När det oskarpa ger skärpa

Transkript

1 En litteraturstudie om oskarp logik av för kursen Artificiell intelligens 729G43

2 Innehållsförteckning Inledning... 2 Syfte... 2 Upplägg och litteratur... 2 Varför använda oskarp logik?... 2 Oskarp mängdteori... 3 Klassisk mängdteori... 3 Oskarpa mängder... 4 Medlemskapsfunktioner... 6 Operatorer av oskarpa mängder... 7 Oskarp logik... 8 Lingvistiska variabler... 8 Modifierare... 8 Oskarpa regler... 9 Att tillämpa oskarp logik... 9 Diskussion Litteraturförteckning

3 Inledning Kan man säga åt en maskin att höja temperaturen lagom mycket? Är vår omvärld verkligen bestående av 1:or och 0:or? Med hjälp av oskarp logik (engelska kallat fuzzy logic) har traditionella logiska slutledningar utvecklats, och blivit nåt som inte bara består av svart och vitt, utan även gråskalan där emellan när det kommer till sanningsvärden. I den litteraturstudien redovisas oskarp logik med dess grunder på ett enkelt sätt. Logik kan anses svårt, men med bra förklaringar är det intressant och kan bidra till en djupare förståelse av hur beräknande sker i maskiner, och inte minst hur människan tänker, och inte tänker. Syfte Syftet med det här arbetet är att redogöra för vad oskarp mängdteori (även kallat fuzzy set theory) och oskarp logik är för något och visa på god förståelse av ämnet. En del av arbetet tillägnas intressanta tillämpningar med syftet att få förståelse för hur logiken kan användas rent praktiskt. Upplägg och litteratur I den här studien har flera olika källor använts, men ingen nytt tillförs. Till skillnad från en typ av litteraturstudie där syftet är att till exempel jämföra eller analysera teorier eller texter är syftet här som sagt att presentera ämnet. Studien avslutas därför med en reflektion kring ämnet, källorna och dess tillämningar inom ämnet. Vad gäller delen om oskarp mängdteori har två huvudkällor används, dels Lofti A. Zadehs artikel om oskarpa mängder från Den redogör kortfattat men på en rätt avancerad nivå för ämnet. För att få ytterligare förståelse med mer utvecklade resonemang och även mer bakgrundsinformation kring klassisk mängdteori används Jan Jantzens Tutorial on Fuzzy Logic från Den går genom både klassisk mängdteori och oskarp mängdteori med flera exempel. Många källor lästes igenom men dessa två valdes som huvudkällor för att de skiljer sig från varandra och beskriver begrepp med olika ord och ger därför en bredd. För delen om oskarp logik och tillämpningar har en hel del olika litteratur använts, men än en gång kom Jantzens litteratur till pass med bra exempel och boken Fuzzy Logic for beginners av den japanska författaren Masao Mukaidono förklarar oskarpa system på ett tydligt sätt. Även Zadehs artikel om oskarp logik från 1988 bidrog till bra begreppsdefinitioner och förklaringar. Varför använda oskarp logik? Vi människor är fantastiskt bra på att resonera och ta beslut i omgivningar som är osäkra, delvis dolda och där sanningar kanske bara delvis är sanna (Dumitras & Moschytz, 2007). Men om man ska 2

4 ge sig på utmaningen att skapa maskiner som kan resonera och utföra saker som kommer naturligt för människan blir det svårare. En stor utmaning är hur en maskin ska kunna tolka vissa svårtolkade satser ur det naturliga mänskliga språket. Med hjälp av första ordningens predikatlogik kan satser som Apelsinen är gul tolkas det är nämligen ett påstående som är sant eller falskt. Även en sats av om -karaktär som Kommer jag att äta upp glassen om jag blir sugen på glass går att tolka genom probabilistisk logik. Den probabilistiska logiken kan ge sannolikhetsvärden mellan 0 och 1 vilket är bra, men vad gör vi när osäkerheten ligger i språkets subjektiva betydelse? Hur ska en maskin veta vad som är lagom varmt? Vem som är lång och vad som är mörkt eller ljust? Fuzzy logic möjliggör tolkning av satser som om tvättmaskinen är halvfull använd mindre vatten och kan ta reda på vad mindre vatten innebär (Jantzen, 2006). Det var Lofti A. Zadeh som under 60-talet utvecklade en alternativ logik till de traditionella logikerna som skulle göra det lättare att utveckla system som kan hantera den här typen av osäkerhet. Det bidrog till en utveckling av bland annat kontrollsystem, och gav oss också nya perspektiv på hur man kan skapa AI som liknar människans sätt att tänka. (Silverman & Friedenberg, 2006). Inom första ordningens predikatlogik och andra logiker med binära värden kan man tackla många problem, men det kräver att predikaten bara kan anta 1 eller 0, sant eller falskt, ja eller nej och så vidare. På svenska översätts fuzzy logic till oskarp eller luddig logik, namnet kan dock vara missvisande, Zadeh själv uttrycker att Fuzzy logic is not fuzzy. Basically, fuzzy logic is a precise logic of imprecision and approximate reasoning. (Chen & Pham, 2001). Oskarp mängdteori Klassisk mängdteori Oskarp mängdteori (på engelska: fuzzy set theory) var det Zadeh först utvecklade utifrån klassisk mängdteori och som sedan ledde till den oskarpa logiken. Det anses vara en naturlig utveckling och breddning av klassisk mängdteori (Chen & Pham, 2001). För att förstå den oskarpa mängdteorin bör man ha en förståelse för den klassiska mängdteorin. Teorin om mängder började utvecklas redan under mitten av 1800-talet och är grunden till den matematiken vi är vana vid att studera. Följande grundläggande idéer om klassisk mängdteori är hämtad från Jantzens artikel (2006). En mängd kan ha obegränsat antal medlemmar, eller element som man också säger. Varje medlem måste kunna skiljas åt i en mängd och medlemmarna i sig kan också vara mängder. Inom klassisk mängdteori är det viktigt att poängtera att varje medlem antingen tillhör en mängd eller inte tillhör en mängd, det 1 eller 0, och något graderat medlemskap är alltså inte möjligt. Elementet x är medlem i mängden X skrivs: 3

5 x X I övrigt kan en mängd vara tom ( ) och för att en mängd X ska kunna vara en delmängd av Y (X Y) så ska alla medlemmar i X också finnas i Y. En mängd av positiva heltal mindre än 4 skulle till exempel vara en mängd som ser ut så här: {1, 2, 3} och mängden skulle vara inkluderad i mängden {0, 3, 2, 1}. Ytterligare en viktig del av den klassiska logiken är att förstå predikat och propositioner. Ett predikat innehåller variabeln x, till exempel 0 < x < 4, som med ett värde på x blir en proposition och är då antingen sann eller falsk. I notationen {x P(x)} är mängden alla x för vilka P(x) är sant. Nu till hur den här logiken har utvecklats till att även vara oskarp. Oskarpa mängder I oskarpa mängder får varje element en grad av medlemskap mellan 0 och 1. Hur stort medlemskapet är beror på hur väl elementet representerar mängden. Representerar elementet mängden fullständigt får det medlemsgraden 1 och om det inte alls representerar mängden får den medlemskapsgraden 0. Det här skiljer sig alltså mycket från klassiska mängder, för här kan man delvis vara medlem, och därmed är lagen om det uteslutna tredje ej gällande. (Chen & Pham, 2001) Ett klassiskt exempel är hur man bestämmer när en person är lång. Följande förklaringar med notation och exempel är hämtade från Jantzen (2006). Det är subjektivt med oskarpa mängder, vad vi anser är långt beror vem som svarar och vilken i kontext. Någon som har en längd på 180 centimeter skulle kanske inte anses lång i ett proffsbasketlag, men de flesta av oss skulle tycka att hen är lång. Desto svårare exempel är om någon är på gränsen mellan lång och kort, för i en skarp mängd hade det varit nödvändigt att sätta en gräns för just lång och kort. I figuren nedan visas graden av medlemskap i en skarp och en oskarp mängd. Detta är förstås bara ett exempel på två definitioner av att vara just lång. 4

6 Figur 1. Två definitioner av mängden för "lång", en skarp och en oskarp. Hämtad från Jantzen (2006). Oskarpa mängder representeras i ordnade par. Varje element representeras nämligen med sin medlemsgrad, (element x, medlemsgrad µ). Ett sådant ordnat par av element x och medlemsgraden kallas oskarp singleton (och en oskarp mängd med en medlemsfunktion som endast ger 1 kallas en oskarp singleton-mängd). Utifrån ett universum U som på engelska kallas Universe of discourse finns möjliga element att tillhöra den oskarpa mängden. Låt oss representera vår mängd med A. Medlemsgraden µ är som sagt ett värde mellan 0 och 1 och skrivs här ut med medlemskapsfunktionen µ A (x). Vad medlemsfunktionen är framkommer under nästa rubrik. Notationen kan därför enligt Jantzen (2006) lyda: A {(x, µ A (x)) x U} Låt oss ta ett exempel baserat på ögonmått från figur 1 ovan, om att vara lång. Den oskarpa mängden sätter vi till lång och vi ska kolla på olika längders medlemsgrad, med andra ord, vad räknas som lång? Vi tar två exempel, 175 centimeter och 180 centimeter. Längd är kontinuerliga värden, och för att knyta an till vad som skrevs innan ingår dessa värden i det universum som gäller, skulle vi däremot slänga in att någon har längden bil skulle det inte fungera i det här fallet. Vi läser av figuren vid de två längderna enligt den oskarpa kurvan och kommer fram till följande: Lång = {(175, 0,4), (180, 0,7)} Vi kan enkelt konstatera att 180 centimeter har en högre grad av medlemskap än 175 centimeter, och att medlemsfunktionens kurva i det här fallet gör att medlemskapsgraden skiljer sig med 0,3 mellan längderna. Sätter man det i perspektiv till om man hade använt den skarpa mängd som också är utsatt blir det intressant, eftersom att 170 centimeter då inte räknas som lång alls. 5

7 Medlemskapsfunktioner Med hjälp av medlemskapsfunktionen µ A (x) kan medlemsgraden beräknas. Om µ Gott (glass) = 1 ingår glass helt i mängden Gott. Det finns olika medlemskapsfunktioner eftersom att det är en subjektiv idé om hur mycket ett element tillhör en mängd. För att relatera till klassisk mängdteori om när två mängder är likställda är det inom oskarp mängdteori så att två mängder är lika om och endast om de har samma medlemskapsfunktion för alla x som tillhör U (Zadeh L., 1965). Man skiljer också på hur man representerar en kontinuerlig och en diskret medlemskapsfunktion, då diskreta element har egna diskreta medlemsgrader (i praktiken staplar istället för kontinuerlig kurva). En funktions kurva visar hur varje element tillhör mängden och några exempel på funktioner är en triangulär, en trapezoidal och en Gaussiansk medlemskapsfunktion. De är ofta döpta efter kurvans utseende. För att visa hur en funktion kan se ut ser vi nedan grafen för en trapezoidal funktion. Här gäller att medlemsgraden för x är 0 om x < a och x > d. Den tillåtna spridningen för att ha ett graderat medlemskap i den oskarpa mängden ligger alltså mellan a och d. Mellan b och c i grafen ser vi dessutom att medlemsgraden når 1. Skulle b och c i vår funktion vara samma värde skulle vi få en triangulär medlemskapsfunktion. Figur 2Hehejevet rgb källa på det? 6

8 Operatorer av oskarpa mängder Om man vill utföra operationer av oskarpa mängder är det rätt likt hur man utför operationer inom klassisk mängdteori, trots att vi inte har skarpa medlemskap i mängderna. Man räknar därför med medlemsgraden och mängders minimum och maximum. Dessa operatorer är motsvarande operatorerna inom den oskarpa logiken som vi kommer till senare, men här enligt De Morgans lagar. Nedan följer beskrivningar hämtade från Jantzen (2006) och Zadeh (1965). I figuren nedan visas tre vanliga operatorer, första raden för skarpa mängder och andra raden för oskarpa mängder. Universum för de skarpa mängddiagrammen är allt inom kvadraten, men i de oskarpa är universum allt under den vågräta linjen vid värdet 1. Figur 3 källa är iaf Jantzen I figur a) ser vi sen unionen av A och B, A B, alltså alla mängder i A och B tillsammans. Om mängderna är oskarpa, som i figur d) representerar unionen i vilken grad ett element är medlem någon av mängderna. Man kollar på mängd As minimumvärde och Bs maximumvärde och kan därefter se vilka element som befinner sig i intervallet. Zadeh (1965) beskriver det som att om unionen för A och B är mängden C så får vi fram det värdet med hjälp av medlemskapsfunktionen enligt följande formel: µ c(x) = Max [ µ A(x), µ B(x) ], x X vilket förenklat, inom logiken skulle kunna skrivas µ c = µ A V µ B I figur b) ser vi snittet av A och B, A B, vilket endast är de element som är med i både A och B. För de oskarpa mängderna står då snittet för vilken grad elementet är med i både A och B. Nu ser man till mängd A:s maximumvärde istället, och mängd B:s minimumvärde. I figur c) ser vi slutligen komplement till mängderna A och B, alltså komplement till A B. Zadeh noterar komplement med, vilket innebär att för A B är komplementet (A B). (A B) får man 7

9 då fram genom µ A B = 1 - µ A B. I ord innebär det att komplementet är till vilken grad elementen inte är med i A eller B. Oskarp logik Efter att Zadeh hade utvecklat oskarpa mängder utvecklade han även den oskarpa logiken (Dumitras & Moschytz, 2007). Den oskarpa logiken är en förlängning av den Booleska algebran vars operatorer i sin tur är ekvivalenta med operatorerna i mängdteorin vi gick igenom ovan. Logik kan användas för att bedöma sanningsvärdet av ett resonemang. Chen & Pham (2001) uttrycker logik som studien av metoder och principer för det mänskliga tänkandet och hennes resonemang. För den oskarpa logiken uttrycker Zadeh (1988) själv att syftet är att skapa en modell för de oprecisa resonemang som spelar en viktig roll för hur människan fattar beslut, i en omgivning av osäkerhet och brist på exakthet. Med hjälp av den oskarpa logiken kan man beskriva medlemskap med oskarpa sanningsvärden och här ser vi då hur Russel & Norvig (2010) visar standardreglerna för att värdera en oskarp sanning att betrakta med minne om hur vi ovan beskrev snitt, union och komplement. Lingvistiska variabler T (A B) = min (T(A), T(B)) T (A V B) = max (T(A), T(B)) T (-A) = 1 T(A) Inom den oskarpa logiken är den lingvistiska variabeln en viktig del. Framförallt inom fuzzy control och fuzzy expert systems är det en huvudkomponent. En lingvistisk variabel, är som det låter, en variabel som tar ord eller meningar som värde. Det kan vara en variabel i naturligt eller syntetiskt språk, men ett exempel på ett värde är än en gång lång, eller gammal. (Zadeh L. A., 1988) Namnet för en sådan lingvistisk variabel är på engelska kallat label, och de möjliga variablerna som den kan anta kallas för term set (Jantzen, 2006). Låt oss ta ett exempel med längd igen. Vi låter därför vår variabel x vara en lingvistisk sådan och döper den till Längd. Vårat term set, T, definieras då av de möjliga oskarpa mängderna vi har valt att kategorisera i. T(Längd) = {kort, lagom lång, lång, jättelång} Modifierare I den oskarpa logiken används något kallat modifierare, eller ibland hedges på engelska. Det är ord som ändrar en term, och modifierar dess medlemskapsfunktion (Zadeh L. A., 1988). Ordet väldigt 8

10 skulle kunna vara en modifierare av termen lång till exempel, vilket resulterar i väldigt lång. Vad en modifierare gör är att modifiera medlemskapsfunktionen för lång och skapar en ny för väldigt lång. Hur modifierare ändrar en medlemskapsfunktion kan se olika ut, men ett exempel Jantzen (2006) har är med det engelska ordet very. Nedan beskrivs modifieraren very med hjälp av variabeln A, vi har alltså en medlemskapsfunktion för A som vi upphöjer med 2, för alla x som tillhör vårat definierade U. Very A { x, µ very A(x) µ very A(x) = µ 2 A(x), x U } Skulle A vara just lång till exempel och en person är 191 cm lång och låt oss säga har en medlemsgrad mycket nära 1, kommer den personen även att få en hög medlemsgrad i very lång eftersom 1 2 = 1. Oskarpa regler Oskarpa regler kallas på engelska fuzzy rules och ibland fuzzy if-then-rules. De används inom expert- och kontrollsystem bland annat, och visar mer på hur oskarp logik faktiskt används. De kan kallas den oskarpa logikens villkor, om mängdoperatorerna är verben och mängderna är subjekten. Det finns generellt tre olika varianter av oskarpa regler som på engelska kallas Assignment statement, Conditional statement Unconditional statement. Den första regeln, eller tilldelande påståendet, är det som använder OCH där ett exempel är x är lång OCH inte kort. Den andra regeln är en klassisk villkors- eller om-så-regel. OM x är lång SÅ är y lagom lång. En oskarp om-så-regel består alltså av en premiss och en följd och har formen: OM x = A SÅ är y = B där A och B är lingvistiska variabler definierade av oskarpa mängder. När de är oskarpa kan vi också göra oskarpa slutledningar vilket kommer till pass om en om-så-regel är nästan sann. Den sista regeln är en ovillkorlig sådan, där något är på ett visst sätt utan villkor och används i en algoritm för att till exempel utföra en handling. Det kan till exempel vara en uppmaning. (University of Ulster, N.D.) Att tillämpa oskarp logik Inom artificiell intelligens, förkortat AI, har man länge strävat efter att skapa maskiner med intelligens liknande människans. Det har funnits olika mål i vad man strävar efter mer specifikt, eftersom att skapa en ideal kopia av hjärnan inte på långa vägar ses som möjligt. Den oskarpa mängdteorin och logiken utforskades långt innan många stora upptäckter hade gjorts inom AI och på 9

11 senare tid har oskarp logik börjat användas allt mer, inte minst i tillämpningar i kombination med till exempel maskininlärning. (Mukaidono, 2001) Expertsystem är ett exempel på en framgång inom AI och hjälper till med beslutsstöd. Det är ett system som utifrån kunskap i form utav en uppsättning regler och fakta kan dra slutsatser. De används inom just en expertis, som till exempel system för sjukdomsdiagnostik, och reglerna är ofta en uppsättning av typen om-så-regler. Det är ofta knepigt att definiera precisa regler av kunskap som en expert sitter på och det är sällan just säkert sant eller falskt att något implicerar något annat. Detta leder oss in till hur oskarp logik har en viktig roll i expertsystem, eftersom det tillåter oss att släppa in graderad sanningshalt genom att använda oskarpa om-så-regler. (Mukaidono, 2001) Ett annat stort tillämpningsområde för oskarp logik är inom oskarpa kontrollsystem. Dessa system har framförallt utvecklats och tillämpats i Japan där de används för bland annat tågkontroll, dammsugare, vattenrening och luftkonditionering. Kontrollsystem används just för att kontrollera något, och oskarp kontroll är speciellt användbar när bidragande faktorer till en upplevelse är subjektiva, eller när en människa traditionellt sätt är bättre på att kontrollera styrningen jämfört med maskinens skarpa sätt. (Mukaidono, 2001) En rätt komisk och intressant användning av oskarpa kontrollsystem är vad som används i kameror för autofokus, autozoom och autoexponering. Kameror tar ju in en bild som projiceras i fokalplanet, sköter man fokusering manuellt ställer man själv in avståndet mellan objektiv och sensorn för att få skärpa. För autofokusering med hjälp av oskarp kontroll använder sig systemet av sensorer som tar in input om avstånd, placering, objektivet och eventuellt annan information. Sedan används den här informationen med hjälp av en uppsättning oskarpa om-så-regler för att avgöra dels vad som ska vara i fokus, och att det är i fokus. När man talar om att bestämma vad som ska vara i fokus är det ytterst svårt att veta för en kamera om vi inte ger den information, och även då är det aldrig just säkert vad som ska vara i fokus i just den bilden. Oskarpa mängder har därför ökat kamerors prestanda i att bete sig mer som vi vill att de ska göra. (Chen & Pham, 2001) Ett annat intressant område för oskarp logik är tolkningen av handskriven text eller språkigenkänning. The fuzzy-logical model of perception är ett exempel på en modell där oskarp logik i kombination med andra teorier, i det här fallet Bayes sats med sannolikheter, ger stora tillämpningsområden. Behovet av oskarp logik och att faktiskt tillämpa den har diskuterats, och Zadeh skrev till och med en artikel för att bemöta kritik och motivera för den oskarpa logiken. I Is there a need for fuzzy logic? (2008) bemöter han kritik som att probabilitet skulle vara tillräckligt för att uttrycka osäkerhet, och att det krävs och att oskarphet är högst ovetenskapligt och går emot den utvecklingen vetenskapen, 10

12 främst datavetenskapen har gått. Zadeh argumenterar för sin logik med att den är precis, något som inte givet kan utläsas från dess namn men som är mycket centralt. En vinkel på AI som Zadeh också pratar om är om människans vana och uppfattning om hur en dator ska vara. För trots att många forskare inom AI strävar efter att efterlikna människans resonerande genom nya upptäckter, riskerar de att låsa in sig om de tror sig tänka att omgivningar är svartvita. Diskussion Efter att ha läst om oskarp logik har jag breddat min syn av logik och hur man representerar världen. Den går emot det jag tidigare tänkt mig är logik, men känns ändå väldigt självklar. Det är intressant att den oskarpa logiken ändå är mycket ung, när man jämför med hur man har räknat med mängder sen antiken. Kanske är det inte så konstigt att den provocerar många i vetenskapsvärlden när den bryter ett binärt mönster som länge varit standard. Jag har verkligen dykt ner i ämnet och lärt mig otroligt mycket om oskarp logik, och även om vanlig logik, vilket har varit intressant. Det har gjort mig nyfiken och jag har upptäckt att oskarp logik finns inom många olika områden och i tillämpningar runt om en. Dock var jag lite förundrad över att det inte är ännu större än vad det är, men samtidigt kanske vi faktiskt inte har behovet av alla tillämpningar som oskarp logik möjliggör, även om jag tror att vi har en lång väg kvar att gå inom AI. Jag har tyckt att det har varit intressant att läsa om oskarp logik av Lotfi A. Zadeh. Han skriver snärtigt, nästan lite kaxigt, om betydelsen av oskarp logik. Jag kan ifrågasätta att den ens behöver hävdas och argumenteras för i den utsträckningen, inte för att den inte är bra, utan kanske just för att den är bra. Sen är det i och för sig den aspekten som att till exempel att oskarp logik inte nämns mer än på några rader i vår kurslitteratur som ändå är en mycket bred bok inom AI, kanske krävs det att vissa teorier måste få en viss prestige för att tillåtas undersökas. Oskarp logik är spännande, och kanske främst att förstå hur ett sanningsvärde kan bli ännu mer exakt än att bara vara just sant. Jag uppskattar det ironiska med att oskarphet används för att skapa skarphet både i ett brett perspektiv men inte minst i en tillämpning som autofokus för skärpa i bilder. 11

13 Litteraturförteckning Chen, G., & Pham, T. (2001). Introduction to Fussy Sets, Fuzzy Logic, and Fuzzy Control Systems. Boca Raton, Florida: CRC Press LLC. Dumitras, A., & Moschytz, A. (2007). Understanding Fuzzy Logic: An Interview with Lofti Zadeh. IEEE Signal Processing Magazine, 24(3), ss IASRI. (N.D.). Basics of Fuzzy Sets. Hämtat från IASRI: den 03 januari 2017 Jantzen, J. (den 22 Mars 2006). Tutorial On Fuzzy Logic. Kongens Lyngby, Oersted, Danmark: Technical University of Denmark. Hämtat från den 03 Januari 2016 Mukaidono, M. (2001). Fuzzy Logic For Beginners. Singapore: World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Russel, S., & Norvig, P. (2010). Artificial Intelligens A Modern Approach (Tredje uppl.). Upper Saddle River, New Jersey: Pearson Education, Inc. Silverman, G., & Friedenberg, J. (2006). Cognitive Science: an introduction to the theory of mind. Thousand Oaks, California: Sage Publications, Inc.. University of Ulster. (N.D.). Computational Intelligence: Fuzzy relations, rules, and inference. Hämtat från den 08 Januari 2016 Zadeh, L. (Juni 1965). Fuzzy Sets*. Information and Control, 8(3), ss Zadeh, L. A. (April 1988). Fuzzy logic. CSLI, 21,