Fuzzy logic,
Innehållsförteckning Inledning 3 Vad är Fuzzy Logic, varför finns det? 3 Fuzzy sets och crisp sets 4 Medlemsfunktioner 4 Operationer 7 Lingvistiska termer och lingvistiska variabler 9 Artificiell intelligens och fuzzy logic 10 Diskussion 12 Referenser 14 2
Inledning Detta arbete kommer att förklara vad fuzzy logic är för något och vad det kan användas till., rapporten kommer att ta upp vissa delar inom fuzzy logic. Som vad skillnaden är mellan ett fuzzy set och ett crisp set, några vanliga medlemsfunktioner som finns, vad operationer inom fuzzy logic är för något och lingvistiska termer som kan användas inom fuzzy logic. Till sist nämns också två sätt på hur fuzzy logic kan användas inom artificiell intelligens. Rapporten avslutas med en diskussion kring ämnet och mina egna tankar kring fuzzy logic. Vad är Fuzzy Logic, varför finns det? Enligt Yen och Langari (1999) föddes idén om Fuzzy logic, oskarp logik på svenska, på 1960-talet av en man som hette L.A.Zadeh. Anledningen till att han införde Fuzzy logic var för att han tyckte att analysteknikerna som traditionellt fanns var för exakta för att kunna användas på problem i den riktiga världen. Zadeh ansåg att det behövdes en ny typ av matematik. Det nya konceptet om oskarp logik mötte dock mycket kritik och motgångar. Människor var tveksamma både på grund av namnet, men också för att det gick ifrån de vetenskapliga disciplinerna om att allting skulle vara så exakt som möjligt. Starten för logik var enligt Jantzen (2006) läran om språk vid användandet av argumentering och övertalning. Logik används främst för att bestämma hur sant något är, ofta inom matte, det man vill komma fram till är om något är antingen sant eller falskt. I Fuzzy logic kan ett sanningsvärde däremot vara antingen sant, falskt eller ett värde däremellan, som kanske är sant. I fuzzy logic använder man sig enligt Jantzen av en diskret domän med tal mellan 0-1 där 0 står för falskt och 1 står för sant. Ett tal mellan 0 och 1 kan sedan berätta hur nära sant eller falskt en proposition befinner sig. Ett exempel på detta kan enligt Yen och Langari (1999) vara när man vill ange en varm rumstemperatur. En varm rumstemperatur ses oftast som ett intervall som ligger någonstans mellan cirka 21-25 C. Detta blir då svårt att uttrycka som något som är antingen sant eller falskt, utan man behöver en mer mänsklig tolkning som anger en gradvis övergång från vad som är inte varmt till vad som är varmt. För att göra detta måste man använda sig av begreppet medlemskap och till hur många grader någonting tillhör temperaturen varmt. Det är även här siffrorna från 0-1 spelar in, för det är här de anger hur nära varmt eller inte varmt som temperaturen ligger. Termen Fuzzy logic har enligt Yen och Langari (1999), framförallt använts på två olika sätt. Dels så syftar det till det logiska system med två olika värden som används för att resonera om osäkerhet. Dels så syftar det också till alla teorier som använder fuzzy sets, som använder sig av oskarpa gränser. Fuzzy logic används när man vill uttrycka något som inte är bara sant eller falskt. Fuzzy logic är enligt Singh et al. (2013) väldigt användbart för främst människor som arbetar med forskning och utveckling, däribland ingenjörer, matematiker, mjukvaruutvecklare med flera. Olika saker som fuzzy logic har använts till är bland annat ansiktsigenkänning, i luftkonditioneringar, i tvättmaskiner och dammsugare, i tunnelbanesystem och obemannade 3
fordon. Det har även använts till väderprognossystem, för att kunna ställa medicinska diagnoser och inom aktiemarknaden. Fuzzy sets och crisp sets I alla situationer där man enligt Bandemer och Gottwald (1995) använder traditionella matematiska modeller, som innehåller precisa data, och som behöver exakt notation, använder man sig av något som kallas för crisp sets. Det som utmärker crisp sets är att de karaktäriseras av element eller siffror. Man använder detta namn för att skilja precisa data från fuzzy sets. Fuzzy sets används för att ange i vilken grad en delmängd tillhör något. Enligt Russell och Norvig (2010) används teorin fuzzy sets för att uttrycka hur pass bra ett objekt passar in i en vag beskrivning. Problemet inom fuzzy sets är att det finns vissa uttryck, vissa lingvistiska termer, som inte går att sätta som antingen sant eller falskt, utan det finns grader av exempelvis längd eller värme, och det är därför man använder sig av siffror mellan 0 och 1 i stället för endast sant eller falskt. Figur 1 1. Figur 1 visar enligt Bandemer och Gottwald (1995) ett crisp set och fuzzy set som berättar hur pass fullvuxen man är i olika åldrar. Den raka linjen är ett crisp set och den kurvade linjen är ett fuzzy set. I linjen som visar ett crisp set så kan man se att den anger att man är helt fullvuxen vid 18 års ålder. Linjen med ett fuzzy set visar däremot att man inte blir helt fullvuxen förrän vid 22-års ålder. Samma figur kan även gälla för exemplet om huruvida varm en varm rumstemperatur är. När man använder sig av ett crisp set skulle det betyda att man var fullvuxen exakt den dagen man fyller 18 år, men innan dess skulle värdet på fullvuxen vara falskt. Om man i stället använder sig av ett fuzzy set så kan man uttrycka att någon är nästan fullvuxen vid åldern 18 år. Medlemsfunktioner Ett fuzzy set definieras enligt Yen och Langari (1999) som en funktion som kartlägger objekt i en domän och visar hur stort medlemskap objektet har i just det setet. En sådan funktion 1 Källa: Bandemer och Gottwald (1995) 4
kallas för en medlemsfunktion och uttrycks ofta med symbolen μ, men kan också skrivas med f. För att kunna bestämma medlemskapen för ett objekt i ett set måste ett objekt x vara medlem i rymden X. Detta betecknas som: x X Medlemsfunktionen för ett fuzzy set A uttrycks som μa eller fa och om man ska uttrycka medlemsvärdet för x skrivs det som μa(x) eller fa(x). Något som är viktigt att påpeka är att en medlemsfunktion visar en gradvis övergång mellan områden som ligger helt utanför setet till områden som ligger helt inom setet. Medlemsfunktionen ska beräkna en så jämn övergång som möjligt mellan de två områdena som finns utanför och inom setet. Det finns olika sätt som en medlemskapsfunktion kan designas på. Ett sätt är att intervjua personer som är bekanta med det koncept som ska undersökas, och sedan rättar man till koncepten utefter att man får mer information. Ett annat sätt kan vara att automatiskt konstruera koncept utifrån data man har, och ett tredje är att lära sig utifrån systemprestanda. De två sista teknikerna har utvecklats genom att använda statistik, neurala nätverk och genetiska algoritmer. Yen och Langari (1999) Enligt Zadeh (1965) uttrycker man genom ett reellt tal mellan 0 och 1 hur många grader medlemskap x har i setet A. Om x är ett tal som hamnar nära 1 tillhör x till en större grad setet A. Om x är ett tal som hamnar nära 0 tillhör x till mindre grad setet A. Zadeh ger ett exempel på hur man kan ställa upp detta som en funktion, och jag tänkte använda denna funktion som utgångspunkt för att visa ett annat exempel, exemplet med hur pass fullvuxen man är upp till åldern 22 år genom att se på hur många grader x tillhör A i olika åldrar. Då är A ett fuzzy set med åldrar upp till 22 år i rymden X som består av en nummerordnad linje i stigande åldrar (vi kan kalla denna linje för Å som i ålder). Efter detta kan man skapa en funktion av Å som görs om genom fa(x). Den funktionen specificerar de olika åldrarna som finns i A. Funktionen som visar hur pass nära fullvuxen man är i olika åldrar upp till 18 år kan då se ut som: fa(12) = 0, fa(14) = 0,2, fa(16) = 0,4, fa(18) = 0,6, fa(20) = 0,8, fa(22) = 1 De två vanligaste medlemsfunktionerna kallas triangelmedlemsfunktion och trapetsmedlemsfunktion. Även Gaussian-medlemsfunktionen är en populär teknik som främst används när medlemskapsfunktionen använder sig av neurala nätverk. Yen och Langari (1999) Trapetsmedlemsfunktion Funktion 1 nedan visar hur man skapar grafen för en trapetsmedlemsfunktion (figur 2). En trapetsmedlemsfunktion är enligt Jantzen (2006) linjär och kontinuerlig, och består av fyra parametrar {a,b,c,d}. De fyra brytpunkter som finns i figur 2 representeras av parametrarna a b c d som finns i funktion 1. Enligt Hong & Lee (1996) så ligger b och c i mitten av de 5
fyra parametrarna, b och c är ett intervall som visar att x är medlem till graden 1. a och d står för de yttre max- och minpunkterna. Funktionen talar om vad för slags värde medlemsfunktionen får, beroende på vilken siffra x är. Om x är ett värde som ligger utanför dessa punkter betyder det att x får värdet 0 och är därför inte en del av setet. Triangelmedlemsfunktion Funktion 1. 2 Figur 2. Funktion 2 nedan visar hur man skapar grafen för en triangelmedlemsfunktion (figur 3). Triangelmedlemsfunktionen är enligt Jantzen (2006) också linjär och består till skillnad från trapetsmedlemsfunktionen av tre parametrar {a,b,c}. Denna funktion utgår från trapetsmedlemsfunktionen men den har i stället tre brytpunkter som kan ses i figur 3. Enligt Hong & Lee (1996) så ligger b i mitten av de tre parametrarna. a och c står för de yttre maxoch minpunkterna. Gaussian-medlemsfunktion Funktion 2. 3 Figur 3. Gaussian-medlemsfunktionen är en kurva som representeras av parametrarna σ och c. σ står för mittpunkten på kurvan och c står för bredden på kurvan. Man kan kontrollera formen på funktionen genom att ge parametern σ ett litet värde för en tunn medlemskap och funktion, och man kan ge σ ett stort värde för att få en plattare medlemsfunktion. (Yen och Langari, 1999) 2 Källa: http://se.mathworks.com/help/fuzzy/trapmf.html 3 Källa: http://se.mathworks.com/help/fuzzy/trimf.html?s_tid=gn_loc_drop 6
Funktion 3. 4 Figur 4. 5 Operationer Enligt Russel och Norvig (2010) finns det standardregler för att kunna räkna ut sanningsvärden, dessa oskarpa sanningsvärden kallas för T(där T står för truth value), de regler som finns är följande: T(A B) = min(t(a), T(B)) T(A V B) = max(t(a), T(B)) T(-A) = 1 T(A) Enligt Zadeh (1965) kallas dessa standardregler också för snitt, union och komplement. Snitt Regeln T(A B) = min(t(a), T(B)) är snittet och betecknas med, och kan skrivas som C = A B, enligt Zadeh(1965) kan det också skrivas som: fc(x) = Min[fA(x), fb(x)] där x X Detta betyder att fc(x) som är medlemsfunktionen, är minsta värdet för fa(x) och fb(x), så fc(x) är snittet mellan A och B. 4 Källa: http://se.mathworks.com/help/fuzzy/gaussmf.html 5 Källa: Jantzen (2006) 7
Figur 2. 6 I figur 2 visar det skuggade området (C) snittet av A och B. Snittet är när C är sant i både A och B, vilket betyder att C har ett medlemskap i A och B. C blir till ett nytt set som skapas utifrån de två första seten A och B. (Zadeh, 1965) Union Regeln T(A V B) = max(t(a), T(B)) är unionen och betecknas med U, och kan skrivas som C = A U B. Enligt Zadeh(1965) kan det också skrivas som: fc(x) = Max[fA(x), fb(x)] där x X Detta betyder att fc(x) som är medlemskapsfunktionen, är maximala värdet för fa(x) och fb(x), fc(x) är A unionen tillsammans med B. Figur 3. 7 6 Källa: Jantzen(2006) 7 Källa: Jantzen(2006) 8
I figur 3 visar det skuggade området (C) unionen av A och B. Unionen är när C har ett medlemskap i någon av A och B. Även här skapas ett nytt set utifrån de första seten A och B. (Zadeh, 1965) Komplement Regeln T(-A) = 1 T(A) är komplementet och kan enligt Zadeh (1965) även skrivas som: fa = 1 - fa Detta betyder att komplementet är ett värde som man får ut genom att ta 1 subtraherat med medlemskapsvärdet för fa, medlemskapsvärdet måste uppnå enhetlighet, och den enhetligheten är siffran 1. Figur 4. 8 I figur 4 visar det skuggade området (C) komplementet av A och B. Komplementet är när C inte är medlem i varken A eller B. (Zadeh, 1965) Lingvistiska termer och lingvistiska variabler Förutom medlemsfunktioner, så har fuzzy sets också med lingvistiska termer att göra (Yen och Langari, 1999). För att fortsätta med exemplet om vid vilken ålder en person är fullvuxen så är fuzzy setet i figur 1 förknippat med just ordet fullvuxen. Det finns enligt Yen och Langari (1999) två fördelar med att förknippa ett fuzzy set till en lingvistisk term, det ena är att experter har lättare att uttrycka sina kunskaper genom lingvistiska termer. Det andra är att kunskapen blir mycket lättare att förstå om det uttrycks med lingvistiska termer. Lingvistiska variabler är ett viktigt koncept som används inom fuzzy logic, och det är detta koncept som gör de två fördelarna ovan möjliga. Fuzzy sets definieras alltid i en kontext, och det är en viktig sak att minnas. Beroende på i vilken kontext ett ord används kan det betyda olika saker. Exempelvis så är en kort person i USA inte alls lika lång som en kort person i Kina. Det är inte heller säkert att ordet kort betyder samma sak på två olika personer i USA. En person i ett basketlag kan vara kort, men 8 Källa: Jantzen(2006) 9
personen är antagligen inte kort i jämförelse med en vanlig person som anses kort. Detta kan vara ett problem när fuzzy sets förknippas med lingvistiska termer, men oftast är kontexten underförstådd och det sker sällan missförstånd. (Yen och Langari, 1999) En lingvistisk variabel har både ett kvalitativt och ett kvantitativt värde. Det kvalitativa värdet består av en lingvistisk term, en symbol för namnet på ett fuzzy set. Det kvantitativa värdet uttrycker betydelsen av ett fuzzy set och är en motsvarande medlemsfunktion till det kvalitativa värdet. Lingvistiska variabler används främst för att det ska bli lättare att mänskligt kommunicera medlemsfunktioner. En lingvistisk variabel består av både en variabel vars värde är en symbol, och en variabel vars värde är en siffra. Variablerna som har ett symbolvärde har en viktig roll inom artificiell intelligens och variablerna som har ett siffervärde är viktiga inom bland annat vetenskap och matematik. En av anledningarna till att fuzzy logic varit så bra på att få fram intelligenta metoder inom teknik har att göra med att man använder en kombination av både symbolvärdet och siffervärdet inom lingvistiska variabler. (Yen och Langari, 1999) Artificiell intelligens och fuzzy logic Frame-baserad representation Inom artificiell intelligens används enligt Yen och Langari (1999) ofta en frame-baserad representation, vilket representerar en samling objekt, dessa kallar man ofta klasser. En klass egenskaper kallas attribut och har ofta ett namn samt ett värde, ett problem med framebaserad representation är att man inte kan representera icke-exakta värden på attributen. Exempel på sådana icke-exakta värden kan vara ord som ofta, sällan, regelbunden, lågt. Med hjälp av fuzzy logic går det dock att representera icke-exakta värden av en klass, genom att ge attributet en lingvistisk term som värde. Detta fungerar eftersom den lingvistiska termen definieras av en medlemsfunktion. Vid användning av fuzzy logic i en frame-baserad representation finns det både en symbolisk representation med lingvistiska termer, och en kvantitativ representation som använder medlemsfunktioner, vilket betyder att ett attribut i ett sådant system blir en lingvistisk variabel. Genom att använda lingvistiska termer för att representera en klass kan man få en instans att endast delvis tillhöra klass. Medlemsfunktionen mellan en klass och en instans kan ha olika grader av tillhörighet. Exempelvis kan en familj vara delvis nyttig och delvis rik på samma gång. Men detta är något som är svårt att uttrycka i frame-baserade system, det man kan göra är att skapa en prioritet inom klasserna som bestämmer i vilken ordning föräldraklasser ska ärva värden.(yen och Langari, 1999) Expertsystem och fuzzy logic Fuzzy expertsystem sägs kunna bete sig människoliknande med anledningen att det resonerar och tänker i koncept på ett lika naturligt och också oklart (fuzzy) sätt som en riktig människa gör.(kandel, 1991) 10
Figur 5. 9 Figur 5 visar grunderna för hur ett expertsystem ser ut, det har fyra huvuddelar som är en kunskapsbas, en slutledning, en förklaringsgenerator och ett användargränssnitt. I kunskapsbasen finns mänsklig expertinformation samlad, ofta presenterade som regler. Där finns även information om särskilda problem som kan finnas i domänen. I kunskapsbasen finns det ofta information om vad mänskliga experter har för strategi när de löser problem, informationen sker i form av beskrivningar om mål och delmål och även uppgifter eller deluppgifter. I slutledningen används regler och bakomliggande fakta för reglerna för att få ytterligare fakta eller för att komma fram till vissa delar av lösningen. Reglerna kan ändra en del på objekten som finns i kunskapsbasen. Ett expertsystem ska förutom att kunna utföra en uppgift på samma kompetenta sätt som en mänsklig expert också kunna logiskt förklara varför den gjort som den gjort. Det är därför förklaringsgeneratorn finns, för att kunna förklara logiken bakom vad den har gjort kan den spåra vilka regler som användes i slutledningen. Till sist finns användargränssnittet, detta interagerar med användaren för att få indata, för att visa lösningar och för att kunna förklara saker för användaren.(yen och Langari, 1999) Eftersom expertsystem utgår från mänsklig expertkunskap för att ta beslut är enligt Yen och Langari (1999) kunskapen ofta oviss eller osäker. Därför måste expertsystemet kunna avgöra hur pass mycket säkerhet ett visst sammanhang har. I expertsystem finns åtminstone fyra olika sorters osäkerheter, två av dessa osäkerheter är framförallt passande för fuzzy logic, för 9 Avbildad från bild i Yen och Langari (1999) 11
att dessa är naturligt oprecisa. Den ena osäkerheten är att det är svårt att ha skarpa och definierade gränser av en kunskap, och den andra osäkerheten är att en slutsats kan vara oprecis, vilket sker när slutsatsen är något uttrycks i en mängd. För att associera oklara villkor med en slutsats, som antingen blir precis eller oprecis, använder sig de flesta expertsystem av fuzzy logic. Då används ofta om-så regler, som ofta skrivs på denna form: IF (A1 (O1) is V1) AND (A2 (O2) is V2) (Ak (Ok) is Vk) THEN it is likely (τ) that Ak+1 (Ok+1) is Vk+1 Ai står för attribut, Oi står för objekt, Vi står för värden och τ betecknar sanningsvärdet i så - regeln (then-regeln). Värdet Vi är ett fuzzy set, och sanningsvärdet τ är antingen ett nummer [0,1] eller en fuzzy delmängd av [0,1]. Ett exempel som Yen och Langari (1999) ger på denna formel är ett medicinskt system för att ge diagnoser, i detta fall för att titta på leverfunktioner: IF GOT is Medium AND GPT is Medium AND Previous GOT is Very High AND GOT > GPT THEN it is somewhat likely that liver function is abnormal. I exemplet står GOT och GPT för olika blodtester som kollar leverfunktioner. Alla attribut i det här exemplet står för patienten som får en diagnos, därför finns det inget objekt uttryckt i denna regel. Medium och Very High är fuzzy sets som beskriver icke-exakta värden, och somewhat likely är ett fuzzy set som karaktäriserar osäkerheten som finns för hela denna regel. (Yen och Langari, 1999) Förutom att expertsystem kan användas medicinskt för att ge diagnoser kan det enligt Kandel (1991) också vara användbart i domäner där det inte finns en mänsklig expert tillgänglig, hos exempelvis robotar. Diskussion Jag anser att fuzzy logic är en viktig logik, och något som känns som ett nödvändigt komplement till den vanliga logiken. Det som gör det till så viktigt är att det uttrycker mer än endast sant eller falskt, och det är lättare för människor att förstå då det efterliknar människans språk och att se på saker i världen mycket mer än den klassiska logiken. Som tidigare nämnts så har fuzzy logic kommit till användning i många system som exempelvis dammsugare och luftkonditionering. Det blir lättare för en människa att förstå en dammsugare där man kan ställa in att den ska blåsa in mycket eller lite, eller att förstå en luftkonditionering där man kan ställa in att man vill ha det ganska svalt i rummet. Att fuzzy logic också kommit till användning inom expertsystem för att medicinskt hjälpa till att ställa diagnoser känns som en väldigt viktig upptäckt som har varit till fördel för människan. 12
Jag tror även att fuzzy logic hjälpt oss att förstå mer om hur människor tänker och resonerar, då det varit nödvändigt att veta vid utvecklingen av logiken. När man använder sig av expertsystem för att tillverka robotar måste dessa kunna fungera på liknande sätt som människor. Speciellt om en robot ska kunna resonera kring språk och olika luddiga ord så som kanske, ganska och snart. För människor är det saker som man lär sig på naturligt sätt samtidigt som man lär sig ett språk, men för en robot är det något som måste läras in via en matematisk formel. Det är inte självklart var gränsen för lång och kort går, eller vad gränsen för varmt och kallt är. När jag började läsa in mig på ämnet så tyckte jag till en början att ämnet lät lite konstigt, och då kanske främst på grund av namnet, att det lät lite oseriöst och oklart. Men ju mer jag läste på desto mer började jag inse att det är ett viktigt ämne, som jag tror kommer fortsätta växa. Jag ser ingen anledning till att det skulle sluta växa då har kommit fram så pass bra saker ur det, sen kanske det finns ännu bättre sätt att lösa saker på, men tills dess känns fuzzy logic som en bra början. 13
Referenser Bandemer, H. Gottwald, S. (1995) Fuzzy sets, Fuzzy, logic, fuzzy methods with applications. Chichester : Wiley Singh, H. et al. (2013) Real-Life applications of Fuzzy Logic. Hong, T.-P., & Lee, C.-Y. (1996). Induction of Fuzzy Rules and Membership Functions. Fuzzy Sets and Systems, 33-47. Jantzen, J. (2006) Tutorial on Fuzzy Logic. Kongens Lyngby: Technical University of Denmark Kandel, A. (1991) Fuzzy Expert Systems. Florida: CRC Press Russell, S. Norvig, P. (2010) Artficial Intelligence A Modern Approach. New Jersey: Pearson. Yen, J. Langari, R. (1999) Fuzzy logic. Upper Saddle River, N.J. : Prentice Hall Zadeh, L. A. (1965). Fuzzy sets. Information and control, 338-353. 14