Svensk matematikundervisning har i

Madeleine Löwing Läraren och matematikundervisningen Madeleine Löwing har tidigare i år disputerat i matematikämnets didaktik med avhandlingen Matematikundervisningens konkreta gestaltning. Där beskrivs på en detaljerad nivå vad som händer under ett antal matematiklektioner i skolåren 4 9. Flera av svårigheterna med att undervisa i matematik blir synliga först vid en närgången analys av kommunikationen mellan lärare och elever. Svensk matematikundervisning har i flera år varit ett bekymmer och som lärarutbildare känner jag ansvar för att analysera och finna långsiktiga lösningar på de aktuella problemen. Ett dilemma är emellertid att de flesta utvärderingar enbart beskriver problemen och inte dess orsaker. Samtidigt sker dessa beskrivningar i ett perspektiv utifrån, inte inifrån, d v s ur lärarens eller elevens synvinkel. Sådana beskrivningar utifrån leder oftare till frustration inför problemen än till en lösning av dem. Min strävan har därför varit att förstå såväl hur problemen uppstår som hur de skulle kunna lösas. Matematikundervisningen är komplex Matematikundervisningen är mycket komplex till sin natur. En rad olika saker händer hela tiden samtidigt och på olika kognitiva nivåer. Läraren måste hela tiden ha kontroll över hur arbetsformer, arbetssätt och förklaringsmodeller fungerar i relation till undervisningens innehåll och till olika elevers behov, förkunskaper och förmåga. Mindre lämpliga val av individualiseringsmodeller och arbetssätt i relation till undervisningens innehåll kan ofta utgöra ett hinder för en meningsfull inlärning. Av det skälet krävs det att forskning om, eller utvärdering av, matematikundervisningen är utformad på ett sådant sätt att man kan uppfatta och analysera hur olika faktorer påverkar undervisningen. En modell för detta finner man i den s k ramfaktorteorin (Dahllöf, 1967; Lundgren, 1972). De klassrumsstudier av matematikundervisning som utfördes inom PUMP-projektet på 1970-talet utfördes enligt den modellen (Kilborn, 1979). Poängen med ramfaktorteorin är att den ger möjligheter att följa alla steg i utbildningen från läroplanens syften och mål till de resultat den ger. Modellen kan beskrivas enligt figur 1. Modellen skall tolkas så att undervisningen utgår från olika styrdokument med givna syften och mål. För att uppnå dessa syften och mål ges vissa ramar och resurser. Dessa ramar och resurser är låsta och kan (åtmins-

tone på kort sikt) inte påverkas av lärare eller lärarlag. Jag kallar dem för fasta ramar. Andra ramar väljs av läraren själv och kan därför betraktas som rörliga. Det gäller t ex lärarens val av arbetsform, arbetssätt, arbetsmaterial och metodik. När en lektion startar (alltså då undervisningsprocessen tar vid) är i allmänhet alla ramar låsta. Det visar sig att de olika ramarna såväl kan underlätta som förhindra en framgångsrik undervisning. Genom undervisningsprocessen skall läraren Syften och mål Givna (fasta) ramar Av läraren valda (rörliga) ramar Undervisningsprocessen Undervisningens resultat Figur 1. Modell från ramfaktorteorin ge eleverna möjligheter att nå de uppställda målen, undervisningens resultat. Vad ramfaktorteorin lyfter fram är det faktum att de resultat man uppnår är beroende av flera olika faktorer. Det gäller således att avgöra om ett mindre bra resultat är en följd av undervisningsprocessen, av lärarens val av ramar (planering), av otillräckliga resurser eller kanske av att målen är orimliga i förhållande till elevgruppen och resurserna. Genom att använda en modell av det här slaget är det alltså möjligt att få en överblick över matematikundervisningens komplexitet och därmed avgöra hur olika faktorer påverkar inlärningen. Detta gör det i sin tur möjligt att analysera vilka förändringar som är viktigast att vidta för att lösa olika problem. Det är t ex inte särskilt meningsfullt att skylla alla problem på dåliga läromedel eller på otillräckliga resurser. Det handlar istället om hur man använder läromedel och hur man utnyttjar tillgängliga resurser. Det är inte heller meningsfullt att skylla dåliga resultat på lärarna om det är målen som är otydliga eller fel satta och om de resurser som avsatts inte är tillräckliga med avseende på målen. Vad händer under en matematiklektion? För att studera vad som faktiskt händer i och kring matematikundervisningen valde jag ut ett antal klasser i skolåren 4-9. Lärarna, som undervisade i dessa klasser, betraktades som duktiga av respektive skolledare. Var och en av klasserna följdes under en lektion. Före lektionen intervjuades läraren om syften och mål med lektionen, samt hur och varför läraren valt olika ramar såsom arbetssätt, arbetsform, förklaringsmodeller m m. Läraren utrustades med en mikrofon, med vars hjälp jag bandade all den kommunikation läraren deltog i under lektionen. Jag, och ytterligare en observatör, noterade det som hände under lektionen, såsom vad läraren skrev på tavlan, vem läraren kommunicerade med osv. Dessutom bokfördes vilka uppgifter respektive elev arbetade med. Efter lektionen intervjuades läraren om hur han eller hon uppfattade lektionen och om vad som fungerat mer eller mindre väl. Det allmänna intryck vi fick vid intervjuerna och under lektionerna, var att lärarna var ambitiösa och att de försökte hänga med i den pedagogiska utvecklingen. De använde sig av moderna undervisningsmetoder och hade en positiv syn på sitt arbete. Eleverna verkade uppskatta detta och tycka om sin lärare. Sedan banden transkriberats vidtog klassificering och analys av data. Analysen skedde på två nivåer, en makronivå och en mikronivå. På makronivån analyserades lärarens val av ramar, alltså hur lektionen planerats och genomfördes ur ett organisatoriskt perspektiv. På mikronivån analyserades det matematikdidaktiska innehållet i kommuni-

kationen och elevernas möjligheter att följa med i kommunikationen. Lärarens val av ramar för undervisningen När lektionerna analyserades ur ett makroperspektiv, visade det sig att lärarnas val av undervisningsstrategier inte alltid fungerade så bra. De hade ofta en ambition att använda moderna metoder, som de fått tillgång till genom fortbildning. De verkade emellertid inte ha reflekterat över förutsättningarna för att välja en viss metod eller för vilket ämnesinnehåll eller elevgrupp metoden var lämplig. I själva verket visade det sig ofta att flera av de metoder som lärarna valde ledde till konflikter när de kombinerades med vissa andra metoder. Sådana konflikter kunde såväl försvåra som förhindra en effektiv undervisning av det ämnesinnehåll som behandlades. Ett exempel på konflikt mellan två ramar (metoder) är när man valt att placera eleverna i grupper för att de skulle kunna tala matematik med varandra och dessutom hjälpa varandra med ämnesinnehållet. Sammansättningen av elevgrupper hade emellertid gjorts av eleverna själva, alltså utifrån sociala skäl och inte av inlärningsmässiga skäl. Samtidigt använde man en individualiseringsmodell där eleverna arbetade i sin egen takt, styrda av ett läromedel. Det gjorde att det redan efter ett par dagar blev så stor spridning inom de olika grupperna att eleverna i respektive grupp kom att arbeta med helt olika uppgifter. De hade då inte någon större behållning eller intresse av att hjälpa varandra. Effekten blev därför inte den avsedda. Grupperingen ledde istället till samtal om allt annat än matematik. Dessa samtal pågick ofta under större delen av lektionen vilket avsevärt minskade den tid som var avsedd för inlärning. Ett annat exempel är valet av individualiseringsmodell. Flera av lärarna framhöll att varje elev konstruerar sin kunskap på egen hand och att detta tar olika lång tid för olika elever. Som en följd av detta, menade man, är det viktigt att eleverna arbetar på egen hand och i sin egen takt. Man lät därför elevernas arbete styras av läromedlet och reducerade sin egen insats till att handleda eleverna när de kört fast eller av annat skäl behövde hjälp av läraren. När man närmare analyserar resultatet av denna form av individualisering, så visar den sig vara mycket ineffektiv. Detta är inte någon ny erfarenhet. Redan i studier från 1960-talet visade sig detta arbetssätt sig vara mindre lyckat (Larsson, 1973; Kilborn, 1974). Det grundläggande problemet som uppstod då, liksom nu, var att eleverna hade problem med att förstå bokens instruktioner. Ofta saknade de också nödvändiga förkunskaper för att lösa uppgifterna. De körde därför fast på ett tidigt stadium och behövde hjälp av läraren för att komma vidare. Här uppstod nästa problem. Eftersom många elever hamnade i liknande svårigheter blev behovet av hjälp snart så stort att läraren hade svårt att hinna hjälpa alla. I sin strävan att hinna med så många elever som möjligt blev lärarens hjälp till eleverna ytlig och oftast en lotsning förbi problemet, istället för en utredning eller förklaring av detsamma. På grund av läromedlens uppläggning innebar detta i sin tur att eleven fick problem även med nästa uppgift etc. Efter en stund insåg elev efter elev det meningslösa i att ens försöka lösa uppgifterna. De började istället prata med sina kamrater. Lärarens avsikt, att genom hastighetsindividualisering ge varje elev tillräckligt mycket tid att arbeta med respektive uppgift, ledde i själva verket till att de flesta eleverna var sysslolösa, i väntan på hjälp från läraren. Vilka slutsatser kan man dra av detta? Av de här exemplen kan man kanske dra de förhastade slutsatserna att arbete i grupp eller arbete i egen takt inte fungerar. Men med ett ramfaktorteoretiskt synsätt kan man komma fram till helt andra slutsatser. Anledningen till att individualiseringsmodellen inte fungerade var att eleverna dels saknade förkunskaper, dels hade problem med att förstå bokens instruktioner. Det senare kan i första hand bero på att boken inte är avsedd för en individualisering av det här slaget. Problemen skulle kunna lösas om läraren kände till elevernas förkunskaper, så att allvarliga förkunskapsbrister successivt kan korrigeras, innan eleverna skall ar-

beta med ett nytt matematikinnehåll, samt om läraren kan komplettera lärobokens instruktioner så att eleverna uppfattar vad de skall göra. Eftersom detta inte är så lätt att organisera om eleverna är spridda över flera kapitel i boken, så kan man istället välja att hålla klassen samlad inom ett mer begränsat ämnesområde. Det går då att ge eleverna delvis gemensamma instruktioner och dessutom att i diskussion med eleverna för- och efterarbeta innehållet. På så sätt ges eleverna också möjligheter att bygga upp ett språk för matematikinlärning. Observera att detta, att hålla klassen samlad, inte innebär något hinder mot att eleverna arbetar var och en i sin egen takt. Däremot krävs det att man som lärare hjälper eleverna att prioritera så att var och en löser de uppgifter som är lämpliga och rimliga för respektive elev. Det är detta som är den primära innebörden i att individualisera (Kilborn, 1987). Undervisningsprocessen? På en makronivå beskriver jag alltså lärarens val av ramar såsom arbetssätt, arbetsform m m, vilket utgör förutsättningarna för en kommunikation. På mikronivå beskriver jag kommunikationens innehåll. Två saker är väsentliga för att kommunikationen skall fungera. För det första ska undervisningens ramar vara sådana att de möjliggör en meningsfull kommunikation. Ramarna måste därför väljas utgående från det innehåll eleverna skall tillgodogöra sig. Arbetsform och arbetssätt är medel att nå ett mål, sällan mål i sig. För det andra måste läraren vara så kunnig i matematikämnets didaktik att hon kan välja stoff och förklaringsmodeller utgående från elevers olika förkunskaper, förutsättningar och behov. Många av de konflikter som uppstod under de observerade lektionerna kan förklaras med bristande didaktisk insikt hos lärarna. En matematikdidaktisk teori presenteras i Löwing (2002) och fler konkreta exempel ges i Löwing och Kilborn (2002). Det räcker inte att en lärare behärskar ämnena matematik och pedagogik, var för sig. Matematikämnets didaktik omfattar betydligt mera. Det är en teori för hur man planerar, förklarar, konkretiserar och utvärderar i relation till elever, matematikinnehåll och resurser (Se t ex Kilpatrick, Swafford & Findell, 2001). Den viktigaste iakttagelsen i studien är att lärare och elever så ofta talade förbi varandra. Ett av skälen till detta var den stress läraren verkade uppleva som en följd av att många elever behövde hjälp samtidigt. Dessutom behövde eleverna hjälp med olika typer av uppgifter från olika avsnitt i boken. Lärarna i studien gav sig sällan tid att reda ut problemens natur t ex genom att be eleverna berätta om hur de tänkt. Istället brukade de snabbt bestämma sig för vilket problem de antog att respektive elev hade och började sin förklaring med det som utgångspunkt. Då elevens problem var något annat än det läraren utgick ifrån, blev det svårt för eleven att förstå vad läraren var ute efter och det uppstod en rad missförstånd. Ett annat problem uppkom när läraren var omedveten om respektive elevs förkunskaper. I sådana fall hamnade undervisningen lätt över huvudet på eleverna. För att lösa de här akuta undervisningsproblemen var det vanligt att läraren lotsade eleven förbi problemen i fråga. När man på den vägen kommit fram till rätt svar på uppgiften var båda parter nöjda. På lång sikt blir emellertid den här strategin ohållbar. Eftersom de flesta moment i matematikundervisningen samtidigt är förkunskaper till nya moment, så bygger eleverna på det här sättet upp en allt större "förkunskapsskuld". Effekterna av det här blir på sikt allvarliga i de högre årskurserna - inte minst i gymnasieskolans A-kurs. I dagens läromedel saknas ofta fördiagnoser som bygger på en hållbar matematikdidaktisk teori. Utan den typen av diagnoser är det problematiskt att låta ett läromedel styra undervisningen. Ett tredje problem i undervisningen, uppfattade jag, berodde på att lärarna inte alltid genomskådade läromedelsförfattarnas strategier. Detta var mest uppenbart i samband med procent- och bråkräkning. Eleverna arbetade enligt läroboken och utgående från dess krav på förkunskaper. När man körde fast utgick läraren i sina förklaringar från andra strategier, än lärobokens, och med helt andra förkunskapskrav. Detta ledde till frustration för såväl lärare som elever. Ett exempel är när läroboken beräknar "7 % av 630" som "0,07 630", medan läraren använder en strategi där man

först beräknar 1 % genom division med 100. Terminologi och begrepp En annan orsak till missuppfattningar mellan lärare och elever var att båda var mindre noggranna med terminologin. Flera av lärarna i studien använde i stor utsträckning ett barn- eller ungdomsspråk i sina instruktioner och förklaringar. När man i en klass skulle bestämma volymen av kroppar sa läraren att man skulle "mäta på burkar och grejer". I en annan klass på högstadiet talade man om runda saker och fyrkanter när man avsåg cirklar och kvadrater. Detta skapade onödiga problem. Terminologin för division var ett annat problemområde, där uttryck som "delat med", "delat i" och "delat på" används synonymt med allvarliga missförstånd som följd. Vad jag kunde iaktta så var det inte användandet av själva orden, t ex kvadrat, cirkel eller cylinder, som vållade problem utan snarare det att eleverna inte hade klart för sig vad begreppen står för. Det reder man dessvärre inte ut genom att säga "fyrkant", "runda grejer" etc. Vikten av att använda en bra terminologi visade sig vara avgörande när det gällde att hantera decimaltal. Ett decimaltal som 3,25 läste man under en och samma lektion på tre olika sätt, som "tre komma två fem", "tre komma tjugofem" och "tre hela och tjugofem hundradelar". Dessa tre sätt att utläsa talen beskriver olika egenskaper hos dem. Ett oreflekterat användande kan ha bidragit till att många elever hade uppfattningen att tal som "tre komma tjugofem" är större än "tre komma fem" eftersom 25 är större än 5. Aktivitet och innehåll Det kanske allvarligaste problemet jag fann var det faktum att de flesta lärare var mer inriktade mot aktivitet än mot kunskap. Eleverna skulle göra saker hela tiden: Mäta, klistra, diskutera etc. Vad eleverna skulle lära sig verkade ha lägre prioritet. Ett exempel på detta är en lektion där man skulle jämföra decimaltal. Eleverna skulle i grupper om tre till fyra diskutera sig fram till lösningar på ett antal problem. Läraren förde sedan en kollektiv diskussion med grupp efter grupp. På så sätt blev alla uppgifterna lösta och alla verkade vara nöjda. Det blev däremot inte utrett vilka av eleverna som lärt sig vad. Läraren menade att eleverna i respektive grupp själva skulle se till att alla förstod allt. Analysen av samtalen visar att så inte var fallet. Vissa elever förde kamraternas talan samtidigt som flera andra inte förstod särskilt mycket. Ett annat exempel är från en lektion där eleverna skulle laborera sig fram till en formel för cirkelområdets area. Eleverna uppmanades av lärare (och lärobok) att klippa isär ett antal "radiekvadrater" och därefter pröva hur många sådana som krävs för att täcka cirkelområdet. De elever som blev klara med laborationen fann att det krävdes drygt tre stycken radiekvadrater. Av detta skulle man dra slutsatsen att cirkelområdets area är π r 2 3,14 r 2. Denna slutsats kan man inte dra av den här laborationen, vilket också flera elever påpekade. Inte heller kan man dra slutsatsen att formeln gäller generellt för alla cirklar eftersom laborationen utfördes för en enda cirkel med en bestämd radie. Man kan fråga sig vilken uppfattning om matematik eleverna får av sådana här laborationer. Vad lär vi oss av detta? Med tanke på alla de problem som lyfts fram vad gäller tillståndet i svensk matematikundervisning, så räcker det inte att beskriva de mest akuta problemen och dess ursprung. Nästa fråga måste bli: "Vad gör vi nu?". Uppenbarligen är det så att vi vid utbildning och fortbildning av lärare har tagit alltför mycket för givet. Vi måste i framtiden satsa mera på grundläggande didaktiska idéer bakom t ex diagnostik och individualisering av ett ämnesinnehåll. Vi måste ägna mer tid åt hur och på vilka grunder, man kan välja arbetsformer och arbetssätt i relation till ämnesinnehållet, och t ex att "konkretisera" inte handlar om att manipulera eller "klippa och klistra" utan om att underlätta ett tänkande och att lyfta fram idéer. Innehållet i utbildningen av nya lärare måste omfatta teori, som hjälper dem att i praktisk undervisning möta olika elevers kunskapsbehov i relation till deras individuella förkunskaper 10

och förmåga. Referenser Dahllöf, U. (1967). Skoldifferentiering och undervisningsförlopp. Stockholm: Almqvist & Wiksell. Kilborn, W. (1975). Individualiserad matematikundervisning. Forskning om utbildning, 2 (3), 6 16. Kilborn, W. (1979). PUMP-projektet. Bakgrund och erfarenheter. (Utbildningsforskning, FoU-rapport 37.) Stockholm: Skolövestyrelsen. Kilborn, W. (1987). Att individualisera är inte att organisera. Nämnaren, 13 (2-3), 55-59. Kilpatrick, J., Swafford, J. & Findell, B. (Red.) (2001). Adding it up: Helping children learn mathematics. Washington: National Academy Press. Larsson, I. (1973). Individualized Mathematics Teaching (Akademisk avhandling). Lund: CWK Gleerup. Lundgren, U. (1972). Frame Factors and the Teaching Process. A contribution to curricilum theory on teaching. Stockholm: Alm- qvist & Wiksell. Löwing, M. (2002). Ämnesdidaktisk teori för matematikundervisning (IPD-rapport nr 2002:11). Institutionen för pedagogik och didaktik, Göteborgs universitet. Löwing, M. (2004). Matematikundervisningens konkreta gestaltning. En studie av kommunikationen lärare elev och matematiklektionens didaktiska ramar. (Göteborg Studies in Educational Sciences 208.) Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis. Löwing, M. & Kilborn, W. (2002). Baskunskaper i matematik för skola, hem och samhäl- Madeleine Löwing är lektor i ämnesdidaktik vid Göteborgs universitet. 11