Av Tåglägen: fortsättningsproet Version.0 9 Bilaga 2. Tidtabell K Stö (3) Smt(3*) Åby(3) Nr (4) Fi (2) Kms (3) Nh () Gi (2) Lgm (2) Lp (6) Vsd (3) Mt (3) My (4) 6:00 6:20 6:40 7:00 7:20 7:40 8:00 8:20 8:40 Figur. Tidtabellen över den dubbelspåriga sträcan Katrineholm-Mölby som användes i simuleringseperimenten. Övriga sträcors trafi är inte lia intensiv. 34