Biologi: en utmaning för Numerisk Analys

Relevanta dokument
Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A

Exempel ode45 parametrar Miniprojekt 1 Rapport. Problemlösning. Anastasia Kruchinina. Uppsala Universitet. Januari 2016

Monte Carlo-metoder. Bild från Monte Carlo

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Biokemi. SF1538 Projekt i simuleringsteknik. Skolan för teknikvetenskap. Introduction. Michael Hanke. Kemiska reaktioner

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 7: Normalfördelning

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Numeriska metoder för ODE: Teori

SF1901: SANNOLIKHETSTEORI OCH STATISTIKTEORI KONSTEN ATT DRA INTERVALLSKATTNING. STATISTIK SLUTSATSER. Tatjana Pavlenko.

Numeriska metoder för ODE: Teori

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Exempel på tentamensuppgifter

Markovprocesser SF1904

Stokastiska Processer och ARIMA. Patrik Zetterberg. 19 december 2012

AMatematiska institutionen avd matematisk statistik

Markovprocesser SF1904

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Lycka till!

Stokastiska Processer

Tentamen i Beräkningsvetenskap I, DV, 5.0 hp, OBS: Kurskod 1TD394

Lösningar till Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp, Del A. 1. (a) ODE-systemet kan skrivas på formen

P =

Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Konvergens för iterativa metoder

Matematisk statistik 9 hp, HT-16 Föreläsning 10: Punktskattningar

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

b) Beräkna sannolikheten för att en person med språkcentrum i vänster hjärnhalva är vänsterhänt. (5 p)

Ordinära differentialekvationer,

Konvergens och Kontinuitet

Avd. Matematisk statistik

LÖSNINGAR TILL. Räkningar: (z i z) 2 = , Δ = z = 1 n. n 1. Konfidensintervall:

Föreläsning 15: Faktorförsök

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

TAMS79: Föreläsning 10 Markovkedjor

SF1911: Statistik för bioteknik

Introduktionsföreläsning

Föreläsning 11. Slumpvandring och Brownsk Rörelse. Patrik Zetterberg. 11 januari 2013

Matematisk statistik för D, I, Π och Fysiker

Beräkningsvetenskap. Vad är beräkningsvetenskap? Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi. Informationsteknologi

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Väntevärde; Väntevärde för funktioner av s.v:er; Varians; Tjebysjovs olikhet. Jan Grandell & Timo Koski

e x/1000 för x 0 0 annars

Tentamen i Beräkningsvetenskap I (nya versionen), 5.0 hp, Del A

Markovprocesser SF1904

Introduktionsföreläsning

en observerad punktskattning av µ, ett tal. x = µ obs = 49.5.

Stokastiska processer med diskret tid

Fö relä sning 2, Kö system 2015

0.31 = f(x 2 ) = b 1 + b 2 (x 3 x 1 ) + b 3 (x 3 x 1 )(x 3 x 2 ) = ( ) + b 3 ( )(

TMA226 datorlaboration

SF1901: Sannolikhetslära och statistik

Finansiell statistik FÖRELÄSNING 11

SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I

Föreläsning 7: Punktskattningar

Ordinära differentialekvationer,

Uppgift 1 a) En kontinuerlig stokastisk variabel X har fördelningsfunktion

Övning 1. Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A

Stokastiska processer med diskret tid

Grundläggande matematisk statistik

Matematisk statistik 9hp Föreläsning 2: Slumpvariabel

Matematisk statistik, LMA 200, för DAI och EI den 25 aug 2011

SF1901: Sannolikhetslära och statistik. Flera stokastiska variabler.

Demonstration av laboration 2, SF1901

Föreläsning 8, Matematisk statistik 7.5 hp för E Punktskattningar

Tentamen i Sannolikhetsteori III 13 januari 2000

Uppsala Universitet Matematiska Institutionen Bo Styf. Sammanfattning av föreläsningarna 15-18, 30/11-12/

Interpolation Modellfunktioner som satisfierar givna punkter

Tentamen i matematisk statistik, TAMS15/TEN (4h)

SF1544 LABORATION 2 INTEGRATION, MONTE-CARLO OCH BLACK-SCHOLES EKVATION FÖR OPTIONER

Kursplan. Matematiska och systemtekniska institutionen (MSI) Kurskod GUX712 Dnr MSI 03/04:16 Beslutsdatum

Från tidigare: Systemets poler (rötterna till kar. ekv.) påverkar egenskaperna hos diffekvationens lösning.

TAMS65 - Seminarium 4 Regressionsanalys

, för 0 < x < θ; Uppgift 2

Formel- och tabellsamling i matematisk statistik

Tekniska beräkningar. Vad är tekn beräkningar? Vad är beräkningsvetenskap? Informationsteknologi. Informationsteknologi

Valbara kurser för kandidatexamen i matematisk statistik

Bose-Einsteinkondensation. Lars Gislén, Malin Sjödahl, Patrik Sahlin

Partiella differentialekvationer: Koppling Diskret - Kontinuum och Finita Elementmetoden

Tentamen i Beräkningsvetenskap I och KF, 5.0 hp,

2D1240 Numeriska metoder gk II för T2, VT Störningsanalys

KINETISK TEORI och Boltzmannekvationen

Föreläsning 1 Reglerteknik AK

Omtentamen i DV & TDV

Tentamen i Beräkningsvetenskap II, 5.0 hp,

Enlagersnät Flerlagersnät Generalisering. Artificiella Neuronnät

TENTAMEN Reglerteknik 4.5hp X3

Repetitionsfrågor: 5DV154 Tema 4: Förbränningsstrategier för raketer modellerade som begynnelsevärdesproblem

Problemlösning 2 Stokastisk simulering., Problemlösning 2 Stokastisk simulering 1/13

TAMS65. Formel- och tabellsamling i matematisk statistik TAMS65. Martin Singull TAMS65 TAMS65

TENTAMEN I MATEMATIK MED MATEMATISK STATISTIK HF1004, TEN

Lösningsskiss för tentamen Vektorfält och klassisk fysik (FFM234 och FFM232)

Reglerteori. Föreläsning 11. Torkel Glad

Övning 1(a) Vad du ska kunna efter denna övning. Problem, nivå A. Redogöra för begreppen diskret och kontinuerlig stokastisk variabel.

Tentamen med lösningsdiskussion. TSFS06 Diagnos och övervakning 1 juni, 2013, kl

TENTAMEN I SF2950 (F D 5B1550) TILLÄMPAD MATEMATISK STATISTIK, TORSDAGEN DEN 3 JUNI 2010 KL

1 Föreläsning V; Kontinuerlig förd.

(a) sannolikheten för att läkaren ställer rätt diagnos. (b) sannolikheten för att en person med diagnosen ej sjukdom S ändå har sjukdomen, dvs.

Transkript:

Biologi: en utmaning för Numerisk Analys Stefan Engblom Beräkningsvetenskap Informationsteknologi Uppsala Universitet Docentföreläsning, Uppsala, 6:e Mars, 2013 (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 1 / 17

Idag Mål: Utveckla och belysa begrepp från Beräkningsvetenskap I, II och III ställd inför problem från Biologisk modellering. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 2 / 17

Innehåll Motivation Numerisk analys......biologisk realitet 1. Stokastiska formuleringar 2. Systemenergi Avslutning (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 3 / 17

Motivation Numerisk analys... Numerisk analys En komprimerad abstrakt sammanfattning! Mätbara data y, fysik f (ofta en differentialoperator), okänt tillstånd x. Matematiskt problem f (x) = y, lösning x = f 1 (y). Det matematiska problemet är stabilt om f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) F y 1 y 2. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 4 / 17

Motivation Numerisk analys... Numerisk analys En komprimerad abstrakt sammanfattning! Mätbara data y, fysik f (ofta en differentialoperator), okänt tillstånd x. Matematiskt problem f (x) = y, lösning x = f 1 (y). Det matematiska problemet är stabilt om f 1 (y 1 ) f 1 (y 2 ) F y 1 y 2. Numeriskt problem g h ( x) = y, lösning x = x(h) = g 1 h (y). Diskretiseringsparameter h (0, 1). Det numeriska problemet är stabilt om (y 1) g 1 (y 2) G y 1 y 2. g 1 h h (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 4 / 17

Motivation Numerisk analys... Numerisk analys Lax ekvivalens En numerisk metod är konsistent om x : lim h 0 (f g h )(x) = 0. En numerisk metod är konvergent om y : lim h 0 (g 1 h f 1 )(y) = 0. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 5 / 17

Motivation Numerisk analys... Numerisk analys Lax ekvivalens En numerisk metod är konsistent om x : lim h 0 (f g h )(x) = 0. En numerisk metod är konvergent om y : lim h 0 (g 1 h f 1 )(y) = 0. En stabil och konsistent numerisk metod är konvergent. Bevis. Definiera ȳ := g h (x). Felet = x x = g 1 1 (y) g (ȳ) (stabilt) h h G y ȳ = G f (x) g h (x) 0, h 0. (konsistent) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 5 / 17

Motivation...Biologisk realitet Biologisk realitet Film #1 : numerisk lösning av vågekvationen (K. Mattsson, M. Almquist). Film #2 : neutrofiler i en mus (G. Christoffersson, M. Phillipson). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 6 / 17

Motivation...Biologisk realitet Biologisk realitet Film #1 : numerisk lösning av vågekvationen (K. Mattsson, M. Almquist). Film #2 : neutrofiler i en mus (G. Christoffersson, M. Phillipson). Mätbara data y? Fysik f? Tillstånd x? Stabilitet? Konsistens? Konvergens? (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 6 / 17

1. Stokastiska formuleringar Brownsk rörelse Exempel: Partikel i en vätska (Einstein). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 7 / 17

1. Stokastiska formuleringar Brownsk rörelse Exempel: Partikel i en vätska (Einstein). En stokastisk modell är enklare men beror i gengäld på slumpen. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 7 / 17

1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? V (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 8 / 17

1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? P n ( antal -molekyler ) P n V (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 8 / 17

1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? P n ( antal -molekyler ) V P n P 1/V P t (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 8 / 17

1. Stokastiska formuleringar Stokastisk modellering av biokemi Exempel: Bimolekylär reaktion + Z. -Vad är sannolikheten P(1st och 1st reagerar i tidsintervallet [0, t])? P n ( antal -molekyler ) V P n P 1/V P t = P( + Z i tidsintervallet [0, t]) = konst n n t/v. Beskriver en tidskontinuerlig Markovkedja. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 8 / 17

1. Stokastiska formuleringar Stokastisk konvergens Deterministisk konvergens x h x 0 då h 0. Stokastisk konvergens: Stark E h 2 0 då h 0 Svag E ϕ( h ) ϕ( ) 0 då h 0, ϕ snäll testfunktion (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 9 / 17

1. Stokastiska formuleringar Stokastisk konvergens Deterministisk konvergens x h x 0 då h 0. Stokastisk konvergens: Stark E h 2 0 då h 0 Svag E ϕ( h ) ϕ( ) 0 då h 0, ϕ snäll testfunktion -För många fysiska tillämpningar är svag konvergens tillräcklig: observerbarhet (...) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 9 / 17

1. Stokastiska formuleringar Svag konvergens Oscillationer i bakteriemembran (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 10 / 17

1. Stokastiska formuleringar Svag konvergens Oscillationer i bakteriemembran 1 Average concentration of MinD m 0.8 # molecules 0.6 0.4 0.2 0 2.25 0 2.55 location (µ m) x 10 6 1000 750 500 250 MinD m polar oscillations Left Right 0 1000 1100 1200 1300 1400 1500 time (s) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 11 / 17

1. Stokastiska formuleringar Stark konvergens Bistabilt problem i två variabler 300 200 100 0 300 200 100 0 0 1 2 3 4 5 time x 10 6 0 1 2 3 4 5 time x 10 6 (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 12 / 17

2. Systemenergi Systemenergi, modellering Exempel: Två oblandbara vätskor (olja/vatten) i en volym V. Fasfältsvariabel φ(x) som är ±1 i respektive vätska, diffust gränsskikt där φ = 0. Ansats på fri energi: F φ = V f (φ) + ε2 4 ( φ)2 dv, f (φ) = (1 φ) 2 (1 + φ) 2, en potential med två stabila minima φ = ±1. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 13 / 17

2. Systemenergi Systemenergi, Cahn-Hilliard Recept : tag variationsderivatan av F φ med avseende på φ, δf φ δφ = f (φ) ε 2 φ =: µ φ (kemisk potential). En lämplig PDE för φ är nu φ t = µ φ (Cahn-Hilliards ekvation). Film #3 : bubblor (M. Do-Quang). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 14 / 17

2. Systemenergi Systemenergi, Cahn-Hilliard Recept : tag variationsderivatan av F φ med avseende på φ, δf φ δφ = f (φ) ε 2 φ =: µ φ (kemisk potential). En lämplig PDE för φ är nu φ t = µ φ (Cahn-Hilliards ekvation). Film #3 : bubblor (M. Do-Quang). Modelleringen består i att göra en energiansats! -Numerisk konvergens? (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 14 / 17

2. Systemenergi Monte Carlo modellering: Cellular Potts (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 15 / 17

2. Systemenergi Monte Carlo modellering: Cellular Potts Systemenergi (Hamiltonian), H = J(σ i, σ j )+ grannlådor i,j λ[v (σ i ) V ref ] 2, lådor i där J är en randkoefficient, och (λ, V ref ) anger volymvillkor. (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 15 / 17

2. Systemenergi Cellular Potts -Ramverket är flexibelt och relativt enkelt att utöka. -Det finns en klassisk stokastisk algoritm Metropolis som simulerar diskreta energisystem med rätt statistik. Konvergens i svag mening när antalet drag. Film #4 : delta-notch signalering mellan celler (M. Söderling). (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 16 / 17

Avslutning Avslutning Ganska vanligt att Biologiska problem har en vag definition på vad som menas med fel Modellproblem inom Numerisk analys har en väldigt detaljerad uppfattning på vad som menas med fel (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 17 / 17

Avslutning Avslutning Ganska vanligt att Biologiska problem har en vag definition på vad som menas med fel Modellproblem inom Numerisk analys har en väldigt detaljerad uppfattning på vad som menas med fel Grundbegrepp från Numerisk analys är fortfarande relevanta (konvergens, stabilitet) (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 17 / 17

Avslutning Avslutning Ganska vanligt att Biologiska problem har en vag definition på vad som menas med fel Modellproblem inom Numerisk analys har en väldigt detaljerad uppfattning på vad som menas med fel Grundbegrepp från Numerisk analys är fortfarande relevanta (konvergens, stabilitet) Det går inte att bortse från modelleringssteget; modellen kan sällan betraktas som färdig (TDB/IT UU) Biologiska Beräkningar 130306 17 / 17