Dagens Teori. x A. x A x B. Då mängden har ett ändligt antal element kan de räknas upp och vi skriver den till exempel

Dagens Teori 3.1 Mängder Många matematiska tankar kan formuleras med hjälp mängdlärans språk. Mängdläran uppfanns av den tyska matematikern GEORG CANTOR (1845 1918) En stor satsning på mängdläran gjordes i svensk undervisning på 1960-talet, då man trodde att den skulle lösa alla didaktiska problem. Man nyktrade dock snart till och ordningen återställdes. En mängd är en samling objekt, alla olika, som vi kallar element. Definition 1 Att x är ett element i mängden A uttrycker vi eller om elementet inte tillhör mängden x A x A Definition 2 Två mängder A och B är lika, A = B, om de har precis samma element: x A x B Då mängden har ett ändligt antal element kan de räknas upp och vi skriver den till exempel A = {2,3,5,7,11,13,17,19} Mängden A innehåller alla primtal < 20 som och också kan skrivas A = {x x är primtal < 20} A är mängden av x, sådana att x är ett primtal < 20. Följande mängder är speciellt vanliga och dess namn har därför standardiserats: N = {0,1,2,3...} De naturliga talen Z = {... 2, 1,0,1,2...} De hela talen Q = {p/q p,q Z,q 0} De rationella talen R Mängden av alla reella tal C = {a+ib a,b R} De komplexa talen Håkan Strömberg 1 KTH STH

3.1. MÄNGDER Definition 3 Om varje element i mängden A också tillhör mängden B, så säger vi att A är en delmängd av B och skriver A B. Om A B men A B, så säger vi att A är en äkta delmängd av B, som vi skriver A B. x A x B Om x tillhör A, så medför det att x tillhör B. Om A B och B A, så medför det att A = B. Vi kan till exempel skriva Vi kan skriva N Z Q R C Vi använder { } för att beteckna mängder, alltså är det skillnad mellan skrivsätten {15} och 15. {15} är en mängd med det enda elementet 15. Vi skriver därför 15 Z men {15} Z. 15 tillhör mängden av hela tal respektive {15} är en delmängd av mängden av hela tal. Den tomma mängden skrivs och är en mängd helt utan element. Den tomma mängden är en delmängd till varje mängd A. A Observera att {7,8,9} Z. Z är en mängd, mängden av hela tal, och innehåller inte mängden {7, 8, 9}. Däremot kan man skriva {7, 8, 9} Z. Normalt finns en grundmängd U, även kallad universum, en mängd som innehåller alla element som över huvud taget kan komma ifråga, i sammanhanget. För ett givet U och en given mängd A menar vi med A de element x som finns i U men där x A. 3.1.1 Mängdoperationer A och B är mängder då Unionen A B = {x x A eller x B} Snittet A B = {x x A och x B} Differensen A B = {x x A men x B} Komplementet A = {x x U men x A} Symmetriska diffrensen A B = {x x A eller x B men inte båda } Med tidigare antagna beteckningar kan vi också skriva A som U A. För att åskådliggöra mängder kan man, så länge antalet mängder är litet, använda sig av Venndiagram: Figur 3.1: Från vänster i figur 3.1 visas Venndiagram för A B,A B,A B och A B. Exempel 1 Om U är mängden av alla människor på vår jord och R är mängden av alla rödhåriga, så är U R = R är mängden av alla icke rödhåriga. Håkan Strömberg 2 KTH STH

Om två mängder saknar gemensamma element sägs de vara disjunkta. När antalet mängder är > 3 är det svårt att rita tydliga Venndiagram. Här dock ett försök då antalet mängder är fyra. Antalet element i mängden A uttrycks genom beteckningen A. Figur 3.2: Tre viktiga identiteter Distributiva lagen I A (B C) = (A B) (A C) Distributiva lagen II A (B C) = (A B) (A C) DeMorgan s lag I (A B) = A B DeMorgan s lag II (A B) = A B Exempel 2 Vi kan bevisa till exempel DeMorgan s lag II genom en så kallad medlemskapstabell. A B A B (A B) A B A B 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 Då den fjärde och den sjunde kolumnen är identiska är DeMorgan s lag II bevisad. Antalet element i en mängd Antalet element i en mängd kallas mängdens kardinaltal. Så länge vi enbart behandlar ändliga mängder är detta tal enkelt att greppa. Antalet element hos mängden A betecknas med A. Mängden av alla delmängder Om A = {a,b,c}, så är P(A) = {,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}. P(A) är alltså mängden av delmängder man kan bilda utifrån mängden A. P(A) = 8. Om en mängd B innehåller två element är P(B = 4. Vilket värde har P(C) då C = n? Håkan Strömberg 3 KTH STH

3.1. MÄNGDER När vi bildar alla delmängder har vi att avgöra om ett element ska ingå eller inte ska ingå. Det finns två möjligheter för varje element och vi får P(C) = 2 n då C = n. 3.1.2 Cartesisk produkt n {}}{ 2 2 2... = 2 n Vi definierar Cartesisk produkt eller produktmängd med hjälp av följande två exempel. Vi tänker oss att mängden B av bilmärken är och att mängden F av färger är B = {Volvo, SAAB, Fiat} F = {Svart, Blå, Röd} Vi kan nu bilda den cartesiska produkten av olika bilar och får en mängd av ordnade par: F B = {(Svart, Volvo),(Svart, SAAB),(Svart, Fiat), (Blå, Volvo),(Blå, SAAB),(Blå, Fiat), (Röd, Volvo),(Röd, SAAB),(Röd, Fiat)} Resultatet är alltså en mängd F B där varje element är ett ordnat par. Det är lätt att beräkna antalet sådana par i F B till F B = F B. Med ordnat par betyder att det är skillnad på paret (Röd, SAAB) och (SAAB, Röd). Det senare paret ingår inte i vår cartesiska produkt därför att det inte finns någon bil av märket Röd med färgen SAAB. Antalet ingående mängder kan utökas så långt vi vill. Här ett nytt exempel. Vi har tre mängder med tillhörande element, A = {a 1,a 2,a 3 }, B = {b 1,b 2 }, C = {c 1,c 2,c 3,c 4 } då skrivs den cartesiska produkten till dessa tre mängder som: A B C = {(a 1,b 1,c 1 ),(a 1,b 1,c 2 ),(a 1,b 1,c 3 ),(a 1,b 1,c 4 ), (a 1,b 2,c 1 ),(a 1,b 2,c 2 ),(a 1,b 2,c 3 ),(a 1,b 2,c 4 ), (a 2,b 1,c 1 ),(a 2,b 1,c 2 ),(a 2,b 1,c 3 ),(a 2,b 1,c 4 ), (a 2,b 2,c 1 ),(a 2,b 2,c 2 ),(a 2,b 2,c 3 ),(a 2,b 2,c 4 ), (a 3,b 1,c 1 ),(a 3,b 1,c 2 ),(a 3,b 1,c 3 ),(a 3,b 1,c 4 ), (a 3,b 2,c 1 ),(a 3,b 2,c 2 ),(a 3,b 2,c 3 ),(a 3,b 2,c 4 )} Håkan Strömberg 4 KTH STH

Mathematica Att slå ihop två listor Målet är här att slå samman de två listorna m7 och m8 till en, som vi kallar m10. Vi använder då funktionen Join på följande sätt: m7={1,2,3}; m8={4,5,6,7}; m10=join[m7,m8] {1,2,3,4,5,6,7} En listas längd Använder vi funktionen Length på en lista, svarar Mathematica med antalet element som ingår i listan. Length[m7]; 3 Head, Tail och Prepend Tre små funktioner som alla opererar på en lista First Första elementet i den aktuella listan Rest En lista, vars enda element är en lista, där första elementet har avlägsnats från den aktuella listan Prepend Att lägga till ett element först i aktuell lista Här följer de tre funktionerna a={3,5,7,9}; First[a] 3 Rest[a] {5,7,9} Prepend[a,1] {1,3,5,7,9} Ta bort och lägga till element i och ur en lista Tre funktioner a={1,2,3,4}; Append[a,5] {1,2,3,4,5} Take[{8, 9, 10, 11}, {3, 4}] Håkan Strömberg 5 KTH STH

3.1. MÄNGDER {10,11} Insert[a,111,3] {1,2,111,3,4} Drop[a,{2,3}] {1,4} Förklarar de sig själva? Var finns elementet? Med hjälp av funktionen Position kan man ta reda på de platser där ett visst element finns i listan a a={2,6,5,9,7,3,2,1}; Position[a,2] {{1},{7}} Count[a,2] 2 Position returnerar en lista med index för de platser där talet 2 finns. Kommandot Count räknar antalet förekomster av talet 2 i listan a. f[m_,t_]:=count[m,t]>0 f[a,2] True; Detta är en funktion som returnera True om talet t finns i listan m. Mängder En lista är en följd av objekt, till exempel heltal. Det är fullt möjligt att samma tal (eller objekt) kan finnas mer än en gång i en lista. Dessutom är ordningen av elementen i listan av vikt. En mängd är en samling element, som saknar dubbletter och där ordningen är oviktig. {}. l1={1,2,3}; l2={2,3,1,1}; m1=union[l1]; m2=union[l2]: l1==l2 False m1==m2 True Genom att använda Union på en lista, sorteras och avlägsnas alla dubbletter i listan. Listan har blivit till en mängd. Håkan Strömberg 6 KTH STH

De tre mängdoperatorerna vi lärt oss tidigare skrivs Så här använder man dem: a={1,2,3,4,5}; b={2,4,6}; Intersection[a,b] {2,4} Union[a,b]; {1,2,3,4,5,6} Complement[Range[10],a] {6,7,8,9,10} Mathematica Namn Operator Union Union Intersection Snitt Complement Differens Range[n] skapar en lista av heltal från 1 till n Procedur g[n_]:=block[{sum=0,k}, For[k = 1,k<= n,k++, sum = sum + k; ]; sum ] g[n] är ett exempel på en procedure i Mathematica. Vi anropar den med hjälp av till exempel g[100] 5050 och får reda på summan av 1+2+...+99+100 = 5050. En procedur inleds med ett namn följt av en parameterlista, som kan vara tom. Parametrarna avslutas med underscore _. Om funktionen innehåller flera rader innesluts den i ett Block[](Module[]. Den inledande listan innehåller lokala variabler. Raderna i en funktion avslutas med semikolon, ;. Funktionen ovan innehåller en For[]-sats uppbyggd ungefär som i programspråket C, utom att man använder komma, istället för semikolon, ;. Det är resultatet av sista satsen som returneras. Håkan Strömberg 7 KTH STH

3.1. MÄNGDER For-satsen Här följer några exempel For[i=1,i<=10,i++, Print[i] ] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 For[i=1,i<=11,i=i+2, Print[i] ] 1 3 5 7 9 11 While-satsen While-loopen kan skrivas så här If-satsen m=1; While[m<123456789, m=2*m ] m Detta exempel på if-sats säger allt a=8; If[Mod[a,3]==0, q=1, If[Mod[a,3]==1, q=2, q=3 ] ] Logiska operatorer är and, or, not skrivs som i C, &&,,!, Dessutom finns operatorerna samt xor och implies som vi återkommer till. 5>2 True f[x_,l_,u_]:=x>=l && x<=u f[7, 6, 10] True Håkan Strömberg 8 KTH STH

Full evaluering Man måste inse att det är så här Mathematica fungerar c:=b; b:=a; a:=10; c 10 Det vill säga att när man tilldelar a värdet 10 så kommer först b och sedan c att få värdet 10. Inte precis vad man är van vid. Men Clear[" *"] c=b b=a a=10 b a 10 När Clear ges denna parameter, glöms alla tidigare tilldelningar och definitioner. Ett alternativ är att klicka sig fram i menyn till Evaluation->Quit Kernel->Local. Lista med primtal primtal[n_] := Block[{k, lista}, lista = {}; For[k = 2, k <= n, k++, If[PrimeQ[k], AppendTo[lista, k] ] ]; lista ] primtal[30] {2,3,5,7,11,13,17,19,23,29} Ovan har vi en funktion, primtal(n), som returnerar en lista med samtliga primtal < n. Vi deklarerar och initierar lista. Med hjälp av den inbyggda funktionen PrimeQ avgör vi om k är ett primtal. Om så är fallet konkatenerar vi talet k till lista. Proceduren avslutas med att listan returneras. Observera att detta är långt ifrån det effektivaste lösningen, utan ska ses som ett exempel på hur man skriver funktioner Håkan Strömberg 9 KTH STH

3.1. MÄNGDER Femsiffriga tal med speciell egenskap Bestäm antalet femsiffriga tal n, sådana att då man tar bort siffran i mitten och bildar talet m av de återstående siffrorna, så är m en delare till n, m n i = 0; For[n = 10000, n<=99999, n++, a = IntegerDigits[n]; a = Drop[a, {3, 3}]; m = FromDigits[a]; If[Mod[n, m]==0, i++]; ] i Svar: Det finns 90 sådana tal. Vi slumpar mängder Mängderna A och B kommer att innehålla maximalt 25 slumptal i intervallet 1...100. Vi ska empiriskt ta reda på hur många element A B innehåller genom att utföra simuleringen 100 gånger. antal = 0; For[i = 1, i <= 100, i++, a = Union[Table[Random[Integer, {1, 100}], {i, 25}]]; b = Union[Table[Random[Integer, {1, 100}], {i, 25}]]; antal = antal + Length[Intersection[a, b]]; ] antal/100 // N Ett avslutande exempel Sök upp alla 6-siffriga tal t, sådana att när de 3 sista siffrorna flyttas längst fram, så blir t sex gånger större main[] := Block[{i, l1, l2, t, s = {}}, For[i = 100000, i<=999999, i++, l1 = IntegerDigits[i]; l2 = Flatten[Append[Take[l1, {4, 6}], Take[l1, {1, 3}]]]; t = FromDigits[l2]; If[6*i == t, s = AppendTo[s, i]; ]; ]; s ] main[] {142857} Håkan Strömberg 10 KTH STH

Vi löser uppgiften med en funktion, vi kallar för main. När funktionen har exekverats en gång har vi aldrig mer någon nytta av den, mest därför att funktionen saknar inparametrar. I s ska vi lista samtliga lösningar. For-loopen går igenom samtliga sexsiffriga heltal Med hjälp av IntegerDigits packar vi upp ett heltal till en lista med siffrorna som element. Till exemepel 123456 till {1,2,3,4,5,6}. Med Take plockar vi ut tre element i taget från listan l1 Konkatenerar dem med Append till {4,5,6,{1,2,3}} Med hjälp av Flatten plattar vi till listan och får {4,5,6,1,2,3}. FromDigits skapar ett tal från en lista och t får värdet 456123. Om 6i=t lägger vi till i i listan Det enda talet som uppfyller villkoret är 142857 Håkan Strömberg 11 KTH STH

3.1. MÄNGDER Teoriuppgifter Problem 1 Är det sant att Använd Venndiagram (A B) C = (A C) (B C) Problem 2 Bestäm elementen som tillhör dessa mängder: A = {x x > 10 och x < 17 och x N} B = {x x 2 < 100 och x N} C = {x x = a 2 och a < 10 och a N } D = {x x = 2k+1 och k N} Problem 3 Vilka av följande utsagor är sanna om då M = {0,{1},,{2,3}} a M b M c 1 M d {1} M e {1} M f {{1}} M g {1,2,3} M h {0,1} M Problem 4 I figur 3.3 finns åtta disjunkta mängder. Uttryck dem med hjälp av de beteckningar vi definierat ovan. Problem 5 LåtA = {1,2,3,4,5,6,7} och B = {1,3,5,7,9,11}. Ange mängdernaa B,A B,A B,B A Problem 6 Vid en undersökning av 1000 hushåll visade det sig att 673 hade bil, 552 hade frys, 748 hade TV. 350 hushåll hade både bil och frys, 515 både bil och TV, 462 både frys och TV. I dessa siffror är medräknade de 302 hushåll som har alla tre. Hur många hushåll har varken bil, frys eller TV? Håkan Strömberg 12 KTH STH

Figur 3.3: Problem 7 Låt A och B vara två godtyckliga mängder. Uttryck med hjälp av A,B,,, följande tre mängder a {x x tillhör minst en av A och B} b {x x tillhör högst en av A och B} c {x x tillhör exakt en av A och B} Problem 8 Från en marknadsundersökning framkom följande: Antal undersökta personer var 100 Antal som drack kaffe var 78 Antal som drack te var 71 Antal som drack både te och kaffe var 48 Varför kasserades denna undersökning? Problem 9 Ett antal personer deltog i en undersökning, där det framkom att: 50 spelar handboll 61 spelar inte fotboll 13 spelar inte basket 74 spelar åtminstone två av bollsporterna Uppskatta ett maximum och minimum för hur många som deltog i undersökningen. Håkan Strömberg 13 KTH STH

3.1. MÄNGDER Problem 10 Vad beskriver dessa två rader 0 E if n E, thenn+2 E Problem 11 Ge ett förslag på hur man kan implementera mängder i ett program skrivet i C Problem 12 Uttryck A B med hjälp av termerna A, B och A B Problem 13 Uttryck {1, 2} {2, 3} som en mängd Problem 14 Bestäm P(A) då A = {1,2,3} Problem 15 Är = { }? Problem 16 Vad kan man säga om mängderna A och B? A = {x R sin(x) = 0} B = {nπ n Z} Problem 17 Rita ett Venndiagram över (A B) (A C) Håkan Strömberg 14 KTH STH

Problem 18 Hur mycket pengar har du då? Jag har det minsta antalet kronor som kan uttryckas som en en heltalskvadrat a 2, en heltalskub b 3 och en perfekt femte-potens c 5 Oj Hur mycket pengar rör det sig om? Kan han vara miljardär? Problem 19 Medlemsavgiften i föreningen är 230 kr, utom för pensionärer som endast behöver betala 170 kr. Totalt fick kassören in 15000 kr i medlemsavgifter förra året. Vilka olika antal pensionärer kan föreningen ha som medlemmar? Problem 20 I figuren ser vi en urtavla. Trollkarlen ber dig tänka på ett av de 12 talen, vi här kallar h. Trollkarlen ber dig tänka på ytterligare ett av de tolv talen, o, möjligen samma. Du meddelar detta tal högt. Trollkarlen pekar nu på talet o, som du meddelade och ber dig samtidigt tänka på ditt hemliga tal, h. Han nämner samtidigt ett tal s. När han pekar på nästa tal, moturs, räknar du upp 1, till h+1. Trollkarlen pekar vidare, fortfarande moturs, ett tal i taget och du räknar tyst vidare. När du kommer till talet s, säger du stopp. Trollkarlen pekar nu på ditt hemliga tal! Vilket tal s ska trollkarlen välja för att konsten ska fungera? Håkan Strömberg 15 KTH STH

3.1. MÄNGDER Problem 21 Tänk på ett tal ett positivt heltal x Multiplicera x med 3 Om resultatet är udda, addera 25, annars addera 34 Dividera med 2 Addera 11 Multiplicera med 6 Bestäm den digitala roten till resultatet Svaret blir alltid 6. Förklara! Problem 22 Skriv ned ett positivt heltal, bad trollkarlen Alla siffrorna i talet får inte vara lika Skriv ned ett nytt tal, där du kastat om siffrorna från det första Subtrahera det mindre talet från det större Välj ut en av siffrorna i resultatet Summera de övriga siffrorna i resultatet och meddela mig Nu kan jag tala om vilken siffra du valde ut Hur är det möjligt? Problem 23 Kan man framställa ett primtal som innehåller varje siffra 1...9 precis en gång? Problem 24 Adam och Bertil använder en vanlig badrumsvåg för att väga sina skolväskor. När de väger dem var för sig, väger de 3 respektive 2 kg. När de väger dem tillsammans visar vågen 6 kg. Det måste vara något fel. Två plus tre är inte sex, säger Adam Ser du inte att vågen inte är nollställd, säger Bertil Hur mycket väger egentligen de två skolväskorna? Håkan Strömberg 16 KTH STH

Problemlösning Problemlösning 1. Poker och fotboll (1) En undersökning visade att utav 100 teknologer, spelar 15 varken poker eller fotboll, 52 spelar poker och 76 spelar fotboll. Hur många av teknologerna spelar både poker och fotboll? Problemlösning 2. Vända kort (1) På ett bord ligger sju kort. På framsidan av varje kort finns en bokstav, A eller B. Baksidan är antingen gul eller grön. Vilket är det minsta antal kort, som man behöver vända på för att korrekt besvara följande fråga: Har alla kort med gul baksida bokstaven A på framsidan? Problemlösning 3. Hästhopp (2) En springare (häst) på schackbrädet flyttas som till vänster i figur 3.4. Genom att väl planera Figur 3.4: dragen, kan en springare flyttas runt på ett n n-bräde i n 2 1 drag och då besöka varje ruta exakt en gång. I figurens mitt visas hur en springare med start i 1 efter 24 drag når rutan med nummer 25. Till höger i figuren finns delar av en liknande vandring, denna gång på ett 6 6-bräde. Din uppgift är nu att fullfölja vandringen genom att fylla i dragnumren i de tomma rutorna. Håkan Strömberg 17 KTH STH

3.1. MÄNGDER Problemlösning 4. Askarna (2) Figur 3.5: På ett bord står tre askar. Två av dem är tomma men en innehåller ett guldmynt. Askarna är försedda med etiketter med följande texter, från vänster till höger (se även fig 3.5): Denna ask är tom I denna ask finns ett guldmynt Asken i mitten är tom Vi vet att, minst två av dessa påståenden är falska. Kan du utifrån det säga i vilken ask guldmyntet finns? Problemlösning 5. Kulorna i lådan (2) I en låda ligger n > 0 svarta och m > 0 vita kulor. Bredvid ligger en tillräckligt stor hög med enbart svarta kulor. Man tar på måfå två kulor ur lådan. Är kulorna av samma färg lägger man dem åt sidan och i lådan lägger man en svart kula från högen. Är de valda kulorna av olika färg lägger man den svarta åt sidan och den vita tillbaka i lådan. Man upprepar denna operation tills de två sista kulorna i lådan har ersatts med en. Vad kan man säga om färgen på den kula som till sist blir kvar i lådan, för olika värden på m och n? Problemlösning 6. Ett slag under första världskriget (2) Under första världskriget utkämpades ett slag i närheten av ett gammalt slott. En granat förstörde en staty av en riddare med en lans i handen. Detta hände den sista dagen i månaden. Produkten av den dagens datum, månadens nummer, lansens längd uttryckt i hela fot, hälften av åldern på officeren som ledde anfallet och hälften av den tid (uttryckt i år) som statyn befunnit sig utanför slottet är lika med 451066. När uppfördes riddarstatyn utanför slottet? Håkan Strömberg 18 KTH STH

Problemlösning 7. Konstiga tärningar (2) Figur 3.6: Talen på dessa tärningar är bara som illustration I den här uppgiften använder vi tre tetraedrar, fyrsidiga kroppar, som tärningar. En kastad tedraeder-tärning läses av genom att lyfta upp den och ta reda på talet i botten. De tillsammans tolv sidorna har var och en ett unikt tal, 1...12. Nedan finns givet en serie av kast med de tre tärningarna. Försök avgöra vilka tal som finns på samma tärning. Tärningarna har lästs av i godtycklig ordning. 2 9 7 11 4 10 12 4 8 1 10 11 3 5 7 3 12 7 5 3 8 5 3 11 11 5 1 7 4 5 7 10 4 11 4 5 10 8 2 8 5 3 1 8 9 1 12 8 6 9 1 1 7 10 6 10 4 8 4 10 Problemlösning 8. Kvadrerad summa (2) För talen 6048 och 1729 gäller (6048+1729) 2 = 60481729 Det vill säga de två ursprungliga, fyrsiffriga talen, återfinns i tur och ordning i slutresultatet om talen först adderas och därefter kvadreras. Ta med hjälp av ett C-program eller med Mathematica reda på hur många ytterligare par av fyrsiffriga heltal det finns med denna egenskap. Problemlösning 9. Julklappar (2) Det största paketet i tomtens säck hade måtten: höjden 5 dm, bredden 5dm och längden 10 dm. Det märkliga är att paketets volym är numeriskt lika stor som paketets area. Hur många paket med denna egenskap kan du konstruera, om paketet måste vara ett rätblock och alla sidorna heltal (dm)? Håkan Strömberg 19 KTH STH

3.1. MÄNGDER Problemlösning 10. Terrängloppet (2) Adam, Bertil, Curt och David, som vi nu börjar förstå är sportiga typer, ställde upp i en terränglopp. De planerade loppet på följande sätt Adam tänkte springa halva distansen av loppet med 16 km/tim och den andra med 8 km/tim. Bertil tänkte springa halva tiden med 16 km/tim och den återstående tiden med 8 km/tim Curt tänkte springa med en konstant hastighet på 12 km/tim loppet igenom David tänkte starta försiktigt med 7 km/tim under första tredjedelen av distansen och därefter öka till 14 km/tim under den andra tredjedelen och sedan spurta resten med 19 km/tim Hur blev deras inbördes placering? Den enda formel du behöver för att lösa denna uppgift är v = s t Problemlösning 11. Släpp fångarna loss det är vår (2) I ett fängelse finns 26 celler på rad. Vi ser i figuren några av dess dörrar, som från början Figur 3.7: Detta är en korridor i ett fängelse alla är stängda. På fängelset finns också 26 vakter som tillsammans utför följande ritual varje vår: Den första vakten går fram till varje dörr och öppnar dem. Den andra vakten går fram till var annan dörr med början från dörr nummer 2 och stänger dessa dörrar. Den tredje vakten besöker var tredje dörr med början från dörr nummer 3. Om den är öppen så stänger han den. Om den är stängd så öppnar han den.... Den tionde vakten besöker var tionde dörr med början från dörr nummer 10. Om den är stängd så öppnar han den och tvärt om.... Den tjugosjätte och sista vakten går endast fram till dörr nummer 26. Om den är öppen så stänger han den. Om den är stängd så öppnar han den. Fångarna i de cellers vars dörrar nu står öppen släpps fria. I vilka cellnummer finns dessa fångar? Huvudfrågan: Om det från början finns n celler och n vakter, vad kan man då säga om numren på de dörrar som kommer att vara öppna när proceduren är genomförd? Håkan Strömberg 20 KTH STH

Problemlösning 12. Undersökning (2) SCB (statistiska Centralbyrån) gjorde en undersökning om befolkningens rökvanor. Man frågade 1000 personer om deras kön, civilstånd och om de eventuellt rökte. Man fick följande data: 418 män 491 gifta 429 rökare 159 manliga rökare 103 gifta rökare 104 gifta män 29 manliga gifta rökare Kan siffrorna vara korrekta? Problemlösning 13. Nyårsfest (2) Sex personer A,B,C,D,E och F firar nyår på en av Stockholms restauranger. Deras födelsedagar infaller under de sex första månaderna på året, men nödvändigtvis inte i den ovan givna ordningen. Följande gälller: Två av personerna, A och januaribarnet är läkare E och februaribarnet är lärare och gifta med varandra Han som är född i mars och C är programmerare B och F är systrar C har samma kön som majbaret och gift med den som är född i juni. B och januaribarnet är syskon Majbarnet och A har aldrig tidigare träffats Bestäm yrke, födelsemånad och kön för de sex personerna. Håkan Strömberg 21 KTH STH

3.1. MÄNGDER Problemlösning 14. Minsta värdet (3) Man har skrivit tio olika positiva heltal: a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k i ett mönster som i figur Figur 3.8: 3.8. Varje tal mot vilket två pilar pekar är lika med summan av de två tal som står på andra sidan av pilarna. Vilket är det minst värde d kan ha? Problemlösning 15. På tal om insatser (2) Vi var tre stycken som spelade och gjorde en del insatser: 1 Först vann Adam av Bertil lika mycket som Adam hade från början 2 Därefter vann Bertil lika mycket av Curt, som Bertil hade kvar 3 Slutligen vann Curt av Adam lika mycket som Curt hade kvar 4 Alla hade till sist lika mycket pengar 5 Jag började med 50 kronor Vem av de tre var det som sa detta Problemlösning 16. Ormbettet (2) När Adam, under sitt besök i djungeln, fick ett allvarligt ormbett, var han glad att han hade motgift med sig i medicinväskan. Motgiftet bestod av två burkar, burk A och burk B, båda innehållande 3 tabletter. På burkarna stod att han skulle, med 2 timmars mellanrum, samtidigt ta en tablett ur varje burk. Han lade först en tablett ur burk A i handen, men när han skulle hälla ut en tablett ur burk B, råkade två tabletter trilla ut. Det var nu omöjligt att skilja de de tre tabletterna i handen från varandra. Hur skulle Adam nu få i sig rätt dos av motgiftet? Håkan Strömberg 22 KTH STH

Lösningar Teoriuppgifter Lösning Teoriuppgift 1 Figur 3.9: Lösning Teoriuppgift 2 Elementen är {11,12,13,14,15} {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} {0,1,4,9,16,25,36,49,64,81} Mängden av udda heltal Lösning Teoriuppgift 3 a Sant b Sant c Falskt d Sant e Falskt f Sant g Falskt h Falskt Håkan Strömberg 23 KTH STH

3.1. MÄNGDER Lösning Teoriuppgift 4 1 (A B C) 2 A (B C) 3 (A C) B 4 C (A B) 5 (A B) C 6 A B C 7 (B C) A 8 B (A C) Lösning Teoriuppgift 5 Vi ser då att A B {1,2,3,4,5,6,7,9,11} A B {1,3,5,7} A B {2,4,6} B A {9,11} A B = (A B) (A B) (B A) Lösning Teoriuppgift 6 Om vi har två mängder A och B med A respektive B element förstår vi att uttrycket A B = A + B A B. När vi adderar A + B tar vi ju med A B två gånger. Utvidgar vi resonemanget till tre mängder får vi formeln som ger A B C = A + B + C ( A B + A C + B C )+ A B C A B C = 673+552+748 (350+515+462)+302 = 948 och U A B C = 1000 948 = 52. 52 hushåll saknar bil, frys och TV. Lösning Teoriuppgift 7 a) A B b) (A B) c) A B (A B) Lösning Teoriuppgift 8 Vi tar till ett Venndiagram för att lösa detta problem. Cirkeln till vänster symboliserar kaffedrickarna och cirkeln till höger tedrickarna. I den area som är gemensam för de båda cirklarna finns de 48 personerna som drack båda dryckerna. Totalt fanns 78 kaffedrickare. Vi vet då att fanns 30 personer som enbart drack kaffe. På samma sätt kan vi bestämma Håkan Strömberg 24 KTH STH

Figur 3.10: att det fanns 23 personer som enbart drack te. Då 48+30+23 = 101 100 förstår vi att undersökningen inte är genomförd på ett tillförlitligt sätt! Lösning Teoriuppgift 9 Figur 3.11: Vi har tre olika aktiviteter F fotboll, H handboll och B basket. Ur Venndiagrammet i figur 3.11 kan vi läsa 8 olika delmängder. De personer som till exempel tillhör delmängd f, spelar fotboll och handboll, men inte basket. Personer i delmängden a, utövar ingen av de tre sporterna. Vi antar att det deltog n personer i undersökningen. Med hjälp av problemtexten kan vi teckna följande samband: c+e+f+h = 50 a+b+c+e = 61 a+c+d+f = 13 e+f+g+h = 74 a+b+c+d+e+f+g+h = n Tyvärr har vi endast 5 ekvationer för de 9 obekanta och måste använda en mer resonerande teknik, än att lösa ett ekvationssystem. Vi bestämmer först maximum för n. Tekniken blir att försöka bevisa en övre gräns för n. Om vi sedan kan visa att det finns en uppsättning data som möjliggör denna övre gräns har vi bestämt maximum hos n. Adderar vi ekvationerna på rad (3) och (4) i systemet ovan får vi a+c+d+e+2f+g+h = 13+74. Minskar vi det vänstra ledet med f, så kan vi skriva a+c+d+e+f+g+h 87. Från rad (2) kan vi påstå att b 61. Adderar vi denna olikhet till föregående uttryck får vi Håkan Strömberg 25 KTH STH

3.1. MÄNGDER a+b+c+d+e+f+g+h 148. Nu har vi bevisat att n inte kan vara större än 148. Att n verkligen kan vara 148 ser vi om vi sätter h = 50,b = 61,d = 13,g = 24 och resten till 0 och testar de fem villkoren. Vi har alltså visat att n kan vara 148 men inte större. Vi bestämmer nu minimum förn. e c+e+f+h = 50 får vi fram från rad (1) i systemet. Samtidigt ser vi att a+b+c = 61 e, men eftersom e 50 så måste a+b+c 11. Nu kan vi skriva n = (a+b+c)+(e+f+g+h)+d 11+74+0 = 85. n kan alltså inte vara mindre än 85, men kan n vara 85? För att det ska vara möjligt måste a+b+c = 11, d = 0 och e = 50. Men om e = 50 får vi från rad (1) att c = f = h = 0, vilket betyder att a+c+d+f = a 11, men i rad (3) i systemet hittar vi a+c+d+f = 13, vilket är en motsägelse och medför att n inte kan vara 85. Så då får vi gå vidare och hoppas att n = 86 är möjligt. Kan vi hitta en uppsättning data för detta värde är allting klart. Vi ökar på a+b+c till 12 med d = 0, som medför att e = 49. c+f+h = 1. Eftersom a+b+c = 12 och a+c+f = 13 (från rad (3)) är f = b+1. Till slut får vi a = 12, b = 0, c = 0, d = 0, e = 49 f = 1, g = 24 och h = 0 Vi löser problemet med ett C-program Med hjälp av datorn kan vi som bekant testa en mängd kombinationer på kort tid. I detta problem vet vi redan att antalet kombinationer är relativt litet. Eftersom vi har fyra villkor (ekvationer), så måste vi variera fyra obekanta inom rimliga gränser. 1 void main(void){ 2 int t[1000]={0}; 3 int a,b,c,d,e,f,g,h,i,n; 4 for(a=0;a<=13;a++) 5 for(c=0;c<=13;c++) 6 for(d=0;d<=13;d++) 7 for(e=0;e<=50;e++){ 8 f=13 (a+c+d); 9 b=61 (a+c+e); 10 h=50 (c+e+f); 11 g=74 (e+f+h); 12 if(f>=0 && b>=0 && h>=0 && g>=0) 13 t[a+b+c+d+e+f+g+h]=1; 14 } 15 for(i=0;i<1000;i++) 16 if(t[i]) printf("%4d",i); 17 } Kommentarer: 4-13 Fyra loopar. De gäller att välja ut fyra storheter så att vi med hjälp de fyra givna villkoren kan bestämma de andra fyra storheterna. Här har vi valt a, c, d och e att variera. 8-11 De andra fyra kan vi nu beräkna. 12 De uträknade storheterna måste alla vara 0 13 Summan av de åtta variablerna bestämmer antalet personer i undersökningen. I arrayen t finns från början enbart 0:or. När vi nu bestämt ett speciellt n, summan av variablerna, går vi in i cellen med motsvarande index och sätter dess värde till 1. Håkan Strömberg 26 KTH STH

15-16 Index hos de celler i arrayen t som har värdet 1 skrivs ut, som bevis på att detta antal personer kan ha ingått i undersökningen. Programmet ger samma svar som vårt tidigare bevis, dessutom får vi reda på att alla n i intervallet [86...148] är möjliga. Lösning Teoriuppgift 10 Raderna beskriver med hjälp av rekursion mängden av jämna naturliga tal Lösning Teoriuppgift 11 Deklarera en array av heltal, lika stor som antalet element i universum. För de element som ingår i mängden sätts motsvarande cell till 1. En 0:a innebär att detta element inte ingår. Om man har två mängder (arrayer), A och B och summerar cellerna på motsvarande platser kommer A B att motsvaras av alla element = 2 och A B av element >= 1. Lösning Teoriuppgift 12 A B = A + B A B Lösning Teoriuppgift 13 {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)} Lösning Teoriuppgift 14 P(A) = {,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}} Lösning Teoriuppgift 15 Nej, är en mängd som inte innehåller något element. { } är en mängd som innehåller ett element. Detta element är den tomma mängden. Däremot är { }. Lösning Teoriuppgift 16 A = B Lösning Teoriuppgift 17 Vi startar med att måla allt utom A B gult. Därefter A C blått. Det som tidigare var gult Figur 3.12: om som nu målas över med blått blir förstås grönt. Resultatet är den gröna mängden Lösning Teoriuppgift 18 Håkan Strömberg 27 KTH STH

3.1. MÄNGDER Vi har att lösa följande diofantiska ekvationssystem n = a 2 n = b 3 n = c 5 Det minsta tal 1 som är en heltalskvadrat är 2 2 = 4. Det minsta tal 1 som är en heltalskub och en heltalskvadrat 2 6 = 64. Det minsta tal 1 som är en heltalskub, en heltalskvadrat och en perfekt femte-potens är 2 30 = 1073741824. Någon annan bas än 2 kan inte komma ifråga med hjälp av lcm(2,3,5) = 30 hittar vi talet 2 30 Lösning Teoriuppgift 19 Mathematica löser problemet med följande rad: Reduce[{230m+170p==15000, m>0, p>0}, Integers] Vi får fyra lösningar (m = 12,p = 72), (m = 29,p = 49), (m = 46,p = 26) och (m = 63,p = 3), där m står för vanliga medlemmar och p pensionärer. Lösning Teoriuppgift 20 s = o+12 Lösning Teoriuppgift 21 Antag att du tänker på x. Vi får då 5(2x+7) x 9x+35 35 y( mod 9) y = 8 Innan vi tar bort någon siffra är den digitala roten 8. Om summan av de siffror du nämner är s och du har plockat bort z, löser ekvationen s+z 8( mod 9) problemet. Lösning Teoriuppgift 22 9 är en delare till differensen mellan två tal som innehåller samma siffror! Alltså har talet den digitala roten 9. Om summan av de siffror du meddelar mig är s och den hemliga siffran är h, så löser ekvationen s+h 0( mod 9) problemet. Ett exempel: x = 328765 y = 856237 y x = 527472 s = 20 20+h 0( mod 9) h = 7 Håkan Strömberg 28 KTH STH

Lösning Teoriuppgift 23 Nej, eftersom 1+2+...+9 = 45, ser vi att 3 är en delare till alla 9! tal som kan framställas. Alltså inget primtal. Lösning Teoriuppgift 24 Antag att vågen visar x när ingen vikt ligger på den. Antag att Adams skolväska väger y och att Bertils väger z. Vi får nu följande ekvationssystem Med hjälp av Mathematica får vi x+y = 3 x+z = 2 x+y+z = 5 Solve[{x + y == 3, x + z == 2, x + y + z == 6}] som ger lösningen x = 1, y = 4 och z = 3 Svar: Adams väska väger 4 kg och Bertils 3 kg. Laboration Laborationsuppgift 1. Fermats tal (2) F m kallas Fermats tal på formen 2 2m +1 a) För vilka 1 m 13 är F m ett primtal? b) Hur många siffror har F 13 Laborationsuppgift 2. Vinklar (2) Generera en lista med vinklar från 0 till 360 grader med ett steg om 10 grader, där vinklarna är uttryckta i radianer. Bestäm sedan sin(x) för dessa vinklar med hjälp av Map. Hur många värden av talen i listan kan uttryckas utan att sin används? För π använder man Pi, även om det kan tyckas som att pi fungerar lika bra. Laborationsuppgift 3. Lista av listor (2) Generera en lista med följande struktur: {{},{},{}}. I var och en av de tre mindre listorna ska finnas tre slumpmässiga heltal i intervallet [2,14]. Laborationsuppgift 4. Siffersumman till tresiffriga tal (2) Bestäm alla tresiffriga heltal t, där t är 11 gånger större än dess siffersumma. Laborationsuppgift 5. Pandigital (3) Håkan Strömberg 29 KTH STH

3.1. MÄNGDER Här vill vi ha reda på alla heltal n, som är sådana att n 2, innehåller de nio siffrorna 1...9 precis en gång. Laborationsuppgift 6. Summan av kuben på talets siffror (2) Det märkliga med talet 153 är att 1 3 +5 3 +3 3 = 153 Det vill säga att summan av kuben på talets siffror är talet självt. Det finns ytterligare tre tal med denna egenskap vilka? Laborationsuppgift 7. Vänskapliga rektanglar (2) Figur 3.13: I figur 3.13 ser du ett par vänskapliga rektanglar, den ena har samma mätetal för omkretsen som den andra har för arean, 24, samtidigt som den andra har samma mätetal för omkretsen som den första har för arean, 20. Ta reda på samtliga par av vänskapliga rektanglar där alla mått är positiva heltal. Ingen sida visar sig vara längre än 55. Laborationsuppgift 8. Vilka tal ingår i mängden? (2) Vilka är de positiva heltal n sådana att n är udda n inte är ett primtal n < 1000 n har siffersumman 14. (summan av de i talet ingående siffrorna) Laborationsuppgift 9. Vilka är talen? (3) Alla udda heltal, utom två stycken, i intervallet [2...8999] är antingen ett primtal eller kan skrivas som p + 2 x 2, det vill säga som summan av ett primtal och 2 gånger en heltalskvadrat. Till exempel är 55 = 5+2 5 2, eller 27 = 19+2 2 2. Vilka är dessa tal? Håkan Strömberg 30 KTH STH