Assistent: Johan Axnäs Laborationen utfördes: 16 februari 2000 23 februari 2000 Sida 1
Inledning Denna laboration innefattade två delmoment: Michelsoninterferometern På 1880-talet konstruerades en interferometer av Michelson, därav namnet. En mätning av arkivmetern gjordes. Platinastaven som definierade en meter mättes upp i antalet ljusvåglängder från en Cd-lampa och man kunde absolutbestämma tre kadmiumvåglängder i förhållande till meterprototypen. Dopplerradar Dopplereffekt har många användningsområden, bl a för studier av himlakroppars rörelser. Den kan också innebära problem, som t ex vi spektroskopi genom den s k dopplerbreddningen som ger en onoggrannhet för spektrallinjer. I båda laborationerna använde vi oss av MATLAB för anpassning av våra mätvärden. Då användes viss programkod kallad LAB24, som redovisas i appendix tillsammans med beräkningar för varje delmoment. Sida 2
Innehåll Inledning Delmoment 1: Michelsoninterferometern Delmoment 2: Dopplerradar 2 4 5 Appendix Beräkningar MATLAB-kod 7 Sida 3
Delmoment 1 Michelsoninterferometern Syfte Att göra klart hur luftens brytningsindex n beror av trycket p och hur temperaturen påverkar n via allmänna gaslagen. Att jämföra mätningen med Edléns värde vid 760 mmhg och 15 ºC och få en uppfattning om hur noggrannt uppmätt värdet är genom att studera standardavvikelsen från kurvanpassningen. Materiel Michelsoninterferometer med Hg-lampa Sorptionspump (drivs med flytande kväve) Kvicksilverbarometer Utförande Efter att ha ställt in Michelsoninterferometern så att fem interferensfransar kunde beskådas. Därefter fylldes sorptionspumpen med flytande kväve, så att zeoliten i pumpen sög åt sig luftmolekylerna i vakuumcellen. Sedan gjordes successiva tryckhöjningar genom att läcka tillbaka luft i cellen, så att interferensfransarna rörde sig, tre åt gången, och trycket kunde mätas vid varje läge. Det uppmätta trycket dp var ett s k skillnadstryck d v s trycket i vakuumcellen var p = p rum - dp. Då sorptionspumpen inte hade sin bästa dag, gjordes enbart en mätserie med fem mätningar. Till hjälp vid uträkning av brytningsindex har man Edléns formel: (n luft -1) 10 7 = 643.28 + 294981 / (146 - s 2 ) + 2554 / (41 - s 2 ) ; s = 1 / l v Resultat Lufttrycket i rummet mättes till p rum = 750 mmhg och temperaturen till t = 23 ºC, T = 296.15 K. Vid varje mätning av trycket i vakuumcellen, hade 3 interferensfransar flyttats: dr = 3. Då vakuumvåglängden gavs som l v = 5460 Å visste vi att ändringen i brytningsindex för varje avläst tryck i den d = 50 mm långa cellen var dn = 1.638 10-5. dp/mmhg 243 190 148 97 49 4 dn - 1.638 10-5 3.276 10-5 4.914 10-5 6.552 10-5 8.190 10-5 Tabell över mätvärden p/mmhg 507 560 602 653 701 746 När sedan mätvärdena fördes in i LAB24- programmet ritades en kurva ut, som med korrigering av startvärde gav grafen till höger. Brytningsindex i vakuum har satts till 1.0 då grafens ekvation skall bestämmas. Kurva över brytningsindex som funktion av trycket. n(0)=1. Sida 4
LAB24-programmet ger kurvans ekvation till n - b = a p: n - 1 = 3.4750 10-7 p. Detta ger ett brytningsindex n(750) = 1.0002606 Brytningsindex uträknat med Edléns formel ger: n 296.15 = 1.0002702 Standardavvikelserna för a och b i kurvans ekvation är: std a = 5.5703 10-9 std b = 3.6529 10-6 Vid felanalys måste hänsyn tas till båda dessa, eftersom kurvan justerats så att n(0)=1. Därför totala felet u n = 2 std a p + 2 std b = 1.5661 10-5. Det beräknade Edléns värde ligger inom felgränsen för n(750), vilket får anses som bra. Delmoment 2 Dopplerradar Syfte Uppmätning av svävningsfrekvensen hos mikrovågor och beräkning av den utsända frekvensen med hjälp av den räta linjen som mätningen av df som funktion av hastigheten v ger. Man skall inse att det går att mäta hastigheter på avstånd. Materiel Svängningskrets med gunndiod (frekvensomfång: 8.5-10.5 GHz) Minnesoscilloskop Tågbana med tillhörande lok Utförande En kavitet i sändaren bestämmer vilken frekvens vågen har. Den sattes till f = 9 GHz. Fem hastigheter på tåget togs ut genom att för tre mätningar (per hastighet) beräkna ett medelvärde av tiden tåget färdades en meter. Därefter togs m h a minnesoscilloskopet ett fryst bild av signalen som uppfattas av mottagaren. Bilden på oscilloskopet angav hur många perioder signal hade inom ett visst tidsintervall, vilket gav signalens frekvens. Sida 5
Resultat t 1 /s t 2 /s t 3 /s t/s v/m/s perioder intervall/ms frekvens/hz 4.37 3.47 2.92 2.75 2.50 4.34 3.42 2.85 2.62 2.50 4.37 3.47 2.97 2.69 2.49 4.36 3.45 2.91 2.69 2.50 0.229 0.290 0.343 0.372 0.401 6 6.5 8 10 10 450 375 400 450 425 13.33 17.33 20.00 22.22 23.53 Då MATLAB-beräkningarna gjorts, plottades en kurva för frekvensen som funktion av tågets hastighet ut. Frekvensen som funktion av hastigheten. Kurvans ekvation f = a v + b: f = 59.555 v - 0.1900 De beräknade värdena har relativa standardavvikelserna: std a = 2.0603 std b = 0.6853 Kurvan startar inte i f(0)=0, men det har ingen inverkan på resultatet, eftersom b inte används i slutliga uträkningen. Dessutom kan sägas att standardavvikelsen för just b är väldig hög. Ur detta vår man att frekvensen för den utsända signalen är f0 = a c / 2 = 8.93 GHz Inställningen på sändaren var väldigt osäker, så man måste anse det uträknade värdet på f 0, som det mest korrekta. Det totala felet på f 0 är u f0 = 0.31 10 9, vilket gör att det inställda värdet på kaviteten ligger inom felgränsen. Sida 6
Appendix function [alpha, beta, stdalpha, stdbeta]=lab24(x,u); % LAB24 Linear curve fitting in a least-squares sense % [a,b,stda,stdb]=lab24(xu) returns the optimized linear % function coefficients u (x)=ax+b, in a least squares sense % to x and u(x). It also finds the standard deviations % for these coefficients. % % See also POLYFIT, STD. % % % Lars Sandberg 1995-10-10. % m=length(x); alpha=(m.*sum(x.*u)-sum(x).*sum(u))/(m.*sum(x.*x)- sum(x).*sum(x)) beta=(sum(u).*sum(x.*x)-sum(x).*sum(x.*u))/(m.*sum(x.*x)- sum(x).*sum(x)) s1=u-alpha.*x-beta; s2=sum(s1.^2); s3=sqrt(s2./(m-2)); w1=m.*mean(x.*x)-m.*mean(x).^2; w2=sqrt(w1); stdalpha=s3./w2 stdbeta=sqrt(mean(x.*x)).*stdalpha supremum=max(x); if min(x)>0 infimum=0; else infimum=min(x); endscale=(supremum-infimum)./1000; t=infimum:scale:supremum; plot(t,alpha.*t+beta); hold on; plot(x,u, +r ); grid on; hold off; Sida 7
% Program för beräkning av brytningsindex % Delmoment 1: Michelsoninterferometern format long lambda=0.546e-6; dr=3; dn=dr*lambda/(2*50e-3); x=[560 602 653 701 746] y=[dn 2*dn 3*dn 4*dn 5*dn] [a,b,stda,stdb]=lab24(x,y); y=y+abs(b)+1; [k,m,stdk,stdm]=lab24(x,y); prum=750; nrum=k*prum+m sigma=1/(lambda*1e6); nluft=((288/296.15)*(643.28+294981/(146-sigma^2)+2554.0/(41- sigma^2))/1e7)+1 % nluft är uträknad med edléns formel % Program för beräkning av frekvensen % Delmoment 2: Deopplerradar format long c=3e8; t1=(4.37+4.34+4.37)/3; t2=(3.47+3.42+3.47)/3; t3=(2.92+2.85+2.97)/3; t4=(2.75+2.62+2.69)/3; t5=(2.50+2.50+2.49)/3; T=[t1 t2 t3 t4 t5] V=1./T df1=6/450e-3; df2=6.5/375e-3; df3=8/400e-3; df4=10/450e-3; df5=10/425e-3; df=[df1 df2 df3 df4 df5] [a,b,stda,stdb]=lab24(v,df); f0=a*c/2 a1=a+stda; a2=a-stda; f01=a1*c/2; f02=a2*c/2; df01=f01-f0 df02=f02-f0 Sida 8