Resonemang under osäkerhet. Bayes Certainty factors Dempster-Schafer Fuzzy logic
|
|
- Barbro Henriksson
- för 8 år sedan
- Visningar:
Transkript
1 Resonemang under osäkerhet Bayes Certainty factors Dempster-Schafer Fuzzy logic
2 Varför resonera med sannolikheter? Om agenten vet tillräckligt om världen, kan den med logik få fram planer som garanterat fungerar Dock: agenten har nästan aldrig tillgång till hela sanningen om sin omgivning Måste agera under osäkerhet
3 Rationellt beslut Vad som är mest rationellt att göra beror på den relativa viktigheten hos olika mål och sannolikheten för att de olika målen skall uppnås.
4 Exempel: diagnos Betrakta regeln Toothache Cavity Uppenbarligen inte sann inte heller är omvändningen sann, trots att vi vet att det finns ett ganska stark samband mellan tandvärk och hål.
5 Sannolikhet Vad agenten vet om världen i dessa fall kan bara representeras av en viss grad av tilltro (eng. degree of belief) på olika satser. Buntar ihop vår lathet och okunskap Exempel: 80% chans att en patient med tandvärk har ett hål Kan komma från tidigare observationer eller från allmänna regler
6 Sannolikhet En sannolikhet är ett tal mellan 0 och 1. Representerar graden av tilltro till att satsen är sann. Egentligen bör man skilja på formalismer som verkligen använder sannolikheter och de som använder olika tilltrosmått. Baseras på de bevis (eng. evidence) agenten har och kan således förändras i och med att ny information tillkommer.
7 Obetingad resp. betingad sannolikhet Innan bevis har tillkommit: obetingad (prior, unconditional) sannolikhet Efter bevis: betingad (posterior, conditional) sannolikhet
8 Maximum expected utility En agent är rationell omm den väljer den handling som ger högst förväntad nytta, snittad över alla möjliga utfall av handlingen. Detta kallas principen MEU (maximum expected utility)
9 Beslutsteoretisk agent function DT-AGENT (percept) returns an action static: belief_state, probabilistic beliefs about the current state of the world action, the agent s action update belief_state based on action and percept calculate outcome probabilities for actions, given action descriptions and current belief_state select action with highest expected utility given probabilities of outcomes and utility information return action
10 Begrepp: stokastisk variabel Stokastisk variabel (eng. random variable) har en domän som är boolesk, diskret eller kontinuerlig Förenklad notation: cavity resp. cavity för booleska sunny, rainy etc. för diskreta när sammanhang tillåter Booleska kan kombineras med konnektiv
11 Begrepp: obetingad sannolikhet Den obetingade sannolikheten för en proposition a är den grad av tilltro som tilldelas a i frånvaro av annan information och skrivs: P(a) Sannolikhetsfördelning P(Weather) = <0.7, 0.2, 0.08, 0.02>
12 Begrepp: atomär händelse Är en fullständig specifikation av tillståndet i världen. Enklare: en tilldelning av sanningsvärden till de variabler som agenten är osäker om. Har följande egenskaper: atomära händelser är ömsesidigt uteslutande är tillsammans uttömmande av varje atomär händelse följer sant/falsk för alla propositioner varje proposition är logiskt ekvivalent med disjunktionen av de atomära händelser som har den som följd
13 Axiomen i sannolikhetsteori 1. Alla sannolikheter är mellan 0 och 1, dvs. för alla propositioner a gäller 0 P(a) 1 2. Nödvändigt sanna (dvs. valida) propositioner har sannolikhet 1 och nödvändigt falska propositioner har sannolikhet 0, dvs. P(true) = 1 och P(false) = 0 3. Sannolikheten för en disjunktion ges av P(a b) = P(a) + P(b) P(a b)
14 Konsekvenser av axiomen 1. a är ekvivalent med disjunktionen av alla atomära händelser i vilka a gäller: kalla denna mängd e(a) 2. atomära händelser är ömsesidigt uteslutande Alltså: dvs. sannolikheten för en proposition är lika med summan av sannolikheter för de atomära händelser i vilka propositionen gäller P( a) = e e( a) i P( e i )
15 Begrepp: betingad sannolikhet När sannolikheten för något beror på en annan händelse, pratar vi om betingad sannolikhet. Notationen P(a b) används för att beteckna sannolikheten för händelsen a givet att vi endast vet händelsen b. Samband kallas produktregeln: P(a b) = P(a b) / P(b), om P(b) > 0 alt: P(a b) = P(a b) P(b)
16 Joint distribution En full joint distribution tilldelar sannolikheter till alla möjliga kombinationer av atomära händelser. Exempel: toothache catch catch toothache catch catch cavity cavity
17 Exempel Med denna fördelning kan vi beräkna P(cavity toothache) = P(cavity toothache) / P(toothache) = ( ) / ( ) = 0.8 Vad bör P( cavity toothache) vara?
18 Oberoende Vad händer om vi lägger till variabeln Weather (med 4 diskreta värden) i den föregående fördelningen? Hur räkna ut den nya fördelningen? Oberoende mellan variablerna a och b skrivs P(a b) = P(a), eller P(b a) = P(b), eller P(a b) = P(a) P(b)
19 Oberoende Vilka variabler som är oberoende baseras på kunskap om domänen Reducerar kraftigt domänrepresentationen
20 Begränsningar Det är naturligtvis inte alltid möjligt att ha en full joint distribution omöjligt att reda ut alla atomära händelsers enskilda sannolikheter tabellen växer dessutom exponentiellt, vilket ger ohanterligt stor tabell Vi försöker då arbeta direkt med betingade sannolikheter.
21 Bayes teorem Formlerna: P(a b) = P(a b) P(b) P(a b) = P(b a) P(a) ger oss följande version av Bayes teorem: P ( b a) = P( a b) P( b) P( a)
22 Exempel En läkare vet att hjärnhinneinflammation orsakar nackstelhet hos patienten i ca 50% av fallen. Dessutom gäller följande obetingade sannolikheter: sannolikheten att en patient har hjärnhinneinflammation är 1/50000 sannolikheten att en patient är stel i nacken är 1/20.
23 Exempel (forts) Låt s vara påståendet att patienten har stel nacke och låt m vara påståendet att patienten har hjärnhinneinflammation. Vi får då: P(s m) = 0.5, P(m) = 1/50000, P(s) = 1/20 Om en patient kommer in och är stel i nacken kan vi använda P(m s)= P(s m) P(m) / P(s) = (0.5*1/50000)/(1/20) =
24 Generellt Bayes teorem P ( H i E ) = n k = 1 P ( H i P ( H ) k P ) ( E P ( E H i ) H k ) P(H i E) P(H i ) P(E H i ) n är sannolikheten för H i givet E är a priori -sannolikheten för H i är sannolikheten att vi kan observera E om H i är sann är antalet möjliga hypoteser
25 Exempel: Fångarna A, B och C. En skall avrättas nästa morgon och de två övriga benådas. Fångvaktaren säger till A att han meddelat B att han är benådad. Vad är A:s chanser att bli avrättad givet denna information?
26 Kombinera Antag att flera bevis pekar i samma riktning: p(cavity Toothache) = 0.8 p(cavity Catch) = 0.75 Vad kan tandläkaren dra för slutsats (angående cavity) om petverktyget fastnar i den onda tanden dvs. Vad är p(cavity Toothache Catch) Vi kan förstås läsa av detta i en full joint distribution men den approachen klarar, enligt tidigare, inte av att skala upp till många variabler.
27 Mer tandvärk Så låt oss försöka hitta en möjlighet att uppdatera sannolikheterna efter hand. Omskrivning: p(cavity Toothache Catch) = p(toothache Catch Cavity) p(cavity) / p(toothache Catch)) Fungerar inte då vi knappast har p(toothache Catch Cavity) Här är det ju bara två värden, men återigen så skalar det upp dåligt. Om vi har n variabler som ger indikationer så har vi 2^n kombinationer av observationer för vilka vi skulle behöva vet de betingade sannlolikheterna.
28 Bayesiansk uppdatering Börja med Toothache: p(cavity Toothache) = p(cavity) p(toothache Cavity) / p(toothache) När Catch observeras får vi: p(cavity Toothache Catch) = p(cavity Toothache) p(catch Toothache Cavity) / p(catch Toothache) = p(cavity) p(toothache Cavity) p(catch Toothache Cavity) p(toothache) p(catch Toothache)
29 Bayesiansk uppdatering Förenklingar: Vi antar att Cavity är den direkta orsaken till både Toothache och Catch. Sannolikheten för Catch beror då ej på Toothache och det faktum att Catch gäller ändrar inte sannolikheten för att Cavity orsakar Toothache.
30 tandvärk (forts) p(catch Cavity Toothache) = p(catch Cavity) p(toothache Cavity Catch) = p(toothache Cavity) Formlerna uttrycker det villkorliga oberoendet (eng. conditional independence) mellan Toothache och Catch givet Cavity.
31 tandvärk (forts) Förenkling av uppdateringsekvationen: p(cavity Toothache Catch) = p(cavity) p(toothache Cavity) p(catch Cavity) p(toothache) p(catch Toothache) p(cavity Toothache Catch) = p(cavity) p(toothache Cavity) p(catch Cavity) p(toothache) p(catch Toothache) Vi ser att nämnaren är identisk med P(Catch Toothache) vilket nu är samma sak som P(Catch) * P(Toothache)
32 tandvärk (forts) Vi gör oss av med p(catch Toothache). Vi vet att. p( B) i= 1 Vi kan därför byta ut p(toothache) mot p(cavity)*p(toothache Cavity) + p( Cavity)*p(Toothache Cavity) och p(catch) mot p(cavity)*p(catch Cavity) + p( Cavity)*p(Catch Cavity) = n p( A ) p( B i A i )
33 tandvärk (forts) p(cav T Cat) = p( Cav) p( T Cav) p( Cat Cav) ( p( Cav) p( T Cav) + p( Cav) p( T Cav)) + ( p( Cav) p( Cat Cav) + p( Cav) p( Cat Cav)) Vilket kanske inte ser så enkelt ut, men det som har hänt nu är att om vi har n stycken symptom, alla villkorligt oberoende, givet Cavity, så växer storleken på den nödvändiga tabellen nu som O(n) istället för O(2^n).
34 Naïve Bayes Exemplet har illustrerat ett vanligt mönster där en enstaka orsak ger ett antal effekter. P( cause, effect1, effect2,..., effectn ) = P( cause) P( effecti Cause) Ofta används denna teknik även när villkoret om villkorligt oberoende inte gäller. Vi tittar vidare på Bayesiansk klassificering i ML kursen. i
35 Certainty factors Vi definierar en CF för en hypotes A på följande sätt: Om CF A = 0 Om CF A = -1 Om CF A = 1 så vet vi ingenting om A så vet vi att A är falsk så vet vi att A är sann
36 Uppdatering av CF CF = P (1 CF ) + CF A A A där CF A P CF A är den nya CF för A är sannolikheten för A enligt de nya bevisen är nuvarande CF för A
37 Exempel Vi har en regel som säger, med cf 0,3 att: OM B Så A Nuvarande värde på CF A är 0,7 Om vi får bevis för B leder detta till: CF A = 0,3 (1-0,7)+0,7 = 0,79
38 Reglerna: Ett exempel till 1. Om hålet är kortare är 200 m så är det ganska troligt (0,7) att Nick gör par eller bättre. 2. Varje bunker runt greenen gör det mindre troligt (-0,2) 3. Om det blåser sidvind är det mindre troligt (-0,5) att scoren blir par eller bättre. Första hålet på Delsjö är 165 m, par 3, och har två greenbunkrar. Det blåser i dag sidvind. Vad är CF för par eller bättre?
39 Sammansatta regler med CF 1.CF för en konjunktion av fakta är den minimala CF för dessa fakta. 2. CF för en disjunktion av fakta är den maximala CF för dessa fakta. 3. CF för en slutsats, som produceras av en regel är produkten av CF för premissen och CF för regeln. (Intraregel) 4. Om flera regler ger samma slutsats kan vi kombinera CF för slutsatserna enligt CF=CF 1 +CF 2 (1-CF 1 ) (Interregel)
40 Exempel Vi har följande regler: R1: Om A och B så E (CF=0,5) R2: Om C eller D eller E (CF=0,7) och CF A =0,3 CF B =0,7 CF C =0,5 CF D =0,6 Beräkna CF E under antagande att vi inte har någon förhandsinformation om E.
41 Ett annat exempel Regler som handlar om huruvida en patient har mässlingen: OM feber och huvudvärk SÅ mässlingen OM utslag SÅ mässlingen (CF=0,5) (CF=0,8) Om vi inte har någon information om mässlingen före dessa regler och CF:arna är: feber(cf=0,9), huvudvärk(cf=0,8), utslag(cf=0,9) vad blir då CF för mässlingen efter de två reglerna?
42 Dempster-Schafer Vi har en omdömesram (eng. frame of discernment) Θ. Θ är uttömmande och de olika hypoteserna Θ är ömsesidigt uteslutande. Vi vill knyta någon mått på tro (eng. belief) till elementen i Θ. Vi kommer att betrakta bevis som stödjer delmängder av Θ. Varje Θ kommer att ha 2 n delmängd, där n är antalet hypoteser i Θ.
43 Sannolikhetsfunktion m X Θ 0 m( X ) 1 X Θ m ( X ) = 1
44 Uppdatering m X Y = A 2 m (A)= m ( X ) m ( Y ) Om vi får m( ) 0 måste vi normalisera, vilket innebär att: om m( ) = k, så delar vi, för alla X, m(x) med 1-k. I praktiken inebär detta att vi fördelar den belief som tillhör proportionerligt.
45 Exempel Vi har Θ={Flue, Cold, Allergy, Pneumonia}, vilket ger oss 2 4 =16 delmängder. Till att börja med har vi m({θ})=1 och alla andra m(x)=0, vilket innebär att vi ännu inte vet något.
46 Exempel (forts) Nu får vi reda på att patienten har feber, vilket utgör stöd för delmängden {F, C, P} med en beliefnivå på 0,6. Vi får då (vi skriver m({ }) som { }): {F,C,P}=0,6 {Θ}=0,4
47 Exempel (forts) Vi ser också att patienten har snuva, vilket utgör stöd för {A, F, C} med en beliefnivå på 0,8. För att nu uppdatera använder vi {A,F,C} 0,8 {Θ} 0,2 {F,C,P} 0,6 {F,C} 0,48 {F,C,P} 0,12 {Θ} 0,4 {A,F,C} 0,32 {Θ} 0,08
48 Exempel (forts) Ytterligare information är att om patienten åker bort, så försvinner problemen, vilket utgör stöd åt {A} med 0,9. Vi uppdaterar: {A} 0,9 {Θ} 0,1 {F,C,} 0,48 0,432 {F,C} 0,048 {A,F,C} 0,32 {A} 0,288 {A,F,C} 0,032 {F,C,P} 0,12 0,108 {F,C,P} 0,012 Θ 0,08 {A} 0,072 {Θ} 0,008
49 Exempel normalisering Vi får alltså { }=0,54 och måste normalisera, dvs. skala allt med 1-0,54=0,46. 0, ,072 { A} = = 0,783 0,46 På samma sätt får vi: {F,C}= 0,104 {A,F,C}= 0,070 {F,C,P}= 0,026 {Θ}= 0,017.
50 Belief-funktion Vi definierar belief-funktionen: Bel ( A) = m( X ) X A och plausibilitetsfunktionen: Pl( A) = 1 Bel( A ) C
51 Belief-intervall [ Bel( A), Pl( A)] Bel (som är mellan 0 och 1) mäter styrkan i bevisen som stödjer en mängd. Pl (också mellan 0 och 1) mäter hur mycket bevis som stödjer A lämnar utrymme för tro på A.
52 Intervall i exemplet Bel({A})=0,783 och Bel({A,F,C})=0,783+0,104+0,07=0,957 Pl({A,F,C})=1 eftersom Bel({P})=0 så Bel-Pl intervallet för {A,F,C} är: [ 0,957, 1 ]
53 Ett exempel Antag att vi har tre möjliga hypoteser A, B och C. Expert 1 säger att A gäller med sannolikheten 99% men det finns en minimal chans att det är C som gäller dvs. 1%. Expert 2 säger: B gäller absolut (99%) men det kan möjligen vara C (1%). Vad blir resultatet? Är detta en stark kritik mot DS theory?
54 Fuzzy Logic Always remember: Fuzzy logic is a logic about vagueness not a logic which is itself fuzzy (The laws of probability are, after all, not random)
55 Fuzzy Logic Normal logik är binär, dvs. olika utsagor är sanna eller falska. Vad innebär det för påståenden av typen: Sven är lång Johan är gammal Pelle är lång och gammal Kalle är inte lång
56 Fuzzy logic Fuzzy logic är en mängd matematiska principer för kunskapsrepresentation baserad på att utsagor kan vara delvis sanna. Vi säger att någonting är delvis medlem i en fuzzymängd. Hur mycket medlem A är i en fuzzymängd varierar mellan 0 och 1. Binär logik är därmed en delmängd av fuzzy logic. Detta gäller senare även för operatorerna.
57 Fuzzy logic Ofta väljer vi att rita fuzzymängder. Graden av medlemskap plottas då som funktion av ett crisp value. I system som internt använder sig av fuzzy logic, t.ex. för inferens, måste naturligtvis dessa figurer omvandlas till funktioner. Man kan välja olika funktioner för att representera de kontinuerliga fuzzymängderna. Typiska exempel är logistiska (sigmoider) eller gaussians, men mest vanligt är trots allt linjära funktoner.
58 Fuzzy logic - Exempel De tre olika fuzzymängderna långa, korta och medellånga kan då t.ex. Representeras med följande vektorer: Lång = (0/180,1/190) Kort = (1/160, 0/170) Medellånga = (0/165, 1/175, 0/185)
59 Linguistic variables and hedges En linguistic variable är en fuzzy variabel som kan få ett linguistic value. John is tall. John är en linguistic variable som antar värdet tall. Vi skall senare använda detta för att uttrycka regler av typen: IF speed is slow THEN stopping distance is short. IF wind is strong THEN sailing is good.
60 Linguistic variables and hedges Hedges är termer som modifierar formen på en fuzzymängd. Exempel: All purpose: very, quite, extremely Truth-values: quite true, mostly false. Probabilities: Likely, not likely Quantifiers: most, several, few Possibilities: almost impossible, quite possible
61 Exempel Grafiskt kan vi se en operator som very modifiera utseendet på en fuzzymängd. Om vi utgår från linjära funktioner för tall, short och average så kommer very tall och very small vara delmängder av tall och small.
62 Hedges matematiska uttryck A little [ ( )] 1.3 Slightly Very µ A x 1.7 [ µ ( )] A x [ µ ( )] 2 A x Extremely Very Very [ µ ( )] A x 3 [ µ ( )] 4 A x
63 Hedges matematiska uttryck More or less µ ( ) A x Somewhat µ ( ) A x Indeed µ A 2[ µ ( )] A x µ A 1 1 2[1 µ ( )] 2 A x
64
65 Operationer på fuzzy sets Union Snitt Komplement µ ( ) max[ ( ), B( )] ( ) B( ) A B x = µ A x µ x = µ A x µ x µ ( ) min[ ( ), B( )] ( ) B( ) A B x = µ A x µ x = µ A x µ x µ ( x) = 1 µ ( x) A A Innehåller (motsats till delmängd av)
66 Fuzzy regler IF x is A THEN y is B x och y är linguistic variables och A och B är linguistic values bestämda av fuzzy mängder.
67 Fuzzy inference Fuzzy inference har fyra steg: 1. Fuzzification Fuzzifiera crisp values 2. Rule evaluation (Inference) Kör alla regler 3. Aggregation of rule outputs (Composition) Kombinera output från alla regler 4. Defuzzification Återgå till vanliga, crisp values.
68 Fuzzy inference Steg 2-4 kan göras på olika sätt. Det vanligaste är dock att man använder: min-max inference-composition följt av centroid defuzzification. Eller sum-prod inference-composition följt av Maximum defuzzification.
69 Fuzzy inference Min inferencing The consequent membership function is cut at the level of the antecedent truth. (called α) Max composition The list of clipped consequent membership functions are combined into one fuzzy set per output variable using the maximum membership value. Centroid defuzzification The center of gravity of the resulting fuzzy set is returned as the crisp value.
Probabilistisk logik 1
729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 1 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Osäkerhet 1.01 Osäkerhet Agenter måste kunna hantera osäkerhet. Agentens miljö är ofta endast
Läs merAnna: Bertil: Cecilia:
Marco Kuhlmann 1 Osäkerhet 1.01 1.02 1.03 1.04 1.05 Intelligenta agenter måste kunna hantera osäkerhet. Världen är endast delvist observerbar och stokastisk. (Jmf. Russell och Norvig, 2014, avsnitt 2.3.2.)
Läs mer729G11 Artificiell Intelligens Marcus Johansson Marjo581. Fuzzy logic. Marcus Johansson Marjo581
Fuzzy logic 880328-2535 Innehåll Fuzzy logic... 1 1. Inledning... 4 2. Jämförelse mellan fuzzy logic och tvåvärdeslogik.... 4 3. Fuzzy sets.... 4 4. Linvistiska variabler... 5 5. Operatorer... 5 6. If-
Läs merFUZZY LOGIC. Christopher Palm chrpa087
FUZZY LOGIC 900223-1554 Innehållsförteckning INLEDNING...2 HUR DET FUNGERAR...3 Crisp Sets och Fuzzy Sets...3 Operatorer...5 IF THEN regler...7 FUZZY INFERENCE...7 Fuzzification...8 Regelsättning...8
Läs merFuzzy Logic. När oskarpa definitioner blir kristallklara. Åsa Svensson. Linköpings Universitet. Linköping
Fuzzy Logic När oskarpa definitioner blir kristallklara Linköpings Universitet Linköping Sammanfattning I denna fördjupningsuppgift har jag fokuserat på Fuzzy Logic och försökt att beskriva det på ett
Läs merLINKÖPINGS UNIVERSITET. Fuzzy Logic. Johan Brage 9/16/2012
LINKÖPINGS UNIVERSITET Fuzzy Logic Johan Brage 9/16/2012 Innehållsförteckning 1. Inledning... 1 2. Fuzzy Logic... 2 3. Crisp Sets... 3 4. Fuzzy Sets... 4 4.1 Operatorer... 5 4.2 IF-THEN... 7 4.3 Hedges...
Läs mer729G43 Artificiell intelligens Probabilistisk logik. Arne Jönsson HCS/IDA
729G43 Artificiell intelligens Probabilistisk logik Arne Jönsson HCS/IDA Probabilistiska resonemang Osäkerhet Grundläggande sannolikhetslära Stokastiska variabler Bayes teorem Bayesianska nätverk Konstruktion
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Sannolikheter För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inträffar som P(E) För en händelse E skriver vi sannolikheten att E inte inträffar som P(E ) Exempel Låt E vara händelsen
Läs merTMS136. Föreläsning 2
TMS136 Föreläsning 2 Slumpförsök Med slumpförsök (random experiment) menar vi försök som upprepade gånger utförs på samma sätt men som kan få olika utfall Enkla exempel är slantsingling och tärningskast
Läs merUtsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section
Föreläsning 1 Utsagor (Propositioner) sammansatta utsagor sanningstabeller logisk ekvivalens predikat (öppna utsagor) kvantifierare Section 1.1-1.3 i kursboken Definition En utsaga (proposition) är ett
Läs merInnehållsförtekning Sida. Inledning 3 Vad är fuzzy logic? 3 Mängder 3 Medlemsfunktioner 5 Operationer 6 Fuzzification 8 Litteraturförteckning 9
Fuzzy Logic Innehållsförtekning Sida Inledning 3 Vad är fuzzy logic? 3 Mängder 3 Medlemsfunktioner 5 Operationer 6 Fuzzification 8 Litteraturförteckning 9 2 Inledning Med detta fördjupningsarbete vill
Läs merProbabilistisk logik 2
729G43 Artificiell intelligens / 2016 Probabilistisk logik 2 Marco Kuhlmann Institutionen för datavetenskap Översikt Probabilistiska modeller Probabilistisk inferens 1: Betingad sannolikhet Probabilistisk
Läs merSF1911: Statistik för bioteknik
SF1911: Statistik för bioteknik Föreläsning 4. TK 7.11.2017 TK Matematisk statistik 7.11.2017 1 / 42 Lärandemål Betingad sannolikhet (definition, betydelse) Oberoende händelser Lagen om total sannolikhet
Läs merMA2047 Algebra och diskret matematik
MA2047 Algebra och diskret matematik Något om logik och mängdlära Mikael Hindgren 5 september 2018 Utsagor Utsaga = Påstående som har sanningsvärde Utsagan kan vara sann (S) eller falsk (F) öppen eller
Läs merVad är det? Översikt. Innehåll. Vi behöver modeller!!! Kontinuerlig/diskret. Varför modeller??? Exempel. Statiska system
Vad är det? Översikt Discrete structure: A set of discrete elements on which certain operations are defined. Discrete implies non-continuous and therefore discrete sets include finite and countable sets
Läs merWilliam Hernebrink
Fuzzy Logic @student.liu.se 1 Sammanfattning Följande arbete är ett individuellt kursmoment som omfattar 3hp i kursen Artificiell Intelligens II (729G11) vid Linköpings universitet. I denna litteraturstudie
Läs merFUZZY LOGIC. - Var går gränsen? Lovisa Rönmark lovro
FUZZY LOGIC - Var går gränsen? Sammanfattning Det här fördjupningsarbetet är gjort I kursen Artificiell Intelligens 2 på Linköpings Universitet. Syftet med arbetet är att ta upp och förklara ämnet Fuzzy
Läs merD. x 2 + y 2 ; E. Stockholm ligger i Sverige; F. Månen är en gul ost; G. 3 2 = 6; H. x 2 + y 2 = r 2.
Logik Vid alla matematiskt resonemang måste man vara säker på att man verkligen menar det man skriver ner på sitt papper. Därför måste man besinna hur man egentligen tänker. Den vetenskap, som sysslar
Läs merOutline. TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 10 - Sannolikhetsbaserad diagnos och Bayesianska nätverk. Sneak-peak. Outline
TSFS06 Diagnos och övervakning Föreläsning 10 - och Erik Frisk Institutionen för systemteknik Linköpings universitet erik.frisk@liu.se 2017-05-17 2 Sneak-peak Antag att residualerna r 1 och r 2 larmar
Läs merFuzzy Logic Linköpings Universitet
Fuzzy Logic Linköpings Universitet 2 Innehållsförteckning 1. Inledning... 4 2. Bakgrund... 4 3. Fuzzy Logic... 5 3.1. Fuzzy Sets... 6 4. Operatorer... 7 4.1. Union och snitt... 7 4.2. IF, THEN, AND och
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2015 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 21.01.2015 1 / 1 Repetition:
Läs merArtificiell Intelligens II, 729g11 Linköpings universitet Fuzzy logic
Fuzzy logic Sammanfattning Inom klassiska logiska system är ett påstående antingen sant eller falskt. Fuzzy logic använder sig istället av grader av medlemskap som är värden mellan 0(inte alls sant) och
Läs merBeräkning med ord. -hur en dator hanterar perception. Linköpings universitet Artificiell intelligens 2 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692
Beräkning med ord -hur en dator hanterar perception 2010-10-03 Erik Claesson 880816-1692 Innehåll Inledning... 3 Syfte... 3 Kan datorer hantera perception?... 4 Naturligt språk... 4 Fuzzy Granulation...
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 21.01.2016 Jan Grandell & Timo Koski Matematisk statistik 21.01.2016 1 / 39 Lärandemål Betingad
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi kunna modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill kunna modellera och kvantifiera de risker
Läs merFördjupningsarbete HT 2012 FUZZY LOGIC
FUZZY LOGIC 1 Innehåll Bakgrund & Introduktion till fuzzy logic... 3 Syfte... 3 Fuzzy sets... 4 Hedges... 5 Fuzzy set logic... 6 IF-THEN relger... 7 Fuzzy Inference... 7 Användandet utav fuzzy logic i
Läs merFuzzy control systems
Institutionen för datavetenskap Artificiell intelligens II, 729g11 Projekt HT-12 LINKÖPING UNIVERSITET Fuzzy control systems Användning av fuzzy logic I tvättmaskiner Karolin Nissa 9/17/2012 Abstract Den
Läs merLogik. Dr. Johan Hagelbäck.
Logik Dr. Johan Hagelbäck johan.hagelback@lnu.se http://aiguy.org Vad är logik? Logik handlar om korrekta och inkorrekta sätt att resonera Logik är ett sätt att skilja mellan korrekt och inkorrekt tankesätt
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15. Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Första ordningens mängdlära Naiv mängdlära Abstraktionsaxiomet (eg. comprehension) Extensionalitetsaxiomet Små mängder Ordnade
Läs merMATEMATIKENS SPRÅK. Avsnitt 1
Avsnitt 1 MATEMATIKENS SPRÅK Varje vetenskap, liksom varje yrke, har sitt eget språk som ofta är en blandning av vardagliga ord och speciella termer. En instruktionshandbok för ett kylskåp eller för en
Läs merFuzzy logic. Julia Birgersson, julbi
Fuzzy logic, Innehållsförteckning Inledning 3 Vad är Fuzzy Logic, varför finns det? 3 Fuzzy sets och crisp sets 4 Medlemsfunktioner 4 Operationer 7 Lingvistiska termer och lingvistiska variabler 9 Artificiell
Läs merFöreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära
Inledande matematisk analys tma970, 010, logik, mängdlära Föreläsningsanteckningar och övningar till logik mängdlära Dessa öreläsningsanteckningar kompletterar mycket kortattat kap 0 och appendix B i Persson/Böiers,
Läs merTMS136. Föreläsning 1
TMS136 Föreläsning 1 Varför? Om vi gör mätningar vill vi modellera och kvantifiera de osäkerheter som obönhörligen finns Om vi handlar med värdepapper vill vi modellera och kvantifiera de risker som finns
Läs merSatslogik grundläggande definitioner 3. Satslogik. Uppgift 1. Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar)
Satslogik grundläggande definitioner Satslogikens syntax (välformade formler) Satslogikens semantik (tolkningar) Modeller, logisk konsekvens och ekvivalens Några notationella förenklingar Kompletta mängder
Läs mer1 Suddig logik och gitter
UPPSALA UNIVERSITET Matematiska institutionen Erik Palmgren Kompletterande material Algebra DV2 ht-2000 1 Suddig logik och gitter Suddig logik (engelska: fuzzy logic) är en utvidgning av vanlig boolesk
Läs merKombinatorik och sannolikhetslära
Grunder i matematik och logik (2018) Kombinatorik och sannolikhetslära Marco Kuhlmann Sannolikhetslära Detta avsnitt är för det mesta en kompakt sammanfattning av momentet sannolikhetslära som ingår i
Läs merTSFS06: Bayesianska nätverk i GeNIe - kort handledning
TSFS06: Bayesianska nätverk i GeNIe - kort handledning GeNIe är en grafisk utvecklingsmiljö för inferensberäkningar med bland annat Bayesianska nätverk. Verktyget är utvecklat vid Decision Systems Laboratory,
Läs merSannolikhetslära. 1 Enkel sannolikhet. Grunder i matematik och logik (2015) 1.1 Sannolikhet och relativ frekvens. Marco Kuhlmann
Marco Kuhlmann Detta kapitel behandlar grundläggande begrepp i sannolikhetsteori: enkel sannolikhet, betingad sannolikhet, lagen om total sannolikhet och Bayes lag. 1 Enkel sannolikhet Den klassiska sannolikhetsteorin,
Läs merLogik och kontrollstrukturer
Logik och kontrollstrukturer Flödet av instruktioner i ett programmeringsspråk bygger vi upp med hjälp av dess kontrollstrukturer. I C har vi exemplen if, if else, while, do while. Dessutom finns switch
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 3)
Semantik och pragmatik (Serie 3) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 37 Logik: språk tanke (Saeed kapitel 4.) Satser uttrycker (ofta) tankar. Uttrycksrikedom
Läs merSanningsvärdet av ett sammansatt påstående (sats, utsaga) beror av bindeord och sanningsvärden för ingående påståenden.
MATEMATISK LOGIK Matematisk logik formaliserar korrekta resonemang och definierar formellt bindeord (konnektiv) mellan påståenden (utsagor, satser) I matematisk logik betraktar vi påståenden som antingen
Läs merFöreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07
Föreläsningsmanus i matematisk statistik för lantmätare, vecka 2 HT07 Bengt Ringnér August 31, 2007 1 Inledning Detta är preliminärt undervisningsmaterial. Synpunkter är välkomna. 2 Händelser och sannolikheter
Läs mer729G11 ARTIFICIELL INTELLIGENS 2, LINKÖPINGS UNIVERSITET. Fuzzy Logic. Caroline Allmér, caral
729G11 ARTIFICIELL INTELLIGENS 2, LINKÖPINGS UNIVERSITET Fuzzy Logic Caroline Allmér, caral281 2011-09-19 Innehåll Innehåll... 2 1. Inledning... 3 2. Hur det fungerar... 4 2.1 Crisp-set och fuzzy set...
Läs merF5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT , samt del av 5.4)
Stat. teori gk, ht 006, JW F5 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.1-5.3, samt del av 5.4) Ordlista till NCT Random variable Discrete Continuous Probability distribution Probability distribution function Cumulative
Läs merÖvningshäfte 1: Logik och matematikens språk
GÖTEBORGS UNIVERSITET MATEMATIK 1, MMG200, HT2014 INLEDANDE ALGEBRA Övningshäfte 1: Logik och matematikens språk Övning A Målet är att genom att lösa och diskutera några inledande uppgifter få erfarenheter
Läs merFuzzy Logic: Den oskarpa skarpheten
Fuzzy Logic: Den oskarpa skarpheten Av: 1 Innehåll Inledning... 3 Vad är Fuzzy Logic?... 4 Fuzzy sets... 4 Medlemsskapsfunktion... 5 Operatorer... 7 Union... 7 Snitt... 8 Komplement... 8 Exempel med de
Läs merFilosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium. v. 2.0, den 29/ III. Metalogik 17-19
Filosofisk Logik (FTEA21:4) föreläsningsanteckningar/kompendium IV v. 2.0, den 29/4 2013 III. Metalogik 17-19 Modeller för satslogiken 18.1 Vi har tidigare sagt att en modell är en tolkning av en teori
Läs merBayes statistik - utan förkunskaper - utan tårar
Bayes statistik - utan förkunskaper - utan tårar Lars Olsson Geostatistik AB 14-11-21 Bayes 1 1 Webbinariekurs Introduktionskurs för geotekniker Webbinarium 1. Fredagen den 21 nov 2014 kl 15:00 15:30 Vad
Läs merFöreläsning 3: Osäkerhet och sannolikhet
Föreläsning 3: Osäkerhet och sannolikhet Litteratur: Hansson, Introduction to Decision Theory, kap 8 (Även kap 6 är relevant) Resnik, Choices, kap 3 *Galavotti, Philosophical Introduction to Probability,
Läs merSemantik och pragmatik
Semantik och pragmatik OH-serie 4 http://stp.lingfil.uu.se/~matsd/uv/uv12/semp/ Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi Januari 2012 Om barnet har svårt att andas eller har ont i bröstet
Läs merFråga 5 (1 poäng) För att definiera ett sökproblem krävs...
OBS! För flervalsfrågorna gäller att ett, flera eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervarlsfrågorna ges 1 poäng för korrekt svar och 0,5 poäng om skillnaden mellan antalet korrekta svar och antalet
Läs merp /\ q r DD1350 Logik för dataloger Kort repetition Fö 3 Satslogikens semantik
DD1350 Logik för dataloger Fö 3 Satslogikens semantik 1 Kort repetition Satslogik formellt språk för att uttrycka påståenden med variabler och konnektiv /\, \/,, t.ex. p /\ q r 1 Kort repetition Naturlig
Läs mer(N) och mängden av heltal (Z); objekten i en mängd behöver dock inte vara tal. De objekt som ingår i en mängd kallas för mängdens element.
Grunder i matematik och logik (2017) Mängdlära Marco Kuhlmann 1 Grundläggande begrepp Mängder och element 2.01 En mängd är en samling objekt. Två standardexempel är mängden av naturliga tal (N) och mängden
Läs mer1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori,
1 Föreläsning I, Mängdlära och elementär sannolikhetsteori, LMA201, LMA521 1.1 Mängd (Kapitel 1) En (oordnad) mängd A är en uppsättning av element. En sådan mängd kan innehålla ändligt eller oändlligt
Läs merFormell logik Kapitel 1 och 2. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 1 och 2 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 1: Atomära satser Drömmen om ett perfekt språk fritt från vardagsspråkets mångtydighet och vaghet (jmf Leibniz, Russell, Wittgenstein,
Läs merde var svåra att implementera och var väldigt ineffektiva.
OBS! För flervalsfrågorna gäller att flera alternativ eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervalsfrågorna kan man bara ha rätt eller fel, dvs frågan måste vara helt korrekt besvarad. Totalt kan
Läs merOm semantisk följd och bevis
Matematik, KTH Bengt Ek december 2017 Material till kursen SF1679, Diskret matematik: Om semantisk följd och bevis Logik handlar bla om studiet av korrekta slutledningar, dvs frågan om när det är riktigt
Läs merFormell logik Kapitel 7 och 8. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 7 och 8 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 7: Konditionalsatser Kapitlet handlar om konditionalsatser (om-så-satser) och deras logik Idag: bevismetoder för konditionalsatser,
Läs merDigital- och datorteknik
Digital- och datorteknik Föreläsning #3 Biträdande professor Jan Jonsson Institutionen för data- och informationsteknik Chalmers tekniska högskola Logikgrindar Från data till digitala byggblock: Kursens
Läs merStat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT
Stat. teori gk, ht 2006, JW F7 STOKASTISKA VARIABLER (NCT 5.7) Ordlista till NCT Jointly distributed Joint probability function Marginal probability function Conditional probability function Independence
Läs mer7, Diskreta strukturer
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 7, Diskreta strukturer Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2015 Modeller Matematiska modeller Kontinuerliga modeller Kontinuerliga funktioner
Läs merAntag att b är förgreningsfaktorn, d sökdjupet, T (d) tidskomplexiteten och M(d) minneskomplexiteten.
OBS! För flervalsfrågorna gäller att ett, flera eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervalsfrågorna ges 1 poäng för korrekt svar och 0,5 poäng om skillnaden mellan antalet korrekta svar och antalet
Läs merMängdlära. Kapitel Mängder
Kapitel 2 Mängdlära 2.1 Mängder Vi har redan stött på begreppet mängd. Med en mängd menar vi en väldefinierad samling av objekt eller element. Ordet väldefinierad syftar på att man för varje tänkbart objekt
Läs merSemantik och pragmatik (Serie 4)
Semantik och pragmatik (Serie 4) Satser och logik. Mats Dahllöf Institutionen för lingvistik och filologi April 2015 1 / 30 Så här långt (satslogik) Konjunktion (p q): att två enklare satser båda är uppfyllda.
Läs merFormell logik Kapitel 3 och 4. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 3 och 4 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 3: De Booleska konnektiven Vi sade att predikaten och namnen kan variera mellan olika FOL Vi ska nu titta på några språkliga element
Läs merFöreläsning 12: Repetition
Föreläsning 12: Repetition Marina Axelson-Fisk 25 maj, 2016 GRUNDLÄGGANDE SANNOLIKHETSTEORI Grundläggande sannolikhetsteori Utfall = resultatet av ett försök Utfallsrum S = mängden av alla utfall Händelse
Läs merLMA033/LMA515. Fredrik Lindgren. 4 september 2013
LMA033/LMA515 Fredrik Lindgren Matematiska vetenskaper Chalmers tekniska högskola och Göteborgs universitet 4 september 2013 F. Lindgren (Chalmers&GU) Matematik 4 september 2013 1 / 25 Outline 1 Föreläsning
Läs merTommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet. 2 Strukturer 2 2.1 Domäner... 2 2.2 Tolkningar... 3
Föreläsning 2 Semantik 729G06 Logikdelen Föreläsningsanteckningar i Programmering och logik 27 januari 2014 Tommy Färnqvist, IDA, Linköpings universitet 2.1 Innehåll Innehåll 1 Lite mer syntax 1 2 Strukturer
Läs merStatistikens grunder HT, dagtid Statistiska institutionen
Statistikens grunder 1 2013 HT, dagtid Statistiska institutionen Orsak och verkan N Kap 2 forts. Annat ord: kausalitet Något av det viktigaste för varje vetenskap. Varför? Orsakssamband ger oss möjlighet
Läs merTentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk
Tentamen MVE301 Sannolikhet, statistik och risk 2018-05-31 kl. 8:30-13:30 Examinator: Johan Jonasson, Matematiska vetenskaper, Chalmers Telefonvakt: Ivar Simonsson, telefon: 031-7725325 Hjälpmedel: Valfri
Läs merHur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga?
Hur fattar samhället beslut när forskarna är oeniga? Martin Peterson m.peterson@tue.nl www.martinpeterson.org Oenighet om vad? 1.Hårda vetenskapliga fakta? ( X observerades vid tid t ) 1.Den vetenskapliga
Läs merVarför är logik viktig för datavetare?
Varför är logik viktig för datavetare? 1. Datavetenskap handlar ofta om att automatisera processer som tidigare styrts av människor. Intuition, intelligens och mänskliga resonemang ersätts av beräkningar.
Läs merAsymptotisk analys innebär att... man försöker uppskatta vad som händer för stora indatamängder.
OBS! För flervalsfrågorna gäller att ett, flera eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervarlsfrågorna ges 1 poäng för korrekt svar och 0,5 poäng om skillnaden mellan antalet korrekta svar och antalet
Läs merFormell logik Kapitel 5 och 6. Robin Stenwall Lunds universitet
Formell logik Kapitel 5 och 6 Robin Stenwall Lunds universitet Kapitel 5 Bevismetoder för boolesk logik Visa att en sats är en tautologisk konsekvens av en mängd premisser! Lösning: sanningstabellmetoden
Läs merSF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende
SF1901: Sannolikhetslära och statistik Föreläsning 2. Betingad sannolikhet & Oberoende Jan Grandell & Timo Koski 14.01.2013 Jan Grandell & Timo Koski () Matematisk statistik 14.01.2013 1 / 25 Repetition:
Läs merTentamen i. TDDC67 Funktionell programmering och Lisp
1 Linköpings tekniska högskola Institutionen för datavetenskap Anders Haraldsson Tentamen i TDDC67 Funktionell programmering och Lisp och äldre kurser TDDC57 Programmering, Lisp och funktionell programmering
Läs merSubjektiva sannolikheter. Helge Malmgren Filosofidagarna, Umeå 2007
Subjektiva sannolikheter Helge Malmgren Filosofidagarna, Umeå 2007 Relativa sannolikheter Sannolikhetsteorins axiom är sanna om andelar (proportioner), t.ex. andelar av en total yta Bayes sats vid hypotesprövning
Läs merLite om bevis i matematiken
Matematik, KTH Bengt Ek februari 2013 Material till kursen SF1662, Diskret matematik för CL1: Lite om bevis i matematiken Inledning Bevis är centrala i all matematik Utan (exakta definitioner och) bevis
Läs merBIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, OCH ÖVNING 2, SAMT INFÖR ÖVNING 3
LUNDS UNIVERSITET, MATEMATIKCENTRUM, MATEMATISK STATISTIK BIOSTATISTISK GRUNDKURS, MASB11, VT-16, VT2 ÖVNING 1, 2016-04-01 OCH ÖVNING 2, 2016-04-04 SAMT INFÖR ÖVNING 3 Övningarnas mål: Du ska förstå grundläggande
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Vad är logik?
DD1350 Logik för dataloger Fö 1 - Introduktion Vad är logik? Vetenskapen som studerar hur man bör resoneraoch dra slutsatser utifrån givna påståenden (=utsagor, satser). 1 Aristoteles (384-322 f.kr) Logik
Läs merSatsen om total sannolikhet och Bayes sats
Satsen om total sannolikhet och Bayes sats Satsen om total sannolikhet Ibland är det svårt att direkt räkna ut en sannolikhet pga att händelsen är komplicerad/komplex. Då kan man ofta använda satsen om
Läs merI kursen i endimensionell analys är mängden av reella tal (eng. real number), R, fundamental.
Lunds tekniska högskola Datavetenskap Lennart ndersson Föreläsningsanteckningar EDF10 4 Mängder 4.1 Motivering Mängden är den mest grundläggande diskreta strukturen. Nästan alla matematiska begrepp går
Läs merHD-metoden och hypotesprövning. Vetenskapliga data
HD-metoden och hypotesprövning. Vetenskapliga data En central vetenskaplig metod? Vetenskap har (minst) fyra olika komponenter: Att ställa upp hypoteser. Att verifiera hypoteser med logik. Att värdera
Läs merFör logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: (= exp(z)/(1+ exp(z))
Logitmodellen För logitmodellen ges G (=F) av den logistiska funktionen: F(z) = e z /(1 + e z ) (= exp(z)/(1+ exp(z)) Funktionen motsvarar den kumulativa fördelningsfunktionen för en standardiserad logistiskt
Läs merLotto. Singla slant. Vanliga missuppfattningar vad gäller slumpen. Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning
Slumpen och hur vi uppfattar den - med och utan tärning Ingemar Holgersson Högskolan Kristianstad grupper elever Gr, 7, 9 och. grupp lärarstudenter inriktning matematik Ca i varje grupp Gjord i Israel
Läs merLogik: sanning, konsekvens, bevis
Logik: sanning, konsekvens, bevis ft1100 samt lc1510 HT 2016 Giltiga argument (Premiss 1) (Premiss 2) (Slutsats) Professorn är på kontoret eller i lunchrummet Hon är inte på kontoret Professorn är i lunchrummet
Läs merLogik. Boolesk algebra. Logik. Operationer. Boolesk algebra
Logik F4 Logik Boolesk algebra EDAA05 Roger Henriksson Jonas Wisbrant Konsten att, och vetenskapen om, att resonera och dra slutsatser. Vad behövs för att man ska kunna dra en slutsats? Hur kan man dra
Läs merHur måttsätta osäkerheter?
Geotekniska osäkerheter och deras hantering Hur måttsätta osäkerheter? Lars Olsson Geostatistik AB 11-04-07 Hur måttsätta osäkerheter _LO 1 Sannolikheter Vi måste kunna sätta mått på osäkerheterna för
Läs merLogisk semantik I. 1 Lite om satslogik. 1.1 Konjunktioner i grammatisk bemärkelse. 1.2 Sant och falskt. 1.3 Satssymboler. 1.
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik I 1 Lite om satslogik 1.1
Läs merFilosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet
Filosofisk logik Kapitel 15 (forts.) Robin Stenwall Lunds universitet Dagens upplägg Antalet element i en mängd Kardinalitet Humes princip Cantors teorem Den universella mängden Några mängdteoretiska paradoxer
Läs merSF1901 Sannolikhetsteori och statistik I
SF1901 Sannolikhetsteori och statistik I Jimmy Olsson Föreläsning 3 4 november 2016 1 / 28 Idag Förra gången Stokastiska variabler (Kap. 3.2) Diskret stokastisk variabel (Kap. 3.3 3.4) Kontinuerlig stokastisk
Läs merMolly Lundberg 729G43 Kognitionsvetenskap mollu341 Artificiell Intelligens Linköpings Universitet. Fuzzy Logic. Vad är det och hur fungerar det?
Fuzzy Logic Vad är det och hur fungerar det? Molly Lundberg Sammanfattning Den här rapporten har ämnat att skapa förståelse i vad Fuzzy Logic är för något, hur det fungerar och hur det används. Traditionell
Läs merDatorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf
UPPSALA UNIVERSITET Datorlingvistisk grammatik I Institutionen för lingvistik och filologi Oktober 2007 Mats Dahllöf http://stp.ling.uu.se/ matsd/uv/uv07/dg1/ Logisk semantik II 1 Predikatlogik, generella
Läs merDD1350 Logik för dataloger. Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion
DD1350 Logik för dataloger Fö 2 Satslogik och Naturlig deduktion 1 Satslogik En sats(eller utsaga)är ett påstående som kan vara sant eller falskt. I satslogik(eng. propositionallogic) representeras sådana
Läs merÖvning 1 Sannolikhetsteorins grunder
Övning 1 Sannolikhetsteorins grunder Två händelser A och B är disjunkta om {A B} =, det vill säga att snittet inte innehåller några element. Om vi har en mängd händelser A 1, A 2, A 3,..., A n, vilka är
Läs merFråga 5 (1 poäng) För att definiera ett sökproblem krävs...
OBS! För flervalsfrågorna gäller att ett, flera eller inget alternativ kan vara korrekt. På flervarlsfrågorna ges 1 poäng för korrekt svar och 0,5 poäng om skillnaden mellan antalet korrekta svar och antalet
Läs merViktiga frågor att ställa när ett argument ska analyseras och sedan värderas:
FTEA12:2 Föreläsning 2 Grundläggande argumentationsanalys II Repetition: Vid förra tillfället började vi se närmre på vad som utmärker filosofisk argumentationsanalys. Vi tittade närmre på ett arguments
Läs merLinjära ekvationer med tillämpningar
UMEÅ UNIVERSITET Institutionen för matematik och matematisk statistik Olof Johansson, Nina Rudälv 2006-10-17 SÄL 1-10p Linjära ekvationer med tillämpningar Avsnitt 2.1 Linjära ekvationer i en variabel
Läs mer9. Predikatlogik och mängdlära
Objektorienterad modellering och diskreta strukturer 9. Predikatlogik och mängdlära Sven Gestegård Robertz Datavetenskap, LTH 2014 Rekaputilation Vi har talat om satslogik naturlig härledning predikatlogik
Läs merF2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT )
Stat. teori gk, ht 2006, JW F2 SANNOLIKHETSLÄRA (NCT 4.1-4.2) Ordlista till NCT Random experiment Outcome Sample space Event Set Subset Union Intersection Complement Mutually exclusive Collectively exhaustive
Läs mer