Tentamen i Vågrörelselära(FK49) Datum: Måndag, 14 Juni, 21, Tid: 9: - 15: Tillåten Hjälp: Physics handbook eller dylikt och miniräknare Förklara resonemang och uträkningar klart och tydligt. Tentamensskrivningen består av 7 frågor. Varje fråga ger maximalt 5 poäng. Lycka till! 1. Visa att seperationen av de virtualla källorna I 1 and I 2 som producerar ett interferens mönster från en film med index n och uniform tjocklek t, då de är upplysta av en punktkälla, är 2t. Antag att filmen är i luft och att ljuset kommer in med en n liten vinkel mot normalen. (5p).. Punktkalla 11 1 1 1 11 11 I 1 11 I 2 Luft film n Luft Figure 1: film med index n t 2. (a) Låt intensiteten på skärmen vid punkt P från ett dubbelspalt interferens mönster vara 6% av det maximala värdet. Vad är den minsta fas skillnaden (i radianer) mellan källorna? (2p) (b) I fallet ovan vad är vägskillnaden om våglängden av ljuset är λ = 5 nm? (1p) (c) Två spalter är upplysta av ljus som består av två våglängder. En våglängd är 436 nm. På skärmen sammanfaller det fjärde minimumet av 436 nm ljuset med det tredje maximumet av det andra ljuset. Vad är våglängden av det andra ljuset? (2p) Intensiteten av två spalts interferenmönsteret ges av uttrycket I = I [ sin(2α) sin(α) där α = 1 ka sin(θ), k = 2π/λ och a är avstandet mellan spalterna. 2 3. (a) En viktig applikation av Quarter Wave plate (QWP) är dess användning som isolator, något som tillåter transmissionen av ljus i bara en riktning. Detta 1 ] 2
presteras genom att tillåta strålen passera genom en kombination av lineär polariserare, sen QWP med dess optiska axel 45 mot Transmissionsaxeln av polarisatorn. Vad händer om med sådant ljus efter att det reflekterats på en plan yta och seden transmitterats tillbaka genom den optiska uppställningen. (Tips: Antag att ljuset kommer mot planet längs med normalen) (3p) (b) Använd en sekvens av tre ideala lineärpolariserare. Transmissionsaxeln av den första är längs med X-axeln, medan transmissionsaxeln av den tredje är längs Y-axeln. Transmissionsaxeln av den andra roterar med vinkelhastigheten w. Visa att den utgående flödestätheten ges av I = I 1 8 (1 cos(4ωt)) där I 1 är den utgående flödestätheten från den första polarisatorn och I den utgående flödestätheten från den tredje polarisatorn. (2p) En sammanställning av Jonesvektorer och matriser finns i appendix. 4. (a) Vad är Brewster vinkeln för reflektion för det ljus som träffar en bit glas (n g = 1.65) som är nerstoppad i vatten (n w = 1.33)? (2p) (b) Ljuset som reflekteras från glasplattan (n g = 1.65) som är helt täckt av ethyl alkohol (n w = 1.36) är helt polariserat. Vid vilken vinkel kommer det delvis polariserade ljuset att transmiteras igenom plattan? (3p) 5. (a) Visa att antalet ljusa linjer under centrala diffraktion mönstret i Fraunhofer dubbelspalts diffraktions mönster ges av 2(a/b) 1, där a är avstandet mellan spalterna och b är storleken av spaltöppningen. (2p) (b) Visa att ration av bredden av centrala diffraktion mönstret och bredden av centrala interferens linjen inte beror på våglängden av det infallande ljuset. (3p) Intensiteten av ljuset i ett tvåspaltsdiffraktionsmönster ges av uttrycket I = I [ sin(β) β ] 2 [ ] 2 sin(2α) sin(α) där β = 1kb sin(θ), α = 1 ka sin(θ), k = 2π/λ,b är spaltbredden och a är 2 2 avståndet mellan spalterna. 6. (a) En funktion f(x) definieras som f(x) = < x < π f(x) = sin(x) π < x < 2π Bestäm Fourierserien till denna funktion. (2p) (b) Avgör om funktionen är udda, jämna eller ingendera. 2
(c) Vad händer med funktionen och dess fourierserier om vi gör substitutionen x = u + x? Avgör om funktionen är udda, jämna eller ingendera och om det beror på x. (2p) 7. (a) En plan sinusvåg utbreder sig i riktningen 3 grader mot x-axeln i xy-planet i den första kvadranten. Skriv upp ett uttryck för en sådan våg. (1p) (b) Demonstrera att vågen satisfierar den 2 dimensionella vågekvationen. (2p) (c) Vi har nu en elektromagnetisk våg med tillhörande elektriska-och magnetiskafält. Antag att vågen är elliptiskpolariserad. Skriv upp uttryck för det elektriska fältet. (2p) 3
Översikt över Fourierserier, Fouriertransform och DFT Fourierserier Fouriertransform DFT f x = k = c k e ikx f x = a 2 a k cos kx b k sin kx f x = k=1 f x = [ A k cos kx B k sin kx ] dk N 1 F k e ikx dk x n = 1 N k= X k e i N kn c k = 1 2π f x e ikx dx F k = 1 f x e ikx dx N 1 2π i N X k = x n e kn n = 2π a k = 1 π f x cos kx dx A k = 1 π f x cos kx dx b k = 1 π f x sin kx dx B k = 1 π f x sin kx dx a k =2 Re c k k b k = 2 Im c k k 1 A k =2 Re F k k B k = 2 Im F k k k = heltal k = reell variabel n och k = pos. heltal Symmetriegenskaper f(x) eller x(n) a k b k A(k) B(k) F(k) X(k) jämn reell reell reell reell och jämn udda reell reell imaginär imaginär och udda T Parsevals teorem för perioden T: [ f t ] 2 dt = T 2 a 2 N 2 a 2 n b n 2 n=1