EXAMENSARBEE LQ-regering av inverterad pende Micae Karsson H97Ei -7- Högskoan rohättan-uddevaa Institutionen för eknik Bo 957, 6 9 rohättan e: 5-7 5 Fa: 5-7 5 99
EXAMENSARBEE LQ-regering av inverterad pende Sammanfattning Med hjäp av MALAB och tihörande hårdvara har en LQ-reguator tagits fram som ska baansera en inverterad pende i upprätt äge. Ett anta fier för att i en grafisk mijö sama mätdata för pendesystemet har tagits fram för att kunna jämföra den matematiska modeen som evererats av företaget FEEDBACK med den mätdata som samats in. För att på ett enket sätt se hur LQ-regering fungerar skapades en grafisk mijö. Med hjäp av steg- och pussvar samt en animering där man kan studera hur vagnen och penden rör sig. Vid simuering är det möjigt att addera en störning ti börvärdet. Nyckeord: LQ, injärkvadratisk regering, regerteknik, MALAB, GUI, inverterad pende Utgivare: Författare: Eaminator: Handedare: Högskoan rohättan/uddevaa, Institutionen för eknik Bo 957, 6 9 rohättan e: 5-7 5 Fa: 5-7 5 99 E-post: teknik@htu.se Micae Karsson Anna-Karin Christiansson Anna-Karin Christiansson, HU Poäng: Nivå: C Huvudämne: Eektroteknik Inriktning: Informationssystem Språk: Svenska Nummer: :7 Datum: -7-
DISSERAION LQ-contro of the inverted penduum Summary he intention of this dissertation is the creation of a Linear Quadric Reguator (LQR) in MALAB to contro an inverted penduum in an upright position. A number of fies have been created in a graphica environment for coecting data from the pant. his data is used to verify the mode given by the company that deivered the penduum equipment. o be famiiarised with the LQ-contro, a graphica interface has been created so the user can do eperiments with different weight-factors. It is possibe to add noise to the desired vaue. Keywords: LQ Contro, MALAB, GUI, Inverted penduum Pubisher: Author: Eaminer: Advisor: Subject: University of rohättan/uddevaa, Department of echnoogy Bo 957, S-6 9 rohättan, SWEDEN Phone: 6 5 7 5 Fa: 6 5 7 5 99 E-mai: teknik@htu.se Micae Karsson Anna-Karin Christiansson Anna-Karin Christiansson, HU Eectrica Engineering, Information Systems Language: Swedish Number: :7 Date: Juy,
Förord Jag vi tacka min handedare Anna-Karin Christiansson för a den hjäp och stöttning jag fått under eamensarbetets gång.
Innehåsförteckning INLEDNING 6. Bakgrund 6. Syfte 6.3 Må 6. Avgränsningar 6.5 Metod 7.6 ivägagångssätt 7.7 Kädiskusion 7.8 Litteratursökning 8 PENDEL-VAGNSYSEME 8 3 ILLSÅNDSÅERKOPPLING 3. iståndsrekonstruktion LINJÄRKVADRAISK REGLERING 3. LQ - optimering i det tidsdiskreta faet. LQ optimering för tidskontinueriga fa 5 5 VALIDERA DEN BEFINLIG MODELLEN 6 6 DEN EGNA LQ-REGULAOR 3 6. Reaisera reguatorn i MALAB/SIMULINK 3 6. Simuering av modeen 7 REALIDSKÄRNAN, RK 8 8 MALABS GRAFISKA GRÄNSSNI, GUI 3 9 RESULA/SLUSASER 3
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Inedning. Bakgrund Denna rapport ingår som ett p eamensarbete på akademisk C-nivå, detta för att uppnå kandidateamen från Eektro-programmet med inriktning mot informationssytem på institutionen för eknik vid HU.. Syfte Det övergripande mået med detta eamensarbete har varit att fördjupa kunskaperna i regerteknik samt fördjupade kunskaper i MALAB..3 Må Måen med eamensarbetet har varit föjande: Studera injärkvadratisk regering Studera en inverterad pende som finns på institutionen Vaidera befintig mode av penden genom ett anta tester Skapa en fungerande LQ-reguator ti den inverterade penden Behärska MALABs grafiska mijö och använda Guide Contro Pane, ett hjäpmede som finns tigängigt i MALAB, se vidare biaga Dokumentera arbetet i form av en rapport.. Avgränsningar Enbart den pende och kringutrustning av märket FEEDBACK som finns på institutionen har använts. Då ett grafiskt användargränssnitt för insaming av mätdata testades var det uppenbart att den dator som använts tidigare var för ångsam, dess data är: Inte 86, 33 MHz RAM-minne: 3 Mb Grafikkort: Mb minne Med anedning av detta instaerades mjuk- och hårdvara i en snabbare dator. - 6 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7.5 Metod Efter genomgång av reevant itteratur som behandar injärkvadratisk optimering har detta ämne studerats ingående för att skaffa en god bas varpå hea eamensarbetet har baserats. Den itteratur som studerats mest är B. Schmidtbauers bok Modebaserade regersystem []. Dessutom har ett anta eektroniska käor [-5] använts för att få en vidare bid av ämnena LQ och Modebaserad regering, kursitteratur från tidigare kurser som är reevanta [-5] samt diverse annan itteratur [6-] som varit ämpig..6 ivägagångssätt Först av at studerades den befintiga utrustningen och den dokumentation som finns tigängig från tiverkaren FEEDBACK. Då det visade sig att det fanns mjukvara för en nyare version av MALAB (5.) instaerades denna tisammans med MALAB 5.3 på den befintiga datorn en ädre dator med Intes 86-processor. Då en de i måbeskrivningen var att använda MALABs grafiska gränssnitt skapades ett sådant för att testa det öppna systemet då vagnen med dubbependen användes som en kran/travers. Det visade sig då att denna dator även för personer med mycket stort tåamod tappade detsamma och bev ordentigt irriterade över den sega datorn. Med anedning av detta instaerades hård- och mjukvara i en ny dator av modernare snitt. Den nya dator (beteckning: Reger 9, i Styr- och regeraborationssa: D) som används är betydigt snabbare, dess data: Inte Pentium III 55 MHz RAM-minne: 8 Mb Grafikkort: 8 Mb minne Då denna dator var utrustad med Windows 98 uppstod ett anta probem som härrörde från operativsystemet. Då detta byttes ut och Windows 95b instaerades försvann probemen. De programvaror som instaerades var MALAB 5.3 (R.) och programvara från tiverkaren för version 5. av MALAB..7 Kädiskusion Då materiaet som anskaffats genom bibioteket [6-9] och via Internet [-5] studerats, kunde det redan efter inte ens häften av materiaet konstateras att det finns en uppsjö oika modeer av den inverterade penden. Oikheterna kan med största sannoikhet tiskrivas de skiftande användningsområden modeerna tagits fram för. Det som ti - 7 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 en början våade visst huvudbry var att för samma sak användes ett anta oika beteckningar. Men detta undanröjdes då författaren bev mer varm i käderna och inte var i så stort behov av just beteckningar. Då kunskaperna ti största deen hämtats från böcker och vad som kan betecknas som förhåandevis säkra käor på Internet, oika svenska och några utändska universitet, har den kritiska granskningen känts överfödig..8 Litteratursökning Som nämnts tidigare har institutionens bibiotek besökts ett ferta gånger för att åna böcker [6-9] i ämnet regerteknik samt ett stort anta sökningar på Internet där det visade sig vara förvånansvärt enket att hitta tiföritiga käor i ämnet LQ-regering och modebaserad regering. Då detta tisammans gav mer information än vad som behövdes fanns det inget egentigt behov av att söka igenom det stora utbud av databaser som stod ti förfogande. Pende-vagnsystemet Det regerobjekt som använts är av märket FEEDBACK Digita Penduum Mechanica Unit 33- med tihörande programvara från samma företag. Det är även deras reatidskärna som används. Systemet består av en DC-motor med ett drivhju koppat ti motoraen som driver vagnen fram och tibaka med hjäp av ett drivband. i vagnen är det koppat två pendearmar, en på var sida av vagnen. Dessa är dock sammankoppade med en horisonte metastav varför de kan betecknas som en enda pende. Det finns även två inkrementea givare, en för vagnens äge och en för pendearmarnas vinken. Vinkegivaren har enigt tiverkaren en uppösning på: ϕ π,37 [rad] 8 En enke bid av den fysiska utrustningen ges i figur. Denna givare har den egenskapen att då pendearmarna roterar fera varv ökas vinkevärdet. Detta ger probem vid impementering av den egna reguatorn eftersom vinken för att uppfya de kriterier som stäts ska vara nära no. Se biaga 5 hur denna anropas i MALAB - 8 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Lyckigtvis går det troigtvis att gå förbi detta probem genom att i sina beräkningar använda föjande rad MALAB-kod: afa pi*((afa/pi)-foor(afa/pi)) där afa är vinkevärdet från givaren och afa det vinkevärde som används för beräkningarna av styrsignaen. Pendearmar Vagn Drivina DC Styrsigna ti DCmotor Signa från givarna, 3 Motorstyråda Figur. Bid av hur hårdvaran är hopkoppad - 9 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Den fysiska representation i figur av systemet kan byggas upp med hjäp av ett anta bock som på ett ogiskt sätt beskriver hur den datorbaserade regeringen går ti, se figur. Dator Kocka A/D Regeragoritm D/A Regerobjekt Givare Figur. Bockschemamässig beskrivning av datorbaserad regering. 3 iståndsåterkopping Om aa tistånd, det vi säga äge, hastighet, vinke och vinkehastighet för regerobjektet finns att tigå som mätsignaer kan dessa återkoppas och mutipiceras med en viktfaktor för varje tistånd. Det är tanken att dessa viktfaktorer väjs så att poerna för det återkoppade systemet får de önskade värdena, det är detta som kaas popacering. Vaet av dessa poer för det sutna systemet bir då en kompromiss mean snabbhet/noggrannhet och styrsignanivåer/robusthet. Denna metod fungerar bäst på sutna system av SISO-typ (Singe Input - Singe Output). Då fera styrsignaer finns, MIMO (Mutipe Input - Mutipe Output) hänvisas i itteratur ti injärkvadratisk optimering []. Som synes i figur 3 ska regerobjektet finnas angivet på tiståndsform (eer A,B,C,D-form). Det som först måste åstadkommas för att arbeta med denna form av regering är att om det regerobjektet består av en ickeinjär matematisk mode ska denna injäriseras. Här avses endast den inverterade penden - -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Det bock i figur 3 som betecknas Kr är börvärdesfaktor som beräknas så att ågfrekvensförstärkningen från R ti Y är. För att uppnå detta sätts Kr ti: [ C( A ) ] Kr B (3.) i det kontinueriga faet och r [ C( I A ) ] d B K (3.) d i det tidsdiskreta faet. I är enhetsmatris med samma dimension som Ad, den diskreta motsvarigheten ti A. Bd motsvaras i det kontinueriga faet av B. Diskretiseringen av tiståndsmodeen görs enket i MALAB med kommandot: cdm. De inparametrar som ges är den kontinueriga tiståndsmodeens fyra matriser, sampingstiden, och viken diskretiseringsmetod som ska användas. Styragen L i figur 3 beräknas enigt föjande: L [,..., ] A ' A d, d B d n L (3.3) det karakteristiska poynomet ansätts enigt föjande: P( z) det( zi Ad ') (3.) ur detta poynom fås ett anta ekvationer med z och, n som okända. Variaben z ges de värden som man önskar att poerna för det sutna systemet ska få och öser ut, n som atså bidar styrag L. Jämför med kapiten. och. som behandar LQ-regering där avvikeser straffas i stäet för att som här pacera poer. Reguator Regerobjekt R K r u - B ----- s C y A L Figur 3. Bockschema för tiståndsmode med tistånds-återkopping via styragen L, där u Kr*R-L - -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Då denna typ av reguatorer ofta reaiseras med hjäp av datorer är de tidsdiskreta. Det probem som kan uppstå är om sampingstiden är kort eer om beräkningarna tar så pass mycket tid att ett het sampingsinterva går åt bör man använda det som kaas ångsam dator []. Det har atså inget med den använda datorns prestanda att göra. 3. iståndsrekonstruktion Då det inte atid är möjigt att mäta aa tistånd i regerobjektet återskapas de med hjäp av en mode av regerobjektet. Det är atså av största vikt att ha en bra mode för att reguatorn ska fungera på ett tifredsstäande sätt. De estimerade tistånden betecknas ˆ( k ) (-hatt) för att skija dem från de verkiga tistånden. I figur beskrivs det som betecknas ettstegs-prediktion eer ångsam dator []. Mätfe u(k) B d ˆ ( k ) (k) C y(k) - K s z - ˆ ( k ) A d C Figur. idsdiskret observatör, ettstegsprediktion Man inför beteckningen ˆ( k k ) för den tiståndsuppskattning som görs vid sampingstifäe k baserat på mätningen vid sampingstifäe (k-). Man baserar atså tistånds-uppskattningen på mätningar fram ti tidpunkten (k-) för att få en korrigering av tiståndsskattningen: [ y( k) Cˆ( k ) ] ˆ ( k k) Ad ˆ( k k ) K s k (3.5) - -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 med hjäp av denna forme sker atså prediktering ett steg framåt i tiden, detta baseras på ˆ( k k). Inför beteckningen ˆ ˆ( k k ) (3.6) Med dessa omskrivningar fås: ˆ ( k ) ( A K C) ˆ( k) Gu( k) K y( k) (3.7) d s som sutresutat. Ks beräknas enigt föjande []: K s d s A K (3.8) Linjärkvadratisk regering På 96-taet utveckades det som nu betecknas LQ-regering. Det utveckades med stora forskningsansag i USA och dåvarande Sovjetunionen för rymdreaterade regerprobem. Dessa probem bestod band annat av manövrering av raketer för att minimera bränseåtgång. Särskit inom rymdfarten var tekniker yckosamma med att impementera injärkavdratisk Gaussisk regering, LQG-regering. Då regertekniker inom andra branscher försökte använda LQG gick det tyvärr inte ika bra eftersom det oftast inte fanns tiräckigt bra modeer av regerobjekten. Det fanns dessutom ingen bra mode av det vita brus som fanns närvarande. Med anedning av detta var det inte atid dessa reguatorer var tiräckigt robusta.[9] Linjärkvadratisk(LQ) optimering kan sägas vara den optimaa reguatorn för ett regerobjekt, stabit eer instabit. Det är dock nödvändigt att ha en bra matematisk mode av regerobjektet om det inte finns möjighet att direkt mäta aa tistånd. anken med LQ är att straffa avvikeser från det önskade värden. Dessa straff sätts utifrån vika tistånd som är mest kritiska för funktionaiteten. Som i faet med den inverterade penden där vagnens äge inte atid kan anses vara det viktigaste utan pendens avvikese från dess upprätta äge. Då är det ämpigt att i förhåande ti straffet för vagnens äge sätta ett större straff för vinkeavvikese. Straffen bör dock sättas inom vissa gränser så att styrsignaen/styrsignaerna finns inom ett rimigt område. Det kan annars bi så att styrsignaen antar at för stora värden viket eder ti försämrad regering då en sådan signa inte - 3 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 kan överföras ti den utrustning som direkt påverkar regerobjektet som t.e. en motor eer iknande. LQ-regering kan beskrivas på fera sätt. Ett av dem är nedanstående [] I t.e. en autopiot ti en segebåt vi man gärna igga bra i kurs utan att dra ur batterierna het. Då kan ett stort straff på kursavvikese och ett itet på styrenergin göra att man får en utmärkt kurs ti kostnad av att batteriet tar sut på en kort tid. Om man då gör omvänt, stort straff på styrenergi och ågt på kursavvikese är det troigt att man hamnar på and med fuaddade batterier. Mået är ju att man ska håa en acceptabe kurs utan att dra ur batterierna, detta uppnås med att man baanserar straff för avvikese i kurs och använd styrenergi så att man hamnar där man vi.. LQ - optimering i det tidsdiskreta faet Den diskreta tiståndsmodeen för ett system av ordning n ges av föjande mode: ( k ) A ( k) B y( k) C( k) Du ( k) d d u( k) (.) Detta system ska styras med u(k) i N anta steg från k ti kn-, med givet begynnesetistånd () så att kostnadsfunktionen J minimeras: N [ ( k) Q ( k) u ( k) Q u( k) ] ( N ) M( N) min! J (.) k I (.) är Q straffen för tistånden och Q för styrsignaen/styrsignaer och M är straffet för det kvarstående fe. Först optimeras kostnaden i sista steget för att sedan arbeta sig bakåt ti första steget, detta kaas dynamisk programmering. Styrsignaen för u ( N ) L( N ) ( N ), och kostnadsfunktionen J N ( N ) S ( N ) ( N ) (.3) - -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 För beräkning av styragen L(k) och kostnadsfunktionen S(k) [ Bd S( k ) Bd Q ] Bd S ( k Ad L ( k) ) (.) S( k) A A d d S( k ) A S( k ) B d d [ Bd S( k ) Bd Q ] Bd S( k ) Ad Q (.5) Minimivärdet av kostnadsfunktionen bir: J min () S() () (.6) Om styrtiden är ång fås det stationära värdet på S som ösningen ti den stationära tidsdiskreta Riccati-ekvationen: [ G SBd Q ] Bd SAd Q S Ad SAd Ad SBd (.7) I MALAB finns rutiner för att beräkna ösningen ti Riccatiekvationen. Det kommando som används i det diskreta faet kaas: dare. Det finns naturigtvis motsvarande kommando för det kontinueriga faet: are. Formerna (.)-(.7) är hämtade ur Modebaserade regersystem av B. Schmidtbauer.. LQ optimering för tidskontinueriga fa Den tidskontinueriga tiståndsmodeen beskrivs på nedanstående sätt: & A Bu y C Du (.8) Motsvarande optimeringskriterium J [ t) Q ( t) u ( t) Q u( t) ] ( dt ( ) M( ) (.9) ska minimeras, där Q (tiståndsstraff) och Q (styrsignastraff) är kostnadsmatriserna samt M är straffet för tiståndsavvikese vid suttidpunkten (). Styragen i det tidskontinueriga faet är som föjer: - 5 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 L( t) Q B S ( ) (.) t Het anaogt med det tidsdiskreta faet ges minimivärdet av kostnadsfunktionen av: J min () S() () (.) Om det tidskontinueriga systemet & A Bu är möjigt att stabiisera kommer Riccati-ekvationen S & SA A S SBQ (.) B S Q att konvergera ti en stationär matris S enigt: SA A S SBQ B S Q (.3) För att erhåa den konstanta styragen sätts S in i (.). Då dessa beräkningar inte bir het enka vid större matriser än är det ti stor hjäp att det i MALABs Contro System oobo (CSB) finns kommandon för att beräkna den konstanta styragen och stationära Riccati-ekvationen. Formerna (.8)-(.3) är hämtade ur Modebaserade regersystem av B. Schmidtbauer. 5 Vaidera den befintig modeen De fysikaiska samband som igger ti grund för modeen är hämtade ur den dokumentation som evereras med utrustningen. Denna mode kan ses som den erhåits från domänepert varför modeen accepteras som den är. I dessa ekvationer används de storheter som redovisas i tabe. - 6 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 abe. Parametrar för pende-vagn modeen Parameternamn FEEDBACKs värde Identifierat/mätt värde Banans ängd ±,5 m ±,5 m Gravitation, g 9,8 m/s 9,8 m/s Avstånd mean masscentrum och rotationsaen,,7 m,679 m Vagnens massa, mc, kg,6 kg Pendearmens massa, mp, kg,9 kg Systemets tröghet, J,36 kgm,556 kgm Friktionskoefficient i pendearmarnas rotationspunkt, fp Negigerbar, Ns/m Vagnens friktionskoefficient, fc,5 Ns/m,5 Ns/m Banans motriktade kraft, V --- --- Röresefriktionen för vagnen som beror av vagnens hastighet, c --- --- Värdena i koumnen FEEDBACKs värde är hämtade från företagets dokumentation. I koumnen Identifierat/mätt värde har värdena för vikterna på vagn och pendearmen vägts med hjäp av våg. De andra har identifierats med FEEDBACKs identifieringsprogram som redovisas i biaga. De tistånd som vats är föjande, se även figur 3: Vagnens position [m] Pendens vinke [rad] 3 Vagnens hastighet [m/s] Pendens vinkehastighet [rad/s] För definition av storheter se tabe. Ekvationerna (5.) är vad FEEDBACK beteckner equations of motion - 7 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7-8 - ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) sin cos cos sin f V F J g m m V m m dt d F m m dt d p c p c p c c p c (5.) Ur ekvationerna (5.) som hämtats från FEEDBACKs dokumentation kan föjande mode för pendesystemet tas fram. ( ) ( ) ( ) ), ( sin sin sin cos ), ( sin sin cos sin ), ( ), ( 3 3 3 u f J f g c u u f J f g c u a u f u f p p µ µ µ µ µ µ & & & & (5.) där: ( ) 3 f m m m m J a c c p c p c µ (5.3) u insigna Förutsättningar för inearisering, α α : sin α α, cos α, det vi säga pendearmarna är i upprätt äge. Linjärisering kring den stationära punkten SP bir: u u u f u f u f u f u f SP SP SP SP SP δ δ δ δ δ δ δ δ δ δ ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( 3 3 & (5.)
LQ-regering av inverterad pende 3--7 & & & 3 & ( J µ sin )( aµ cos ( µ g( s cos ) fp sin ) ( J µ sin ) a sin µ f p cos 3 J µ sin 3 ( J µ sin )( ( cos ) u µ gcos ) ( J µ sin ) ( ) µ sin f 3 J µ sin p SP SP a J µ sin cos J µ sin SP SP u u SP SP (5.5) Det är endast intressant att använda den injäriserade modeen (5.5) då vinke är nära no, det vi säga då pendearmarna är i upprätt äge. I (5.6) har α ersatt tiståndet. & & & a J & 3 J µ 3 ( J µ ( α ) )( ( µ g( )) J µ ( α ) ( ) J µ ( α ) µ ( α ) ( J µ ( α ) ) J µ ( α ) ( ) J µ ( α ) ( α ) u u µ g f p f p (5.6) Ur denna injäriserade tiståndsmode kan A,B,C,Dmatriserna ätt pockas ut då den amänna tiståndsmodeen är på föjande form: - 9 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 - - Du C y Bu A & ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ; ; D C J J a B J f J g J J f J g J A p p α µ α µ α µ α µ µ α µ α µ α µ µ α µ (5.7) y u,5,757,7353 7,658,5,5953 & (5.8) med värden från tabe, koumn identifierat/mätt värde har dessa matrisers eement beräknats för α. I dokumentationen från tiverkaren FEEDBACK finns en SIMULINK-fi med som gör det möjigt att med hjäp av MALAB-kommandot inmod ätt skaffa sig en injär tiståndsmode av den oinjära SIMULINK-modeen modeq.md, se biaga. I MALABs kommandofönster ges föjande kommando: [Au,Bu,Cu,Du]inmod('modeq',[,,,],); fås föjande värden på Au, Bu, Cu, Du.
LQ-regering av inverterad pende 3--7 - - ; 38,5 9,83,5 5,795 3,33, 3,977 Du Cu Bu Au (5.9) Variaberna Au,Bu,Cu,Du är för den tidskontinueriga injära tiståndsmodeen av SIMULINK-fi, modeq.md, denna redovisas i biaga. En jämförese mean modeerna (5.), (5.8), (5.9) och mätdata från penden redovisas i figur 5. Samma steg har givits som insigna.
LQ-regering av inverterad pende 3--7.5 Vagnens position FEEDBACKs injära mode äge [m] Mätdata från penden (5 försök).5 Egen injäriserad mode Oinjär mode -.5...6.8...6.8 id [s] Figur 5. Jämförese av oika modeers resutat i jämförese med mätdata. I figur 5 är det ätt att se att de två injära modeerna stämmer vä överens men den oinjära modeen under c:a s. Däremot är de efter c:a. s som modeerna skijer sig från mätdatan i at större grad ju ängre tiden går. I intervaet,,6 s sår vagnen emot ena ändäget och efter det bör därför inga jämföreser göras. Det är dock med i figuren för att ge en uppfattning om hur modeerna uppför sig. Anedningarna ti att de oika modeerna skijer sig åt kan bero av en av nedanstående eer en kombination av några av dem: Vagnen och pendearmarnas vikt Friktion mean vagnens hju och banan där vagnen ruar Hur hårt drivbandet är spänt Den sista punkten har under eamensarbetets gång visat sig vara av stor vikt. Figur 5 har skapats med hjäp av m-fierna jfr_egen_fbk.m och vaidera.m för käkod se biaga. - -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 6 Den egna LQ-reguator Den LQ-reguator som används har en observatör med tiståndsrekonstruktion och ettstegsprediktion för en så kaad ångsam dator. Detta beror på att sampingstiden är så pass kort,, s. Det tar den tiden att beräkna styrsignaen för nästa sampingsperiod (k). I SIMULINK kan denna reguator enket reaiseras, se figur 6. Styrsigna Mätsigna K Bd z K C K Ad R K Kr L K -Kd K L Figur 6. SIMULINK- schema för LQ-reguator med ettstegsprediktion 6. Reaisera reguatorn i MALAB/SIMULINK Det finns två sätt att i SIMULINK reaisera reguatorn som avbidas i figur 6, des det som redovisas i den figuren des kan hea reguatorn reaiseras som en diskret tiståndsmode med hjäp av bocket Discrete State Space där reguatorns A,B,C,D-matriser anges i bockets Bock Parameters. Se figur 7. För att beräkna reguatorns tiståndsmode bör föjande steg tas:. Ansätt matrisen Q och Q det vi säga vikt-/straffmatriserna för tistånden resp. styrsignaampitud.. Uppskatta process (Qn)- och mätbrus (Rn) 3. För att använda kommandot kamd måste tiståndsmodeen vara ett ss-objekt viket görs med föjande rad: sys ss(a,b,c,d). Beräkna tidsdiskret kamanestimator 3 med hjäp av kamd. [Kest,L,P,M,Z] kamd(sys,qn,rn,s) Detta kommando reaiserar estimatorn utifrån den 3 Samma som tiståndrekonstruktion, se kapite 3. - 3 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 kontinueriga processmodeen. Därefter beräknas tiståndsåterkoppingen med hjäp av qrd. [Kd,S,e] qrd(a,b,q,q,s). Detta kommando reaiserar en diskret tiståndsåterkopping. 5. Därefter diskretiseras modeen med kommandot cdm som ger en diskret tiståndsmode av den kontinueriga. [Ad,Bd,Cd,Dd] cdm(a,b,c,d,s, zoh ),där s är sampingstid och zoh står för zero order hod, dvs. en note ordningens håkrets används. 6. Därefter beräknas de fyra tiståndsmatriserna enigt föjande: Areg Adm - L*Cd - Bdm*Kd; Breg L; Creg -Kd; Dreg [ ]; Då det visat sig vara ett sisyfosarbete att få en fungerande överföring av data från och ti penden har detta övergivits efter fera timmars sit. För att testa reguatorn har detta gjorts mot den mode som evereras med dokumentationen. Denna reguator har tagits fram utifrån denna mode enigt ovanstående tivägagångssätt. M-fien redovisas i biaga med finamn: qr_test.m. De oika försöken som gjordes för att beräkna rätt styrsigna utifrån inhämtad data var föjande:. Beräkna styrsigna i SIMULINK och överföra styrsignaampituden ti arbetsarean i MALAB för att vidarebefordra den ti penden. Med hjäp av kommandot sim och föregående sampes tistånd dvs. (k-) beräkna styrsignaen och överföra denna. 3. Beräkna styrsignaen för hand i MALAB. Då det i bästa fa bev en reaktion från penden som bevisade att åtminstone något överförts var denna signa het feaktig. Pende och vagn brakade in i ena ändäget med hög fart. Det troigaste är att det inte är i beräkningarna av styrsignaen som probemet igger utan just i kommunikationen mean MALAB och penden samt att äsa in rätt värden vid rätt tidpunkt. I samråd med handedaren avbröts de fruktösa försöken med att överföra rätt mätdata ti MALAB och styrsigna ti penden. I stäet besöts att enbart simuera med en mer verkighetstrogen SIMULINK-fi. Reguatormodeen testades därigenom då brus adderades ti både mät- och strysigna, se figur 7. 6. Simuering av modeen I aa försöken i detta kapite har reguatorn designats utifrån den ickeinjära mode som bifogats i dokumentationen från - -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 tiverkaren, SIMULINK-fi modeq.md, för bockscheman se biaga. Denna kan dock ätt injäriseras med kommandot inmod då man anger kring viken punkt modeen ska injäriseras, i dessa fa med aa begynnesevärden satta ti no(). För att om möjigt efterikna verkigheten har i SIMULINK-fien agts in två bock för att simuera brus i både styr- och mätsigna. För bocket Random number: Styrsignabrus har föjande data angetts: Mean: Variance:. Initia seed:33 Sampe ime:. [s] För Random number: Styrsignabrus Mean: Variance:. Initia seed:33 Sampe ime:. [s] I figur 7 redovisas den SIMULINK-fi som använts vid aa simueringar i denna de av rapporten. Random Number Step Kr B s K C y Out A K Random Number Discrete State-Space y(n)c(n)du(n) (n)a(n)bu(n) Zero-Order Hod Figur 7. SIMULINK-schema som använts vid simuering av LQ-regering av inverterad pende. Med straffet för vagnens äge och för pendens avvikese från upprätt äge fås kurvorna som redovisas i figur 8. Med dessa straff prioriteras atså vagnens äge viket syns tydigt då kurvorna för vagnens äge jämförs i figurerna 8 och 9. Det samma gäer naturigtvis för pendens vinke. - 5 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Efter ett anta simueringar är det uppenbart att det är Stegsvar för inverterad pende Styrsigna skinaden.3 mean straffen på vagnens.5 äge och pendens vinke-avvikese som är avgörande. Då pendens vinke är det. primära.5 bör den ha ett i förhåande ti vagnens äge större straff. Detta påstående kan styrkas då.3figur studeras. Vagnens äge Insignaen ett steg, har givits som insigna ti figurerna 8,.. 9, och. Läge [m] Vinke [rad]..5. -..5 -. Pendens vinke -.3 -. -.5 5 5 5 id [s] -.5 5 5 5 id [s] Figur 8. Utsigna från penden (ti vänster) och styrsignaen (ti höger)..3 Stegsvar för inverterad pende.5 Styrsigna..5 Vagnens äge.3. Läge [m] Vinke [rad]..5.. -..5 -. Pendens vinke -.3 -. -.5 5 5 5 id [s] -.5 5 5 5 id [s] Figur 9. Utsigna från penden (ti vänster) och styrsignaen (ti höger). - 6 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 I figur 9 har straffen för vagnens äge satts ti och för pendens avvikese satts ti. Detta kan tyckas vara en dramatisk skinad men den gör det enkare att observera skinaden..3 Stegsvar för inverterad pende.3 Stegsvar för inverterad pende.5.5 Vagnens äge Vagnens äge. Läge [m] Vinke [rad]. Läge [m] Vinke [rad].5.5...5.5 Pendens vinke Pendens vinke -.5 5 5 5 id [s] -.5 5 5 5 id [s].3 Stegsvar för inverterad pende.3 Stegsvar för inverterad pende.5.5 Vagnens äge Vagnens äge. Läge [m] Vinke [rad].5. Läge [m] Vinke [rad].5...5.5 Pendens vinke Pendens vinke -.5 5 5 5 id [s] -.5 5 5 5 id [s] Figur. Jämförese av fyra oika stegsvar från den LQ-regerade pende-modeen. I figur redovisas fyra oika straffkombinationer: Överst ti vänster: vagnens straff:, penden: Överst ti höger: vagnens straff:, penden: Nederst ti vänster: vagnens straff:, penden: Nederst ti vänster: vagnens straff:, penden: - 7 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Om at brus eimineras fås ett fint uppträdande, se figur. Figur är med för att iustrera hur regerobjektet uppträder i en störningsfri mijö..3 Stegsvar för inverterad pende.5 Styrsigna.5. Vagnens äge.3 Läge [m].. Vinke [rad].5.. -..5 -. Pendens vinke -.3 -. -.5 5 5 5 id [s] -.5 5 5 5 id [s] Figur. Utsigna(ti vänster) och styrsigna (ti höger) då styrsigna- och mätbrus eiminerats, straff för vagn: och straff för vinke:. 7 ReaidsKärnan, RK Då RK diskuteras används begreppet process som en beskrivning av oika dear av mjukvaran och inte som i regerteknik är brukigt ett regerobjekt. Då de oika processerna, beräkning av styrsigna och aväsning av mätdata, sker i var sin process, behövs en reatidskärna och det är den som behandas i detta kapite. Med hjäp av figur kan man på ett enket sätt få en uppfattning om hur en reatidskärna behandar processer. - 8 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Process Process Process n Process Process Process n Process id Figur. Förenkad beskrivning av reatidsfunktion För att ösa kommunikationen, inhämtande av data och överföra styrsigna har företaget som evererat penden inkuderat en reatidskärna som anropas från MALAB med kommandot pd_ca, se vidare biaga 5 för mer utförig information om hur kommandot används. Eempe på synta för kommandot pd_ca: hist pd_ca( GetHistory ); detta kommando ger den data som finns i bufferten, dock mest mätvärden vid mättifäen. Reatidskärnan måste användas då operativsystemet som används är Windows 95b inte har funktioner för reatid utan detta måste ske via ett tredjepartsprogram, i detta fa från företaget FEEDBACK. I figur 3 ges en dock inte fuständig bid av en mer mjukvarumässig funktion för reatidskärnan som använts. Det är atså denna de av eamensarbetet som inte kunde ösas ti fuo. - 9 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Regerobjektet I/O-kort PCL-8 Dator RK Gränssnitt mot mjukvara Windows 95 MALAB 5./SIMULINK Figur 3. Beskrivning av kommunikationen mean regerobjekt och mjukvara 8 MALABs grafiska gränssnitt, GUI I MALAB finns des ett anta verktyg samade i Guide Contro Pane för att utvecka ett grafiskt gränssnitt för användare. Denna verktygsåda innehåer i stort sett at som behövs för att utvecka ett fungerande gränssnitt. Det enda som återstår är att skriva koden för det som ska utföras då de oika objekten aktiveras. Dessa objekt kan bestå av: pushbutton tryckknapp edit ruta för inmatning av tecken popup Rugardinsmeny radiobutton/checkbo rutor som antingen är markerade eer ej sider runingsist ist bo ett eer fera aternativ kan väjas aes graffönster tet statisk tet,.e. titar, aebeskrivningar och iknande se vidare i biaga för mer information om de oika verktygen samt eempe på hur dessa GUI kan byggas upp. - 3 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Några av de kommandon som finns för att utöka sitt gränssnitt med t.e. fihantering, diverse diaogrutor redovisas nedan: uigetfie, öppnar en fi uiputfie, sparar fi warndg, ger en ruta med ett varningsmeddeande errordg, femeddeande questdg, diaogruta med ma tre svarsknappar samt ett ferta andra aternativ som hjäprutor och mycket annat. För att inhämta dessa kunskaper har boken Användarhandedning för MALAB 5 [] har varit ti mycket stor hjäp. Figur. Det grafiska gränssnittet ti opengui I figur redovisas det GUI som använts för att sama mätdata från regerobjektet. - 3 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 Figur 5. Det grafiska gränssnittet ti SimGUI Det GUI som redovisas i figur 5 har använts för att eperimentera med LQ för att se hur oika straff påverkar penden och vagnens beteende. 9 Resutat/sutsatser I stort har aa må uppfyts förutom att det trots fera försök inte gick att överföra mätdata ti MALAB på ett riktigt sätt då en snabbt varierande styrsigna behövdes. Efter upprepade försök att på oika sätt beräkna styrsignaens värde och överföra den ti processen avbröts vidare försök i samråd med handedaren. I stäet användes den mode i SIMULINK som tagits fram för att testa reguatorn innan försöken ineddes med den fysiska penden. Det var med denna matematiska mode som försöken senare utfördes på. En kort beskrivning av injärkvadratisk regering kan sägas vara Det är inte straffen för varje individuet tistånd som är av största vikt utan deras inbördes förhåande. De andra måen har däremot uppfyts ti fuo. LQregeringens fördear iksom nackdear har karagts för författaren ti denna rapport. Det kan konstateras att fördearna med råge överväger de nackdear som finns. De nackdear som kan nämnas är vissa probem med robusthet då modeen av regerobjektet inte är tiräckigt bra och - 3 -
LQ-regering av inverterad pende 3--7 regerobjektet finns i en brusig mijö. Den största fördeen är just LQ-regeringens strafftänkande och att det är möjigt att snabbt ändra reguatorns egenskaper. Det kan också konstateras att de i MALAB inbyggda hjäpmeden som är samade i Guide Contro Pane för att utvecka grafiska användargränssnitt är mycket användbara och ättarbetade efter viss inärningstid. Men det bir ofta mycket onödig kod som genereras ty många så kaade Properties (kan jämföras med egenskaper) genereras som inte as behövs. Detta kan dock undvikas på två sätt, des kan a kod skrivas in för hand men det tar ofta ång tid då det bir fera rader för varje objekt( t.e. en pushbutton ) des kan m-fien rensas från onödiga Properties. Men det enkaste är trots at att åta den onödiga koden finnas med då den inte har någon inverkan på resutatet. Det kan dock konstateras att ju mer grafik som använd desto snabbare måste datorn vara för att kara av att hinna skapa de oika objekten. Sutigen kan det konstateras att eamensarbetet varit en framgång om man bortser från probemen med att överföra mätvärden/styrsigna mean MALAB och penden. Den största behåningen har varit den fördjupade förståese och kunskap om regerteori samt en he de kunskap om hur grafiska gränssnitt kan byggas upp. - 33 -