JONAS EMANUELSSON Berätta vad du tänker! Två berättelser om rätt och fel svar Artikeln handlar om de frågor lärare ställer till sina elever i klassrummet och vad som händer i den efterföljande interaktionen. Två episoder redovisas. En där fel svar blir helt rätt och en där rätt svar är helt fel. Episoderna i denna artikel är hämtade från min avhandling i pedagogik En fråga om frågor. Hur lärares frågor i klassrummet gör det möjligt att få reda på elevernas sätt att förstå det som undervisningen behandlar i matematik och naturvetenskap. Arbetet, som är en klassrumsstudie behandlar hur lärare genom frågor till eleverna gör det möjligt att lära om elevernas lärande. Data materialet till studien är genererat från ljudbandade klassrumsstudier där en mikro fon följt läraren genom undervisningen. Efter observationerna har läraren intervjuats om konkreta händelser som inträffat under lektionerna. Allt ljudbandat material har skrivits ut ordagrant och därefter analyserats. Klassrummet är en plats för lärande, där både elever och lärare lär. Elever lär t ex om innehållet och lärare lär om elevernas lärande av samma innehåll. Kunnande kan sägas uppstå i relationen mellan lärare, elever och innehåll. För att kunna lära måste eleverna ha rimliga förutsättningar att relatera till det som sägs och Jonas Emanuelsson innehar en forskarassistenttjänst finansierad av Vetenskapsrådet. Jonas Emanuelsson är universitetslektor i ämnesdidaktik vid Göteborgs universitet görs i klassrummet. Läraren har rimligtvis bättre möjligheter att anknyta till elever ju bättre inblick han eller hon har i elevernas förståelse av det aktuella innehållet. Avhandlingen handlar därför just om de möjligheter lärare öppnar för sig själva att lära om vad eleverna kan och förstår. Studiens teoretiska inramning bygger på den fenomenografiska traditionen och undervisningen analyseras med fokus på variation i hur elevernas förståelse av innehållet kommer fram i interaktionen mellan lärare och elever. Resultat presenteras i form av ett utkast till en teori för innehållslig analys av klassrumsinteraktion och fallstudier av åtta lärares undervisning. Fallstudierna sammanfattas i en kategoriserad sammanställning och resultatet diskuteras i relation till lärares kunnande. När studiens lärare undervisar i matematik ger frågor oftast möjligheter att göra distinktioner av typen kan kan inte, rätt fel. När samma lärare undervisar i naturvetenskap har frågorna en annan karaktär. Här ges istället framförallt möjligheter att göra distinktioner beträffande formen på elevernas arbete. NÄMNAREN NR 3 2002 19
Det viktigaste resultatet i avhandlingen kan beskrivas som att lärares möjligheter att ta reda på något om elevernas förståelse är optimal om frågor ställs så att de adresserar en och samma sak på ett sätt som innebär att många olika, såväl riktiga som felaktiga sätt att förstå denna sak tas upp till diskussion i klassrummet. Idén bakom detta resonemang är i all enkelhet att inget enstaka uttalande har någon innebörd i sig. Det är först när man jämför olika sätt att betrakta samma sak som innebörden framstår mot bakgrund av de andra. I denna artikel har jag valt ut två episoder och behandlar dessa på ett något annorlunda sätt än i avhandlingen Samtalen som redovisas och diskuteras här kommer från två olika klassrum och skolor. Använda namn är pseudonymer. När fel är rätt Doris sitter tillsammans med fem elever på golvet i klassrummets ena hörn. Eleverna går i en åldersblandad 1-3:a. Idag har hon tagit med sig de elever som går skolår 2, övriga elever i klassen arbetar enskilt. Några arbetar med matematik, andra med annat, t ex läser några i sina bredvidläsningsböcker. Hon har gjort i ordning ett antal uppsättningar om tolv färgade papperskvadrater som hon har med sig. När alla sitter ner och har kommit till ro ställer hon frågan: Vilka multiplikationer blir tolv? Eleverna skall också illustrera sina svar genom att lägga papperslapparna i mönster och teckna motsvarande uttryck med siffror och symboler. Eleverna kommer snabbt med flera olika förslag på svar. 3 4, 2 6 och 1 12 är de som först illustreras, tecknas och diskuteras. Vid nästa förslag, 6 2 är det några elever som protesterar och menar det svaret har vi redan haft. Så följer en diskussion om huruvida 2 6 är detsamma som 6 2, 12 1 som 1 12 etc. Svaret eller resultatet blir ju lika och de ser ju lika ut både beträffande mönstret av lappar och hur de tecknas, men betyder uttrycken verkligen samma sak? Efter en kort diskussion om man hellre skulle vilja arbeta tolv timmar med en timlön om 1 kr, eller i en timme med lönen 12 kr per timme enas man om att uttrycken är likvärdiga beträffande resultatet men att de kan svara mot två olika händelser. Man enas så om att det är meningsfullt att lägga och teckna samtliga multiplikationer 12 (utan hänsyn till kommutativitet). När problemet är uttömt i den mening att alla positiva heltalslösningar har diskuterats frågar Doris: Vad är det som gör att man kan beskriva alla dessa mönster av papperslappar med en multiplikation? Det blir tyst, helt tyst. Det är tyst ovanligt länge för att vara en matematiklektion. Till slut så säger en elev: Jag har kommit på ett svar till. Han föreslår så nio-tre. Doris ber honom lägga multiplikationen och eleven lägger en rad med nio och under den en rad med tre lappar. Nu ser det ut ungefär såhär på golvet: 20 N Ä MNAREN NR 3 2002
Efter en stund enas eleverna och Doris att nio-tre antagligen inte är en multiplikation utan något annat. Det senast lagda mönstret avviker tydligt från de övriga. Nu återvänder man till Doris förra fråga om villkoren för att ett mönster av papperslappar ska kunna beskrivas med en multiplikation. En elev föreslår nu: det måste vara jämna tal. Jämna tal, vad menar du med jämna tal?, frågar Doris. I samtalet som följer förekommer tre innebörder av uttrycket jämna tal. Det är ett tal som går att dela med två, (t ex 3 som går att dela i 2 1,5) som är jämnt delbart med två och jämna tal betyder lika långa rader med lappar. Efter en kort diskussion kommer man gemensamt fram till att ett rimligt svar på frågan om hur ett mönster måste se ut för att kunna beskrivas med en multiplikation är att alla rader av papperslappar måste vara lika långa. 9-3 har inte lika långa rader och det är just detta som gör att man kan se att de andra mönstren har lika långa. Ett svar som i en mening är helt fel, 9 3 är lika med 12, men som har tagits på allvar har bidragit till att man tillsammans löst ett betydligt mer avancerat problem om villkoren för multiplikation. När rätt blir fel När eleverna kommer in i klassrummet efter rasten har läraren, Boel, skrivit upp 15 divisionsuppgifter på tavlan. Eleverna går skolår 6. En i taget får eleverna komma fram och utföra beräkningar och berätta hur de tänker. Jag vill beskriva det samtal eleven Anna och Boel har inför de andra i klassen. Uppgiften som skall beräknas är 4282/2 och Anna skriver direkt ner svaret: 2141. Boel: Hur tänkte du när du fick fram det där? Svaret. Tala om för oss hur du gjorde. Anna: Jag tog bara bort, som... Boel: Tar bort så många? Anna: [ohörbart, men mina fältanteckningar visar hur jag uppfattade att Anna svarade: 4282/2; 4 2=2, 2 1= 1; 8 4=4; och 2 1=1; svar: 2141.] Boel: Jaha du säger ta bort! På fyran tar du bort två... och får två kvar, är det så du menar? (ja) Fyra tar bort två säger du. Får du två kvar säger du (ja) Två, ta bort två, får man ett kvar då?...... Säger ni allihop ta bort? (Frågar hela klassen, och svaret blir: neeej) Hur... Vad säger du Anna? Anna:... Boel: Du delar rakt av!... Tar du en siffra i taget? Anna: Ja Boel: Det gör du. Du tänker alltså inte fyra ta bort två, du tänker fyra... Anna: Hälften av fyra är två. Frågan öppnar här för att Anna kan göra en beskrivning av division som går ut på att finna det tal som subtraheras och som också är lika med subtraktionens resultat. Fyra delat med två beskrivs som fyra minus två är lika med två (på samma sätt 2 1 = 1; 8 4 = 4). Detta förfarande kan betraktas som en typ av upprepad subtraktion eller som division genom prövning. Boel tycks inte förstå vad Anna menar och tycks istället övertygad om att elevens sätt att förstå är detsamma som hennes eget, alternativt försöker hon övertyga Anna om att hennes sätt är att föredra. Hon säger: du delar rakt av! Det sätt att förstå divisionen som eleven uttrycker diskuteras inte, istället blir det Boels sätt som framstår som det enda tänkbara. Annas sätt att förstå hur man kan utföra divisionen framstår här som mer avancerat än Boels. Anna uttrycker inte endast att det är möjligt att utföra divisionen en siffra i taget så som Boel menar, hon uttrycker dessutom ett sätt att tänka kring hur man kan utföra varje deldivision. I den efterföljande intervjun diskuterar vi denna samt en liknande sekvens: NÄMNAREN NR 3 2002 21
Jonas:...Ett av dom första exemplen du tog här var 82 delat med två och så frågade du hur dom tänkte då... Varför är du intresserad av hur dom tänker? Boel: Jag vill veta om dom tog alltihop på en gång eller om dom tog någon form av uppdelning, om dom exempelvis tog 80 först och hälften av det och entalen för sig. Jonas: Varför vill du veta det? Boel: Det är ganska intressant att höra efter hur dom tänker, för då kan man ge dom andra tips om hur man kan tänka. Jonas: I det här fallet var det en elev som svarade 41 och så frågade du hur den tänkte, och då svarade eleven Ta minus och du frågade varför han tog minus och då svarade han att han hade det i huvudet 82 minus 41, och du frågade Varför 41? och han sa Det går inte med 42. /.../ Vad säger dig en sån här sekvens som den här? Boel: Ja, han kom ju fram till 41 i alla fall, men hur han gjorde, det där med att ta minus... Det var ungefär som Anna [eleven ovan] sa, för hon sa ta bort... Det hängde inte jag med på riktigt, hur hon tänkte. Vad säger det mig egentligen? Att han inte riktigt vet vad han håller på med, kanske. När det gäller uppgiften 82/2 tolkar jag det som att eleven omedelbart såg att resultatet blev 41 och att han prövade om det var korrekt genom att utföra 82 41 = 41. Båda dessa elever kan sägas försöka bidra till interaktionen genom att relatera division och subtraktion till varandra men Boel tycks inte förstå vad eleverna menar och stänger för vidare resonemang. Frågan Berätta hur du tänker blir retorisk och läraren och eleverna kommer inte i kontakt med varandra i innehållslig mening. Skillnader och likheter På ett ytligt eller om man så vill generellt plan finns stora skillnader mellan dessa två berättelser. Eleverna är olika gamla, i det ena exemplet har man grupparbete och i det andra är det helklassdiskussion kring en enskild elevlösning. De matematiska innehållen skiljer sig också åt, i det ena fallet arbetar man med multiplikation, i det andra med division. Det finns också likheter. Båda lärarna tycks angelägna om att får reda på hur eleverna tänker och resonerar. De ställer också frågor som formleras i enlighet med ett sådant intresse. Den vanligaste frågan i svensk matematikundervisning är antagligen: Hur tänker du då?, eller andra formuleringar med samma innebörd. Båda lärarna ovan frågar också efter hur eleverna tänker men elevernas svar får väldigt olika funktion i den interaktion som följer. Skillnader mellan episoderna framträder när man beaktar hur de två lärarna följer upp frågorna om hur eleverna tänker. Doris följer upp elevernas tänkande med vidare frågor som syftar till att lyfta fram deras perspektiv på innehållet. I detta fall bidrar även eleverna till att skapa undervisningens innehåll. Hos Boel får frågan: Hur tänkte du...?, endast retorisk funktion. Elevens tankar får inte utrymme att bidra i den fortsatta diskussionen, utan avfärdas i princip med motiveringen att det är fel sätt att tänka. Detta trots att elevens sätt att behandla divisionen i en mening är mer avancerad än lärarens. Det finns också skillnader mellan hur olika sätt att tänka inom elevgruppen utnyttjas. Doris använder sig av variationen i elevernas svar på frågor för att skapa innehåll i undervisningen. Eleverna bidrar på så sätt till att forma undervisningen. Boel använder istället andra elever för att övertyga om att hennes sätt att dividera är det enda legitima. 22 N Ä MNAREN NR 3 2002
Vad kan vi lära av detta? I båda dessa klassrum ställs frågor om hur eleverna tänker men frågandet har olika funktion. I Doris fall framstår frågandet som en naturlig del i undervisningen med klart syfte att använda elevernas förståelse av multiplikation som ett innehåll i undervisningen. I Boels fall har frågan snarare funktionen att ta reda på om eleverna tänker på det sätt som hon själv föredrar. Det är, menar jag, en stor skillnad mellan att å ena sidan försöka begripa vad eleverna menar och å den andra försöka ta reda på om eleverna tänker på rätt sätt. Lärarens, matematikens eller elevernas perspektiv? Barn är ofta lika logiska som vuxna, men deras svar, t.ex. som 9, 3 kan vid första anblicken te sig som mindre begripliga om man inte beaktar vad de menar. Genom att med frågor verkligen försöka förstå hur de resonerat, istället för att bara bedöma deras svar i termer av rätt eller fel, kan rika möjligheter skapas, vilket visas i ovanstående beskrivning av Doris. Med frågor som har flera korrekta svar kan olika elever komma till tals. Likheter och olikheter i deras sätt att tänka kring samma sak kan diskuteras i klassen. En fråga eller ett problem med flera lösningar bidrar på så sätt till att sätta diskussionens fokus på lösningen av problemet istället för på vilket svar som är det rätta. Frågor kan ställas för att ta reda på om eleverna använder matematiska begrepp på ett riktigt sätt. Frågor kan också ställas för att undersöka om eleverna använder matematiken på sätt som man som lärare själv föredrar. Exemplen ovan visar också att i vissa situationer kan mycket vara vunnet om man prövar att ibland ställa frågor som istället har funktionen att lyfta fram vad eleverna menar, hur de förstår och hur de använder sin matematik. En fråga om frågor hur lärares frågor i klassrummet gör det möjligt att få reda på elevernas sätt att förstå det som undervisningen behandlar i matematik och naturvetenskap Jonas Emanuelsson Jonas Emanuelssons doktorsavhandling i pedagogik presenterades hösten 2001. Göteborg Studies in Educational Sciences, 168. Acta Universitatis Gothoburgensis. Avhandlingen går att beställa från Göteborgs Universitetsbibliotek Box 222, 405 30 Göteborg tel: 031 7731733 www.ub.gu.se NÄMNAREN NR 3 2002 23